Ergänzung zu komplexe Zahlen

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1 Juli 2015

2 Übersicht 1 Ortskurven 2

3 Wechselstromkreis mit ohmschem und kapazitivem Widerstand (Parallelschaltung) i(t) u(t) R C Bei festen Werten für den ohmschen Widerstand R und die Kapazität C ergibt sich für den komplexen Widerstand die folgende Abhängigkeit: 1 Z(ω) = 1 R + jωc = 1 + jωrc R Z(ω) = R 1 + jωrc Durchläuft die Kreisfrequenz sämtliche Werte von 0 bis, so bewegt sich der komplexe Widerstandszeiger auf einer Kurve

4 Wechselstromkreis mit ohmschem und kapazitivem Widerstand (Parallelschaltung) Natur dieser Ortskurve: [ Z(ω) = R 1 + jωrc = R jωrc jωrc 1 + jωrc [ = R jωrc ] 1 + jωrc Der Quotient einer komplexen Zahl durch die zugehörige konjugiert komplexe Zahl hat stets den Betrag 1 ( ) 1 jωrc 1 + jωrc = 1 für alle ω Ortskurve: Ausgehend von dem Punkt R 2 auf der reellen Achse wird eine komplexe Zahl der Länge R 2 abgetragen Da ω 0 können nur negative Imaginärteile auftreten Damit bewegt sich der komplexe Widerstanszeiger auf dem unteren Halbkreis mit Radius R 2 und Mittelpunkt (R 2 0) Für ω = 0 ergibt sich der Punkt (R 0) Für ω strebt Z(ω) gegen den Nullpunkt ] ( )

5 Wechselstromkreis mit ohmschem und kapazitivem Widerstand (Parallelschaltung) Im j R 2 R 2 R 3 Re Bei Parallelschaltung eines ohmschen und induktiven Widerstands erhält man den unteren Halbkreis als Ortskurve des Widerstandszeigers

6 Parameterdarstellungen von Kurven im Komplexen Wir betrachten nun komplexwertige Funktionen, die von einer reellen Variablen meist t genannt abhängen z = z(t), mit z C und t R wobei t a t t b Im Stellt man z(t) in der Komponentenform dar, so erhält man: z(t 1 ) z(t 2 ) z(t) z(t) = x(t) + jy(t) z(t 3 ) wobei x(t) und y(t) zwei reelle Funktionen einer reellen Variablen sind Re

7 Gerade Im g e jϕ ϕ z(t) = z 0 + t e jϕ j 1 z 0 Re Durchläuft der Parameter t sämtliche reelle Zahlen, so bewegt sich der Zeiger z(t) auf der gesamten Geraden

8 Kreis Im z 0 re jt t r Re jt z(t) = z 0 + r e Durchläuft der Parameter t den Bereich 0 t < 2 π, so bewegt sich der Zeiger z(t) auf dem Kreis

9 Ellipse um Ursprung z(t) = r 1 e jt +r 2 e jt = (r 1 + r 2 ) cos t+(r }{{} 1 r 2 ) sin t, r }{{} 1 r 2 a b Im a b ϕ z(t) Re Durchläuft der Parameter t den Bereich 0 t < 2 π, so bewegt sich der Zeiger z(t) auf der skizzierten Ellipse Dabei ist zu beachten, dass der Parameter t nicht mit dem eingezeichneten Winkel ϕ übereinstimmt

10 Definition Wir betrachten nun komplexwertige Funktionen bei denen auch die unabhängige Variable komplex ist w = f (z); z D f C, w W f C Wählen wir die Komponentendarstellung, so gilt mit z = x + jy und w = u + jv der Zusammenhang: w = f (z) = u(x, y) + jv(x, y) Solche funktionale Zusammenhänge lassen sich nicht in einer Ebene oder in dreidimensionalen Anschauungsraum darstellen Da sowohl Definitions- als auch Bildbereich die Dimension zwei hat, wäre zur Veranschaulichung ein vierdimensionaler Raum notwendig

11 Visualisierung Um wenigstens eine gewisse Visualisierung (vgl Einführung Matrizenrechnung!) zu erzielen legen wir zwei komplexe Zahlenebenen gekennzeichnet als z- und w-ebene nebeneinander Zu Veranschaulichung der Funktion w = f (z) markiert man zugeordnete Punkte in den beiden komplexen Ebenen: z 1 y z-ebene z2 w = f (z) v w-ebene w 1 x w 3 u z 3 w 2

12 w = a z + c Bei der Funktion w = f (z) = az + b a, b C, konstant bewirkt die Multiplikation mit a = r e jϕ eine Drehstreckung mit Drehwinkel ϕ und Streckungsfaktor r; die Addition von b bedeutet eine Translation (Verschiebung)

13 w = f (z) = (2 + j) z + (2 j) a = 2 + j = r e jϕ Drehung um ϕ a = arctan 1 2 0, 46 ( 26, 6 ) Streckung mit Faktor r a = 5 b = 2 j Translation um (2 j) Spezielle Punkte: z 1 = 0 w 1 = 2 j z 2 = 1 w 2 = 4 z 3 = 1 + j w 3 = 3 + 2j z 4 = j w 4 = 1 + j Fixpunkt: z 0 = (2 + j)z 0 + (2 j) z 0 = v z 0 y w 0 z 4 z 3 w = f (z) w j 2 w 3 w 2 z 1 z2 x u w 1

14 Abbildung durch die Funktion w = 1 z Diese Abbildung stellt den Zusammenhang zwischen komplexem Widerstand und Leitwert aus dem vorangegangenen Abschnitt dar Die Eigenschaften der Funktion f (z) = z 1 erkennt man am besten bei Darstellung von z und w in Exponentialform; z = r z e jϕz w = r w e jϕw = 1 r z e jϕz Die Abbildung erfolgt in 2 Schritten: 1 Schritt: r w = 1 r z 2 Schritt: ϕ w = ϕ z Spiegelung am Einheitskreis Spiegelung an der reellen Achse

15 Spiegelung am Einheitskreis Im B 2 z w Einheitskreis B 1 z z = 1 r z e jϕ = w z Re Die Tangentialpunkte B 1, B 2 auf dem Einheitskreis werden mit Hilfe des Thaleskreises über der Strecke Oz konstruiert Der gespiegelte Punkt z ergibt sich als ergibt sich als Schnitt der Verbindungsgeraden B 1 B 2 mit der Ursprungsgeraden Oz Die Punkte O, B i z ergeben ein rechtwinkliges Dreieck Der Kathedensatz liefert die Rechtfertigung für die Spiegelung

16 Ubergang zum konjugiert komplexen Wert (z ) = w y v 6 5 w = 1 z x 6 5 u { außerhalb des Einheitskreises innerhalb des Einheitskreises oberhalb der reellen Achse unterhalb der reellen Achse Die Fixpunkte der Gesamtabbildung sind z 1,2 = ±1 }

17 w = f (z) = 1 z ist kreistreu {Kreise in z-ebene} {Kreise in w-ebene} Dabei werden Geraden als Kreise mit Radius bzw Kreise durch interpretiert } z = x + jy, w = u + jv z = w 1 = u + 1 jv = u u 2 + v 2 j v x = u u 2 + v 2 u 2 + v 2, y = v u 2 + v 2 Einsetzen in die allgemeine Kreisgleichung der z-ebene a(x 2 + y 2 ) + bx + cy + d = 0 ergibt nach kurzer Rechnung die allgemeine Kreisgleichung der w-ebene: Sonderfälle: d(u 2 + v 2 ) + bu cv + a = 0 a = 0, d = 0 bx + cy = 0 bu cv = 0 dh Ursprungsgerade Ursprungsgerade a = 0, d 0: Gerade nicht durch 0 Kreis durch 0 a 0, d = 0: Kreis durch 0 Gerade nicht durch 0 a 0, d 0: Kreis nicht durch 0 Kreis nicht durch 0

18 Allgemeine gebrochen lineare Abbildung w = az+b cz+d Umformung durch Polynomdivision w = az + b cz + d = a c + bc ad c 1 cz + d Man kann die zugehörige Abbildung in zwei ganze lineare Abbildungen und die Abbildung 1 z zerlegen: w (1) = cz + d w (2) 1 = w = w (3) = w (1) bc ad c w (2) + a c Beim Hintereinanderausführen der drei Teilabbildungen bleiben die Eigenschaften Kreistreue und Winkeltreue erhalten

19 Allgemeine gebrochen lineare Abbildung; Beispiel: w = z+j 1+jz w = f (z) = z + j 1 + jz z 1 j -1 -j 0 w j y w = f (z) v x u Einheitskreis reelle Achse Inneres des Einheitskreises obere Halbebene