Bildmaterial zur Vorlesung Regelungstechnik Teil I Die Regelstrecke. Wintersemester 2014 Prof. Dr.-Ing. habil. Klaus-Peter Döge

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1 Bildmaerial zur Vorlesung Regelungsechnik Teil I Die Regelsrecke Winersemeser 214 Prof. Dr.-Ing. habil. Klaus-Peer Döge

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3 Regelung des Füllsandes eines Flüssigkeisbehälers mi Abfluss Sollwervorgabe Regler: Hebel Sellglied: Venil y() Messglied: Schwimmer Q ZU Zufluss Regelgröße x(): Füllsand Führungsgröße w(): Sollwer des Füllsandes Sellgröße y(): Venilsellung w() Regelabweichung (): Abweichung des Füllsandes vom Sollwer x() ( ) Regelsrecke: Verhalen der Flüssigkei im Behäler Q AB Abfluss z() Sörgröße z(): ungleichmäßige Wasserennahme Wirkrichung 3

4 Blockschalbild der Füllsandsregelung z() Regeleinrichung w() () Regler y() Sellglied Regelsrecke x() - Hebel Venil Behäler x() Messglied Schwimmer Fragesellungen: 1. Is der Regelkreis sabil? Sabiliä (keine Dauerschwingungen) 2. Wird der Sollwer ohne Genauigkei Abweichungen erreich? 3. Wie is das Einschwingverhalen Zeiverhalen des Regelkreises? 4

5 Der Zusammenhang zwischen Fourier-Reihe, Fourier-Transformaion und Laplace-Transformaion Wiederholung des Zusammenhangs zwischen Fourier-Reihe, Fourier-Transformaion und Laplace-Transformaion Fourierreihe: Darsellung periodischer Signale durch Überlagerung von Sinusschwingungen. Fourierransformaion: Darsellung nichperiodischer begrenzer Signale durch Überlagerung von Sinusschwingungen. Laplaceransformaion: Darsellung nichperiodischer unbegrenzer Signale durch Überlagerung auf- und abklingender Sinusschwingungen. 5

6 Anwendungsschema der Laplace-Transformaion geg.: x () e g () x ( ) x ( ) g( ) d a e x ( )* g( ) e Falungsinegral Lösungsweg im Zeibereich ges.: xa () L -Transformaion L -1 -Rückransformaion X e (s) G(s) X a (s) = X e (s) G(s) X a (s) Muliplikaion im Bildbereich s j 6

7 Das Laplace-Inegral s L f ( ) F(s) e f ( ) d Bedingungen: f() = für < ; Inegral muss konvergieren Beispiel zur Lösung des Laplace-Inegrals: () s L ( ) 1e d 1 s 1 Das Laplace-Umkehrinegral: s f ( ) L F(s) F(s) e ds 2 j 1 1 c j cj 7

8 Schreibweisen der Laplace-Transformaion L f ( ) F(s) L F(s) f ( ) 1 Laplace-Transformiere von f() Laplace-Rückransformiere von F(s) f() F(s) f() korrespondier mi F(s) 8

9 Eigenschafen der Laplace-Transformaion 1. Falungssaz: Falung im Zeibereich wird durch Muliplikaion im Bildbereich ersez f ( ) f ( ) d f ( )* f ( ) F (s) F (s) x ( ) x ( ) g( ) d x ( )* g( ) X (s) X (s) G( s) a e e a e 2. Addiionssaz, Muliplikaion mi konsanem Fakor: zur Auflösung der DGL-Therme k a f ( ) a F (s) i i i i i1 i1 Bedingung: a i reell, konsan k 3. Verschiebesaz: Berücksichigung von sog. Tozeien z.b. bei Transporprozessen f(-b) e -bs F(s) b > 9

10 4. Differeniaion: Zur Auflösung der Ableiungen in den DGL df () L sf(s) f ( ) d mehrfache Differeniaion n d f () s F s f s f f n d ( n1) f (), f '(),, f () : Anfangswere von f() für = n n1 n2 ( n1) (s) () '() () 5. Inegraion 1 L f ( ) d F(s) s 6. Grenzwersäze: zur Berechnung der bleibenden Regelabweichung lim f ( ) lim s F(s) s lim f ( ) lim s F(s) s 1

11 Anwendungsbeispiel zur Laplace-Transformaion: Leerung einer Tiefgarage Leerung der Tiefgarage mi Zeiverzögerung zum Veransalungsende E Tiefgarage als Speicher für Fahrzeuge Widersand beim Ausfahren E Modellierung als elekrisches Nezwerk elekrischer Speicher, speicher die Ladung q() C u() i() elekrischer Widersand R 11

12 Inerpreaion des Ergebnisses -größerer Widersand in der Ausfahr führ zu längerer Enleerungszei -je größer das Parkhaus umso länger dauer die Ausfahr -nur für -> is das Parkhaus vollsändig geleer 12

13 Differenialgleichung und Überragungsfunkion Beschreibung linearer, zeikoninuierlicher, zeiinvarianer Syseme, Zeibereich (DGL) x e () Lineares Sysem (DGL) x a () j d x ( ) d xe( ) bj j d n i m a ai i i d j Die Laplace -Transformaion der Differenialgleichung uner der Annahme, dass alle Anfangswere = sind führ auf die Überragungsfunkion G(s) G(s) n m i a (s) i e(s) j i j X a s X b s X (s) b b s b s Z(s) X a a s a s N(s) m a 1 m n e(s) 1 n j 13

14 Besandeile des Blockschalbildes Überragungsglied Symbol Überragungsfunkion Block Ursache (Überragungsverhalen) G(s) k m 1 1 st k k 1 z. B : G(s) T k1 Wirkung Mischselle: (Addiion, Subrakion) x 1 + x 3 x 3 = x 1 x 2 x 2 Verzweigungsselle: (Vereilung) x 1 x 3 x 1 = x 2 = x 3 x 2 14

15 Grundschalungen im Blockschalbild Parallelschalung X e (s) G 1 (s) X a1 (s) + X a (s) X e (s) G ges (s) X a (s) G 2 (s) X a2 (s) + (-) G (s) G (s) G (s) ges 1 2 Reihenschalung X e (s) X a1 (s) X e2 (s) G 1 (s) G 2 (s) X a (s) X e (s) G ges (s) X a (s) G (s) G (s) G (s) ges

16 Rückführschalung W(s) - (s) X a2 (s) G 1 (s) X a1 (s) = X(s) Vorwärszweig Rückführzweig G 2 (s) X e2 (s) = X(s) W(s) X(s) G ges (s) G ges X (s) G1 (s) (s) W (s) 1 G (s) G (s) 1 2 Vorwärszweig 1 + Vorwärszweig Rückführzweig 16

17 Die Frequenzgangdarsellung G(j) der Überragungsfunkion G(s) bisher: G(s) X X a e (s) (s) jez: s j s j G( j) X X a e ( j) ( j) Darsellung: G(j) = Re() + jim() (Trennen in Real- und Imaginäreil) G(j) = A() e j () Ampliudengang Phasengang Darsellung als Orskurve in der komplexen Ebene -> Schlussfolgerungen zur Sysemsabiliä durch grafische Auswerung -> Relaiv einfach zu bearbeien 17

18 Experimen zur Besimmung des Frequenzgangs x e () x a () Ampliudendifferenz = Phasenverschiebung = x e () Lineares Sysem (DGL) x a () x e () Ampliudendifferenz + Phasenverschiebung - x e () x a () x e () x a () Ampliudendifferenz - Phasenverschiebung -- x a () 18

19 Beispiel für eine Orskurve G(s) 1 p = j 1 st T = Zeikonsane G( j) 1 1 T j 1 jt 1 T 1 T j Im() zugehöriger Pol-Nullsellen Plan j() = ½ 1 = R() x -1/T keine Nullselle Pol 1 s = - T - 1/2 1 ω= T 19

20 Phase (deg) Magniude (db) Das proporional wirkende Überragungsglied (P-Glied) 21 P Frequency (rad/s) x ( ) k x ( ) G(s) a e k 2

21 Phase (deg) Magniude (db) Das inegrierende Überragungsglied (I-Glied) 15 I Frequency (rad/s) 1 xa( ) xe( ) d T I 1 G(s) Ts I 21

22 Phase (deg) Magniude (db) Das differenzierende Überragungsglied (D-Glied) 35 D Frequency (rad/s) dxe () () xa TD G(s) TDs d 22

23 Phase (deg) Magniude (db) Das Tozeiglied (T -Glied) x 1-14 Tozei Frequency (rad/s) x ( ) x ( T ) G(s) e st a e 23

24 Phase (deg) Magniude (db) Das Verzögerungsglied 1. Ordnung (PT 1 -Glied) 2 PT Frequency (rad/s) x ( ) T x ( ) x ( ) e 1 a a 1 G(s) 1 st 1 24

25 Phase (deg) Magniude (db) Das Verzögerungsglied zweier Ordnung (PT 2 ) 4 PT Frequency (rad/s) kx T x DTx x e( ) a ( ) 2 a ( ) a( ) G(s) T s k 2DTs 1 25

26 Das Verzögerungsglied zweier Ordnung (PT 2 ) Reihenschalung von zwei PT 1 Gliedern X e (s) K1 1 st 1 K2 1 st 2 X a (s) X e (s) X a (s) G(s) K 1sT 1sT 1 2 Sandardüberragungsfunkion G(s) K P 1 2D s 2 2 s1 D Dämpfung K P Sreckenversärkung Ω... Resonanzfrequenz Die Nullsellen des Nennerpolynoms besimmen die Eigenschafen des Sysems 1/2 2 1 s D D besimm das Schwingungsverhalen und die Sabiliä 26

27 Mögliche Polsellen eines Verzögerungsgliedes zweier Ordnung 1/2 2 1 s D D D Lage der Pole Übergangsfunkion < D < 1 Schwingung 2 D 1 X s 1 j h() kleiner werdendes D X s 2 D D = 1 aperiodischer Grenzfall s 1 = s 2 X j h() D > 1 aperiodisches Verhalen (pt 2 -Glied) X X s 1 s 2 j h() wachsendes D 27

28 1/2 2 1 s D D D = ungedämpfes Verhalen Sabiliäsgrenze j s 1 X +j s 2 X -j h() - 1 < D < insabiles Verhalen j X s 1 2 D 1 h() D X s 2-1 D insabiles Verhalen aperiodisch j X s 1 = s 2 h() 28

29 Sprungfunkion und Übergangsfunkion (Sprunganwor) Sprungfunkion δ() 1 x e () Lineares Sysem (DGL) x a () für xe () x für x a () Sprunganwor = Übergangsfunkion x = 1 Einheissprung 29

30 Impulsfunkion und Gewichsfunkion (Impulsanwor) Dirac-Impuls σ() x e () Lineares Sysem (DGL) x a () g() für < x () e für = Dirac - Soß δ() für > x a () Impulsanwor = Gewichsfunkion g() = x a () Gewichsfunkion Beschreibung der Impulsfunkion näherungsweise als Recheckfunkion 1/ 1 für < ε r= ε ε sons 3