Ortskurve, Resonanz, Filter

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1 Elektrotechnisches Grundlagen-Labor II Ortskurve, esonanz, Filter Versuch Nr. 1 Erforderliche Geräte Anzahl Bezeichnung, Daten GL-Nr. 1 NF-Generator 10V; 600Ω 14 1 NF-Millivoltmeter 16 NF-Voltmeter, erdfrei 134/135 1 eaktanzhochpass 84 1 Abschlusswiderstand 600Ω 1 Spule 75/300mH 1 Widerstand 1kΩ 1 Widerstand 10kΩ 1 Kondensator 100nF 1 Umschalter, abgeschirmt 1 Steckbrett Kurzschlussstecker 6 Verbindungsleitungen 0,5m, BNC-BNC 1 Koaxialkabel 0,5m, BNC/ Bananenstecker 4 Koaxialkabel Datum: Name: Versuch durchgeführt:

2 1 Theoretische Grundlagen 1.1 Ortskurven Der Betriebszustand von passiven linearen Schaltungen für sinusförmigen Wechselstrom und sinusförmige Wechselspannung kann beschrieben werden durch die komplexen Effektivwerte der Ströme und Spannungen in der Schaltung. Die komplexen Effektivwerte werden im Folgenden durch große unterstrichene Buchstaben symbolisiert. In der komplexen Ebene werden sie durch sog. Zeiger dargestellt. Aus dem komplexen Effektivwert A einer sinusförmigen Wechselgröße mit der Kreisfrequenz ω erhält man ihren von der Zeit t abhängigen Momentanwert zu jωt { A e } a(t) = e. (1) Den Quotienten Z = U / I = + jx () der komplexen Effektivwerte U und I von Eingangsspannung und Eingangsstrom eines passiven Zweipols bezeichnet man als dessen komplexen Widerstand. Hierbei ist vorausgesetzt, dass für U und I das Verbraucherzählpfeilsystem eingeführt ist. Die Größen und X in () heißen Wirk- und Blindwiderstand. Der eziprokwert 1 Y = = G + jb (3) Z heißt komplexer Leitwert des Zweipols, wobei G als Wirkleitwert, B als Blindleitwert bezeichnet wird. Jeder Wert Z und Y entspricht einem Punkt in der komplexen Widerstands- bzw. Leitwertsebene. Der komplexe Widerstand eines passiven linearen Zweipols hängt ab von 1. der Schaltungsstruktur und der Art der verwendeten Bauelemente (Widerstand, Kondensator, Spule, Übertrager),. der Dimensionierung der Bauelemente, 3. der Frequenz. Ändert man bei einem passiven linearen Zweipol die Frequenz oder die Dimensionierung eines einzigen Bauelements stetig, so kann man die hierbei von Z angenommenen Werte in der komplexen Widerstandsebene durch eine Kurve verbinden. Diese heißt Ortskurve. An der Ortskurve kann man als Parameter die Frequenz bzw. die Dimensionierung des veränderlichen Bauelements angeben. Auch der komplexe Leitwert Y = 1/ Z kann als Ortskurve dargestellt werden. Bild 1 zeigt einen passiven linearen Zweipol, dessen Dimensionierung sich im Folgenden nicht ändern soll. Für diesen Zweipol ist in Bild (a) der Eingangswiderstand Z, in Bild (b) der Eingangsleitwert Y abhängig von der Frequenz f als Ortskurve dargestellt.

3 Z = 1 Y C = 100 Ω C = 159 pf Bild 1 Passiver linearer Zweipol e(z)/ Ω 100 Im(Z) Ω f 16 6 MHz Bild a Ortskurve des Eingangswiderstands Z der Schaltung nach Bild 1 mit der Frequenz f als Parameter Im(Y) ms f MHz e(y)/ms 10 Bild b Ortskurve des Eingangsleitwerts Y der Schaltung nach Bild 1 mit der Frequenz f als Parameter 3

4 Die Anwendungsmöglichkeit von Ortskurven ist nicht auf die Darstellung komplexer Widerstände und Leitwerte beschränkt. Sie können immer dann angewandt werden, wenn die Abhängigkeit einer komplexen Größe von einem reellen Parameter dargestellt werden soll. Als Beispiel werde der Zweipol nach Bild 3 betrachtet. Dieser werde mit konstanter Spannung und Frequenz betrieben. Die Induktivität L soll von sehr kleinen bis zu sehr großen Werten einstellbar sein. L U L U = 100 Ω ω = 10 6 s -1 U = 10 V 0 < L < U 8 Bild 3 Passiver linearer Zweipol mit einstellbarer Induktivität In Bild 4 ist die Ortskurve des Quotienten U U = + jωl (4) mit der Induktivität L als Parameter dargestellt. e U U 1 Im U U - 0, L µh Bild 4 Ortskurve des Verhältnisses U /U mit der Induktivität L als Parameter für die Schaltung nach Bild 3 4

5 esonanzschaltungen Die Prinzipien der esonanzschaltungen werden im Folgenden anhand des Serienschwingkreises nach Bild 5 erläutert. L C S Bild 5 Serienschwingkreis Der Eingangswiderstand dieser Schaltung ist 1 Z= S + j ωl (5) ωc Bei der Kreisfrequenz 1 ω =ω = (6) L C verschwindet der Imaginärteil von Z und Z wird minimal. ω heißt esonanzkreisfrequenz, f = ω /(π) esonanzfrequenz. Mit dem sog. esonanzblindwiderstand L X = (7) C und dem Gütefaktor L Q= / S (8) C des esonanzkreises lässt sich dessen Eingangswiderstand auch ausdrücken in der Form ω ω ω ω = Z = S + jx S 1+ jq. (9) ω ω ω ω 5

6 In Bild 6 ist die Ortskurve von Z = 1+ jf (10) S mit dem Frequenzfaktor ω ω F = Q (11) ω ω als Parameter für 0,8 F 1 gezeichnet. Neben dem Gütefaktor Q ist dessen eziprokwert L d = 1/ Q= S / (1) C der sog. Dämpfungsfaktor, eine wichtige Beschreibungsgröße des Schwingkreises. 1,0 0,8 0,8 Im Z S 0,6 0,4 0,6 0,4 F 0, 0, - 0, - 0,4-0,6-0,8 0, 0,4 0,6 0,8 e - 0, - 0,4-0,6-0,8 Z S Bild 6 Ortskurve des normierten Eingangswiderstands mit F als Parameter für den Serienschwingkreis nach Bild 5 6

7 Im Folgenden wird angenommen, dass die Amplitude U ) der Spannung am Schwingkreis unabhängig von der Frequenz stets den gleichen Wert hat. Dann wird der Strom durch den esonanzkreis maximal mit der Amplitude ) ) I = I = U / (13) max S bei der esonanzfrequenz. Allgemein erhält man für die Stromamplitude mit (9) und (13) Imax Imax I= = (14a) ω ω 1+ jf 1+ jq ω ω I max I max I = = (14b) 1 F ω ω + 1+ Q ω ω In Bild 7 ist die Ortskurve von I/I max nach (14a) mit F nach (11) als Parameter dargestellt. Bild 8 zeigt I / I nach (14b) abhängig von F. max 0,6 1 F 0,4 0,5 I Im Imax 0, - 0, 0, 0,4 0,6 0,8 0,07 F = 0 1 e - 0,07 I I max - 0, ,5-0,6-1 Bild 7 Ortskurve von I/I max nach (14a) mit F als Parameter 7

8 1 I I max P P max F 1 3 Bild 8 I/I max nach (14b) und P/P max nach (16) als Funktion von F Die vom Schwingkreis aufgenommene Wirkleistung erreicht bei konstanter Spannung U ihren Maximalwert P = Pmax = U / S = Imax S (15) bei esonanz. Allgemein erhält man für die Leistung mit (14b) P = max S max max = = (16) 1+ Q I ω ω ω ω 1+ Q P ω ω ω ω P 1+ F P/P max nach (16) ist abhängig von F ebenfalls in Bild 8 dargestellt. 1.3 eaktanzfilter Ein Generator mit der Leerlaufspannung U 0 (Effektivwert), mit dem Innenwiderstand i und mit einstellbarer Frequenz f speise den ohmschen Verbraucherwiderstand 1 = i, siehe Bild 9. i U 0 G P ~ 1 = i Bild 9 Belasteter Generator bei Anpassung 8

9 In diesem Fall wird dem Generator unabhängig von der Frequenz f stets die maximal mögliche Wirkleistung P max U 0 = (17) 4 i entnommen. Es herrscht Leistungsanpassung. Insbesondere in der Nachrichtentechnik besteht nun häufig die Forderung, dass ein Verbraucherwiderstand 1 einem Generator lediglich in gewissen Frequenzbereichen möglichst hohe Leistung P entnimmt. In anderen Frequenzbereichen soll 1 dagegen möglichst geringe Leistung erhalten. Diese Forderung lässt sich dadurch erfüllen, dass man zwischen den Generator und den Verbraucher einen Vierpol aus Blindelementen schaltet. Ein solcher Vierpol wird allgemein als Filter bezeichnet. Je nach der Frequenzlage der Durchlass- und Sperrbereiche ist ein solches Filter ein Tief-, Band- oder Hochpass oder eine Bandsperre. Bild 10 zeigt als Beispiel eine Tiefpassschaltung. i L U 0 G Z C 1 = i Filter 1 = i = 50 Ω ; L = 15,9 µh ; C = 1,59 nf Bild 10 Tiefpassschaltung Durch die Filterschaltung wird der Verbraucherwiderstand 1 in den komplexen Widerstand Z = + jx transformiert. Die in diesem Fall vom Generator abgegebene Wirkleistung ist mit P max nach (17) P 4 / = i P max (1+ / i ) + (X / i ) (18) Setzt man voraus, dass die Blindelemente des Filters verlustfrei sind, ist die vom Filter aufgenommene Wirkleistung P nach (18) gleich der in 1 verbrauchten Wirkleistung. Für i und/oder X 0 ist P< Pmax ; es herrscht Fehlanpassung. Da der Blindwiderstand der Blindelemente und damit das Transformationsverhalten des Filters frequenzabhängig sind, ist auch P nach (18) eine Funktion der Frequenz. Dieser kann man durch die Struktur und Dimensionierung des Filters einen geforderten Verlauf geben. Die aus (18) zu ermittelnde Größe 9

10 a / db P P (1+ / ) + (X / ) 4 / max i i = 10lg 10lg (19) = i heißt Betriebsdämpfungsmaß des Filters. Bei dem Beispiel nach Bild 10 ist 1 ω 1CL+ jωl Z= (0) 1+ jω C 1 Z= 1+ ( ω C) 1 1 ωl ( ω 1C) (1 ω CL) + j 1+ ( ω C) 1 Bei sehr tiefen Frequenzen ist Z = 1 und somit P = P max, bei sehr hohen Frequenzen geht Z und damit P 0. Wählt man die in Bild 10 angegebene Dimensionierung, so erhält man aus (19) mit Z nach (0) das in Bild 11 abhängig von der Frequenz f dargestellte Betriebsdämpfungsmaß a a db 5 0 0, f MHz Bild 11 Betriebsdämpfungsmaß a des Tiefpasses nach Bild 10 abhängig von der Frequenz f (logarithmische Frequenzskala) 10

11 Weiterführende Literatur [1] Meinke, Hans: Einführung in die Elektrotechnik höherer Frequenzen, Band 1 Springer-Verlag Berlin, Heidelberg, New York. Fachbereichsbibliothek: ELT 705/005-1 [] Steinbuch, Karl; upprecht, Werner: Nachrichtentechnik Springer-Verlag Berlin, Heidelberg, New York. Fachbereichsbibliothek: ELT 804/005 3 Fragen und Aufgaben 1. Leiten Sie die Formel (18) ab!. Überlegen Sie, wie beim Versuch 4.3 aus den Größen Y = U /( U) und U C /( U) der komplexe Leitwert Y konstruiert werden kann! 3. Überlegen Sie, wie beim Versuch 4.4 aus den Größen Y = U /( U) und U LC /( U) der komplexe Leitwert Y konstruiert werden kann! 4. Berechnen Sie für den Serienschwingkreis des Versuchs 4.4 esonanzfrequenz f, esonanzblindwiderstand X, Gütefaktor Q und Dämpfungsfaktor d! 5. Ermitteln Sie für den Serienschwingkreis des Versuchs 4.4 bei der esonanzfrequenz die Spannungsverhältnisse U L /U und U C /U sowie die Winkel ϕ i = arc tan (I/U), ϕ L = arc tan (U L /U ) und ϕ C = arc tan (U C /U )! 6. Überlegen Sie, wie beim Versuch 4.5 aus den Größen Z = U e / U und U / U der komplexe Widerstand Z konstruiert werden kann! 4 Versuchsanleitung 4.1 Hinweise zu den Geräten Die im Versuch verwendeten elektronischen Vielfachmessinstrumente GL 134 und GL 135 können bis 5kHz zur erdfreien Messung von Wechselspannungen verwendet werden. Überprüfen Sie vor Beginn der Messungen Batteriespannungen, elektrischen Nullpunkt und Eichung! 11

12 Das mv-meter GL 16 ist nicht erdfrei. Der Netzstecker muss so gepolt werden, dass bei offenem Eingang im 1mV-Bereich ein Ausschlag von weniger als 100µV entsteht. Zur wechselweisen Messung von zwei verschiedenen Spannungen steht ein abgeschirmter Umschalter zur Verfügung. Vermeiden Sie durch Wahl geeigneter Messbereiche eine Überlastung der Instrumente! Die im Folgenden beschriebenen Arbeiten sollen für jede der in den Tabellen angegebenen Frequenzen durchgeführt werden. 4. Komplexer Widerstand Z einer L-eihenschaltung Aufbau der dargestellten Schaltung Einstellen der Spannung U = 1V und damit des Stroms I = 100µA und Messung von U L und U Berechnen von Z = U / I und X = U / I Konstruieren der Ortskurve Z(f) aus Z und X mit Hilfe eines Zirkels L GL 134 I U Quelle GL14 Z U 10 kω 75 mh U L GL 135 GL 16 Bild 1 Tabelle 1 f/hz U L /mv U/mV Z / kω X/kΩ 1

13 Tabelle f/khz U L /mv U/mV Z / kω X/kΩ Im(Z) kω e(z) kω Bild 13 13

14 4.3 Komplexer Leitwert Y einer C-eihenschaltung Aufbau der dargestellten Schaltung Einstellen der Spannung U = 5V und Messen der Spannungen U und U C Berechnen von Y = I / U = U /( U) und U C /( U) Konstruieren der Ortskurve Y(f) aus Y und U C /( U) mit Hilfe eines Zirkels GL 134 I U Quelle GL14 Y U = 1 kω 100 nf U C GL 135 GL 16 Bild 14 Tabelle 3 f/hz U /mv U C /mv Y / ms U C U / ms 14

15 Tabelle 4 f/khz U /mv U C /mv Y / ms U C U / ms 0,8 0,6 Im(Y) ms 0,4 0, 0 0 0, 0,4 0,6 0,8 1 e(y) ms Bild 15 15

16 4.4 Komplexer Leitwert Y eines Serienschwingkreises Aufbau der dargestellten Schaltung Einstellen von U = 5V Messen der Spannungen U C und U LC (nacheinander mit dem Instrument GL 16) sowie der Spannungen U und U L (nacheinander mit dem Instrument GL 134) Berechnen von Y = I / U = U /( U) und U LC /( U) Konstruieren der Ortskurve Y(f) in der dargestellten Y-Ebene aus Y und U LC /( U) mit Hilfe eines Zirkels. Es ist zu beachten, dass Y unterhalb der esonanzfrequenz im ersten, oberhalb der esonanzfrequenz im vierten Quadranten der Y-Ebene liegt. Auftragen der Verläufe von U, U L und U C über der Frequenz f GL 134 GL 134 I U U L = 1 kω 300 mh Quelle GL14 Y U GL 135 U LC 100 nf U C GL 16 GL 16 Bild 16 Tabelle 5 f/hz U C /mv U LC /mv U /mv U L /mv Y / ms U LC U / ms 16

17 Tabelle 6 f/khz U C /mv U LC /mv U /mv U L /mv Y / ms U LC U / ms 0,6 0,4 0, Im(Y) ms 0 0, 0,4 0,6 0,8 1 e(y) ms - 0, - 0,4-0,6 Bild 17 17

18 10 U, U L, U C, V Bild 18 f Hz 4.5 Komplexer Eingangswiderstand Z eines eaktanzhochpasses Aufbau der dargestellten Schaltung Einstellen von U = V und Messen von U und U e Berechnen von Z = U e / U und U / U Konstruieren der Ortskurve Z(f) aus Z und U / U mit Hilfe eines Zirkels GL 134 I U = V Quelle GL14 Z+ U = 1 kω GL 16 U e GL 16 Z Hochpaß GL Ω Bild 19 18

19 Tabelle 7 f/khz , ,5 0 U e /V U/V Z / kω U / kω U Tabelle 8 f/khz U e /V U/V Z / kω U / kω U 19

20 Im(Z) kω - 1,0-0,5 0 0,5 1 e(z) kω - 0,5-1 Bild 0-1,5 0

21 4.6 Betriebsdämpfungsmaß a des eaktanzhochpasses Einstellen der Leerlaufspannung des Generators auf U 0 = 1,55V = ˆ + 6dBm. Diese Einstellung bleibt für alle folgenden Messungen bestehen. 1dBm entspricht der Leistung von 1mW in einem Widerstand von 600Ω. Aufbau der dargestellten Schaltung Messung von Ausgangsspannung U a bzw. Pegel s a bei den angegebenen Frequenzen Auftragen von a = - s a über der Frequenz U 0 G GL 14 i = 600 Ω Hochpaß GL Ω U a GL 16 Bild 1 Tabelle 9 f/khz 0, 0,5 1,5 3 s a /db Tabelle 10 f/khz 3, s a /db 1

22 Anmerkung: Für U 0 = 1,55V und i = 600Ω ist die in (19) auftretende Maximalleistung P max = 1mW. Die Pegelskala des Instruments GL 16 ist so geeicht, dass in diesem Fall unmittelbar s a = - a in db abgelesen werden kann a 30 db 0 10 Bild f Hz