Prüfung zur Vorlesung Signalverarbeitung am Name MatrNr. StudKennz.

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1 442.0 Signalverarbeitung (2VO) Prüfung Institut für Signalverarbeitung und Sprachkommunikation Prof. G. Kubin Technische Universität Graz Prüfung zur Vorlesung Signalverarbeitung am Name MatrNr. StudKennz. Prüfungsdauer: 3 Stunden Erreichbare Punkte: 00 Erlaubtes Material: Formelsammlung (wird ausgeteilt), mathematische Formelsammlung, Taschenrechner Die Angabeblätter und die Formelsammlung müssen am Schluß wieder abgegeben werden! Theoriefragen (20 Punkte) (a) Welche Signale sind Eigensignale von zeitdiskreten LTI-Systemen? Was zeichnet ein Eigensignal aus? (b) Welche Eigenschaften besitzt die Impulsantwort h[n] eines zeitdiskreten LTI-Systems, wenn dessen Fourier-Transformierte H(e j ). nullphasig (d.h. H(e j ) R), bzw. 2. linearphasig ist? Beantworten Sie weiters, ob das System im jeweiligen Fall kausal sein kann oder nicht (Begründen Sie Ihre Antwort). (c) Warum kann man einen idealen, zeitdiskreten Tiefpass nicht realisieren? Die DTFT eines idealen Tiefpasses mit Grenzfrequenz c (0,π) ist dabei wie folgt gegeben: { H(e j, < c ) = 0, sonst Hinweis: Welche zwei Eigenschaften hätte seine Impulsantwort?

2 442.0 Signalverarbeitung (2VO) Prüfung (d) Betrachten Sie das untenstehende Pol-/Nullstellendiagramm. Nehmen Sie an, dass das System kausal ist. Was k nnen Sie über das System sagen (FIR/IIR, Stabilität, Ordnung, reell/komplex)? Zeichnen Sie den Konvergenzbereich der z-transformation ein! I{z} R{z} (e) Ein LTI System H{ } ist genau dann stabil, wenn seine Impulsantwort h[n] absolut summierbar ist, d.h. wenn k= h[n] <. Was bedeutet Stabilität eines Systems? Zeigen Sie, dass aus der absoluten Summierbarkeit der Impulsantwort die Stabilität des Systems folgt (Hinweis: Beginnen Sie mit y[n] = k= h[k]x[n k] und folgern Sie, dass y[n] < für alle beschränkten Eingangssignale x[n]).

3 442.0 Signalverarbeitung (2VO) Prüfung Aufgabe (20 Punkte) Es soll mittels Bilinear-Transformation ein zeitdiskretes Tiefpassfilter entworfen werden, das folgendes Toleranzschema einhält: H(e j ) A π 0.8π π Der quadratische Betragsfrequenzgang eines zeitkontinuierlichen Butterworth-Filters ist durch die Ordnung N und die Grenzfrequenz ω c bestimmt und lautet H c (jω) 2 = Die faktorisierte Übertragungsfunktion H c (s) lautet H c (s) = wobei die Polstellen s p,k, k = 0,...,N, bei liegen. Die Bilinear-Transformation lautet wobei T d = gesetzt werden kann. +(ω/ω c ) 2N. ω N c N k=0 (s s p,k) s p,k = ω c e jπ(+(+2k)/n)/2 s = 2 T d z +z, (a) Zeichnen Sie das Toleranzschema, das das zeitkontinuierliche Filter einhalten muss. Zeigen Sie dazu, dass die Frequenzachse nach folgender Beziehung verzerrt wird: ω = 2 T d tan 2 (b) Durch Zufall wissen wir, dass ein Filter erster Ordnung (N = ) die Spezifikationen erfüllen kann. Berechnen Sie die Grenzfrequenz ω c des zeitkontinuierlichen Filters, sodaß das Toleranzschema eingehalten wird. Lassen Sie den endgültigen Betragsfrequenzgang exakt durch Punkt A gehen.

4 442.0 Signalverarbeitung (2VO) Prüfung (c) Schreiben Sie die Übertragungsfunktion H c (s) an. (d) Führen Sie die Bilinear-Transformation durch und berechnen Sie die Übertragungsfunktion H(z) des zeitdiskreten Filters. (e) Zeichnen Sie das Pol-/Nullstellendiagramm von H(z) und skizzieren Sie den Betragsfrequenzgang H(e j ). Aufgabe 2 (20 Punkte) (a) Zeigen Sie ohne Formelsammlung, dass folgendes Transformationspaar ( Ableitung der z-transformierten ) korrekt ist. n x[n] z z dx(z) dz (b) Gegeben ist die Impulsantwort h[n] eines sogenannten Gammafilters zweiter Ordnung: h[n] = n e B n u[n] wobei u[n] die zeitdiskrete Sprungfunktion der Höhe ist. Bestimmen Sie mit Hilfe von Transformationstabellen bzw. mit Hilfe des Ergebnisses in (a) die z-transformierte H(z) des Filters. (c) Wählen Sie B = 0.. Zeichnen Sie den Pol-/Nullstellenplan und einen qualitativen Betrags- Frequenzgang H(e j ). (d) Der Name Gammafilter kommt daher, daß die Impulsantwort die Form der Gammaverteilung hat. Der normalisierende Faktor wurde jedoch oben weggelassen. Berechnen Sie diesen normalisierenden Faktor, d.h., bestimmen Sie α in h [n] = α n e B n u[n], sodass n=0 h [n] = ist. Hinweis: H (e j ) =0 =...

5 442.0 Signalverarbeitung (2VO) Prüfung Aufgabe 3 (20 Punkte) (a) Bestimmen Sie die Übertragungsfunktion H(z) = Y(z)/X(z) des folgenden Signalflussgraphen: x[n] z rcos rsin rsin rcos y[n] z (b) Für welchen Wertebereich von r und ist H(z) stabil? (c) Skizzieren Sie nun den äquivalenten Direktform I und Direktform II Signalflussgraphen mit selber Übertragungsfunktion H(z). Ermitteln Sie die Koeffizienten a,a 2,b 0,b,b 2 durch Vergleich von H(z) mit H(z) = b 0 +b z +b 2 z 2 a z a 2 z 2 (d) Zeichnen Sie die linear-noise models beider Signalflussgraphen von Aufgabe (c) und vereinfachen Sie sie soweit wie möglich. Vorsicht: NICHT transponierte Direktform II

6 442.0 Signalverarbeitung (2VO) Prüfung Aufgabe 4 (20 Punkte) Betrachten Sie das folgende Übertragungsystem: x 2 [n] x (t) w[n] C/D G(e j ) v[n] y[n] f s = 6000Hz Der Betrag der Fouriertransformierten X 2 (e j ) ist gegeben. Am Ausgang wünschen Sie folgendes Ausgangssignal Y(e j ) zu messen, wobei y[n] = v[n] x 2 [n] sei. X 2 (e j ) Y(e j ) π 3 π 3 π a a π (a) Wählen Sie nun einen geeigneten Wert für a, sodass es zu keinem Aliasing am Ausgang kommt. (b) Welches Signal v[n] wird benötigt um ein entsprechendes Ausgangssignal zu realisieren? Skizzieren Sie die dazugehörige Fouriertransformierte V(e j ). Finden Sie weiters einen möglichst einfachen mathematischen Ausdruck für v[n]. (c) Sie haben nun ein zeitdiskretes, reellwertiges Filter H(e j ) mit = π/6 und der folgenden Frequenzantwort gegeben:, < c H(e j ) = 2 ( + c ), c c + 0. c + < Skizzieren Sie diese Frequenzantwort.

7 442.0 Signalverarbeitung (2VO) Prüfung (d) Am Eingang des Gesamtsystems liegt nun ein Rechtecksignal x (t) mit einer Frequenz von f = 000Hz an. Nach entsprechender Abtastung und Anti-Alias-Filterung sei die Fouriertransformierte W(e j ) gegeben. W(e j ) π 5π 3π π π 8 3π 8 5π 8 π EntwerfenSienuneinzeitdiskretes SystemG(e j )umdaszuvorspezifizierteausgangssignal Y(e j ) zu erhalten. G(e j ) w [n] w [n] w[n] S H(e j ) S 2 v[n] Verwenden Siedazudasobenspezifizierte FilterH(e j )undbestimmen Siedieentsprechende Grenzfrequenz c. Weiters sind für S und S 2 Up- und/oder Down-Sampler zu verwenden. Geben Sie sämtliche gewählte Teilsysteme von G(e j ) an. Hinweis: Wählen Sie a gegebenfalls neu. (e) Skizzieren Sie die Fouriertransformierten W (e j ) und W (e j ). (f) Betrachten Sie nun den C/D- Block am Eingang. Angenommen dieser tastet das gegebene Rechtecksignal x (t) mit einer Frequenz von f s = 6000 Hz ab und ist mit einem idealen Tiefpassfilter versehen um Aliasing zu vermeiden. Würden Sie dieses Filter () vor oder (2) nach den Abtaster schalten? Begründen Sie die Entscheidung und skizzieren Sie für beide Fälle die entsprechende Fouriertransformierte W(e j ). Hinweis: x (t) = π k= sin(2π(2k )f t) 2k = π ( sin(2πf t)+ 3 sin(6πf t)+ 5 sin(0πf t)+ )