Praktikum 2.1 Frequenzverhalten

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1 Elektrizitätslehre 3 Martin Schlup, Martin Weisenhorn. November 208 Praktikum 2. Frequenzverhalten Lernziele Bei diesem Versuch werden die Frequenzabhängigkeiten von elektrischen Grössenverhältnissen aus einfachen linearen Schaltungen untersucht. Die Studierenden können den Frequenzgang frequency response, bzw. Amplituden- amplitude response und Phasengang phase response eines Verhältnisses von komplexen Grössen aus einem linearen Vierpol Zweitor theoretisch bestimmen und messtechnisch überprüfen Modellvalidierung. Sie kennen die frequenzmässigen Merkmale von Systemen erster und zweiter Ordnung wie Grenzfrequenz cut-off-frequency, Gütefaktor quality factor, bzw. Dämpfungsmass attenuation factor und können diese den physikalischen Parametern der entsprechenden Systeme zuordnen. Sie können einen Serieschwingkreis mir vorgegebener Resonanzfrequenz und vorgegebenem Gütefaktor dimensionieren und mit realen Bauelementen realisieren. Sie können ein Bandpassfilter mit einem Parallelschwingkreis mit vorgegebener Bandbreite dimensionieren und mit realen Bauelementen realisieren und abstimmen.. Einführung.. System erster Ordnung Als Einführungsbeispiel soll das Tiefpassverhalten eines R-Glieds betrachtet werden siehe Abbildung. Dazu wird das komplexe Verhältnis H der Ausgangs- zur Eingangsspannung gebildet, was unter Berücksichtigung der Spannungsteilerregel gelingt: H 2 j R + j + jr Mit der Festlegung der Grenzfrequenz g /R ergibt sich die normierte Form: Für Betrag und Phase ergibt sich: H + j g + j f f g H 2 + / g 2

2 , Praktikum 2. Frequenzverhalten, 2 R f 2 f Abbildung : R-Glied als Tiefpassfilter arg {H} ϕ ϕ u2 ϕ u arctan/ g Näherungen für Betrag und Winkel Argument der Frequenzgangfunktion H 2 / für kleine und grosse Frequenzen sind in Tabelle zusammengefasst. H 20 log 0 H arg {H} 2 g 20 log 0 g g 2 g 20 log 0 20 log 0 0 db ϕ log db ϕ π 4 20 log 0 ϕ π g 2 Tabelle : Tiefpassverhalten bei charakteristischen Frequenzen. Dabei wird das Tiefpassverhalten des Filters ersichtlich: Für Frequenzen g ist u 2 t u t. Signale mit Frequenzen unterhalb g werden praktisch unverändert durchgelassen. Für Frequenzen g nimmt die Amplitude von u 2 t gegenüber der von u t um den Faktor 0 pro Dekade Dk ab. Dies entspricht einer Steigung von 20 db/dk. Signale mit Frequenzen oberhalb g werden entsprechend unterdrückt. Bei der Grenzfrequenz g /R sind Real- und Imaginärteil der Frequenzgangfunktion gleich gross und das Amplitudenverhältnis 2 / ist gleich / 2. Dies entspricht einem Leistungsverhältnis an einem gleich grossen Widerstand von /2. Die Grenzfrequenz entspricht der Bandbreite des Tiefpassfilters..2. System zweiter Ordnung Als weiteres Beispiel soll das Tiefpassverhalten eines RL-Serieschwingkreises betrachtet werden siehe Abbildung 2. Dazu wird das komplexe Verhältnis der Ausgangs- zur Eingangsspannung gebildet. Nach der Spannungsteilerregel sowie mit der Resonanzfrequenz r / L

3 , Praktikum 2. Frequenzverhalten, 3 und dem Gütefaktor Q R L des Schwingkreises ergibt sich die normierte Form: H 2 H 2 j R + jl + j + jr + j 2 L + j r Q + j r 2 normierte Form 2 2 r 2 + r 2 Q arg {H} ϕ arctan r Q 2 r 2 R L S f 2 f Abbildung 2: RL-Serieschwingkreis als Tiefpassfilter Näherungen für Betrag und Winkel Argument der Frequenzgangfunktion H 2 / für kleine und grosse Frequenzen sind in der folgenden Tabelle zusammengefasst: H 20 log 0 H arg {H} 2 r 20 log 0 0 db ϕ 0 2 r Q 20 log 0 20 log 0 Q ϕ π 2 2 r 2 r 20 log 0 40 log 0 ϕ π r Falls für den Gütefaktor des Schwingkreises Q / 2 gewählt wird, gilt für das Tiefpassverhalten des Filters: Für Frequenzen r ist u 2 t u t. Signale mit Frequenzen unterhalb r werden praktisch unverändert durchgelassen. Für Frequenzen r nimmt die Amplitude von u 2 t gegenüber der von u t um den Faktor 00 pro Dekade Dk ab. Dies entspricht einer Steigung von 40 db/dk. Signale mit Frequenzen oberhalb r werden entsprechend unterdrückt. Bei der resonanzfrequenz r / L ist das Amplitudenverhältnis 2 / gleich Q. Mit der Wahl Q / 2 entspricht die Resonanzfrequenz des Schwingkreises der Grenzfrequenz und somit der Bandbreite des Tiefpassfilters.

4 , Praktikum 2. Frequenzverhalten, 4.3. RL-Parallelschwingkreis als Bandpassfilter Als Beispiel für ein Bandpassfilter soll das Frequenzverhalten eines RL-Parallelschwingkreises betrachtet werden siehe Abbildung 3. Dazu wird das komplexe Verhältnis der Ausgangs- zur Eingangsspannung gebildet. Nach der Spannungsteilerregel und mit dem Verstärkungsfaktor k G G +G 2, der Resonanzfrequenz r / L, dem Gütefaktor Q G +G 2 L des Schwingkreises, sowie der Annahme einer idealen Spule der Induktivität L ergibt sich die normierte Form: H 2 G 2 + jl +j G + G 2 + jl +j + G G 2 + jl + j jg L + j G + G 2 L + j 2 L G G + G 2 jg + G 2 L + j G + G 2 L + j 2 L H 2 k j r Q + j r Q + j r 2 r Q 2 2 r 2 + r 2 Q normierte Form arg {H} ϕ π 2 arctan r Q 2 2 r R f R 2 L 2 f Abbildung 3: RL-Parallelschwingkreis als Bandpassfilter Näherungen für Betrag und Winkel Argument der Frequenzgangfunktion H 2 / für kleine und grosse Frequenzen sind in der folgenden Tabelle zusammengefasst: H 20 log 0 H arg {H} 20 log 0 k log 0 Q + log 0 r ϕ π 2 2 r k r Q 20 log 0 2 r k 20 log 0 r 2 k r Q 20 log 0 20 log 0 k ϕ 0 ϕ π r 2 20 log 0 k log 0 Q log 0

5 , Praktikum 2. Frequenzverhalten, 5 Der Gütefaktor Q des Schwingkreises bestimmt die 3 db-bandbreite des Passbands des Filters. Für 4Q 2 gilt laut Appendix A die Näherungsformel B 2 r /Q: je grösser Q, desto schmäler der Durchslassbereich des Filters. Diese Behauptung sollte durch eine Simulation überprüft werden. Für Frequenzen r nimmt die Amplitude von u 2 t gegenüber der von u t um den Faktor 0 pro Dekade zu. Dies entspricht einer Steigung von +20 db/dk. Signale mit Frequenzen unterhalb r werden entsprechend unterdrückt. Für Frequenzen r nimmt die Amplitude von u 2 t gegenüber der von u t um den Faktor 0 pro Dekade ab. Dies entspricht einer Steigung von 20 db/dk. Signale mit Frequenzen oberhalb r werden ebenfalls entsprechend unterdrückt. Bei der Frequenz r ist u 2 t gleich der Skalierung von u t mal k. Signale mit Frequenzen im Bereich r ± werden abgesehen von der durch k erzeugten Dämpfung bzw. Verstärkung praktisch unverändert durchgelassen. 2. Messaufgaben 2.. Tiefpassfilter erster Ordnung Dimensionieren Sie ein Tiefpassfilter mit einer von ihnen gewählten Grenzfrequenz f g z.b. f g 000 Hz. a Wählen Sie einen Kondensator der Kapazität aus dem vorhandenen Sortiment und bestimmen Sie den benötigten Widerstandswert R. Der erhaltene Widerstandswert sollte grösser als 500 Ω und kleiner als 50 kω sein, damit einerseits der Funktionsgenerator nicht stark belastet wird und andererseits die Messgeräteimpedanz das Ausgangssignal des Tiefpassfilters nicht beeinflusst wird. Korrigieren Sie falls notwendig Ihre Wahl der Kapazität. b Der Kapazitätswert von Kondensatoren hat relativ grosse Herstellungstoleranzen. Messen Sie deshalb mit dem RL-Meter nach. Bestimmen Sie ausgehend von diesem Messwert erneut den nötigen Widerstandswert R. c Ausgehend von den gewählten und ausgemessenen Komponentenwerten, soll das Bodediagramm auf drei verschiedene Weisen ermittelt und in einer MATLAB-Figure dargestellt werden: Das Bodediagramm soll durch zwei Geraden angenähert werden. Hinweis: Eine Gerade zwischen den beiden Punkte x, y und x 2, y 2 kann mit Hilfe der MATLAB- Anweisung plot[x_,x_2],[y_,y_2] erzeugt werden. Für die Übertragungsfunktion soll ein analytischer Ausdruck angegeben werden. Werten Sie diese Übertragungsfunktion aus und stellen Sie Sie mit Hilfe von MATLAB als Bodediagramm dar. Messen Sie den Amplituden- und Phasengang bei verschiedenen Frequenzwerten zwischen f g /0 und 0f g und tragen Sie die gemessenen Punkte in die MATLAB-Graphiken ein.

6 , Praktikum 2. Frequenzverhalten, 6 Diskutieren Sie Qualität der Übereinstimmung der auf unterschiedlichen Wege erzeugten Bodediagramme? 2.2. Tiefpassfilter zweiter Ordnung Dimensionieren Sie ein Tiefpassfilter für eine von Ihnen frei gewählten Resonanzfrequenz f r nach unten stehendem Rezept. Für die Realisierung einer Induktivität steht eine Luftspule mit den seriellen Nennwerten L S 2 mh und R S Ω zur Verfügung. R R S L S f Spule 2 f Abbildung 4: RL-Serieschwingkreis als Tiefpassfilter a Wählen Sie die Resonanzkreisfrequenz des Serieschwingkreises: 0 2πf r. b Ermitteln Sie messtechnisch die seriellen Parameter L S und R S der vorhandenen Spule. c Ermitteln Sie den für die Resonanzfrequenz benötigten Kapazitätswert. Wählen Sie einen Kondensator aus dem vorhandenen Sortiment dessen Kapazitätswert am nächsten zum gewünschten Wert liegt. Kombinieren Sie, falls nötig, mehrere Kondensatoren um die gewünschte Kapazität zu erreichen. d Bestimmen Sie den benötigten Widerstand R, um einen Gütefaktor von Q 7 zu erhalten. Im Gesamtwiderstand R des Schwingkreises ist der Spulenwiderstand R S mit zu berücksichtigen. Erzeugen Sie, ausgehend von den gewählten und ausgemessenen Komponentenwerten, das Bodediagramm des Filters mit Hilfe eins MATLAB -Skripts. Messen Sie den Amplituden- und Phasengang bei einzelnen, verschiedenen Frequenzwerten zwischen f r /0 und 0f r und tragen Sie die gemessenen Punkte in die Graphiken ein. Tragen Sie ebenfalls die gerechneten Verläufe für den Amplituden- und Phasengang in die entsprechenden Graphiken ein und vergleichen Sie die gerechneten mit den empirischen Werten Bandpassfilter mit Parallelresonanzkreis Dimensionieren Sie ein Bandpassfilter mit dem Passband f m ± f nach unten stehendem Rezept. f m ist die Mittenfrequenz und B 2 f die 3 db-bandbeite. Für die Realisierung einer Induktivität steht eine Luftspule mit den seriellen Nennwerten L S 2 mh und R S Ω zur Verfügung. a Wählen Sie die Resonanzkreisfrequenz des Schwingkreises entsprechend der gewünschten Mittenfrequenz: r 2πf m.

7 , Praktikum 2. Frequenzverhalten, 7 R f R 2 R P L P 2 f Spule Abbildung 5: RL-Parallelschwingkreis als Bandpassfilter b Ermitteln Sie messtechnisch die seriellen Parameter L S und R S der vorhandenen Spule. m den Einfluss des Spulenwiderstands R S formal einfach zu berücksichtigen, kann das Parallelmodell der Spule bestimmt werden. Dabei kann der umgerechnete Spulenwiderstand R P zum Schwingkreiswiderstand R 2 parallel geschaltet werden. Berechnen Sie also die Parallelersatzgrössen L P und G P /R P der Spule für die Resonanzfrequenz r / L S mit den folgenden Gleichungen: L P R2 S + 2 rl 2 S rl 2 2 L S S R P R2 S + 2 rl 2 S RS 2 R S bzw. L P + Q2 L R P Q 2 L + Q 2 L L S R S mit Q L rl S R S Spulengüte Hängt die Resonanzfrequenz R wesentlich davon ab ob mit L S oder mit L P wird? gerechnet c Ermitteln Sie den für die Resonanzfrequenz r / L P benötigten Kapazitätswert. Wählen Sie einen Kondensator aus dem vorhandenen Sortiment für den der Kapazitätswert am nächsten zum gewünschten liegt. d Die Widerstände R und R 2 sollten beide die Nennwerte 600 Ω aufweisen. Messen Sie die tatsächlichen Werte nach. e Ermitteln Sie den Gütefaktor des Schwingkreises: Q G + G 2 + G P Damit kann die 3 db-bandbreite B f 2 f aus dem folgenden Zusammenhang bestimmt werden: B f f m Q f Die Dämpfung / 2 /k des Filters bei f m ergibt sich aus: k L P G G +G 2 +G P

8 , Praktikum 2. Frequenzverhalten, 8 Erzeugen Sie, ausgehend von den gewählten und ausgemessenen Komponentenwerten, das Bodediagramm des Filters mit Hilfe eines MATLAB -Skripts. Messen Sie den Amplituden- und Phasengang bei einzelnen, verschiedenen Frequenzwerten in einem nützlichen Bereich und tragen Sie die gemessenen Punkte in die Graphiken ein. Überprüfen Sie mit dem MATLAB -Skript, welchen Einfluss das Verwenden eines parallelen Spulenersatzmodells zur Bestimmung des Frequenzverhaltens des Filters gegenüber dem wirklichlichkeitsnäheren seriellen Modell hat. A. Bandbreite des Bandpassfilters m zu Kennzeichnen, dass die Übertragungsfunktion H von der normierten Kreisfrequenz Ω abhängt, verwenden wir die unmissverständliche Notation H Ω Ω. Bei der Resonanzfrequenz Ω gilt H Ω jω/q + jω/q + jω 2 Ω j/q + j/q. Bei der 3 db Grenzfrequenz Ω Ω g gilt H Ω Ω g 2 H Ω, bzw. jω g /Q 2 + jω g /Q + jω g 2 Ω 2 g/q 2 Ω 2 g 2 + Ω g /Q 2 2. Multiplikation der rechten Gleichung in mit dem Faktor 2[ Ω 2 g 2 + Ω g /Q 2 ] mit anschliessender Vereinfachung liefert den Schluss nter der Annahme, dass < Ω g folgt daraus mit der Lösung Ω 2 g 2 Ω g /Q 2. Ω 2 g Ω g /Q Ω g,,2 2Q ± 4Q 2 +, wobei nur das positive Vorzeichen physikalisch sinnvoll ist. Mit : r Ω g r folgt nter der Annahme 4Q 2 folgt: [ ] r 2Q + 4Q 2 +. r 2Q. Zu zeigen, dass dieser letzte Schritt richtig ist, ist gar nicht so einfach.