FH OOW / Fachb. Technik / Studiengänge Informatik und Medientechnik Seite 4-1

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1 FH OOW / Fachb. Technik / Studiengänge Informatik und Medientechnik Seite 4-4.) Lineare Schaltungen mit passiven Bauelementen 4. Die Schaltelemente Widerstand, Kapazität, Induktivität und Übertrager 4.. Betrieb mit allgemein zeitlich veränderlichen Strömen und Spannungen Wirkwiderstand R: u(t) = R i(t) ( Das Ohmsche Gesetz gilt für jeden Zeitpunkt.) Kapazität C: du i(t) = C bzw. u(t) = C i(τ) dτ + u(t 0 ) dt t t0 Induktivität L: di u(t) = L bzw. i(t) = L u(τ) dτ + i(t 0 ) dt t t0 Übertrager: di di u (t) = L + M und dt dt di u (t) = L + M dt di dt

2 FH OOW / Fachb. Technik / Studiengänge Informatik und Medientechnik Seite Betrieb mit sinusförmigen Strömen und Spannungen Wirkwiderstand R: û = R î Impedanz Z = R Kapazität C: î = jωc û bzw. û = î jωc Impedanz Z = jωc Induktivität L: û = jωl î bzw. î = jωl û Impedanz Z = jωl Übertrager: û = jωl î + jωm î und û = jωm î + jωl î Der Übertrager ist ein Zweitor ( spezieller Vierpol mit zwei Anschlußpaaren). Er kann durch einen Satz von vier komplexen Widerstandswerten, die Z-Parameter, beschrieben werden. Z = jωl = û / î für î = 0 : Eingangsimpedanz für Leerlauf am Ausgang Z = jωm = û / î für î = 0 : Rückwirkungsimpedanz für Leerlauf am Eingang Z = jωm = û / î für î = 0 : Übertragungsimpedanz für Leerlauf am Ausgang Z = jωl = û / î für î = 0 : Ausgangsimpedanz für Leerlauf am Eingang

3 FH OOW / Fachb. Technik / Studiengänge Informatik und Medientechnik Seite Anregung mit der Sprungfunktion Vorgegeben sei i(t) = I ε(t). Damit wird die Spannung für Wirkwiderstand R: u(t) = R I ε(t). Kapazität C: u(t) = u(t=0) + C I dt = I t C t 0 Induktivität L: u(t) = L d(i ε(t)) dt = L I δ(t) Übertrager: Vorgegeben sei i (t) = I ε(t) und i (t) = 0. Damit wird die Spannung u : u (t) = M d(i ε(t)) dt = M I δ(t)

4 FH OOW / Fachb. Technik / Studiengänge Informatik und Medientechnik Seite Zuammenschaltung von Widerstand R mit Kondensator C 4.. Tiefpaß mit Widerstand und Kapazität (A) Betrieb mit sinusförmigen Strömen und Spannungen; Betrachtung im Frequenzbereich Gegeben: u (t) = û sin(ωt + ϕ ) R, C Gesucht: i und u Komplexe Darstellung: Bild 4- RC-Tiefpaß û = û e jϕ, Z R = R, Z C = -j Eingangsimpedanz: Z ein = û / î = R -j ωc û jωc î = = û R j + jωcr ωc ωc Betrag: î = û ωc + ( ωcr) Phase: ϕ i = ϕ + π - arctan(ωcr) also i (t) = û ωc + ( ωcr) sin(ωt + ϕ + π - arctan(ωcr)) und û = î (-j ) = û ωc + jωcr Betrag: û = û + ( ωcr) Phase: ϕ u = ϕ - arctan(ωcr) also u (t) = û + ( ωcr) sin(ωt + ϕ - arctan(ωcr))

5 FH OOW / Fachb. Technik / Studiengänge Informatik und Medientechnik Seite 4-5 Zeitliche Verläufe von Ein- und Ausgangsspannung im Vergleich (a) Betrieb bei sehr tiefer Frequenz im Durchlaßbereich (b) Betrieb bei der Grenzfrequenz zwischen Durchlaß- und Sperrbereich (c) Betrieb bei höheren Frequenzen im Sperrbereich Bilder 4-a-c RC-Tiefpaß, Anregung mit sinusförmiger Spannung

6 FH OOW / Fachb. Technik / Studiengänge Informatik und Medientechnik Seite 4-6 Übertragungsfaktor H(f): H(f) = û / û = + jωcr Betrag: H(f) = + ( ωcr) Phase: ϕ(f) = - arctan(ωcr) Bild 4-3 Übertragungsfaktor H für einen RC-Tiefpass mit R = 600Ω und C = 0pF Die Grenzfrequenz f g ist definiert für den Punkt, in dem H gegenüber dem Maximalwert auf 70,7% (entspr. -3dB) abgefallen ist. Im Beispiel Bild 4-3 ist dies ca. f g = 00Hz. Bild 4-4 zeigt den Betrag und den Phasenwinkel des Übertragungsfaktors in der Darstellung des Bode-Diagramms; der Betrag ist im logarithmischen Maß mit der Einheit db abgebildet, siehe Bild 4-4a. Die Grenzfrequenz ( blaue vertikale Linie) liegt hier bei H log = -3dB, der Phasenwinkel hat bei der Grenzfrequenz den Wert -45, siehe Bild 4-4b.

7 FH OOW / Fachb. Technik / Studiengänge Informatik und Medientechnik Seite 4-7 Bild 4-4a RC-Tiefpass zu Bild 5-, Übertragungsfaktor im logarithmischen Maß Bild 4-4b RC-Tiefpass zu Bild 5-, Phasenwinkel

8 FH OOW / Fachb. Technik / Studiengänge Informatik und Medientechnik Seite 4-8 (B) Anregung mit Sprungfunktion; Betrachtung im Zeitbereich Der RC-Tiefpaß werde durch eine Spannungsquelle mit sprunghaftem Verlauf der Quellenspannung betrieben, siehe nebenstehende Abbildung. Die Quellenspannung soll im Zeitpunkt t = 0 von 0V auf den Wert U springen, siehe Bild 4-6a. Bild 4-5 RC-Tiefpaß, Anregung mit Sprungfunktion Bild 4-6a Quellenspannung nach der Sprungfunktion. Bild 4-6b Sprungantwort des RC-Tiefpasses Bestimmung der Sprungantwort mit Hilfe der Differentialgleichung für u :.) Die Kirchhoffsche Maschen-Regel ergibt u = u R + u.) Es gilt an R: u R = R i und an C: i = C du /dt 3.) Einsetzen in die Maschengleichung ergibt: u = RC du /dt + u Da für t > 0 gilt u = U, wird U = RC du /dt + u Differentialgleichung für u

9 FH OOW / Fachb. Technik / Studiengänge Informatik und Medientechnik Seite ) Die Differentialgleichung hat grundsätzlich zwei Lösungsanteile, die homogene Lösung, die durch die Eigenschaften der Schaltung bestimmt ist, und die inhomogene Lösung, die durch die Anregung ( Quellen ) vorgegeben ist: u (t) = u,hom (t) + u,inh (t) 5.) Die homogene Lösung erhält man, wenn die Anregung zu null gesetzt wird, hier: U = 0. Die homogene Differentialgleichung 0 = RC du /dt + u hat eine Lösung der Form u,hom (t) = U,hom e λt Mit du /dt = U,hom λ e λt erhält man: 0 = RC U,hom λ e λt + U,hom e λt Nach Division durch U,hom e λt : 0 = RC λ + Charakteristische Gleichung Die Charakteristische Gleichung hat die Lösung λ = - /τ mit t = RC t wird 'Zeitkonstante' genannt. Die homogene Lösung ist damit: u,hom (t) = U,hom e -t/τ U,hom ist zunächst eine Unbekannte, die aus Randbedingungen festzulegen ist. 6.) Die inhomogene Lösung ist wie die Anregung u = U eine Gleichspannung: u,inh (t) = U,inh 7.) Die vollständige Lösung u (t) = U,hom e -t/τ + U,inh enthält noch die beiden Unbekannten U,hom und U,inh. Sie werden aus den Randbedingungen bei t = 0 und bei t = bestimmt: u (t=0) = 0 = U,hom e -0/τ + U,inh ( Anfangswert ) Daraus folgt: U,hom = - U,inh und u (t= ) = U = U,hom e - /τ + U,inh Wegen e - /τ = 0 folgt: U,inh = U 8.) Die vollständige Lösung wird nun: u (t) = - U e -t/τ + U u (t) = U ( - e -t/τ )

10 FH OOW / Fachb. Technik / Studiengänge Informatik und Medientechnik Seite 4-0 Filterwirkung des RC-Tiefpasses Der Frequenzgang des Übertragungsfaktors ( siehe Bild 5-4 ) läßt erkennen, daß zwei unterschiedliche Frequenzbereiche existieren: (A) der Durchlaßbereich ab f = 0 bis zu einer Grenzfrequenz f g mit pf g = w g = /t = der Bereich tiefer Frequenzen mit dem Wert H (d.h. 0dB) Der Phasenwinkel von H verändert sich von 0 auf -45. Die Grenzfrequenz f g ist dadurch gekennzeichnet, daß der reelle Widerstand R und der kapazitive Widerstand X c gleich groß sind. Damit ergibt sich eine Spannungsteilung zwischen R und X c im Verhältnis : und zwischen der Eingangsspannung und der Ausgangsspannung im Verhältnis û /û = / (entspr. 3dB). (B) Der Sperrbereich ab der Grenzfrequenz f g bis f = der Bereich hoher Frequenzen mit abnehmenden Werten von H (d.h. mit zunehmender Dämpfung), umgekehrt proportional zur Frequenz: H ~ /f, im logarithmischen Maßstab nimmt H um 6dB pro Frequenzoktave ab. Eine Oktave ist das Frequenzverhältnis von :. Eine vereinfachte Darstellung von H(f) zeigt das folgende Bild: Bild 4-7 RC-Tiefpaß, H(f) vereinfacht Die Filterwirkung eines einfachen RC-Tiefpasses ist eher mäßig. Eine deutliche Dämpfung a im Sperrbereich ergibt sich erst weit oberhalb der Grenzfrequenz: f = 0 f g a = 0dB Anwendungen des RC-Tiefpasses Filterung eines Empfangssignals durch Unterdrücken von Anteilen eines Störsignals oberhalb der Signalbandbreite. Unterdrücken von unerwünschten Oberwellen, um die Bandbreite eines zu übertragenden Signals zu beschränken. Anwendung als Vorfilter (Anti-Aliasing) für die A/D-Wandlung. Unterdrücken von Störungen auf einer Versorgungsspannung für elektronische Schaltungen (ICs).

11 FH OOW / Fachb. Technik / Studiengänge Informatik und Medientechnik Seite Hochpaß mit Widerstand und Kapazität (A) Betrieb mit sinusförmigen Strömen und Spannungen; Betrachtung im Frequenzbereich Gegeben: u (t) = û sin(ωt + ϕ ) R, C Gesucht: i und u Komplexe Darstellung: Bild 4-8 RC-Hochpaß û = û e jϕ, Z R = R, Z C = -j Eingangsimpedanz: Z ein = û / î = R -j ωc û jωc î = = û R j + jωcr ω C ωc Betrag: î = û ωc + ( ωcr) Phase: ϕ i = ϕ + π - arctan(ωcr) also i (t) = û ωc + ( ωcr) cos(ωt + ϕ - arctan(ωcr)) und û = î R = û jωcr + jωcr Betrag: û = û ωcr + ( ωcr) Phase: ϕ u = ϕ + π - arctan(ωcr) also u (t) = û ωcr + ( ωcr) cos(ωt + ϕ - arctan(ωcr))

12 FH OOW / Fachb. Technik / Studiengänge Informatik und Medientechnik Seite 4- Zeitliche Verläufe von Ein- und Ausgangsspannung im Vergleich (a) Betrieb bei tiefer Frequenz im Sperrbereich (b) Betrieb bei der Grenzfrequenz zwischen Durchlaß- und Sperrbereich (c) Betrieb bei höheren Frequenzen im Durchlaßbereich Bilder 4-9a-c RC-Hochpaß, Anregung mit sinusförmiger Spannung

13 FH OOW / Fachb. Technik / Studiengänge Informatik und Medientechnik Seite 4-3 Übertragungsfaktor H(f): H(f) = û / û = jωcr + jωcr Betrag: H(f) = ωcr + ( ωcr) Phase: ϕ(f) = π - arctan(ωcr) Bild 4-0 Übertragungsfaktor H für einen RC-Hochpass mit R = 600Ω und C = 0pF Die Grenzfrequenz f g ist definiert für den Punkt, in dem H gegenüber dem Maximalwert auf 70,7% (entspr. -3dB) abgefallen ist. Im Beispiel Bild 4-0 ist dies ca. f g = 00Hz, markiert durch die vertikale blaue Linie. Bild 4- zeigt den Betrag und den Phasenwinkel des Übertragungsfaktors in der Darstellung des Bode-Diagramms; der Betrag ist im logarithmischen Maß mit der Einheit db abgebildet, siehe Bild 4-a. Die Grenzfrequenz ( blaue vertikale Linie) liegt hier bei H log = -3dB, der Phasenwinkel hat bei der Grenzfrequenz den Wert +45, siehe Bild 4-b.

14 FH OOW / Fachb. Technik / Studiengänge Informatik und Medientechnik Seite 4-4 Bild 4-a RC-Hochpass zu Bild 5-4, Übertragungsfaktor im logarithmischen Maß Bild 4-b RC-Hochpass zu Bild 4-4, Phasenwinkel

15 FH OOW / Fachb. Technik / Studiengänge Informatik und Medientechnik Seite 4-5 (B) RC-Hochpaß / Anregung mit Sprungfunktion; Betrachtung im Zeitbereich Der RC-Hochpaß werde durch eine Spannungsquelle mit sprunghaftem Verlauf der Quellenspannung betrieben, siehe nebenstehende Abbildung. Die Quellenspannung soll im Zeitpunkt t = 0 von 0V auf den Wert U springen, siehe Bild 4-3a. Bild 4- RC-Hochpaß, Anregung mit Spannungssprung Bild 4-3a Quellenspannung nach der Sprungfunktion. Bild 4-3b Sprungantwort des RC-Hochpasses Bestimmung der Sprungantwort mit Hilfe der Differentialgleichung für u :.) Die Kirchhoffsche Maschen-Regel ergibt u = u C + u.) Es gilt an R: u = R i und an C: i = C du C /dt 3.) Einsetzen in die Maschengleichung ergibt: du /dt = du /dt + u /RC 4.) Für t > 0 gilt u = U = konst. 0 = RC du /dt + u Differentialgleichung für u

16 FH OOW / Fachb. Technik / Studiengänge Informatik und Medientechnik Seite ) Die Differentialgleichung hat grundsätzlich zwei Lösungsanteile, die homogene Lösung, die durch die Eigenschaften der Schaltung bestimmt ist, und die inhomogene Lösung, die durch die Anregung ( Quellen ) vorgegeben ist: u (t) = u,hom (t) + u,inh (t) 5.) Die Differentialgleichung ist eine homogene Differentialgleichung ( 0 =...) 0 = RC du /dt + u hat eine Lösung der Form u,hom (t) = U,hom e λt Mit du /dt = U,hom λ e λt erhält man: 0 = RC U,hom λ e λt + U,hom e λt Nach Division durch U,hom e λt : 0 = RC λ + Charakteristische Gleichung Die Charakteristische Gleichung hat die Lösung λ = - /τ mit t = RC t wird 'Zeitkonstante' genannt. Die homogene Lösung ist damit: u,hom (t) = U,hom e -t/τ U,hom ist zunächst eine Unbekannte, die aus Randbedingungen festzulegen ist. 6.) Die inhomogene Lösung ist wie die Anregung u = U eine Gleichspannung: u,inh (t) = U,inh 7.) Die vollständige Lösung u (t) = U,hom e -t/τ + U,inh enthält noch die beiden Unbekannten U,hom und U,inh. Sie werden aus den Randbedingungen bei t = 0 und bei t = bestimmt: u (t=0) = U = U,hom e -0/τ + U,inh ( Anfangswert für C ungeladen ) Daraus folgt: U = U,hom + U,inh und u (t= ) = 0 = U,hom e - /τ + U,inh ( kein Strom mehr ) Wegen e - /τ = 0 folgt: U,inh = 0 8.) Die vollständige Lösung wird nun: u (t) = U e -t/τ

17 FH OOW / Fachb. Technik / Studiengänge Informatik und Medientechnik Seite 4-7 Filterwirkung des RC-Hochpasses Der Frequenzgang des Übertragungsfaktors ( siehe Bild 4- ) läßt erkennen, daß zwei unterschiedliche Frequenzbereiche existieren: (A) der Sperrbereich ab f = 0 bis zu einer Grenzfrequenz f g mit pf g = w g = /t = der Bereich tiefer Frequenzen mit dem H(f) ansteigend proportional zu f Der Phasenwinkel von H verändert sich von +90 auf +45. Die Grenzfrequenz f g ist dadurch gekennzeichnet, daß der reelle Widerstand R und der kapazitive Widerstand X c gleich groß sind. Damit ergibt sich eine Spannungsteilung zwischen R und X c im Verhältnis : und zwischen der Eingangsspannung und der Ausgangsspannung im Verhältnis û /û = / (entspr. 3dB). (B) Der Durchlaßbereich von der Grenzfrequenz f g bis f = der Bereich hoher Frequenzen mit H(f) (d.h. 0dB, geringe Dämpfung). Eine vereinfachte Darstellung von H(f) zeigt das folgende Bild: Bild 4-4 RC-Hochpaß, H(f) vereinfacht Die Filterwirkung eines einfachen RC-Hochpasses ist eher mäßig. Eine deutliche Dämpfung a im Sperrbereich ergibt sich erst weit unterhalb der Grenzfrequenz: f = 0, f g a = 0dB Anwendungen des RC-Hochpasses Anwendung als Vorfilter beim Empfang von Bandpaß-Signalen zur Unterdrückung von niederfrequenten Fremdsignalen und von Störungen (z.b. Netzfrequenz). In elektronischen Schaltungen und zwischen Baugruppen: Abtrennen einer Gleichspannung (Versorgungsspannung) von einem Nachrichtensignal.

18 FH OOW / Fachb. Technik / Studiengänge Informatik und Medientechnik Seite Beispiele für die Beeinflussung von Signalen durch RC-Filter (A) RC-Tiefpaß mit R = 600Ω, C = 0nF Zeitkonstante τ = 3µs, Grenzfrequenz f g = 06Hz Bild 4-5 t 0,5ms Eingangssignal u (t) = rect ms und Ausgangssignal u (t) Bild 4-6 Eingangssignal u (t) = rect und Ausgangssignal u (t) t τ τ Bild 4-7 t 5µs Eingangssignal u (t) = rect 0µs und Ausgangssignal u (t)

19 FH OOW / Fachb. Technik / Studiengänge Informatik und Medientechnik Seite 4-9 Bild 4-8 Eingangssignal u (ωt) = Vsin(π00Hz t) + 0,5Vsin(π0kHz t) und Ausgangssignal u (ωt) (B) RC-Hochpaß mit R = 600Ω, C = 0nF Zeitkonstante τ = 3µs, Grenzfrequenz f g = 06Hz Bild 4-9 Eingangssignal u (t) = V rect t 0,ms 0,4ms und Ausgangssignal u (t) Bild 4-0 Eingangssignal u (t) = 5V + V sin(π 0kHz t) und Ausgangssignal u (t)

20 FH OOW / Fachb. Technik / Studiengänge Informatik und Medientechnik Seite RLC-Schwingkreise a) Parallelschwingkreis b) Serienschwingkreis Bild 4- Schaltbilder von Parallel- und Serienschwingkreis 4.3. Komplexer Widerstand Z und Leitwert Y Parallelschwingkreis Serienschwingkreis Y = G + j(ωc - ) ; G = /R Z = R + j(ωl - ) ωl ωc Z = Y = G+ j( ωc ) ωl R+ j( ωl ) ωc a) Parallelschwingkreis b) Serienschwingkreis Bild 4- Frequenzgang (a) des Scheinwiderstandes und (b) des Scheinleitwertes. fres: Resonanzfrequnez, fu: untere Bandgrenze, fo: obere Bandgrenze

21 FH OOW / Fachb. Technik / Studiengänge Informatik und Medientechnik Seite 4- Parallelschwingkreis Serienschwingkreis Beträge und Phasenwinkel der Widerstände und Leitwerte: Z = Y = G + ( ωc ) R + ( ωl ) ω L ωc ωc ϕ Z = - arctan ωl G ωl ϕ Y = - arctan ωc R 4.3. Selektives Verhalten der Schwingkreise und Resonanz Es gilt: U par = Z I par mit U par, I par : I ser = Y U ser mit U ser, I ser : Spannung, Strom am Parallelschwingkreis Spannung, Strom am Serienschwingkreis Parallelschwingkreis mit einem konstanten Strom Speist man den Serienschwingkreis mit einer konstanten Spannung und variiert die Frequenz,so verändert sich U par genau wie Z (f) in Bild 4-a I ser genau wie Y (f) in Bild 4-b Die Kurven in Bild 4- lassen erkennen, daß die Spannung U par am Parallelschwingkreis der Strom I ser durch den Serienschwingkreis bei konstantem Strom I par bei bei konstanter Spannung U ser ein ausgeprägtes Maximum aufweist. Das Maximum tritt bei der Resonanzfrequenz auf: f res = Bei Resonanz heben sich π LC im Parallelschwingkreis i L und i C im Serienschwingkreis u L und u C gegenseitig auf Der Widerstand des Schwingkreises ist dann gleich dem Wirkwiderstand R.

22 FH OOW / Fachb. Technik / Studiengänge Informatik und Medientechnik Seite 4- Ströme und Spannungen bei Resonanz Bild 4-3a Parallelkreis: Gesamtstrom Iges und Zweigströme bei Resonanz Werte für R, L, C wie in Bild 4-a Bild 4-3a Serienkreis: Gesamtspannung u ges und Teilspannungen bei Resonanz Werte für R, L, C wie in Bild 4-b

23 FH OOW / Fachb. Technik / Studiengänge Informatik und Medientechnik Seite 4-3 Kennleitwert Y K und Kennwiderstand Z K, Güte Q, Dämpfung d Die Schaltelemente L und C haben bei der Resonanzfrequenz den Widerstand Z K = πf res L = und den Leitwert Y K = πf res C = πf C res πf L res Das Verhältnis Q = Y K /G beim Parallelkreis gibt an, um welchen Faktor die Ströme I L und I C größer als der Strom I R sind bzw. das Verhältnis Q = Z K /R beim Serienkreis gibt an, um welchen Faktor die Spannungen U L und U C größer als die Spannung U R sind. Die sog. Güte Q kann Werte von 0 oder 0 oder sogar einige 00 erreichen. Damit können im Parallelkreis die Zweigströme durch L und C wesentlich größer als der Gesamtstrom sein bzw. können im Serienkreis die Spannungen an L und C wesentlich größer als die Gesamtspannung sein. Der Kehrwert der Güte ist die Dämpfung d, also d = /Q. Grenzfrequenzen und Bandbreite Der Bereich um die Resonanzfrquenz wird durch die untere Grenzfrequenz f u und die obere Grenzfrequenz f o begrenzt. Der Frequenzbereich zwischen f u und f o wird Bandbreite B genannt: B = f o - f u Für die Grenzfrequenzen gilt, daß a) im Parallelschwingkreis die Summe der Blindleitwerte B C + B L = ωc-/ωl gerade so groß wie der Wirkleitwert G ist. Der Gesamtleitwert Y ist damit um den Faktor größer als bei Resonanz und hat den Phasenwinkel ϕ Y = -π/4 bei f u bzw. +π/4 bei f o. b) im Serienschwingkreis die Summe der Blindwiderstände X L + X C = ωl-/ωc gerade so groß wie der Wirkwiderstand R ist. Der Gesamtwiderstand Z ist damit um den Faktor größer als bei Resonanz und hat den Phasenwinkel ϕ Z = -π/4 bei f u bzw. +π/4 bei f o. Beziehung zwischen Bandbreite, Resonanzfrequenz und Güte: Q = f res B

24 FH OOW / Fachb. Technik / Studiengänge Informatik und Medientechnik Seite 4-4 Die Verhältnisse lassen sich gut mittels der Ortskurven von Z darstellen, siehe Bild 4-4 und 4-5. Bild 4-4 Impedanz Z(f) des Serienkreises Bei den Grenzfrequenzen f u und f o ist der Imaginärteil genauso groß wie der Realteil. Daher wird der Winkel -45 oder +45. Bei tiefen Frequenzen ist Z kapazitiv, bei hohen Frequenzen ist Z induktiv. Bei sehr tiefen und bei sehr hohen Frequenzen geht der Betrag von Z gegen unendlich. Bild 4-5 Impedanz Z(f) des Parallelkreises Bei den Grenzfrequenzen f u und f o ist der Imaginärteil genauso groß wie der Realteil. Daher wird der Winkel +45 oder -45. Bei tiefen Frequenzen ist Z induktiv, bei hohen Frequenzen ist Z kapazitiv. Bei sehr tiefen und bei sehr hohen Frequenzen geht der Betrag von Z gegen null.

25 FH OOW / Fachb. Technik / Studiengänge Informatik und Medientechnik Seite Zeitverhalten der Schwingkreise Die folgenden Bilder zeigen das Verhalten des Serienschwingkreises bei Anregung mit einer Spannungsquelle, die einen Spannungssprung oder eine eingeschaltete Sinus-Spannung erzeugen kann. Bild 4-6 Serienschwingkreis an einer Spannungsquelle mit variabler Quellenspannung L = 8,4mH, C = 0nF Bild 4-7 Reaktion des Serienschwingkreises auf einen Spannungssprung u 0 (t) = V ε(t) a) bei geringer Dämpfung R = 0Ω b) mit sehr stark gedämpfter Eigenschwingung R = 500Ω

26 FH OOW / Fachb. Technik / Studiengänge Informatik und Medientechnik Seite 4-6 Bild 4-8 Reaktion des Serienschwingkreises auf eine eingeschaltete Sinus-Spannung mit u 0 (t) = V ε(t) sin(π,5khz t). a) bei geringer Dämpfung b) bei mäßiger Dämpfung c) bei hoher Dämpfung

27 FH OOW / Fachb. Technik / Studiengänge Informatik und Medientechnik Seite 4-7 Herleitung des Zeitverhaltens mittels der Differentialgleichung Grundlage ist das Schaltbild nach Bild 4-6. Die Herleitung erfolgt entsprechend der Darstellung zum RC-Tiefpaß, siehe 4... Zunächst wird die Differentialgleichung für den Strom i(t) aufgestellt: Maschenregel u 0 = u L + u R + u C Mit den Gleichungen für den Zusammenhang zwischen Strom und Spannung an den Schaltelementen erhält man t di u C 0 = L + R i + i(t) dt + u C (0) dt 0 di di nach Differenzieren: 0 = L + R + i Differentialgl. für i(t) dt dt C Mit dem Ansatz i(t) = I h e λt folgt 0 = LC λ + RC λ + bzw. 0 = λ R + λ + Charakteristische Gleichung L LC mit den Lösungen: λ, = - d ± d - ω 0 R Darin bedeuten: d = die Dämpfung L ω 0 = die Resonanzkreisfrequenz LC Fall : d - ω 0 < 0 Verwendet wird auch die Größe Eigenkreisfrequenz ω e und Eigenfrequenz f e : ω e = d - ω 0 die Eigenkreisfrequenz Mit f e schwingt der Serienkreis, wenn er angeregt wurde, vorausgesetzt d - ω 0 < 0 Die Lösungen für λ sind dann konjugiert komplexe Werte λ, = - d ± jω e und i(t) folgt der Gleichung i(t) = ( I h e jω et + I h e -jω et ) e -dt Die Unbekannten Größen I h und I h ergeben sich aus Randbedingungen bei t = 0 und t =.

28 FH OOW / Fachb. Technik / Studiengänge Informatik und Medientechnik Seite 4-8 Die vollständige Lösung für i(t) U mit u 0 (t) = U ε(t) ist hier: i(t) = e -dt sin(ω e t) ω L Beispiele zeigen die Bilder 3-7a und b. e Fall : d - ω 0 > 0 Die Dämpfung d (d.h. R) ist so groß, daß keine Eigenschwingungen möglich sind. Die Lösungen der Charakteristischen Gleichung sind reell: λ, = - d ± d - ω 0 Auf einen Spannungssprung u 0 (t) = U ε(t) reagieren Strom und Spannungen des Serienkreises in Form von zwei e-funktionen mit verschiedenen negativen Exponenten, d.h. zwei verschiedenen Zeitkonstanten: i(t) = I h e λ t + I h e λ t Aus der Randbedingung i(t=0) = 0 folgt wieder: I h = - I h di U Aus der Randbedingung u L (t=0) = U folgt: = = I h ( λ e λ 0 - λ e λ 0 ) = I h ( λ - λ ) dt L = I h d - ω 0 U I h = L d ω 0 Beispiel für L = 8,4mH, C = 0nF, R = kω, U = V d = 744s - ω 0 = 5709s - λ = s - τ = - /λ = 0,ms λ = - 498s - τ = - /λ = 0,3µs I h =,6mA i(t) =,6mA ( e -5007s- t - e -498s- t ) Bild 4-9 Reaktion des Serienkreises mit hoher Dämpfung auf einen Spannungssprung u 0 (t) = V ε(t)