Technische Universität Ilmenau Fakultät für Elektrotechnik und Informationstechnik. Hausaufgabe

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1 Technische Universität Ilmenau Fakultät für Elektrotechnik und Informationstechnik Hausaufgabe im Fach Grundlagen der Schaltungstechnik (WS09/0) Bearbeiter Mat.-nr. adresse Aufgabe erreichte Punkte mögliche Punkte Kommentar. Aufgabe. Aufgabe 3. Aufgabe 4. Aufgabe 5. Aufgabe 6. Aufgabe 7. Aufgabe 8. Aufgabe 9. Aufgabe Gesamt

2 Hausaufgabe Abgabetermin: Dienstag, den , 8.30 Uhr (nach der Vorlesung) Durch die freiwillige Abgabe der korrekten Lösung dieser Hausaufgabe bis zum oben genannten Termin können Sie Bonuspunkte für die Klausur am Ende dieses Semesters verdienen (ca. 5 bis 0 Prozent der Gesamtpunkte). Zur Selektion von Signalen werden in der Informations- und Nachrichtentechnik vorrangig Filter eingesetzt. Diese können sowohl passiv (ohne verstärkendes Element) als auch aktiv (mit Verstärker, z.b. OPV, Transistor) aufgebaut werden. Ein Beispiel für ein aktives Filter ist das Tow-Thomas Biquad Filter, das auch in vereinfachter Form in der Hausaufgabe betrachtet werden soll. Die Übertragungsfunktion des Biquad Filters hat folgende Struktur: a0 + as+ as Hs () = ω0 ω0 + s + s Q Dieses Filter wird Biquad genannt, da der Zähler und Nenner jeweils ein quadratisches Polynom in Abhängigkeit von s enthält, d.h. eine DGL. Ordnung. ω 0 wird im Filterdesign als Cut-Off Frequenz bezeichnet, die allerdings im Regelfall eines komplexen Polpaares nicht der 3 db Grenzfrequenz entspricht. Q ist die Polgüte oder Quality- Polstelle Im{s} 5 0 Bode Diagramm Q = 0 5 Q = 5 w 0 j w - 4 Q 0 Re{s} Amplitude (db) Q = Q = 0.8 Q = w 0 Q Frequenz (Hz) Abbildung : Zusammenhang zwischen Polstellenlagen und Frequenzgang R 3 R C 3 C R C f R R f R 4 V in R 5 R 6 V out Abbildung : Tow-Thomas Biquad Filter Factor und gibt Auskunft darüber, wie stark ein Peak im Frequenzgang ausgeprägt ist, siehe Bild. Ist Q tritt Peaking auf, unterhalb dieses Wertes nicht. Filter mit einem Nennerpolynom zweiter Ordnung, was auch der Ordnung des Filters entspricht, lassen sich immer auf diese Normalform bringen. In Bild ist das Tow-Thomas Biquad-Filter abgebildet. Mit Hilfe der Normalform kann durch einfachen Koeffizientenvergleich die Cut-Off Frequenz und die Polgüte dieser Schaltung bestimmt werden. Der Vorteil des Tow-Thomas Filters besteht darin, dass sich DC-Verstärkung, Cut-Off-Frequenz und Polgüte unabhängig voneinander einstellen lassen, was das Filter sehr flexibel macht. GST WS09/0 Hausaufgabe

3 In der Hausaufgabe sollen Sie eine vereinfachte Form des Filters betrachten und analysieren. Dabei werden die Widerstände R 5, R 6 sowie die Kapazität C 3 als Leerlauf betrachtet, siehe Bild 3. R 3 R R 4 C C R R f R f R = 707. kω R = R = 0 kω 3 R = R = kω 4 f C = C = 4. nf V in V out Abbildung 3: Einfacher Tow-Thomas Filter zweiter Ordnung. Übertragen Sie die in Bild 3 dargestellte Schaltung in PSpice oder LTspice. Nutzen Sie als OPV-Modell jeweils eine spannungsgesteuerte Spannungsquelle mit dem Steuerfaktor e5 (00000). Führen Sie nun eine Simulation im Frequenzbereich ( f = Hz 0 MHz ) durch und bestimmen Sie die DC-Verstärkung ( f = 0 Hz ), die HF-Verstärkung ( f ) und die 3 db Grenzfrequenz. Lassen Sie sich das Bodediagramm ausgeben!. Stellen Sie nun das Gleichungssystem mit Hilfe der Superknotenanalyse auf und nutzen Sie das Nullor-Ersatzschaltbild für die Operationsverstärker. Berechnen Sie mit Hilfe von Mathematica die Ausgangsspannung V out symbolisch in Widerstandsformulierung. 3. Bringen Sie die Gleichung für die Ausgangsspannung auf die Normalform für ein Filter zweiter Ordnung und Vout H() 0 Hs () = = V in + s + s ω Q ω 0 0 bestimmen Sie die Cut-Off Frequenz ω 0 und die Polgüte Q symbolisch. Bestimmen Sie H( 0) symbolisch. 4. Setzen Sie die numerischen Werte für Widerstände und Kapazitäten ein und vergleichen Sie die DC-Verstärkung und HF-Verstärkung mit den aus der Simulation ermittelten Daten. 5. Ermitteln Sie numerisch alle Polstellen des Netzwerkes mit Hilfe der Übertragungsfunktion Hs ( ). Entscheiden Sie, ob die Schaltung stabil ist oder nicht. Wie lautet die allgemeine Lösung der homogenen Differentialgleichung des Netzwerkes? 6. Bestimmen Sie H( jω) und daraus die 3 db Grenzfrequenz und vergleichen Sie diese mit der Cut-Off Frequenz. Was stellen Sie fest? Verifizieren Sie die Ergebnisse mit der Simulation! 7. Dimensionieren Sie C und C so um, dass eine Cut-Off Frequenz von f c = 00 khz ( ω 0 = πf c ) erreicht wird und das Filter das Übertragungsverhalten eines Butterworth-Filters aufweist. Das bedeutet, der Winkel zwischen Polstelle und Realteilachse im Pol- und Nullstellendiagramm beträgt ϕ = 45. Welchen Wert hat die Polgüte? Führen Sie anschließend eine Transientsimulation mit der Quelle VPULSE (V=0, V=, TD=0.0m, TR=n, TF=n, PW=0.5m, PER=m) für Perioden durch. 8. Nun dimensionieren Sie C und C erneut, so dass die Cut-Off Frequenz aus Aufgabe 7 beibehalten wird und das Filter ein Übertragungsverhalten eines Besselfilters aufweist. Bei einem Besselfilter ist der Winkel ϕ = 30 zwischen Polstelle und Realteilachse. Welchen Betrag hat nun die Polgüte? Führen Sie wieder eine Transientsimulation mit den Werten für die Spannungsquelle aus Aufgabe 7 durch. Was stellen Sie im Vergleich zu Aufgabe 7 fest? 9. Bestimmen Sie vom Butterworth- und Besselfilter jeweils die 3 db Grenzfrequenz und vergleichen Sie diese mit der Cut-Off Frequenz. Was stellen Sie fest? GST WS09/0 Hausaufgabe

4 Eine vollständige Lösung umfasst:.) Ein Plot, A DC, A, f 3dB.) KSESB; SNA; Matrix-Gleichungssystem, symbolische Übertragungsfunktion 3.) Gleichung in Normalform, ω 0 symbolisch, Q symbolisch, A DC symbolisch A DC A 4.) numerische Werte für und aus Gleichung 5.) numerische Polstellen und Entscheidung ob stabil oder nicht; allgemeine Lösung der homogenen DGL 6.) H( jω) symbolisch, f 3dB aus H( jω) numerisch bestimmt und Vergleich mit f c und der Simulation 7.) C, C, Q 8.) C, C, Q und Plot mit Transientsimulation und Plot mit Transientsimulation 9.) f 3dB für Bessel- und Butterworthfilter und der Vergleich mit f c Drucken Sie bitte zusätzlich noch die zur Berechnung verwendeten Mathematica-Notebooks aus und versehen Sie alle Dokumente mit der jeweiligen Aufgabennummer, Ihrem Vor- und Zunamen sowie Ihrer Matrikelnummer. Füllen Sie bitte unbedingt das angefügte Deckblatt aus und heften Sie es vorn an Ihre Unterlagen an. Die Arbeit in Gruppen bis zu fünf Personen ist erlaubt und sogar erwünscht. Bitte geben Sie dann nur ein Exemplar ab. Hinweise zu Mathematica: Alle benötigten Befehle finden Sie in dem unten gezeigten Beispiel. Für weitere Befehle und Hinweise nutzen Sie den Mathematica Help-Browser. Auf unserer Homepage findet sich auch ein kleiner Mathematica Einführungskurs. Wichtig - zwei mfme : Underscores _ dürfen nicht in Variablendeklarationen verwendet werden! Und noch ein Hinweis: MatrixForm darf nicht in der Zuweisung stehen (auch wenn es bequem erscheint und scheinbar zunächst funktioniert), also nicht AInv = Inverse[A]//MatrixForm, sondern nur so, wie nachfolgend angewendet. Ansonsten passiert bei der nächsten Operation mit der Matrix nichts. Lösen eines Gleichungssystems in MatrixForm a a In[]:= A a3 a4 ; b b b ; Ainv InverseA; c Ainv.b; MatrixFormc Out[4]//MatrixForm= a b a4 b a a3a a4 a a3a a4 a b a a3a a4 a3 b a a3a a4 Lösen von Gleichungen symbolisch/numerisch In[5]:= sol Solvex c x c0 0, x Out[5]= x c 4c0 c, x c 4c0 c. most frequently made errors :-) GST WS09/0 Hausaufgabe 3

5 Lösen von Gleichungen numerisch In[6]:= Out[6]= sol NSolvex^5 x 3 0, x x.436, x , x , x , x Zugriff auf Elemente in den Lösungen In[7]:= elem x. sol Out[7]= c 4c0 c oder (bei Ergebnissen ohne Rule () Operator) In[8]:= Out[8]= elem c a b a a3 a a4 a4 b a a3 a a4 Einsetzen von Werten / Liste von Werten In[9]:= Out[9]= values c0 4, c elem. values c0 4, c Out[0]= 3 Grenzwertbildung In[]:= grenzwert Limit x n ^n, n Infinity Out[]= x Falls Sie Fragen oder Hinweise zur Hausaufgabe haben, melden Sie sich bitte rechtzeitig vor dem Abgabetermin per an {dominik.krausse, eric.schaefer}@tu-ilmenau.de. GST WS09/0 Hausaufgabe 4