2 Komplexe Rechnung in der Elektrotechnik

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1 Komplexe echnung in der Elektrotechnik. Einleitung Wechselstromnetwerke sind Netwerke, in denen sinusförmige Spannungen oder ströme gleicher Frequen auf ohmsche, induktive und kapaitive Widerstände wirken. Beispielschaltung i(t) u (t) u(t) u (t) u c (t) Eine möglich Anwendung auf diese Schaltung wäre die Berechnung der Stromstärke i(t) bei gegebener Betriebsspannung u(t). Zur analytischen ösung würden die folgenden Gleichungen benötigt. Mathematische Gleichung ur Beschreibung einer sinusförmigen Spannung: u(t) û sin (ωt + φ u ) Formel ur Beschreibung des eitlichen Verlaufs der Spannung an einem Widerstand: u (t) i(t) Formel ur Beschreibung des eitlichen Verlaufs der Spannung an einer nduktivität: u (t) di(t) Formel ur Beschreibung des eitlichen Verlaufs der Spannung an einem Kondensator: u (t) i(t)! -. -

2 Die Maschengleichung der vorliegenden Schaltung lautet: u(t) u (t) + u (t) + u (t) û sin (ωt + φ u ) i(t) + di(t) + i(t)! Die Berechnung der Aufgabe erfordert die Auflösung dieser Gleichung, die als Differentialgleichung beeichnet wird. Man kann sich leicht vorstellen, dass die Auflösung dieser Differentialgleichung mathematisch anspruchsvoll und aufwendig ist. Aus diesem Grund wäre es sinnvoll die Gleichung in eine Form u transformieren, die eine einfachere Berechnung möglich macht. nter Anwendung von komplexen Zahlen lässt sich eine solche Form finden. n diesem Kapitel sollen deshalb die elementaren echenregeln der komplexen Zahlen näher betrachtet werden, und ihre Anwendung in der Wechselstromtechnik untersucht werden.. Notwendigkeit der komplexen Zahlen Die Gleichung x + 0 lässt sich mit reellen Zahlen nicht lösen: x + 0 x! m diese Art von Gleichungen lösen u können wurde die imaginäre Zahl i eingeführt. i! n der Elektrotechnik wird für imaginäre Zahlen allgemein der Buchstabe j verwendet, um Verwechslungen mit der elektrischen Stromstärke u vermeiden. n der Elektrotechnik gilt also: j! Das Ergebnis der obigen Gleichung lautet also: x ±j m komplexen Zahlenraum lassen sich also alle Zahlen darstellen, wobei komplexe Zahlen aus einem eal-teil und einem maginärteil bestehen. -. -

3 .3 Darstellung einer komplexen Größe m b _ -_ a e *.3. Normalform (Komponentenform) a + jb Die Normalform wird verwendet ur Addition und Subtraktion von komplexen Zahlen..3. Trigonometrische Form (. Art der Komponentenform) cos φ + j sin φ (cos φ + j sin φ) Die trigonometrische Form wird verwendet ur mrechnung wischen der Normal- und der Exponentialform. Es gelten die folgenden Zusammenhänge: a b cos φ sin φ a + b φ arctan b a -.3 -

4 .3.3 Exponentialform nter Anwendung einer eihenentwicklung lässt sich eigen, dass gilt: e ±jφ cos φ ± j sin φ Daraus ergibt sich die Exponentialform einer komplexen Zahl u: e ±jφ Die Exponentialform wird verwendet ur Multiplikation und Division von komplexen Zahlen..4 Durchführung komplexer Berechnungen.4. Elementare echenregeln usw. j! j - j 3 -j j 4 j 5 j.4. Häufig verwendete Werte für e jφ Einige Werte für e jφ bei häufig vorkommenden Winkeln sind: φ 0 : e j0 cos 0 + j sin 0 + j 0 φ 90 : e j90 cos 90 + j sin j j φ -90 : e j-90 cos j sin j (-) -j φ 0 : e j0 cos 0 + j sin j 3 φ 80 : e j80 cos 80 + j sin j 0 - φ 40 : e j40 cos 40 + j sin j 3 Es gilt: e -j90 j90 e und damit j j

5 .4.3 Addition und Subtraktion Bei Addition und Subtraktion ist die Komponentenform von Vorteil. Normalform: a + j b c + j d + (a + c) + j (b + d) Trigonometrische Form: eal-teil maginär-teil (cos φ + j sin φ ) (cos φ + j sin φ ) + ( cos φ + cos φ ) + j ( sin φ + sin φ ) eal-teil maginär-teil Zwei komplexe Größen werden addiert (subtrahiert), indem man die ealteile addiert (subtrahiert) und die maginärteile addiert (subtrahiert)..4.4 Multiplikation und Division Bei Multiplikation und Division ist die Exponentialform von Vorteil. e jφ e jφ e j(φ+φ) e j(φ-φ) Beispiel Gegeben sind die beiden komplexen Zahlen j6 und 5 e j30. Berechne + ; - ; ; ; -.5 -

6 Multiplikation in der Komponentenform: Auch wenn die Exponentialform bei Multiplikation und Division von Vorteil ist, so heißt dies natürlich nicht, dass sich diese Operationen nicht auch in Komponentenform durchführen lassen. Der echenweg ist nur meist etwas aufwendiger. a + j b c + j d (a + j b) (c + j d) ac + j ad + j bc - bd ac - bd + j (ad + bc) a c + + jb jd a + jb c! jd c + jd c! jd ac + bd + j (bc! ad) c + d Multiplikation mit dem konjugiert komplexen Nenner ac + bd bc! ad c + d c + d + j.4.5 Multiplikation mit j und j Exponentialform: e jφ j j e j90 e jφ e j(φ+90 ) -j e -j90 e jφ -j e j(φ-90 ) -.6 -

7 Komponentenform a + j b j -b + j a -j b - j a Grafische Darstellung m j jb -j a e Eine Multiplikation mit j entspricht einer Drehung um +90. Eine Multiplikation mit j entspricht einer Division durch j und einer Drehung um Potenieren und adiieren e jφ n ( e jφ ) n n n e jnφ n n n n n ( e )! j n n e n n! j n n e Beim Potenieren wird der Betragt poteniert und der ichtungswinkel mit dem Exponenten multipliiert

8 .4.7 Differentiation der Exponentialfunktion Für die Ableitungen nach der Zeit für Exponentialfunktionen gelten die folgenden egeln: x d(e ) nx d(e ) jx d(e ) d(e ) t d(e ) (e x ) e x (e nx ) n e nx (e jx ) j e jx (e jφ ) j e jφ (e jωt ) jω e jωt.4.8 Differentiation und ntegration einer komplexen Größe e jωt Differentiation d() t d( e ) t d(e ) jω e jωt d() jω Andere Schreibweise: ' jω Multiplikation mit j! Drehung um

9 ntegration!! " e " t t e e t Division durch j! Drehung um Anwendung in der Elektrotechnik.5. Beispiel nduktionsgeset Analytische Berechnung (Berechnung im Zeitbereich) u i (t) - N d! (t)! ˆ (t) ˆ! sin ωt u i (t) û i i i - N ˆ! ω cos ωt N ˆ! ω ûi N! ˆ " f Komplexe Berechnung (Berechnung im Bildbereich) i - N d! (t)! ˆ! e jωt i - j ω N ˆ! e jωt i - j ω N! i ω N! i ω N ˆ! û i -.9 -

10 .5. Das Ohmsche Geset Wirkwiderstand W Als Strom sei ein sinusförmiger Strom mit einem Phasenwinkel von 0 angenommen e jωt W e jωt (mit als Effektivwert) W W W e jωt W und sind in Phase nduktiver Blindwiderstand B d e jωt B jω e jωt jω B eilt um 90 vor (siehe Kapitel.4.5) Kapaitiver Blindwiderstand B B! e jωt e t " e t B! j " B eilt um 90 nach (siehe Kapitel.4.5) -.0 -

11 Zusammenfassung Widerstände im Wechselstromkreis lassen sich folgendermaßen als komplexe Widerstände darstellen. Ohmscher Widerstand: nduktiver Blindwiderstand: Kapaitiver Blindwiderstand: X jω jx X e j90 X -jx X e -j Komplexe Darstellung von sinusförmigen Spannungen und Strömen Sinusförmige Spannungen oder Ströme können in Form komplexer Ausdrücke angegeben werden. Diese Ausdrücke lassen sich verwenden um elektrische Schaltungen mithilfe der so genannten komplexen Wechselstromrechnung u berechnen. Darstellung einer sinusförmigen Spannung im Zeitbereich (Mathematische Formel ur Berechnung des Momentanwerts dieser Spannung) u(t) û sin (ωt + φ) oder u(t) sin (ωt + φ) Komplexer Momentanwert û û e jφ e jωt Diese Gleichung entspricht der aus der Wechselstromberechnung bekannten Zeigerdarstellung der Spannung. Der Term e jφ gibt dabei den Phasenwinkel der Spannung an und der Term e jωt die otation des Zeigers an (frequenabhängig). Wenn bei der Berechnung von Wechselstromschaltungen von einer Schaltung mit einer festen gleich bleibenden Frequen ausgegangen wird, ist die Angabe des Terms e jωt nicht notwendig. Für die Spannung ergeben sich die folgenden möglichen komplexen Gleichungen. -. -

12 Komplexe Gleichungen Û û e jφ (Komplexe Amplitude) e jφ (Komplexer Effektivwert) Die weite Darstellung (Effektivwertdarstellung) ist dabei die, mit der üblicherweise in der komplexen Wechselstromtechnik gerechnet wird..5.4 Der usammengesette Stromkreis Komplexer Scheinwiderstand Z Z e jφ Ohmsches Geset Z eihenschaltungen X W B W + B + jx ( + jx ) Z Z + jx X + X φ arctan

13 X Z Z - jx! X " + X φ arctan $ # % & ' X X Z + j(x - X ) Z " X! X # + (X! X ) φ arctan $ % & ' Parallelschaltungen Bei Parallelschaltungen bietet es sich an, jeweils den komplexen Scheinleitwert u berechnen. Zur Berechnung des Scheinwiderstandes wird dann der Kehrwert gebildet. Z Y Mit Y Y e jφ y m Folgenden soll als Beispiel die Parallelschaltung eines Widerstandes und einer nduktivität untersucht werden. Auf die Herleitung der anderen Parallelschaltung wird verichtet, weil die Vorgehensweise stets die gliche ist

14 W X B W + B + j!! " # + $ & j% ' Y Y Y Z Z + j! + + +! j "! j" ( )! + ( ) +! (! )! + j + (! ) + (! ) Z ( ) ( ) 4 4!! + " + (! ) # " + (! ) # $ % $ % (# ) + (# )! " $ %! " ( ) + # $ % -.4 -

15 Z (! ) ( ) +!! ( ) +! φ -φ Y X Y Y +! jx + j X X X Y Y + + jx! jx! " + j# + $ X X % &

16 .5.5 Aufgaben Aufgabe. An einer reinen nduktivität von 5 mh liegt eine Spannung von 60 V / 500 H. Ermittle den Strom nach Betrag und Phase. Aufgabe. Eine Spule mit 30 Ω und 50 mh liegt an einer Spannung von 0 V / 50 H. Ermittle den Strom nach Betrag und Phase. Aufgabe.3 Eine Spule mit 0 Ω liegt an einer Spannung von 0 V / 600 H. Dabei wird eine Stromstärke von,5 A gemessen. Ermittle die nduktivität der Spule, sowie die Phasenverschiebung wischen Strom und Spannung. Aufgabe.4 An einem eihenschwingkreis aus 0 Ω, 0,05 mh, µf liegt eine Spannung von V / 80 kh. Ermittle den Strom nach Betrag und Phase. Aufgabe.5 Die nebenstehende Schaltung liegt an einer Spannung von 0 V / 50 H. Ermittle den Strom nach Betrag und Phase sowie die Ersatreihenschaltung. ( 6, Ω ; 3, Ω ; X,4 Ω ; X 7,4 Ω) X X Aufgabe.6 Für die nebenstehende Schaltung gelten die folgenden Angaben: 00 Ω ; 00 Ω ; 500 mh ; f 50 H ; 00 V e j0. Bestimme den Strom durch die Schaltung sowie die Ersatreihenschaltung. X -.6 -

17 Aufgabe.7 X Für die nebenstehende Schaltung gelten die folgenden Angaben: 00 Ω ; 00 Ω ; 0 µf ; f 50 H ; 00 V e j0. Bestimme den Strom durch die Schaltung. Aufgabe.8 Für die nebenstehende Schaltung gelten die folgenden Angaben: 00 Ω ; 500 mh ; 0 µf ; f 50 H ; 00 V e j0. Bestimme den Strom durch die Schaltung. X X Aufgabe.9 X X4 3 X3 X Für die nebenstehende Schaltung gelten die folgenden Angaben: 6 Ω ; 3 Ω ; 3 5 Ω ; X Ω ; X 7 Ω ; X 3 8 Ω ; X 4 0 Ω. Bestimme die Ersatreihenschaltung. Aufgabe.0 X X X4 4 X3 3 Für die obenstehende Schaltung gelten die folgenden Angaben: 40 Ω ; 30 Ω ; 3 00 Ω ; 4 0 Ω ; X 00 Ω ; X 60 Ω ; X 3 0 Ω ; X 4 0 Ω ; 0 V e j0. Bestimme die Ersatreihenschaltung, den Gesamtstrom, die Teilströme und die Teilspannungen

18 Aufgabe. Für die nebenstehende Schaltung gelten die folgenden Angaben: 500 Ω ; 400 Ω ; 3 00 Ω ; X 500 Ω. Berechne den Wert des Blindwiderstandes X 4, wenn der Strom der Spannung um 60 nacheilt. X 3 X4 Aufgabe. Der durch die Schaltung fließende Wechselstrom soll trot abund uschalten des Widerstandes seine Stärke nicht verändern. Berechne den Wert des Widerstandes ( 40 Ω ; X 0 Ω). Aufgabe.3 50 O 0 O 60 O 40 O 50 O 30 O Berechne die Stromstärke, die die nebenstehende Schaltung aufnimmt. j0 5 V e Aufgabe.4 Gegeben ist die nebenstehende Schaltung mit 50 Ω ; 0, H ; 0 µf. a) Stelle die Formel ur Berechnung des Scheinwiderstandes auf. Berechne Z nach ealund maginärteil. b) Berechne die Frequen bei der Z reell wird. c) Berechne den Scheinwiderstand der Schaltung mit den gegebenen Werten und der errechneten Frequen

19 Aufgabe.5 Gegeben ist die nebenstehende Schaltung mit 300 Ω ; f 50 H. Berechne den Wert der Kondensatoren, damit wischen den Spannungen und eine Phasenverschiebung von 90 entsteht. Aufgabe.6 Für die nebenstehende Schaltung gelten die folgenden Angaben: 00 Ω ; 0 Ω ; 750 mh ; 0 µf ; f 50 H. a) Berechne den Scheinwiderstand der Schaltung. b) st die Schaltung induktiv oder kapaitiv? Erkläre. Aufgabe.7 Für die nebenstehende Schaltung gelten die folgenden Angaben: 00 Ω ; X 50 Ω ; X 00 Ω. a) Berechne den Scheinwiderstand der Schaltung. b) st die Schaltung induktiv oder kapaitiv? Erkläre. Aufgabe.8 X 3 X4 Für die obenstehende Schaltung gelten die folgenden Angaben: 50 Ω ; 30 Ω ; 3 0 Ω ; X 70 Ω. Berechne den Wert des Blindwiderstandes X 4, damit der Strom der Spannung um 60 nacheilt

20 Aufgabe.9 Für die nebenstehende Schaltung gelten die folgenden Angaben: X 80 Ω ; X 40 Ω. a) Stelle die Gleichung auf für f(,, X, X ) b) Berechne den Wert von bei dem Gesamtspannung und X Gesamtstrom in Phase sind. X c) Berechne den Wert von bei dem der Gesamtstrom der Gesamtspannung um 45 voreilt. Aufgabe.0 Ermittle für die nebenstehende Schaltung den Strom nach der Methode des Überlagerungsgesetes. 50 V e 5 O j5 O j90 3 O 50 V e j0 j4 O Aufgabe. Ermittle für die nebenstehende Schaltung den Strom nach der Methode der Ersatspannungsquelle. ( 00 V e j0 ; f 00 H ; H ; µf ; 00 Ω 00 Ω ; 0, µf) Aufgabe. Ermittle für die 5 O A O j3 O B 4 O nebenstehende Schaltung den j5 O 6 O Strom und die Spannung AB nach der Methode der Ersatspannungsquelle. ( 30 V e j0 ; 0 V e j0 ) -.0 -

21 Aufgabe.3 Für die nebenstehende Schaltung gilt: V e j0 ; f 5 kh ; 00 µa. Die Stromstärke ist dabei unabhängig vom Wert von. Berechne die Kapaität des Kondensators und die nduktivität der Spule. Aufgabe.4 Berechne für di nebenstehende Schaltung die Kapaität des Kondensators und die nduktivität der Spule, sodass an jedem ämpchen V abfallen unabhängig von der Anahl der G ämpchen. Es gilt 0 V ; f 600 H ; P G 3 W. G V ; G G Aufgabe.5 a) Ermittle für die nebenstehende Schaltung den X Strom in komplexer Schreibweise als Funktion von,, X, und X. Die beiden ohmschen X Widerstände sind dabei gleich. b) Für welchen Wert von ist mit in Phase? Aufgabe.6 A B Bestimme für die obenstehende Schaltung die Klemmenspannung Es gilt:. 5 Ω ;,5 Ω ; X 5 Ω ; X,5 Ω ; 0 V e j0 ; 0 V e j

22 Aufgabe.7 Für die nebenstehende Schaltung gilt: 00 Ω ; X 00 Ω ; 00 V. a) Berechne den Widerstand, damit der Phasenverschiebungswinkel wischen der Spannung und dem Gesamtstrom 45 beträgt. b) Berechne die Spannung. X Aufgabe.8 (Examen 00) A X 0 0 X B Ermittle mit Hilfe der komplexen echnung für die obenstehende Schaltung die Spannung wischen den Klemmen A und B nach der Methode der Ersatspannungsquelle. Es gilt: 5 Ω ; X 5 Ω ;,5 Ω ; X,5 Ω ; 0 0 V e j0 ; 0 0 V e j