auf U heisst die Divergenz von K.

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1 11.5 Integralsat von Gauss im R Integralsat von Gauss im R 2 Seien weiter K = K ( ) x =(K1,K y 2 ) ein C 1 -Vektorfeld auf einer offenen Teilmenge U R 2 und eine kompakte Teilmenge von U mit orientiertem stückweise C 1 -Rand. Definition: Das Skalarfeld div K := K 1 x + K 2 y auf U heisst die Divergen von K. Der Sat von Green übersett sich damit schnell in den folgenden Divergensat: Integralsat von Gauss: ür alle K und U wie oben gilt div Kdvol 2 = K 1 dy K 2 dx. Definition: Ein Vektor, der orthogonal ur Tangente in einem regulären Punkt einer Kurve ist, heisst Normalenvektor. Injedemregulären Punkt ( ( x y) beeichne n = n x y) den eindeutigen von aus nach aussen gerichteten Einheitsnormalenvektor auf. Damit lässt sich der Sat von Gauss wie folgt umformulieren: Integralsat von Gauss: ür alle K und U wie oben gilt div Kdvol 2 = K ndvol 1. Bedeutung: Die Divergen eines Vektorfelds ist die örtliche Rate der Dichteunahme (bei negativem Voreichen also der -abnahme) eines strömenden Mediums, oder die örtliche Produktionsrate (bw. bei negativem Voreichen die Absorptionsrate) eines stationären Mediums. Die beiden Phänomene können auch kombiniert auftreten, wenn um Beispiel ein strömendes Gas sich gleicheitig komprimiert oder ausdehnt, oder wenn durch eine chemische Reaktion weiteres Gas produiert wird. In jedem all ist die linke Seite im Sat von Gauss die Änderungsrate der Gesamtmenge des in vorhandenen Mediums. Auf der anderen Seite erlegt sich das Strömungsfeld K in einem regulären Randpunkt in einen um Rand parallelen Anteil und einen dau orthogonalen Anteil K n. Ersterer beschreibt eine Strömung entlang des Rands, während letterer die örtliche lussratte durch den Rand hindurch angibt. Die rechte Seite im Sat von Gauss ist also die gesamte von aus nach aussen gerichtete lussrate von K durch. Der Sat von Gauss lässt sich somit als Erhaltungssat interpretieren in dem Sinn, dass die Gesamtproduktionsrate in gleich der Gesamtflussrate durch hindurch nach aussen sein muss. Beispiel: Sei die Kreisscheibe vom Radius r um den Nullpunkt in R 2. Das lineare Strömungsfeld K ( ) ( x y = ax+by cx+dy) hat die konstante Divergen div K = a + d. Die Gesamtproduktionsrate von K in ist somit div Kdvol 2 =(a + d) vol 2 () =(a + d)πr 2. Nach dem Sat von Gauss ist dies gleich der Gesamtflussrate K ndvol 1 von K durch hindurch nach aussen. Diese kann man mit mit etwas Rechenaufwand auch direkt berechnen. 64

2 11.6 Vektorielles lächenintegral 11.6 Vektorielles lächenintegral Seien B eine Teilmenge von R 2 und ϕ: B eine C 1 -Parametrisierung einer läche R 3, wie in Abschnitt Definition: Das vektorielle lächenintegral eines Vektorfelds K : R 3 über ist, falls es existiert, definiert durch K dω := (K ϕ) (ϕ u ϕ v ) dvol 2. B Definition: In jedem regulären Punkt von ϕ sind ϕ u und ϕ v linear unabhängig, und folglich ist n := ϕu ϕv ϕ u ϕ v ein auf der läche senkrecht stehender Einheitsnormalenvektor. Damit lässt sich das vektorielle lächenintegral als skalares lächenintegral schreiben: K dω = (K ϕ) n ϕ u ϕ v dvol 2 = K ndvol 2. B Definition: Die Angabe aller u einer Parametrisierung assoiierter Einheitsnormalenvektoren heisst eine Orientierung von. Zu jeder Orientierung mit den Einheitsnormalenvektoren n gibt es die entgegengesette Orientierung mit den Einheitsnormalenvektoren n. Definition: Eine Umparametrisierung ψ : B B wie in Abschnitt 10.8 heisst orientierungserhaltend, wennüberall det ψ 0 ist. Dies ist äquivalent dau, dass die u ϕ ψ und ϕ assoiierten Einheitsnormalenvektoren gleich sind. Eine Umparametrisierung ψ mit det ψ 0 überall heisst orientierungvertauschend. Sat: Das vektorielle lächenintegral ist invariant unter orientierungserhaltender Umparametrisierung. Dagegen bewirkt jede orientierungsvertauschende Umparametrisierung einen Voreichenwechsel. Bedeutung: Das Skalarprodukt K n misst den Anteil des Vektorfelds in die Richtung n, das heisst, durch die läche hindurch. Das Integral von K misst daher den Gesamtfluss von K durch in Richtung n Integralsat von Gauss im R 3 Sei eine kompakte Teilmenge von R 3,derenRand eine C 1 -Parametrisierung als läche besitt. Definition: Wir versehen mit derjenigen Orientierung, bei der die Einheitsnormalenvektoren n von aus gesehen nach aussen eigen. Sei weiter K =(K 1,K 2,K 3 ) ein C 1 -Vektorfeld auf einer offenen Teilmenge U R 3 Definition: Das Skalarfeld div K := K 1 x 1 + K 2 x 2 + K 3 auf U heisst die Divergen von K. 65

3 11.7 Integralsat von Gauss im R 3 Integralsat von Gauss: ür alle K und U wie oben gilt div Kdvol 3 = K ndvol 2. Die Beleuchtung dieses Sates ist dieselbe wie im R 2 in Abschnitt Beispiel: Betrachte den auf der Spite stehenden Kegel { xy := R 3 } x2 + y 2 1. Sein Rand besteht aus der durch x 2 + y 2 = 1 definierten Kreisscheibe 1 und der durch x 2 + y 2 = 1 definierten Mantelfäche 2. Wir versehen sie mit den Parametrisierungen ϕ 1 : B 1 := {( ) u v R 2 u 2 + v 2 1 } ( ) u uv v 1 ϕ 2 : B 2 := {( ) u v R 2 u 2 + v 2 1 } ( ) u v, u u v. 2 +v 2 00 Der u ϕ 1 assoiierte Einheitsnormalenvektor auf 1 ist überall gleich, eigt also 1 nach oben und somit von aus gesehen nach aussen, wie verlangt. Der u ϕ 2 assoiierte ) ist gleich 2 1 u/ u 2 +v 2, eigt also schräg Einheitsnormalenvektor auf 2 im Punkt ( u v/ u v 2 +v 2 1 nach oben und nach hinein. Dies widerspricht war der obigen Definition; anstatt die Parametrisierung u ändern, können wir aber genauso gut das lächenintegral über 2 xy mit einem Minuseichen versehen. ür das Vektorfeld K := (2x y, x +3y, xy ) berechnen wir jedes der folgenden Integrale expliit: div Kdvol 3 = K ndvol 2 K ndvol 2 }{{}} 1 {{}} 2 {{} 4π π 3 7π 3 Von diesen ist das lette am aufwendigsten u berechnen. Mit dem Sat von Gauss kann man also seine Berechnung auf die beiden anderen, einfacheren Integrale reduieren. Beispiel: Betrachte das Vektorfeld K(x) := cx auf R 3 {0} für eine Konstante c 0. x 3 Betrachte den Rand der Vollkugel B R := {x R 3 : x R} vom Radius R>0, wie oben orientiert durch den überall nach aussen gerichteten Normalenvektor n. Injedem Punkt x ist dann n = x,unddaslächenintegral berechnet sich schnell durch x cx x x 3 x dvol 2(x) = c x 2 dvol 2(x) = c R 2 vol 2( ) = 4πc. Wieso ist dieser Wert unabhängig von R? Hängt das mit dem Sat von Gauss usammmen? 66

4 11.8 Integralsat von Stokes im R 3 ( Eine kure Rechnung eigt cxi ) x i x = c 3cx2 3 x 3 i und somit div K =0.WennderSat x 5 von Gauss auf B R anwendbar wäre, so müsste der luss also 0 sein anstatt 4πc. Er ist aber nicht anwendbar, weil das Vektorfeld im Nullpunkt 0 BR eine Singularität hat! Stattdessen ist er anwendbar auf die Kugelschale B R BR für alle R >R>0. Deren Rand besteht aus dem äusseren Teil mit der obigen Orientierung und dem inneren Teil mit der entgegengesetten Orientierung. Nach dem Sat von Gauss gilt also K ndvol 2 div Kdvol 3 = 0, was tatsächlich die Unabhängigkeit von R erklärt. B R B R Beispiel: Berechne den luss von K(x) := cx nach aussen durch den Rand des Würfels x 3 W := [ a, a] 3 R 3 für gegebenes a>0. Lösung: Wähle 0 <R<a, so dass die Vollkugel B R gan im Inneren von W enthalten ist. Der Sat von Gauss besagt dann K ndvol 2 div Kdvol 3 = 0. W W B R Also gilt W K ndvol 2 =4πc Integralsat von Stokes im R 3 Der Sat von Stokes entsteht durch Übertragung des Sates von Green auf eine parametrisierte läche im R 3.SeiB R 2 eine kompakte Teilmenge mit einer stückweise C 1 -Randkurve B, wie in Abschnitt Sei ϕ: B eine C 1 -Parametrisierung einer läche R 3. Definition: Wir seten := ϕ(b) mit der von B geerbten Orientierung. Bedeutung: Die läche ist gewissermassen wischen ihrer Randkurve aufgespannt, wie.b. ein Segel oder das Dach eines Zirkuselts. Ihre von ϕ induierte Orientierung ist ein System von Einheitsnormalenvektoren n, die eine der beiden Seiten von auseichnet. Die induierte Orientierung von ist dadurch charakterisiert, dass, wenn wir auf der durch n beeichneten Seite von in diese Richtung dem Rand entlang gehen, die Punkte von nahe in Blickrichtung gesehen auf der linken Seite liegen. Diese Regel gilt gleichermassen am äusseren Rand von wie an einem Loch in. Vorsicht: Mit ist hier nicht der Rand von als allgemeine Teilmenge von R 3 gemeint, welcher einfach wieder gleich wäre. 67

5 11.8 Integralsat von Stokes im R 3 Sei K = K1 K 2 ein C 1 -Vektorfeld auf einer offenen Teilmenge U R 3. K 3 Definition: Das Vektorfeld rot K := K = x 1 x 2 K 1 K 2 K 3 := K 3 x 2 K 2 K 1 K 3 x 1 K 2 x 1 K 1 x 2 auf U heisst die Rotation von K. Die englische Beeichnung ist curl K. Integralsat von Stokes: ür alle K und U wie oben gilt rot K dx. Bedeutung: Wie im Sat von Green ist die rechte Seite die Zirkulation von K entlang und ist ein Mass dafür, wie sich K mit der Kurve mitdreht. Die Rotation rot K misst die lokale Zirkulationsrate für alle möglichen Drehrichtungen im R 3, und das Skalarprodukt rot K n ist deren Anteil für Drehungen in der Tangentialebene an.dersatvonstokes drückt also die Gesamtirkulation auf wei verschiedene Weisen aus. Beispiel: Sei K(x) := ω x das Geschwindigkeitsfeld einer gleichmässigen Drehung um die Achse Rω für ω R 3 {0}. Dann ist überall rot K =2ω. Dass die Rotation überall gleich ist, kann man dadurch erklären, dass jede Drehung um eine gegebene Achse sich als Komposition der entsprechenden Drehung um eine beliebige dau parallele Achse mit einer geeigneten Translation schreiben lässt. { xy Beispiel: Betrachte die halbe Sphäre := x 2 + y =1 0} mit der nach oben, also vom Ursprung weg, gerichteten Orientierung. Ihr Rand ist die Kreislinie mit der von der Parametrisierung γ : [0, 2π] R 3, t Betrachte das Vektorfeld K xy := y( 2 x 2 ) x(y 2 2 ) (x 2 y 2 ) mit rot K xy cos ϕ sin ϕ 0 := induierten Orientierung.. Die beiden 2(x y) 2(y x) x 2 +y Seiten im Sat von Stokes berechnen wir direkt bw. mittels Kugelkoordinaten u π 2. Bemerkung: Ein Vektorfeld K mit rot K = 0 heisst rotationsfrei. Nach dem Sat in Abschnitt 11.2 ist dies äquivalent dau, dass K lokal ein Potential besitt. Beispiel: Sei K(x) := ω x auf := R 3 Rω wie im letten Beispiel in Abschnitt ω x 2 Dann ist K rotationsfrei und hat überall lokal ein Potential, aber nicht global. Ausserdem ist für jeden geschlossenen Weg γ in mit Windungsahl k das Integral K(x) dx =2πk. γ Dass dieser Wert nur von der Windungsahl abhängt, kann man mit dem Sat von Stokes erklären. Denn seien γ und γ wei geschlossene Wege in mit Windungsahl k.dannkann man eigen, dass eine parametrisierte kompakte läche existiert mit = γ+( γ ). Wegen rot K = 0 gilt somit nach dem Sat von Stokes K dx K dx = rot 0. γ γ 68

6 11.8 Integralsat von Stokes im R 3 Bemerkung: Wie im Sat von Green sind beide Seiten im Sat von Stokes additiv unter Zerlegung von. Daher gilt der Sat auch für lächen, die aus endlich vielen separat parametrisierten Stücken usammengesett sind, sofern deren Orientierungen entlang der Schnittkurven usammen passen. Der orientierte Rand einer so usammengesetten läche = 1... r entsteht aus r durch Streichen aller Schnittkurven, die genau weimal mit entgegengesetter Orientierung auftreten. Wenn danach = ist, heisst die läche geschlossen oder eine läche ohne Rand. Ein Beispiel dafür ist die Oberfläche jedes hinreichend gutartigen Körpers im R 3 mit der nach aussen gerichteten Orientierung, wie um Beispiel eine Sphäre oder die Oberfläche eines Torus. Da für eine geschlossene läche die linke Seite im Sat von Stokes automatisch verschwindet, erhalten wir: olge: ür jede geschlossene läche besagt der Sat von Stokes rot 0 69