Algebra - Komplexe Zahlen - Ortskurven. Roger Burkhardt (FHNW)

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Herta Graf
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1 Algebra - Komplexe Zahlen - Ortskurven Roger Burkhardt (FHNW) FS 2008

2 Contents Einführung 2 Kurven in der Gauss schen Zahlenebene 3 2. DieGeraden DerKreis Inversionen 9 3. InversioneinerGeradendurchdenUrsprung InversioneinerGeradennichtdurchdenUrsprung InversioneinesKreisesdurchdenUrsprung InversioneinesKreisesnichtdurchdenUrsprung Ortskurven mit MATLAB 6 I

3 . Einführung Ortskurven werden in einigen technischen Disiplinen (Regelungstechnik, Nachrichtentechnik, usw.) eingesett. Unter einer Ortskurve versteht man eine parametrisierte Abbildung in die Gauss sche Zahlenebene der Form f : R C t (t) =x (t)+iy (t) Übersett könnte dies auch folgendermassen ausgedrückt werden: Gegeben sei eine veränderliche komplexe Grösse. Die komplexe Grösse kann bekanntlich als Zeiger in der Gauss schen Zahlenebene aufgefasst werden. Die Ortskurve beinhaltet nun alle Zeigerspiten der veränderlichen komplexen Grösse. Als Beispiel betrachten wir die frequenabhängige Gesamtimpedan der folgenden Schaltung: R L Z ser = Z R + Z L = R + iωl f : R + C ω Z ser (ω) =R + iωl Stellt man diese Impedanen als Punkte in der Gauss schen Zahlenebene dar, so erhält man die folgende Gerade:

4 2

5 2. Kurven in der Gauss schen Zahlenebene 2. Die Geraden Die allgemeine Gleichung einer Geraden in der Gauss schen Zahlenebene lautet: (t) = 0 + f (t) Dabei beeichnen 0 und komplexe Zahlen (Zeiger) und f (t) eine reellwertige Funktion für den Parameter. Eine klarere Vorstellung liefert folgende Skie: 0 Betrachten wir nocheinmal die Ortskurve des Einführungsbeispiels Z ser (ω) =R + iωl =(R) 0 so sehen wir den analogen Aufbau. +ω (il) Analog ur Parametergleichung der Geraden in der Vektorgeometrie. r = r0 + t r 3

6 Eine besonders einfache Form der Beschreibung einer Geraden in der Gauss schen Zahlenebene liefert die folgende Gleichung 2 : (t) =a ( + if (t)) bw. (t) =a ( + it) Durch einfaches ausmultipliieren findet man wieder die allgemeine Geradenform: (t) =(a) +(ia) t 0 Nun stehen die gefundenen komplexen Zeiger 0 = a und = ia senkrecht ueinander und die komplexe Zahl a ist der küreste Zeiger vom Ursprung auf die Gerade: ia 0 a Das Einführungsbeispiel lautet in dieser neuen Darstellungsform: Z ser (ω) =R + iωl =(R) a +(ir) ω L R ia f(ω) = R +i ωl R Nicht alle Geraden lassen sich so einfach finden. Betrachten wir als weiteres Beispiel die Gerade durch die Punkte =2+3i und 2 =5 i. Wechseln wir ur Bestimmung in die Vektorgeometrie und suchen die Normalform der 2 Funktioniert nicht für Geraden durch den Ursprung! 4

7 Geraden durch P (2, 3) und P 2 (5, ). Mit der Zwei-Punkt-Form finden wir die Koordinatengleichung Die Normalform lautet somit: y = y 2 y x 2 x (x x )+y y = (x 2) = 4 3 x x +3y 5=0 bw. die Hesse sche Normalform (Normalenvektor n = 4x +3y 5 5 =0 Der Ursprung hat somit die (küreste) Entfernung d = = mit n =5): von der Geraden und daher eigt der Vektor a = d n n = Der Kreis auf den nächsten Punkt (Fusspunkt) der Geraden. Die gesuchte komplexe Zahl entspricht somit a = 4 + i 3 und die Geradengleichung lautet: (t) = i3 ( + it) Wir starten mit dem Speialfall (t) = +it Als ertes eigen wir, dass diese Ortskurve einem Kreis entspricht. Formen wir dau um: it (t) = ( + it)( it) = t +i +t 2 +t 2 x(t) y(t) 5

8 x (t) = y (t) = +t 2 t +t 2 Ellimination des Parameters führt auf eine Koordinatengleichung 3 : y x = t y = y x + y x 2 = xy x 2 + y 2 y x 2 + y 2 = xy y x 2 x + y 2 = 0 x 2 x + y 2 = 0 x 2 + y 2 2 = 2 2 Die gegebene Ortskurve entspricht also einem Kreis mit dem Mittelpunkt M, 2 0 und Radius R = (der Mittelpunkt liegt also auf der reellen Achse 2 und der Ursprung befindet sich auf dem Kreis!). M 2, 0 R 2 3 Die Kreisgleichung mit Mittelpunkt M (x M,y M ) und Radius R lautet: (x x M ) 2 +(y y M ) 2 = R 2 6

9 Diesen ersten Kreis können wir nun durch Multiplikation mit der komplexen Zahl a = a e iϕ (Drestreckung) in einen neuen Kreis transformieren: (t) =a +it Der neue Kreis hat den Radius R = a und M a 2 2 Mittelpunkt: a cos (ϕ), a 2 sin (ϕ) als M R Beispiel: Wir suchen die Beschreibung des Kreises durch den Ursprung mit Mittelpunkt M = 4+2i. DerbenötigteZeigera für die Beschreibung ist gleich a =2 M = 8+4i. Die gesuchte Kreisgleichung lautet somit: (t) = 8+4i +it Für einen beliebigen Kreis verschieben wir nun den vorhin gefundenen Kreis um die komplexe Zahl b: (t) =a +it + b Durch diese Parallelverschiebung ändert sich der Radius nicht. Nur der Mittelpunkt wird um den Zeiger b verschoben. Also erhalten wir für den Radius weiterhin R = a und für den Mittelpunkt M re(a) + re (b), im(a) + im (b) :

10 a b M a b R 8

11 3. Inversionen In der Technik müssen Ortskurven häufig invertiert werden. Sei.B. die frequenabhangige Ortskurve einer Impedan Z (ω) gegeben, so erhält man den Strom durch die Impedan mit dem ohm schen Geset u I (ω) = U.Wenn Z(ω) die Ortskurve der Impedan invertiert wird, erhält man (bis auf Skalierung mit U) den Verlauf (Ortskurve) des frequenabhängigen Stroms. Im weiteren betrachten wir die wichtigsten Inversionen: 3. Inversion einer Geraden durch den Ursprung Wir betrachten die Gerade durch den Ursprung mit der Gleichung (t) =f (t) 0 Für die Inversion w = finden wir: w (t) = (t) = = f (t) 0 f (t) wieder eine Gerade durch den Ursprung mit der Parametrisierung g (t) = f(t) und der Richtung w 0 = t f t 0 0 w 0 w t g t w 0 9

12 Als Beispiel suchen wir die Inversion von (t) =t 2e i π 3.Wirfinden: w (t) = (t) = t 2e i π 3 = t π 2 e i 3 Die Inversion einer Geraden durch den Ursprung ergibt somit wieder eine Gerade durch den Ursprung. Die invertierte Gerade ist die Spiegelung der gegebenen Geraden an der reellen Achse. 3.2 Inversion einer Geraden nicht durch den Ursprung Betrachten wir die Gerade (mit a = a e iϕ ): (t) =a ( + if (t)) Die Inversion ergibt: w (t) = (t) = a ( + if (t)) = a +if (t) Kreis durch Urprung mit Drehstreckung somit einen Kreis durch den Ursprung mit den Daten: M Wir betrachten wei Beispiele: (t) =2(+it): R = 2 a 2 a cos ( ϕ), sin ( ϕ) 2 a w (t) = 2(+it) = 2 +it R = 4 M 4, 0 0

13 (t) =( i)(+it): w (t) = ( i)(+it) = 2e i π 4 ( + it) = 2e i π 4 +it = e i π 4 2 +it M π 2 2 cos, sin π 4 R = 2 2 = M 4, 4

14 Die Inversion einer Geraden nicht durch den Ursprung ergibt einen Kreis durch den Ursprung! 3.3 Inversion eines Kreises durch den Ursprung Die Inversion eines Kreises durch den Ursprung muss nach den Überlegungen des letten Abschnittes eine Gerade ergeben, welche nicht durch den Ursprung geht. Sei also ein Kreis mit dem Mittelpunkt M a 2 cos (ϕ), a 2 sin (ϕ) R = a 2 gegeben. Diesen Kreis können wir durch die folgende Gleichung beschreiben: (t) =a +if (t) Die Inversion ergibt nun: w (t) = (t) = ( + if (t)) = a a e iϕ ( + if (t)) eine Gerade durch den Punkt 0 = a e iϕ (Punkt der Geraden, welcher dem Ursprung am nächsten liegt) mit der Richtung = i 0 = a ei ( π 2 ϕ ). 2

15 3.4 Inversion eines Kreises nicht durch den Ursprung Als lette wichtige Inversion betrachten wir die Inversion des Kreises: (t) =b + a +if (t) Mit Mittelpunkt und Radius M = a 2 + b R = a 2 Die Inversion: Polynomdivision ergibt: w (t) = (t) = b + a +if(t) = +if (t) a + b ( + if (t)) +if (t) b ( + if (t)) + a = a b b b ( + if (t)) + a = b b = b b b ++ibf (t) = b b a a = + b B a (a + b) b A b a ( + if (t)) + b a + +i bf(t) b+a = B + A bf (t) +ig (t) +i b + a g(t) Dies ist nun wieder die Gleichung eines Kreises. Der neue Kreis geht ebenfalls nicht durch den Ursprung und hat die folgenden Kenndaten: M = A 2 + B = a 2(a + b) b + b = a +2b 2(a + b) b R = A 2 = a 2(a + b) b Als Beispiel invertieren wir den Kreis mit Mittelpunkt M =+3iund Radius R =2. Dieser Kreis wird beschrieben durch die Gleichung: 3

16 Kreis durch Ursprung mit dem gegebenen Radius: Verschobener Kreis: (t) =4 +it 2 (t) = (t)+( +3i) = ( +3i)+4 +it Die Gleichung des gegebenen Kreises lautet nun: (t) =( +3i) b + 4 a Die Inversion liefert also wieder ein Kreis mit: +it w M = a +2b 2(a + b) b = 4+2( +3i) 2(4+( +3i)) ( +3i) = i R w = Die neue Kreisgleichung: a 2(a + b) b = 4 5 2(4+( +3i)) ( +3i) = 5 Kreis durch Ursprung mit dem Radius 5 w (t) = : +it = it Verschobener Kreis: 5 w 2 (t) = w (t) i 2 5 = i it 4

17 5

18 4. Ortskurven mit MATLAB Mit MATLAB lassen sich Ortskurven recht schnell ereugen. Das nachfolgende m-file stellt eine Ortskurve (t) und ihre Inversion im gleichen Fenster dar. Zudem kann die Parametrisierung auch dargestellt werden: syms omega omega_r = [-3,3]; omega_w = omega_r()::omega_r(2); =(+i*omega) eplot(real(),imag(),omega_r); hold on for k=:length(omega_w) end w=/ =subs(,omega,omega_w(k)); xx=real(); yy=imag(); plot(xx,yy, r* ) text(xx,yy,strcat( \leftarrow \omega=,num2str(omega_w(k)), ^/_s )) eplot(real(w),imag(w),omega_r); hold on for k=:length(omega_w) ww=subs(w,omega,omega_w(k)); xx=real(ww); yy=imag(ww); plot(xx,yy, k* ) 6

19 end text(xx,yy,strcat( \leftarrow \omega=,num2str(omega_w(k)), ^/_s )) Der daugehörige Graph: 7

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