Fourier- und Laplace- Transformation

Transkript

1 Skrium zur Vorlesung Mahemaik für Ingenieure Fourier- und Lalace- Transformaion Teil 3: Lalace-Transformaion Prof. Dr.-Ing. Norber Höner (nach einer Vorlage von Prof. Dr.-Ing. Torsen Benkner) Fachhochschule Pforzheim FB-Ingenieurwissenschafen, Elekroechnik/Informaionsechnik

2 Vorlesungsskri "Mahemaik : Fourier- und Lalace-Transformaion", Teil 3: Lalace-Transformaion Inhal. Fourier- und Lalace-Transformaion. Fourier-Reihenenwicklung.. Zielsezung, Begründung und Vorgehensweise.. Ableiung der reellen Fourierreihe... Reelle Fourierreihe mi Sinus- und Kosinusschwingungen... Vereinfache Besimmung der reellen Fourierkoeffizienen...3 Reelle Fourierreihe in Sinusform...4 Reelle Fourierreihe in Cosinusform...5 Anschauliche Darsellung der verschiedenen Formen der reellen Fourierreihe..3 Ableiung der komlexen Fourierreihe..4 Rechenbeisiel..5 Grahische Darsellung eriodischer Zeifunkionen im Frequenzbereich..5. Amliudensekrum..5. Amliudenberags- und Phasensekrum..5.3 Komlexe Darsellung Übungsbla Fourierreihe. Fourier-Transformaion.. Herleiung des Fourier-Inegrals.. Rechenbeisiele... Recheckimuls... Zeibegrenze Cosinusschwingung...3 Dela-Imuls Übungsbla Fourier-Transformaion.3 Lalace-Transformaion.3. Einführung.3. Rechenregeln der Lalace-Transformaion.3.. Lineariässaz.3.. Änlichkeissaz.3..3 Verschiebungssaz.3..4 Dämfungssaz.3..5 Differeniaionssaz.3.3 Korresondenzabelle.3.4 Beisiele.3.5 Periodische Funkionen.3.6 Lalace-Rückransformaion.3.7 Anwendungsbeisiele Übungsbla Lalace-Transformaion Ergänzungsaufgaben Fourier-Reihen und Transformaion / Lösungen Ergänzungsaufgaben zur Lalace-Transformaion / Lösungen Prof. Dr.-Ing. Norber Höner (nach einer Vorlage von Prof. Dr.-Ing. Torsen Benkner)

3 Vorlesungsskri "Mahemaik : Fourier- und Lalace-Transformaion", Teil 3: Lalace-Transformaion.3 Lalace-Transformaion.3. Einführung Zweck: u.a. leicheres Lösen komlizierer Differenialgleichungen Einsaz in E-Technik / Maschinenbau / Regelungsechnik... Differenialgleichung: Vorgehensweise:. Die DGL (linear mi konsanen Koeffizienen, s. Ka. ) wird mi Lalace-Transformaion in eine algebraische Gleichung überführ.. Als Lösung dieser Gleichung erhäl man die Bildfunkion Y() der gesuchen Originalfunkion y(). 3. Die gesuche Lösung y() der DGL erhäl man durch Rückransformaion der Bildfunkion Y(). (Korresondenzabellen, Parialbruchzerlegung, Reihenenwicklung,...) Voreil: Rechenoeraionen im Bildbereich meis leicher ausführbar! Prof. Dr.-Ing. Norber Höner (nach einer Vorlage von Prof. Dr.-Ing. Torsen Benkner)

4 Vorlesungsskri "Mahemaik : Fourier- und Lalace-Transformaion", Teil 3: Lalace-Transformaion Definiionsgleichungen Transformaion: F( ) LT{ f ( ) } F( ) f ( ) e d bzw. F() ο f() (Korresondenzschreibweise n. DIN 5487) { } Inverse Transformaion: f ( ) LT F( ) σ + j o f ( ) F( ) e d π j σ j o bzw. f() ο F() Lalace-Oeraor: σ + jω (Lieraur auch s ) σ reel, osiiv Dämfung vgl. Fourier-Transformaion (σ ) Beisiel: Einheissrung σ() f() ( ) f ; < ; F f e d e d e ( ) ( ) ( ) "Praxis": Transformaion bzw. Rückransformaion miels Korresondenzabellen und Anwendung der Lalace-Rechenregeln (s.u.), evl. assende algebraische Umformungen nöig. Prof. Dr.-Ing. Norber Höner (nach einer Vorlage von Prof. Dr.-Ing. Torsen Benkner) 3

5 Vorlesungsskri "Mahemaik : Fourier- und Lalace-Transformaion", Teil 3: Lalace-Transformaion.3. Rechenregeln der Lalace-Transformaion Transformaion f f() F() f() σ + j o ( ) F( ) e d π j σ j o (*) F() F( ) f ( ) e d Lineariässaz a f () + a f () a F () + a F () Ähnlichkeissaz f(a) mi a > / a F( / a ) Verschiebungssaz f(-τ) mi τ > e -τ F() Dämfungssaz e -a f() F(+a). Differeniaion f () F() - f(+) (**) n. Differeniaion f (n) () n n n F( ) f ( ) f ( ) Inegraionssaz Falungssaz f( τ ) f ( τ ) dτ Anfangswersaz lim x( ) Endwersaz lim x( ) + + ( n ) ( n ( ) f ) ( ) K f + + f() τ dτ / F() F () F () F( ) lim( ) lim( F ) ( ) (*): Rückransformaion besser mi Parialbruchzerlegung bzw. Reihenenwicklung von F() und Korresondenzafel (**): +, da linksseiiger Grenzwer null Prof. Dr.-Ing. Norber Höner (nach einer Vorlage von Prof. Dr.-Ing. Torsen Benkner) 4

6 Vorlesungsskri "Mahemaik : Fourier- und Lalace-Transformaion", Teil 3: Lalace-Transformaion.3.. Lineariässaz f() a f () + a f () { ( ) ( )} ( ) ( ) ( ) LT a f + a f a f + a f e d ( ) ( ) a f e d + a f e d { ( )} ( ) { } a LT f + a LT f { + } { ( )} + { ( )} LT a f a f a LT f a LT f ( ) ( ).3.. Ähnlichkeissaz LT{ f ( a) } f ( a) e d LT f ( a) LT{ f ( a) } u/ a f u e du a { } ( ) a F a Subsiuion: ua d /a du.3..3 Verschiebungssaz f f() f(-τ) f(<) τ τ Prof. Dr.-Ing. Norber Höner (nach einer Vorlage von Prof. Dr.-Ing. Torsen Benkner) 5

7 Vorlesungsskri "Mahemaik : Fourier- und Lalace-Transformaion", Teil 3: Lalace-Transformaion { ( τ )} ( τ ) LT f f e d τ Subsiuion: u-τ d du ( + τ ) τ { ( τ )} ( ) ( ) u u LT f f u e du e f u e du ( τ ) τ { } ( ) LT f e F.3..4 Dämfungssaz { ( )} ( ) ( + ) ( ) ( ) a a a ' LT e f f e e d f e d f e d mi ' + a { } ( + ) LT e f F a a ( ).3..5 Differeniaionssaz LT{ f& df ( ) } e d d In.regel: u dv u v v du df seze dv d u. u e d v f ( ) du e d { } ( ) ( ) LT f& ( ) f e + f e d {& ( )} ( ) + ( ) LT f f e F ( ) { & } ( ) + ( ) LT f f F Prof. Dr.-Ing. Norber Höner (nach einer Vorlage von Prof. Dr.-Ing. Torsen Benkner) 6

8 Vorlesungsskri "Mahemaik : Fourier- und Lalace-Transformaion", Teil 3: Lalace-Transformaion LT{ f&& ( ) } f&& ( ) e d seze dv f&& d u. u e ( ) {&& } & ( ) & ( ) LT f f e + f e d LT v f& ( ) du e d { f& ( ) } [ ] &f + f + F ( ) ( ) ( ) &f f + F ( ) ( ) ( ) bisher: LT f ( ) { } F( ) ( ) LT df F f d ( ) ( ) ( ) LT d f F f f d & ( ) ( ) ( ) analoges Weierführen der Rechnung führ auf: ( ) LT d n f n d F f f f f ( ( ) ( ) ( ) ) ( K ( ) ) ( ) n n n n n sind sämliche Anfangsbedingungen f (i) () i...(n-) gleich Null, so folg: ( n ) n LT{ f ( ) } F( ) Prof. Dr.-Ing. Norber Höner (nach einer Vorlage von Prof. Dr.-Ing. Torsen Benkner) 7

9 Vorlesungsskri "Mahemaik : Fourier- und Lalace-Transformaion", Teil 3: Lalace-Transformaion.3.3 Korresondenzabelle Nr. F() f() 3 n 4 + a 5 ( + a) 6 + ω ( ) δ ( ) σ ; ; ; ; < n ( n )! a e a ( e a ) cos(ω) "Dela-Imuls" "Einheissrung" 7 ω + ω 8 9 (*) (*) 3 ( + a) ( + b) ( + a) n ; n > ( + a) n + a + b + a + b (*) ( + a + b ) b w e ω e sin(ω) b e a b n ( n ) a e! n ( a) n a i i! [ e e ] a für a i e a D a b sin( ω) für D < [ e e ] w a e cos a ω für D > a b > ( ω) sin( ω) für D < w e w e für D a + > b a a ( ) ( ) e für D b cos ω sin ω < < ω (*) Abkürzungen: w a b ; ω b a ;, a ± w a ± jω Prof. Dr.-Ing. Norber Höner (nach einer Vorlage von Prof. Dr.-Ing. Torsen Benkner) 8

10 Vorlesungsskri "Mahemaik : Fourier- und Lalace-Transformaion", Teil 3: Lalace-Transformaion Herleiung einiger Korresondenzen Nr. 4: Dämfungssaz mi f() σ() f. > (Einheissrung) LT{ σ ( ) } F( ) (s.o., Beisiel zum Einheissrung) a { σ( )} ( ) LT e F + a + a σ a a Nr. 5: f ( ) ( e ) ( ) f /a LT e a a { } a a ( ) ( ) LT{ ( ) } σ σ LT{ e σ ( ) } a a + a a + a + a ( ) ( ) Nr. 6: f ( ) cos( ω) σ ( ) f ( ) ( e j ω jω + e ) σ ( ) [ ] jω jω LT{ cos( ω) } LT{ e } + LT{ e } + jω + jω + ω { } LT cos( ω) + ω Prof. Dr.-Ing. Norber Höner (nach einer Vorlage von Prof. Dr.-Ing. Torsen Benkner) 9

11 Vorlesungsskri "Mahemaik : Fourier- und Lalace-Transformaion", Teil 3: Lalace-Transformaion Nr. 3: für n "Ramenfunkion" f() f ( ) σ ( ) LT{ σ ( ) } e d In.regel: u dv u v v du seze dv e d u. u e v du d e LT{ σ ( ) } + e d lim( e ) lim lim e L' Hosial e e LT{ σ ( ) } Übungsaufgabe: Bie leien Sie die allgemeine Form für n her! (Ti: sukzessive Anwendung der Inegraionsregel (u,v), vgl. Herleiung des Differeniaionssazes) Prof. Dr.-Ing. Norber Höner (nach einer Vorlage von Prof. Dr.-Ing. Torsen Benkner)

12 Vorlesungsskri "Mahemaik : Fourier- und Lalace-Transformaion", Teil 3: Lalace-Transformaion.3.4 Beisiele.3.4. Verzögerer Srung f() A ( ) f A ; T ; < T T o a) Lösung mi Lalace-Inegral (l. Definiion): A LT{ f ( ) } f ( ) e d A e d e A + e { ( )} A LT A T e σ T T T T b) Lösung mi Rechenregeln / Korresondenzabelle: σ() ο / (Korr.ab. Nr. ) f(-t) ο e -T F() (Verschiebungssaz) A f() ο A F() (Lin.saz mi f ) T LT{ Aσ ( T )} e A Prof. Dr.-Ing. Norber Höner (nach einer Vorlage von Prof. Dr.-Ing. Torsen Benkner)

13 Vorlesungsskri "Mahemaik : Fourier- und Lalace-Transformaion", Teil 3: Lalace-Transformaion.3.4. Exonenialfunkion f() e a a bel. komlexe Zahl a ( a ) ( a ) F( ) e e d e d a e ( a ) lime a a a ( ) für Re a < Übung: leien Sie bie das Ergebnis mi Hilfe d. Korresondenzabelle her! Poenzfunkion f() F( ) e d e ² ² e + ( )² ( )³ ² ³ Bronsein ² lim e + ² ³ ³ ³ , da e ' sär ker' als ² vgl. Korresondenzabelle Prof. Dr.-Ing. Norber Höner (nach einer Vorlage von Prof. Dr.-Ing. Torsen Benkner)

14 Vorlesungsskri "Mahemaik : Fourier- und Lalace-Transformaion", Teil 3: Lalace-Transformaion.3.5 Periodische Funkionen Transformiere einer eriodischen Funkion f() mi Periodendauer T f() Definiion einer eriodischen Fk.: f(-kt) f() F( ) T f ( ) e e 4 34 Periodiziä T d mi f( < ) T vgl. nich eriodische Funkion: F( ) f ( ) e d Beisiel: Rechecksignal f() < < T / f ( ) T / < < T T/ T T/ T F( ) e d e d e e e T + T T/ T/ T/ ( ) e e T/ e T T/ ( e ) ( a ²) ( a)( + a) e T / T/ T / ( )( + ) e e / T/ e + e T ( + ) Prof. Dr.-Ing. Norber Höner (nach einer Vorlage von Prof. Dr.-Ing. Torsen Benkner) 3

15 Vorlesungsskri "Mahemaik : Fourier- und Lalace-Transformaion", Teil 3: Lalace-Transformaion.3.6 Lalace-Rückransformaion { ( )} ( ) ( ) LT F f F e d jπ Inegraion um alle (i.a. komlexen) Pole von F() z.b. σ + j o f ( ) F( ) e d π j σ j o Inegraion of "schwer" durchzuführen Praxis: Korresondenzabelle Beisiel: F( ) + 5 ² + + umformen: ² ( )² 9 ( + )² + 3² 3 ( + )² + 3² Korresondenzen aus Tabelle: cos(ω) sin(ω) ² +ω ² ω ² + ω ² mi + ω 3 mi + ω 3 Dämfungssaz e -a f() F(+a) hier: + a f() [cos(3) + 4/3 sin(3)]e - Prof. Dr.-Ing. Norber Höner (nach einer Vorlage von Prof. Dr.-Ing. Torsen Benkner) 4

16 Vorlesungsskri "Mahemaik : Fourier- und Lalace-Transformaion", Teil 3: Lalace-Transformaion.3.6. Parialbruchzerlegung sehr hilfreich, um gebrochen raionale Funkionen F() miels Korresondenzabelle rückzuransformieren auch hilfreich bei Inegraion gebr. ra. Funkion wird in Summe von kleineren Brüchen umgeform allgemein: Z( x) f ( x) N( x) n anx ax + a m x b x + b o o mi n < m ; m, n N ; a i, b i R ; a n (b m durch Kürzen) Prinzi (zunächs rückwärs) 3 3 x 5 x 5x x + x + 5 ( + ) + ( ) + ( x )( x + 5) x² + 3x < Parialbruchzerlegung Ziel: Fakorzerlegung Nenner N(x) (x - x )(x - x ) (bei quadraischem Nenner) Bem.: Parialbruchzerlegung grundsäzlich immer möglich! Prof. Dr.-Ing. Norber Höner (nach einer Vorlage von Prof. Dr.-Ing. Torsen Benkner) 5

17 Vorlesungsskri "Mahemaik : Fourier- und Lalace-Transformaion", Teil 3: Lalace-Transformaion Vorgehensweise: Z( x) f ( x) N( x). Besimme Nullsellen des Nennerolynoms N(x). Jeder Nullselle wird ein Parialbruch zugeordne. Ansaz: a) x einfache reelle Nullselle A x x b( x) b) x zweifache reelle Nullselle A x x A + ( x x )² b( x) c) x r-fache reelle Nullselle A A A r x x ( x x )² x x r ( ) b( x) d) komlexe Nullsellen relaiv komlizier A i unbekann zu besimmende Konsanen 3. f ( x) b ( x) N i i mi N: Anzahl der Nullsellen des Nennerolynoms 4. Besimmung der Konsanen A i : alle Brüche auf Haunenner bringen geeignee x-were einsezen, z.b. Nennernullsellen, ergib Lineares Gleichungssysem Lösung des LG mi Gauß oder Koeffizienenvergleich Anm.: f(x) mi Nennerolynomen der Form N(x) (x + ax + q) r können auch d. den Ansaz f ( x) B x + C B x C x + ax + q + + Br x + Cr + K + zerleg werden. ( x + ax + q) ( x + ax + q) r Besimmung der B i, C i über z.b. Koeffizienenvergleich. Prof. Dr.-Ing. Norber Höner (nach einer Vorlage von Prof. Dr.-Ing. Torsen Benkner) 6

18 Vorlesungsskri "Mahemaik : Fourier- und Lalace-Transformaion", Teil 3: Lalace-Transformaion.3.6. Beisiele zur Parialbruchzerlegung a) einfache Nullsellen f ( x) 5x + Z( x) x² + 3x N ( x). Besimme Nullsellen N(x) x² + 3x - x 3 ± / ± x + x -5 N(x) (x-)(x+5) Probe: x² - x + 5x - x² + 3x -. Zuordnung Parialbruch x + : A A b ( x) x x x x -5 : b ( x) B x + 5 A B 3. Parialbrüche f ( x) bi ( x) + x x + 5 i 4. Besimmung der Konsanen f ( x)! A( x + 5) + B( x ) Ax + 5A + Bx B 5x + ( x )( x + 5) x² + 3x x² + 3x ( A + B) x + ( 5A B) 5x + (*)! Prof. Dr.-Ing. Norber Höner (nach einer Vorlage von Prof. Dr.-Ing. Torsen Benkner) 7

19 Vorlesungsskri "Mahemaik : Fourier- und Lalace-Transformaion", Teil 3: Lalace-Transformaion Mehode : Koeffizienenvergleich mi (*) A + B 5 (i) 5A - B (ii) A 5 - B (i ) (i ) in (ii) : 5(5-B) - B 5-5B - B -7B -4 B A 3 5x + 3 x² + 3x x + x + 5 Mehode : geeignee x-were einsezen x kann beliebig sein, z.b. Nullsellen von N(x) mi (*): x : (A+B) + (5A-B) + A + B + 5A - B 7A A 3 s.o. x -5 : (A+B)(-5) + (5A-B) A - 5B + 5A - B -4 B s.o. z.b. Anwendung Inegraion: 5x + dx x² + 3x 3 dx 3 x x 5 x + ln + ln + x + 5 Übung: x 9 3 x² x 4 ( x + 4) ( x 6) Prof. Dr.-Ing. Norber Höner (nach einer Vorlage von Prof. Dr.-Ing. Torsen Benkner) 8

20 Vorlesungsskri "Mahemaik : Fourier- und Lalace-Transformaion", Teil 3: Lalace-Transformaion b) zweifache Nullsellen f ( x) x 5 Z( x) x² 6x + 9 N ( x). Besimme Nullsellen N(x) x² - 6x x / + ± 3 x x 3 N(x) (x-3). Zuordnung Parialbruch A A x x 3 : b ( x) + x 3 ( x 3)² A A 3. Parialbrüche f ( x) b( x) + x 3 ( x 3)² 4. Besimmung der Konsanen A ( x 3) + A f ( x) ( x 3)² A x 3A + A x 5! (*) Mehode : Koeffizienenvgl. mi (*) A 3. - A 5 A - f ( x) x 5 x² x + x ( x 3)² Mehode : geeignee x-were mi (*) x 3 : 3A - 3A + A 3-5 A - s.o. A : A x - 3A - x - 5 A (x - 3) x - 3 A s.o. Übung: 5x² + 6x x³ + 3x² 4 x ( x + ) ( x + )² Prof. Dr.-Ing. Norber Höner (nach einer Vorlage von Prof. Dr.-Ing. Torsen Benkner) 9

21 Vorlesungsskri "Mahemaik : Fourier- und Lalace-Transformaion", Teil 3: Lalace-Transformaion.3.7 Anwendungsbeisiele.3.7. Differenialgleichung erser Ordnung Ein Körer beweg sich mi der Anfangsgeschwindigkei v horizonal in einer reibungsbehafeen Flüssigkei: k &v + m v Anfangsbedingung: v() v o mahemaisch: y + a y mi a k/m Anfangsbed.: y(x) y o. Lalace-Transformaion aus Rechenregeln: F() - y() + a F(). Lösen im Bildbereich F() ( + a) y() (Anfangsbed. bereis berücksichig!) F( ) y( ) + a 3. Rückransformaion aus Korresondenzabelle (Nr. 4) e -a / +a y y() e -a hysikalische Größen: v v v o e -(k/m) v o k/m Prof. Dr.-Ing. Norber Höner (nach einer Vorlage von Prof. Dr.-Ing. Torsen Benkner)

22 Vorlesungsskri "Mahemaik : Fourier- und Lalace-Transformaion", Teil 3: Lalace-Transformaion.3.7. Differenialgleichung. Ordnung RLC in Reihenschalung mi lözlich angeleger äußerer Sannung U (σ - Imuls, Einheissrung) L && R I & & ( ) L I C L I L U + + L U o δ Anfangsbedingung: ( ) ; I ( ) I & U o R C mahemaisch: y + d y + ω o ²y b o δ() Anf.bed.: y(x) y () mi y I ; d R/L ; ω /LC ; b U /L. Lalace-Transformaion aus Rechenregeln: ² F() - y() - y () + d F() - d y() + ω o ² F() b o. Lösen im Bildbereich mi Anf.bed.: ² F() + d F() + ω o ² F() b o F() {² + d + ω o ²} b o F( ) bo ² + d +ω o auch hier 3 Fälle im Nenner! (vgl. Ka..3.6) im weieren: gedämfer Schwingfall angenommen Prof. Dr.-Ing. Norber Höner (nach einer Vorlage von Prof. Dr.-Ing. Torsen Benkner)

23 Vorlesungsskri "Mahemaik : Fourier- und Lalace-Transformaion", Teil 3: Lalace-Transformaion 3. Rückransformaion Korresondenzabelle Nr. : ο + a + b w e ω [ e e ] a für D a b sin( ω) für D < > d R C hier: a d ; b ω gedämfe Schwingung: D < ω L b e sin mi ω ω ω R a LC L a f ( ) ( ω ) R U Lω e o L hysikalische Größen: I( ) sin( ω ) Prof. Dr.-Ing. Norber Höner (nach einer Vorlage von Prof. Dr.-Ing. Torsen Benkner)