2. Eigenschaften dynamischer Systeme

Transkript

1 2. Eigenschaften dynamischer Systeme

2 2.1 Allgemeine Systemeigenschaften

3 2.1.1 Signale

4 2.1.2 Systeme

5 Definition: System Ein System ist ein natürliches oder künstliches Gebilde. Es kann Eingangs-Signale aus der Umwelt entgegennehmen und Ausgangs-Signale an die Umwelt abgeben. SYSTEM

6 Definition: statisches System Ein statisches System ist dadurch gekennzeichnet, dass jeder Ausgangswert y(t) stets ausschließlich von dem zum gleichen Zeitpunkt t anliegenden Eingangswert x(t) abhängt. x(t) y(t) SYSTEM

7 Beispiel statisches System Eingabe-Peripherie (z.b. Tastatur) I-Eingabe Ausgabe-Peripherie (z.b. Bildsc hirm ) I-Ausgabe PS SYSTEM VS I-Nutzung Rechner Informations-Verarbeitung I-Gewinnung VS / % Stell-Peripherie (z.b. Aktoren) A öffnen Elektromotor M Z sc hließen Meß-Peripherie (z.b. Sensoren) Se nso r (Fotozelle) % La m p e PS / % 0 % Sc hie b e r- position PS Flüg elrad Durchfluß Strömungsgeschwindigkeit VS

8 PS SYSTEM VS Definition statische Kennlinie 100 VS / % Als statische Kennlinie wird die Funktion einer Ausgangsgröße von der Eingangsgröße bezeichnet, z. B. VS=f(PS) oder allgemein y = f(x) PS / %

9 Messungen an einer realen Maschine x y Eingangssignal x(t) Ausgangssignal y(t)

10 Statisches Systemmodell dieser Maschine x? y statische Kennlinie y=f(x) Approximationsfehler

11 SYSTEM statisch Es wird der Zusammenhang von Ausgangs- und Eingangssignal im eingeschwungenen Zustand betrachtet: y ( t ) y = f (x) dynamisch Es wird der Zusammenhang von Ausgangs- und Eingangssignal als Funktion der Zeit ( t ) betrachtet: y y(t) = f (x(t)) = f(t) Kennlinie x Kennfunktion t

12 Bsp.: Festzinsanlage x EUR Einzahlung? y EUR Kontostand x y ,4 0 17, ,73

13 Beispiel dynamisches System Ein dynamisches System ist dadurch gekennzeichnet, dass sein Ausgangssignal y(t) vom Eingangssignal x(t) und dem inneren Zustand q(t) abhängt. x(t) SYSTEM y(t) q(t) Den Zustand eines Systems kann man sich als eine Art Gedächtnis vorstellen, das die Vorgeschichte gespeichert hat. x y t SYSTEM t

14 Wer hat den Fehler in der vorhergehenden Folie entdeckt?

15 statisch dynamisch Systemklassen

16 Definition: zeitdiskretes System Ein zeitdiskretes System operiert über Zahlenfolgen (zeitdiskreten Signalen). Besitzt ein solches System einen Eingang und einen Ausgang, so verknüpft es eine Eingangsfolge x(j) mit einer Ausgangsfolge y(i). Systeme ohne zeitdiskretes Verkalten werden zeitkontinuierliche genannt. x(j) y(i) SYSTEM x y t k t t k t

17 Falls System an einen Rechner angeschlossen ist Prozess x(t) Sensoren Meßwerterfassungsperipherie wert- und zeit-diskrete Signale x * (t k ) = abstrakte Zahlen Software führt zeitdiskret Algorithmus aus stellt y * (t k ) als Ergebnis bereit Stellperipherie Rechner TASK y * [t k ] = f(x * [t k ],q * [t k ]) Steuerwertausgabe System

18 zeitkontinuierlich zeitdiskret statisch dynamisch Systemklassen

19 Stark bzw. schwach kausale Systeme

20 SYSTEM schwach Kausalität stark reagieren auf gleiche Ursachen x auch stets mit gleichen Wirkungen y SYSTEM

21 SYSTEM schwach reagieren auf gleiche Ursachen x auch stets mit gleichen Wirkungen y Kausalität stark reagieren auf ähnliche Ursachen x auch stets mit ähnlichen Wirkungen y SYSTEM SYSTEM

22 SYSTEM schwach reagieren auf gleiche Ursachen x auch stets mit gleichen Wirkungen y Kausalität stark reagieren auf ähnliche Ursachen x auch stets mit ähnlichen Wirkungen y SYSTEM SYSTEM häufig bei künstlichen Gebilden z.b. Sprache:{Kopf, Zopf, Topf} Rechner: keine Redundanz häufig in der Natur: {Idealfall: lineare Systeme}

23 SYSTEM nichtlinear Das Superpositionsprinzip gilt nicht : linear Es gilt das Superpositionsprinzip:

24 Definition: lineares statisches System Ein statisches System ist linear, wenn für die aktuellen Werte der Überlagerungssatz gilt (Additivität) f(x 1 + x 2 ) = f(x 1 ) + f(x 2 ) Statische Systeme, für die der Überlagerungssatz nicht gilt, heißen nichtlinear. VS / % linear Eingabe-Peripherie (z.b. Tastatur) Ausgabe-Peripherie (z.b. Bildschirm) I-Eingabe I-Ausgabe 100 Rechner Informations-Verarbeitung I-Nutzung I-Gewinnung Ste ll-pe rip he rie (z.b. Aktoren) A öffnen Elektromotor M 100 % Z sc hließen Meß-Peripherie (z.b. Sensoren) Se nso r (Fotozelle) La m p e PS / % 0 % Sc hie b e r- position Flüg elrad Durc hfluß Strömungsgeschwindigkeit VS

25 Definition: lineares statisches System Ein statisches System ist linear, wenn für die aktuellen Werte der Überlagerungssatz gilt (Additivität) f(x 1 + x 2 ) = f(x 1 ) + f(x 2 ) Statische Systeme, für die der Überlagerungssatz nicht gilt, heißen nichtlinear. VS / % linear x 1 =2 f(x 1 ) =6 Eingabe-Peripherie (z.b. Tastatur) Ausgabe-Peripherie (z.b. Bildschirm) I-Eingabe I-Ausgabe 100 Rechner Informations-Verarbeitung I-Nutzung I-Gewinnung Ste ll-pe rip he rie (z.b. Aktoren) A öffnen Elektromotor M 100 % Z sc hließen Meß-Peripherie (z.b. Sensoren) Se nso r (Fotozelle) La m p e PS / % 0 % Sc hie b e r- position Flüg elrad Durc hfluß Strömungsgeschwindigkeit VS

26 Definition: lineares statisches System Ein statisches System ist linear, wenn für die aktuellen Werte der Überlagerungssatz gilt (Additivität) f(x 1 + x 2 ) = f(x 1 ) + f(x 2 ) Statische Systeme, für die der Überlagerungssatz nicht gilt, heißen nichtlinear. VS / % linear Eingabe-Peripherie (z.b. Tastatur) Ausgabe-Peripherie (z.b. Bildschirm) x 1 =2 f(x 1 ) =6 x 2 =5 f(x 2 ) =15 I-Eingabe I-Ausgabe 100 Rechner Informations-Verarbeitung I-Nutzung I-Gewinnung Ste ll-pe rip he rie (z.b. Aktoren) A öffnen Elektromotor M 100 % Z sc hließen Meß-Peripherie (z.b. Sensoren) Se nso r (Fotozelle) La m p e PS / % 0 % Sc hie b e r- position Flüg elrad Durc hfluß Strömungsgeschwindigkeit VS

27 Definition: lineares statisches System Ein statisches System ist linear, wenn für die aktuellen Werte der Überlagerungssatz gilt (Additivität) f(x 1 + x 2 ) = f(x 1 ) + f(x 2 ) Statische Systeme, für die der Überlagerungssatz nicht gilt, heißen nichtlinear. VS / % linear Eingabe-Peripherie (z.b. Tastatur) Ausgabe-Peripherie (z.b. Bildschirm) x 1 =2 f(x 1 ) =6 x 2 =5 f(x 2 ) =15 I-Eingabe I-Ausgabe 100 I-Nutzung Ste ll-pe rip he rie (z.b. Aktoren) A öffnen Elektromotor M Rechner Informations-Verarbeitung Z sc hließen I-Gewinnung Meß-Peripherie (z.b. Sensoren) Se nso r (Fotozelle) x 1 +x 2 =7 100 % La m p e PS / % 0 % Sc hie b e r- position Flüg elrad Durc hfluß Strömungsgeschwindigkeit VS

28 Definition: lineares statisches System Ein statisches System ist linear, wenn für die aktuellen Werte der Überlagerungssatz gilt (Additivität) f(x 1 + x 2 ) = f(x 1 ) + f(x 2 ) Statische Systeme, für die der Überlagerungssatz nicht gilt, heißen nichtlinear. VS / % linear Eingabe-Peripherie (z.b. Tastatur) Ausgabe-Peripherie (z.b. Bildschirm) x 1 =2 f(x 1 ) =6 x 2 =5 f(x 2 ) =15 I-Eingabe I-Ausgabe 100 I-Nutzung Ste ll-pe rip he rie (z.b. Aktoren) A öffnen Elektromotor M Rechner Informations-Verarbeitung Z sc hließen I-Gewinnung Meß-Peripherie (z.b. Sensoren) Se nso r (Fotozelle) x 1 +x 2 =7 f(x 1 )+f(x 2 ) = % La m p e PS / % 0 % Sc hie b e r- position Flüg elrad Durc hfluß Strömungsgeschwindigkeit VS

29 Definition: lineares statisches System Ein statisches System ist linear, wenn für die aktuellen Werte der Überlagerungssatz gilt (Additivität) f(x 1 + x 2 ) = f(x 1 ) + f(x 2 ) Statische Systeme, für die der Überlagerungssatz nicht gilt, heißen nichtlinear. VS / % linear Eingabe-Peripherie (z.b. Tastatur) Ausgabe-Peripherie (z.b. Bildschirm) x 1 =2 f(x 1 ) =6 x 2 =5 f(x 2 ) =15 I-Eingabe I-Ausgabe 100 I-Nutzung Ste ll-pe rip he rie (z.b. Aktoren) A öffnen Elektromotor M Rechner Informations-Verarbeitung Z sc hließen I-Gewinnung Meß-Peripherie (z.b. Sensoren) Se nso r (Fotozelle) x 1 +x 2 =7 f(x 1 )+f(x 2 ) = % La m p e f(x 1 + x 2 ) = PS / % 0 % Sc hie b e r- position Flüg elrad Durc hfluß Strömungsgeschwindigkeit VS

30 Definition: lineares statisches System Ein statisches System ist linear, wenn für die aktuellen Werte der Überlagerungssatz gilt (Additivität) f(x 1 + x 2 ) = f(x 1 ) + f(x 2 ) Statische Systeme, für die der Überlagerungssatz nicht gilt, heißen nichtlinear. VS / % linear Eingabe-Peripherie (z.b. Tastatur) Ausgabe-Peripherie (z.b. Bildschirm) x 1 =2 f(x 1 ) =6 x 2 =5 f(x 2 ) =15 I-Eingabe I-Ausgabe 100 I-Nutzung Ste ll-pe rip he rie (z.b. Aktoren) A öffnen Elektromotor M Rechner Informations-Verarbeitung Z sc hließen I-Gewinnung Meß-Peripherie (z.b. Sensoren) Se nso r (Fotozelle) x 1 +x 2 =7 f(x 1 )+f(x 2 ) = % La m p e f(x 1 + x 2 ) = PS / % 0 % Sc hie b e r- position Flüg elrad Durc hfluß Strömungsgeschwindigkeit VS f(x 1 + x 2 ) = f(x 1 ) + f(x 2 )

31 Definition: lineares statisches System Ein statisches System ist linear, wenn für die aktuellen Werte der Überlagerungssatz gilt (Additivität) f(x 1 + x 2 ) = f(x 1 ) + f(x 2 ) Statische Systeme, für die der Überlagerungssatz nicht gilt, heißen nichtlinear. VS / % Gegenbeispiel: Eingabe-Peripherie (z.b. Tastatur) I-Eingabe Ausgabe-Peripherie (z.b. Bildschirm) I-Ausgabe 100 Rechner Informations-Verarbeitung I-Nutzung I-Gewinnung Ste ll-pe rip he rie (z.b. Aktoren) A öffnen Elektromotor M 100 % Z sc hließen Meß-Peripherie (z.b. Sensoren) Se nso r (Fotozelle) La m p e PS / % 0 % Sc hie b e r- position Flüg elrad Durc hfluß Strömungsgeschwindigkeit VS

32 Definition: lineares statisches System Ein statisches System ist linear, wenn für die aktuellen Werte der Überlagerungssatz gilt (Additivität) f(x 1 + x 2 ) = f(x 1 ) + f(x 2 ) Statische Systeme, für die der Überlagerungssatz nicht gilt, heißen nichtlinear. VS / % Gegenbeispiel: Gegenbeispiel: Eingabe-Peripherie (z.b. Tastatur) Ausgabe-Peripherie (z.b. Bildschirm) 100 I-Eingabe I-Nutzung Ste ll-pe rip he rie (z.b. Aktoren) A öffnen Elektromotor M 100 % Rechner Informations-Verarbeitung Z sc hließen I-Ausgabe I-Gewinnung Meß-Peripherie (z.b. Sensoren) Se nso r (Fotozelle) La m p e lineare Funktion y = ax + b G = y/x nicht konst PS / % 0 % Sc hie b e r- position Flüg elrad Durc hfluß Strömungsgeschwindigkeit VS

33 allgemeine Betrachtung (auch für dynamische Systeme) SYSTEM nichtlinear Das Superpositionsprinzip gilt nicht : y 1 = f( x 1 (t)) y 2 = f( x 2 (t)) y y 1 + y 2 = f( x 1 (t)) + f( x 2 (t)) linear Es gilt das Superpositionsprinzip: y 1 = f( x 1 (t)) y 2 = f( x 2 (t)) y = y 1 + y 2 = f( x 1 (t)) + f( x 2 (t)) y(t) f( x 1 (t) + x 2 (t)) y(t) = f( x 1 (t) + x 2 (t) ) Lineare Systeme werden durch linerae Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten beschrieben

34 x 1 (t) f(x 1 (t)) x 2 (t) t f(x 2 (t)) t t t x 1 (t) + x 2 (t) f(x 1 (t) + x 2 (t)) t t Verhalten eines linearen Systems (Superposition)

35 x G y Was ist G i?: G i kennzeichnet das Übertragungsverhalten eines Systems in einem transformierten Bereich

36 x G y Für statische Systeme gilt: G i = k i : statischer Übertragungsfaktor / Verstärkung y= G* x= k * x

37 linear nichtlinear kontinuierlich diskontinuierlich statisch dynamisch Systemklassen

38 2.1.3 Signalflußgraphen

39 Systeme werden mittels Signalen an den Schnittstellen verbunden, y 1 Gesamtsystem x 1 x 2 x 3 x n-1 x n TS 1 TS 2 TS n Identität: y 1 =x 2 d.h. das Ausgangssignal eines Teilsystems TS wird Eingangssignal des folgenden Teilsystems.

40 Beispiel für Prozess: Mechanik einer Maschine

41 MATLAB/Simulink HIL - Simulationsmodell

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44 Sowohl Prozess (Mechanik) als auch Software (Bordelektronik) werden mit Signalflussgraph-Modellen entworfen

45 Beispiel: Vernetzte Gebäudeautomation

46 Beispiel: Vernetzte Gebäudeautomation

47 Komplexe Netze im Gebäude: Hardware- und Software-Komponenten (bis zu ) Lüftung Anwesenheit Sicherheit Verteilte Funktionen Heizung Kühlung Kooperation vieler Branchen (Gewerke) über das Netz Verschattung Sanit Automations-Netzwerk Sicherheit Beleuchtung Lüftung Zutrittskontrolle Lü

48 Räumlich verteilte Hardware-/Software-Strukturen über das Netz räumlich auf viele Rechnerknoten verteilt komplex vermaschte Daten-, Steuer- und Kommandoflüsse

49 Entwurfstool für Gebäudenetze blau: Softwareobjekte grün: Hardware (Netzknoten)

50 Entwurfstool für Gebäudenetze

51 Reihenschaltung: G 1 G 2 G 3 x 1 x 2 x 3 y Für statische Systeme gilt: G i = k i : statischer Übertragungsfaktor / Verstärkung x 2 = G 1 * x 1 = k 1 * x 1 x 3 = G 2 * x 2 = k 2 * x 2... n i i ges ges k k k k k x x k k k x x k k k x x k k x x k x y k *

52 Parallelschaltung: G 1 y 1 y k 1 1x1 x 1 G 2 y 2 + y y k 2 2 x1 y y y y n..... G n y n y n k n x 1 y k 1 x1 k2 x1... kn x1 n k ges k i i 1

53 Rückkopplungsschaltung: v = Mitkopplung Gegenkopplung a x b x a y v b G 1 G 2 y k 1a b k 2 y a x b x k2 y y k x k ) 1 ( 2 y y( 1 k1 k2 ) k1x k ges y x k 1 1 k k 1 2

54 Rückkopplungsschaltung: v = Mitkopplung Gegenkopplung x a y v b G 1 G 2 Bei welcher Parameter-Konstellation könnte es in der Praxis Probleme geben? k ges y x k 1 1 k k 1 2

55 x Umformregeln für lineare Systeme: Vertauschbarkeit: G 1 G y x 2 G 2 G 1 y Verschiebbarkeit: x 1 x 1 G G y y x 2 x 2 G

56 Vertauschbarkeit: k 1 x G x 1 NL y x NL x 2 G y 100 k*100 (k*100) (100) 2 k*(100) 2

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