Charakterisierung des Systems R C. Faltungsintegral. Faltungsintegral (anschaulich) Faltungsintegral (anschaulich) 1. Übertragungsfunktion zb

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1 Charakerisierung des Sysems. Überragungsfunkion zb Falungsinegral 2. Impulsanwor (Anwor auf δ()) δ() R C h() Gleiche Ergebnis wie Spannungseiler! Impulsanwor: Inverse Fourierransformaion Falung_4_2_5.pp Falung_4_2_5.pp 2 Falungsinegral (anschaulich) Falungsinegral (anschaulich) Wie laue der Zusammenhang zwischen Eingangs- und Ausgangssignal im Zeibereich? x() Eingang: Darsellung der Funkion x(): Ausgang: Darsellung der Funkion y(): = + = + h () Anwor auf einen Puls! Grenzübergang k τ δ () δ() Es folg: Falungsinegral: Falungssymbol Falung_4_2_5.pp 3 Falung_4_2_5.pp 4

2 Falungssaz: Falungsinegral (mahemaisch) Lineare Syseme Sei x() das Eingangssignal, bzw. y() das Ausgangssignal eines linearen, zeiinvarianen Sysems. Linear Time-Invarian Sysem: LTI-Sysem x() LTI Sysem y() Verauschen der Inegraionen: Verschiebungssaz Es gele der folgende Zusammenhang zwischen Eingangs- und Ausgangsgrößen: x()=x () y()=y () a,b: beliebige Konsanen x()=x 2 () y()=y 2 () x (), x 2 () beliebige Eingangsfunkionen Ein Sysem is linear, wenn gil: x() = a x () + b x 2 () y() =a y () + b y 2 () Falung_4_2_5.pp 5 Falung_4_2_5.pp 6. Is y() = x() linear? y () = x () y 2 () = x 2 () Ja Beispiele x() = a x () + b x 2 () y() = (a x () + b x 2 ()) = a x () + b x 2 () = a y () + b y 2 () Zeiinvariane Syseme- Falungsinegral Ein Sysem heiß zeiinvarian: wenn eine um die Zeidifferenz zeilich verschobene Eingangsgröße x (- ) die um die gleiche Zeidifferenz verschobene Ausgangsgröße y(- ) ergib: f(x()) = y() f(x(- )) = y(- ) Für ein LTI Sysem gil: 2. Is y() = x() + 5 linear? y () = x () + 5 y 2 () = x 2 () + 5 x() = x () + x 2 () y() = (x () + x 2 ()) + 5 Wenn h() die Impulsanword des Sysems is, d.h wenn gil: x()=δ() y()=h() Nein = x () + x 2 () + 5 dann gil für jedes beliebige Eingangssignal x() als Ausgangssignal y () + y 2 () Falung_4_2_5.pp 7 Falung_4_2_5.pp 8

3 Falungsinegral Falung im Frequenzbereich Es gil: Falungssaz: Falungssaz der Fourierransformaion: Behaupung: sei f() g() F(jω) G(jω) Verauschen der Inegraionen: Dann gil: f()*g() F(jω)G(jω) Falung_4_2_5.pp 9 Falung_4_2_5.pp Eigenschafen des Falungsinegral Parseval sche Theorem s=x-α Sehr häufig wird die Energie oder Leisung benöig, d.h. das zeiliche Inegral über das Quadra der Spannung oder des Sroms is gesuch: Hierbei wird die Exisenz der Inegrale vorausgesez Beweis: Sei f() F(jω) Grenzwer ω Falung_4_2_5.pp Falung_4_2_5.pp 2

4 Foiurierransformiere der Signum-Funkion Fourierransformiere der Sprungfunkion k= k= k= k=. Die Signum Funkion erfüll die Dilichleschen Bedingungen nich. Sie kann aber als Disribuion gedeue werden und zwar als Grenzwer: Die Signum Funkion als Grenzwer von Falung_4_2_5.pp 3 Falung_4_2_5.pp 4 Inegraion im Zeibereich Bandbegrenze und zeibegrenze Syseme Ohne Beweis: Beweis: Ein zeibegrenzes Signal is nie bandbegrenz!!!! Ein bandbegrenzes Signal is nie zeibegrenz!!! Muliplikaion im Frequenzbereich mi der Funkion: ω/ω Ideale Tiefpassfilerung ensprich Falung mi der si Funkion im Zeibereich Falung_4_2_5.pp 5 Falung_4_2_5.pp 6

5 Fourierransformaion von periodischen Signalen Spekrum eines periodischen Signals Periodische Funkion f() kann mi Hilfe der Fourierreihe dargesell werden c -2 c c c 2 Sei f()=f(+t) für alle, T: Periodendauer; ω =2π/T; ω n =n ω c - mi ω Fourierransformaion: ω 2ω ω 2ω 3ω Für beliebiges f() gil D.h. Periodisches f() Diskrees Spekrum Ebenso gil umgekehr D.h. Periodisches F(ω) Diskree Were im Zeibereich Falung_4_2_5.pp 7 Falung_4_2_5.pp 8 Dirac-Kamm Dirac Kamm ω =2π/T gleichmäßige Diracfolge im Zeibereich Beweis: x() periodisch, daher als Fourierreihe darsellbar: gleichmäßige Diracfolge im Frequenzbereich -2T -T T 2T Koeffizienen der Fourierreihe: Falung_4_2_5.pp 9 Falung_4_2_5.pp 2