2.3 Theorie linearer Systeme

Transkript

1 2.3 Theorie linearer Syseme

2 2.3.1 Grundsäzliche Mehode

3 Mehode: Berechnung durch Zerlegen in einfach berechenbare Teile (Superposiion) x() = x 1 ()+x 2 ()+x 3 ()+.. y() = y 1 ()+y 2 ()+y 3 ()+.. zerlegen x? y überlagern einzeln berechnen

4 Mehode: Berechnung durch Zerlegen in einfach berechenbare Teile (Superposiion) x() = x 1 ()+x 2 ()+x 3 ()+.. y() = y 1 ()+y 2 ()+y 3 ()+.. zerlegen x? y überlagern Definiion: Elemenarsignal Uner einem Elemenarsignal verseh man eine Klasse von Zeifunkionen, aus denen jeder beliebige Signalverlauf zusammensezbar is. einzeln berechnen

5 Mehode: Berechnung durch Zerlegen in einfach berechenbare Teile (Superposiion) x() = x 1 ()+x 2 ()+x 3 ()+.. zerlegen x? y x 1 () x 2 () x 3 ()..

6 Mehode: Berechnung durch Zerlegen in einfach berechenbare Teile (Superposiion) x() = x 1 ()+x 2 ()+x 3 ()+.. zerlegen x? y x 1 () y 1 () x 2 () x 3 ().. einzeln berechnen

7 Mehode: Berechnung durch Zerlegen in einfach berechenbare Teile (Superposiion) x() = x 1 ()+x 2 ()+x 3 ()+.. zerlegen x? y x 1 () x 2 () y 1 () y 2 () x 3 ().. einzeln berechnen

8 Mehode: Berechnung durch Zerlegen in einfach berechenbare Teile (Superposiion) x() = x 1 ()+x 2 ()+x 3 ()+.. zerlegen x? y x 1 () x 2 () y 1 () y 2 () x 3 ().... y 3 () einzeln berechnen

9 Mehode: Berechnung durch Zerlegen in einfach berechenbare Teile (Superposiion) x() = x 1 ()+x 2 ()+x 3 ()+.. y() = y 1 ()+y 2 ()+y 3 ()+.. zerlegen x? y überlagern x 1 () y 1 () x 2 () y 2 () x 3 ().... y 3 () einzeln berechnen

10 2.3.2 Güligkeisvoraussezungen

11 Drei Forderungen an Elemenarsignale: 1. Jedes vernünfige Eingangssignal muss sich aus ihnen zusammensezen lassen Für Recheck-Impulse erfüll y y(- ) y() 2. Sie müssen mahemaisch einfach behandelbar sein Für Recheck-Impulse erfüll 3. Sie müssen experimenell leich nachgebilde werden können Für Recheck-Impulse erfüll

12 Drei Forderungen an die Syseme: 1. Kausaliä in naürlichen Sysemen immer erfüll 2. Zeiinvarianz Alerung, Drif, innere Veränderungen müssen vernachlässigbar sein 3. Lineariä Nichlineariäen müssen vernachlässigbar sein

13 Definiion: Kausaliä Ein Sysem wird kausal genann, wenn jedes Ausgangssignal y() bis zu irgendeinem Zeipunk 1 ausschließlich vom Verlauf des zugehörigen Eingangssignals x() bis zu diesem Zeipunk abhäng

14 Drei Forderungen an die Syseme: 1. Kausaliä in naürlichen Sysemen immer erfüll 2. Zeiinvarianz Alerung, Drif, innere Veränderungen müssen vernachlässigbar sein 3. Lineariä Nichlineariäen müssen vernachlässigbar sein

15 Zeiinvarianz: x 1 () f(x 1 ()) x 2 () f(x 2 ())

16 Drei Forderungen an die Syseme: 1. Kausaliä in naürlichen Sysemen immer erfüll 2. Zeiinvarianz Alerung, Drif, innere Veränderungen müssen vernachlässigbar sein 3. Lineariä Nichlineariäen müssen vernachlässigbar sein

17 Wiederholung: SYSTEM nichlinear Das Superposiionsprinzip gil nich : y 1 = f( x 1 ()) y 2 = f( x 2 ()) y y 1 + y 2 = f( x 1 ()) + f( x 2 ()) linear Es gil das Superposiionsprinzip: y 1 = f( x 1 ()) y 2 = f( x 2 ()) y = y 1 + y 2 = f( x 1 ()) + f( x 2 ()) y() f( x 1 () + x 2 ()) y() = f( x 1 () + x 2 () ) Lineare Syseme werden durch linerae Differenialgleichungen mi konsanen Koeffizienen beschrieben

18 Wiederholung: Beispiel saisches Sysem Eingabe-Peripherie (z.b. Tasaur) I-Eingabe Ausgabe-Peripherie (z.b. Bildsc hirm ) I-Ausgabe PS SYSTEM VS I-Nuzung Rechner Informaions-Verarbeiung I-Gewinnung VS / % Sell-Peripherie (z.b. Akoren) A öffnen Elekromoor M Z sc hließen Meß-Peripherie (z.b. Sensoren) Se nso r (Foozelle) % La m p e PS / % 0 % Sc hie b e r- posiion Flüg elrad Durchfluß Srömungsgeschwindigkei VS

19 Wiederholung: Saisches Sysemmodell dieser Maschine x? y saische Kennlinie y=f(x) Approximaionsfehler

20 Wiederholung: x 1 () f(x 1 ()) x 2 () f(x 2 ()) x 1 () + x 2 () f(x 1 () + x 2 ()) Verhalen eines linearen Sysems (Superposiion)

21 2.3.3 Falungsinegral

22 () Sysem g() () g() Einheisimpuls (): Anwor g() auf den Einheisimpuls Höhe=1/, Breie= Fläche=1 () () falls Breie gegen Null 0 wird Höhe=1/ unendlich Einheisimpuls enare zum Dirac-Soß (),

23 () Sysem g() () g() normierer Einheisimpuls () : Anwor g() auf den normieren Impuls Höhe=1, Breie= Fläche=

24 für zeiinvariane Syseme gil: () Sysem g() WENN () g() DANN (- ) g(- ) Sobald man den Eingangsimpuls um nach rechs verschieb

25 für lineare Syseme gil außerdem: () Sysem g() WENN () g() UND x (- ) x( )g(- ) UND x (- ) x( )g(- ) x (- ) x( )g(- ) DANN Sobald man die Summe aller Signale bilde

26 x() x (- ) Sysem y() x( )g(- ) x() ~ x( ) (- ) y() ~ x( )g(- ) Funkionen von zwei Variablen: von und. Hier ineressier aber nur der Wer bei einem =cons: mi f 1 ( ) = x( ) (- ) für =cons mi f 2 ( ) = x( )g(- ) für =cons x() ~ f 1 ( ) ~ Fläche uner f 1 ( ) für 0 = f 1 ( )d x() = x( ) (- )d y() ~ f 2 ( ) ~ Fläche uner f 2 ( ) für 0 = f 2 ( )d y() = x( )g(- )d

27 2.3.4 Sabiliä

28 Kraf Brücke Weg x() Sysem y() Kraf x() Weg y() harmlose Reakion (Zeiverhalen, Sprunganwor) einer Brücke

29 Kraf Brücke Weg x() Sysem y() Kraf x() Weg y() gefährliche Reakion (Zeiverhalen, Sprunganwor) einer Brücke: Schwingungen

30 Definiion der Sabiliä

31 Kraf Brücke Weg x() Sysem y() Kraf B x x() Weg B y y() harmlose Reakion (Zeiverhalen, Sprunganwor) einer Brücke: BIBO-sabil

32 Kraf Brücke Weg x() Sysem y() Kraf x() Weg B x B y? y() gefährliche Reakion (Zeiverhalen, Sprunganwor) einer Brücke: BIBO-insabil

33 Tacoma Narrows Bridge (Washingon, 7. November 1940)

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