Lösungen zur Übungsaufgabensammlung für die Vorlesung Nachrichtentechnische Systeme 3 (Prof. Dr.-Ing. A. Czylwik)

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1 Lösungen zur Übungsaufgabensammlung für die Vorlesung Nachrichenechnische Syseme (Prof. Dr.-Ing. A. Czylwik N S Diese Unerlagen können roz sorgfäliger Durchsich noch Fehler enhalen. Sefan Bieder Fachgebie Nachrichenechnische Syseme Raum: BA 4, Durchwahl: -05, bieder@ns.uni-duisburg-essen.de

2 Nachrichenechnische Syseme /79 Lösung Aufgabe. Es gil: y ( = x ( + n( Im rauschfreien Fall (n( = 0 y ( = x ( F Y (ω = π = x ( cos(ω 0 = ( + x( cos(ω 0 = [ ] [ ] πδ(ω + X(ω π (δ(ω ω 0 + δ(ω + ω 0 [ πδ(ω ω 0 + X(ω ω 0 + πδ(ω + ω 0 + X(ω + ω 0 ] Bsp: X(ω ω s ω s ω (π H BP (ω Y (ω (π ω 0 ω0 + ω s ω 0 ω s ω 0 ω s ω 0 ω0 + ω s. Das Bandpassfiler filer alle spekralen Aneile außer für ω 0 ω s < ω < ω 0 + ω s weg. = Das Signal Y (ω lieg im Durchlassbereich des Bandpassfilers. = Y e (ω = X (ω, y e ( = y ( = x ( Daum:. Okober 007

3 Nachrichenechnische Syseme /79. Mi Bsp: y a ( = y e ( y a ( = π F Y a (ω = π = ( + x( cos(ω 0 = ( + x( cos(ω 0 = ( + x( π + n= a n = ( n+ 4n n 0 a n + n= Verschiebungssaz + n= ( n+ 4n e jnω a n ( + x( e jnω 0 a n (πδ(ω nω 0 + X(ω nω 0 H P (ω (4 Y a (ω π 4ω 0 ( 4 π ( ( 4 ω 0 ω 0 4 ω 5π ω 5 s s 5 ( 4 π 4ω 0 5π ω = Die spekralen Aneile von x ( = ( + x( F X (ω = (πδ(ω + X(ω werden um nω 0 verschoben und gewiche. (Gewichung nimm mi zunehmenden n ab, a n n Daum:. Okober 007

4 Nachrichenechnische Syseme /79.4 Nur die spekralen Aneile für n = 0 liegen im Durchlassbereich des iefpassfilers, alle anderen werden weggefiler. Y (ω = F y( = [πδ(ω + X(ω] π ( + x( π.5 Ampliudenmodulaion mi rägerüberragung x( kann durch Verwendung eines DC-Blocks (Gleichaneilunerdrückers mi { 0 : ω = 0 H DC (ω = : ω 0 zurückgewonnen werden. y( DC Block H DC (ω x( k Inkohärene Demodulaion, d.h. Kennniss der Phasenlage des rägersignals is nich nowendig Daum:. Okober 007

5 Nachrichenechnische Syseme 4/79 Lösung Aufgabe. x ( = i( cos(ω 0 + ϕ q( sin(ω 0 + ϕ Rx x (τ = E {x ( x ( + τ} = E {[i( cos(ω 0 + ϕ q( sin(ω 0 + ϕ] [i( + τ cos(ω 0 ( + τ + ϕ q( + τ sin(ω 0 ( + τ + ϕ]} = E {i( i( + τ cos(ω 0 + ϕ cos(ω 0 ( + τ + ϕ q( i( + τ sin(ω 0 + ϕ cos(ω 0 ( + τ + ϕ i( q( + τ cos(ω 0 + ϕ sin(ω 0 ( + τ + ϕ + q( q( + τ sin(ω 0 + ϕ sin(ω 0 ( + τ + ϕ} Addiionsheoreme: cos(α cos(β = (cos(α β + cos(α + β sin(α cos(β = (sin(α β + sin(α + β sin(α sin(β = (cos(α β cos(α + β = Rx x (τ = E {i( i( + τ cos( ω 0τ + i( i( + τ cos(ω 0 ( + τ + ϕ q( i( + τ sin( ω 0 τ q( i( + τ sin(ω 0 ( + τ + ϕ i( q( + τ sin(ω 0 τ i( q( + τ sin(ω 0 ( + τ + ϕ + q( q( + τ cos( ω 0 τ q( q( + τ cos(ω 0 ( + τ + ϕ} Rx x (τ = [ Rii (τ E {cos(ω 0 τ} + R ii (τ E {cos(ω 0 ( + τ + ϕ} R qi (τ E {sin(ω 0 τ} R qi (τ E {sin(ω 0 ( + τ + ϕ} R iq (τ E {sin(ω 0 τ} R iq (τ E {sin(ω 0 ( + τ + ϕ} + Rqq(τ E {cos(ω 0 τ} Rqq(τ E {cos(ω 0 ( + τ + ϕ} ] Daum:. Okober 007

6 Nachrichenechnische Syseme 5/79 E {cos(ω 0 τ} = cos(ω 0 τ E {sin(ω 0 τ} = sin(ω 0 τ da τ nich zufällig, sondern ein deerminischer Wer. E {sin(ω 0 ( + τ + ϕ} = 0 E {cos(ω 0 ( + τ + ϕ} = 0 Da ϕ zufällig und gleichvereil in Bereich [0, π]. Hinweis: Im Skrip: Eigenlich : E {cos(ω 0 } = 0 E {cos(ω 0 + ϕ} = 0 mi ϕ gleichvereil im Bereich [0, π]. Rx x (τ = R ii (τ cos(ω 0τ + R qi (τ sin(ω 0τ R iq (τ sin(ω 0τ + R qq(τ cos(ω 0 τ = R ii (τ cos(ω 0 τ R iq (τ sin(ω 0 τ. i( = x(, q( = x( h H ( Rqq(τ = F { Sqq(ω } Sqq(ω = Sxx(ω H H (ω = Sxx(ω j sgn(ω = Sxx(ω = Rqq(τ = F {Sxx(ω} R ii (τ = F { S ii (ω } = F {Sxx(ω} = Rqq(τ Daum:. Okober 007

7 Nachrichenechnische Syseme 6/79. } R iq (τ = F {S iq (ω S iq (ω = S ii (ω H H (ω = S ii ( j sgn(ω } R qi (τ = F {S qi (ω S qi (ω = S ii (ω H H (ω = S ii (ω ( j sgn(ω = S ii (ω (+j sgn(ω = S iq (ω = R iq (τ = R qi (τ Rx x (τ = R ii cos(ω 0 τ R iq sin(ω 0 τ F Sx x (ω = π S ii (ω π [δ(ω ω 0 + δ(ω + ω 0 ] π S iq (ω jπ [δ(ω + ω 0 δ(ω ω 0 ] = S ii (ω ω 0 + S ii (ω + ω 0 j S iq (ω + ω 0 + j S iq (ω ω 0 S ii (ω = Sxx(ω Sxx(ω S iq (ω = S ii (ω H H (ω S iq (ω j ω s ω s ω ω s ω s ω -j Daum:. Okober 007

8 Nachrichenechnische Syseme 7/79 S ii (ω + ω 0 S ii (ω ω 0 ω 0 ω 0 ω ω 0 ω s ω 0 + ω s ω 0 ω s ω 0 + ω s + j S iq (ω + ω 0 j S ii (ω ω 0 ω 0 ω 0 ω ω 0 ω s ω 0 + ω s ω 0 ω s ω 0 + ω s = Sx x (ω ω 0 ω s ω 0 ω 0 ω 0 + ω s ω Daum:. Okober 007

9 Nachrichenechnische Syseme 8/79 Lösung Aufgabe Die Überragungscharakerisik eines nichlinearen Versärkers kann wie folg beschrieben werden: y(x = Gx [ ( ] p Gx p + A s. Darin is G die Versärkung, A s is die Säigungsspannung und p ein ganzzahliger Parameer, der die Nichlineariä beeinfluss. Für A s =, G =, p = ergib sich wie in der Aufgabe vorgegeben: y(x = x ( + x /.. d n y y(x = x n dx n x=0 n! = c n x n. n=0 c n = n! d n y dx n x=0 n=0 c 0 = 0 c = dy dx = { ( + x / x ( + x /} x=0 = ( + x = x=0 x=0 c = d y dx = { x( + x / + x ( + x 5/} x=0 x=0 = 0 oder einfacher: c = { ( + x 5 x} = 0 x=0 c = 6 d y dx = { ( + x / + 8x ( + x 5/ 5x 4 ( + x 7/} x=0 6 x=0 = / oder einfacher: c = 6 { ( + 5 x 5 + x ( + x 7 x} = x=0 Dami ergib sich: y = x x Daum:. Okober 007

10 Nachrichenechnische Syseme 9/79. y( = A cos(ω A cos (ω y( = A cos(ω A 8 [ cos(ω + cos(ω] y( = ] [A A cos(ω A 8 8 cos(ω Leisung des gewünschen Aneils für A = 0.5: S = ] [A A Leisung des unerwünschen Aneils durch nichlineare Verzerrung: ( A N NL = 8 Also,. S N NL 84 y(x(z = ( z + c z [ z + c z ] y(x(z = z + c z [ z + c z 5 + c z7 + c z9] Um den kubischen erm zu eliminieren muss c = / gewähl werden. Resulierende Kennlinie: y(x(z = z 4 z5 8 z7 6 z9.4 z( = A cos(ω 4 A5 cos 5 (ω z( = A cos(ω A5 64 z( = [0 cos(ω + 5 cos(ω + cos(5ω] ] [A 5A5 cos(ω 5A5 A5 cos(ω cos(5ω Leisung des gewünschen Aneils für A = 0.5: Daum:. Okober 007

11 Nachrichenechnische Syseme 0/79 S = ] [A 5A Leisung des unerwünschen Aneils durch nichlineare Verzerrung: ( 5A N NL, = 64 ( A 5 = N NL,5 = 64 Also, S N NL, + N NL,5 4 Der durch nichlineare Vorverzerrung erziele Gewinn G is 5! Daum:. Okober 007

12 Nachrichenechnische Syseme /79 Lösung Aufgabe 4 Frequenzmodulieres Signal : x,fm ( = A 0 cos ω 0 + ω x(τ dτ Allgemein is das Spekrum komplizier zu berechnen, für harmonische Signale x( = cos (ω m möglich = Vorlesung für harmonische Signale: x,fm ( harmonisch ( = A 0 cos ω 0 + ω sin (ω m ω m Dabei: unendlich ausgedehnes Spekrum, abfallende Charakerisik. Abschäzung der benöigen Bandbreie Carsonbandbreie B FM = ( f + B f = ω π B = ω m π µ = ω ω m Frequenzhub Bandbreiebedarf des (harmonischen Quellensignals, Grenzfrequenz Modulaionsindex 4. f = ω π = 75 khz, B = ω m π = 5 khz = B FM = ( khz = 80 khz µ FM = ω ω m = 75 5 = 5 Daum:. Okober 007

13 Nachrichenechnische Syseme /79 4. x,fm = A 0 cos (π 90MHz + 5sin (π 5kHz 4. x,fm = A 0 cos (ϕ i ( = ϕ i ( = π 90 MHz + 5 sin (π 5 khz Momenanphase = ω i ( = d d ϕ i ( = π 90 MHz + 5 π 5 khz cos (π 5 khz 90 MHz + 75 khz 90 MHz 90 MHz - 75 khz ω i ( π 0 4 5kHz Daum:. Okober 007

14 Nachrichenechnische Syseme / Aus Vorlesung : x,fm ( = A 0 cos (ω 0 + µ FM sin (ω m = A 0 J n (µ FM cos((ω 0 nω n F n= x,fm ( = A J n (µ FM π [δ (ω [ω 0 n ω m ] + δ (ω + [ω 0 n ω m ]] = Dirac-Söße bei +(ω 0 n ω m gewiche mi J n (µ FM π A X F,FM (ω πa B FM = π 80 khz B FM = π 80 khz ω 0 ω m ω 0 ω Daum:. Okober 007

15 Nachrichenechnische Syseme 4/79 Lösung Aufgabe 5 5. Phasenmodulaion: x,pm ( = A 0 cos (ω 0 + ϕ x( ϕ ˆ= Phasenhub hier: x,pm ( = a x( ( sin(ω 0 + cos(ω 0! = A 0 cos(ω 0 + a x( Mi cos(α + β = cos α cos β sin α sin β = x,pm ( = A 0 cos(ω 0 cos(a x( A 0 sin(ω 0 sin(a x( Da a x( = cos(a x( sin(a x( a x( = x,pm ( = A 0 cos(ω 0 A 0 sin(ω 0 a x( = Für a x( wird x( phasenmodulier mi einem Phasenhub ϕ = a und A 0 = 5. Allgemein: x,fm ( = A 0 cos(ω 0 + ω Für x( = cos(ω m x(τdτ harmonisches Signal = x,fm ( = A 0 cos(ω 0 + µ FM sin(ω m mi µ FM = ω ω m Für µ FM = x,fm ( = A 0 n= J n (µ FM cos ((ω 0 + n ω m Allgemein gil für die Leisung eines Signals eines periodischen Signals x( mi der Periodendauer : P = / / x ( d Daum:. Okober 007

16 Nachrichenechnische Syseme 5/79 hier: P x,fm = = = = = P x,fm = / / / / / / ( n= ( α= ( β= α= β= lim n= α= β= J n (µ FM A 0 cos ([ω 0 + n ω m ] d J α (µ FM A 0 cos ([ω 0 + α ω m ] J β (µ FM A 0 cos ([ω 0 + β ω m ] J α (µ FM J β (µ FM A 0 cos ([ω 0 + α ω m ] cos ([ω 0 + β ω m ] d J α (µ FM J β (µ FM A 0 / / d cos ([ω 0 + αω m ] cos ([ω 0 + βω m ] d J n (µ FM A 0 = A 0 5. x,fm ( = A 0 X,FM (ω = A 0 n= n= J n (µ FM cos ((ω 0 + nω m J n (µ FM π [δ (ω (ω 0 + nω m + δ (ω + (ω 0 + nω m ] x,fm ( y,fm ( H BP (ω X,FM (ω Y,FM (ω Daum:. Okober 007

17 Nachrichenechnische Syseme 6/79 ( ω ω 0 H BP (ω = rec πb Carson + ω m B Carson = ( f + B f = ω π B = ω m π ( + rec ω + ω 0 πb Carson + ω m µ FM = ω ω m = ω = µ FM ω m = 5ω m = B Carson = ( 5ωm π + ω m π = ω m π( ( ω ω0 ω + ω0 = H BP (ω = rec + rec ω m ω m H BP (ω ω m = πb Carson + ω m ω 0 ω 0 6, 5ω m ω 0 + 6, 5ω m ω 0 6, 5ω m ω 0 ω0 + 6, 5ω m ω = von den Aneilen von x,fm = A 0 J n (ω cos([ω 0 + nω m ] n= werden nur die Aneile für n = durch gelassen Daum:. Okober 007

18 Nachrichenechnische Syseme 7/79 X,FM (ω H BP (ω 0, 4 0, 0, 0, ω 0 6ω m ω 0 ω m ω 0 ω 0 + ω m ω 0 + 6ω m ω ω 0 6, 5ω m ω 0 + 6, 5ω m ω m = y,fm = A 0 = P y,fm = A 0 = A 0 +6 = P y,fm P x,fm = 0, 994 n= 6 +6 n= 6 0, 994 J n (5 cos ([ω 0 + n ω m ] J n (5 Daum:. Okober 007

19 Nachrichenechnische Syseme 8/79 = 99, 4% der gesamen Signalleisung liegen innerhalb der Carsonbandbreie für µ FM = 5 Daum:. Okober 007

20 Nachrichenechnische Syseme 9/79 Lösung Aufgabe 6 Vorbemerkungen: Frequenzmodulieres Signal : x ( = A 0 cos ω 0 + ω x(τ dτ }{{} ϕ i ( Mi: ϕ i ( ˆ= Momenanphase ω i ( ˆ= Momenanfrequenz ω i ( = d d ϕ i( = ω 0 + ω x( Demodulaion: x( = ω i( ω 0 ω = x( ohne Rauschen Empfangssignal: y ( = x ( + n ( mi n ( ˆ= weisses Rauschen, Sn n (ω = N 0 In der Vorlesung is gezeig, dass bei der Demodulaion zusäzliches, addiives Momenanfrequnzrauschen ω i ( enseh, mi S ωi ω i = N 0 A 0 ω = ω i ( = ω 0 + ω x( + ω i ( = x( = ω 0 + ω x( + ω i ( ω 0 ω = x( + ω i( } ω {{} n D ( = Nach der Demodulaion wird x( mi einem addiiven Geräusch n D ( mi einer quadraisch verlaufenden Sörleisungsdiche überlager. 6. Das iefpassfiler am Ausgang des FM-Demodulaors dien zur Rauschbegrenzung, es wird nur der Frequenzbereich durchgelassen, in dem das Nuzsignal lieg. Daum:. Okober 007

21 Nachrichenechnische Syseme 0/79 = Nuzsignalleisung: S = π = π Sxx(ω dω ωs ω s S 0 dω = S 0 π ω s = 0000 S 0 N = ( Sn π D n D (ω ω rec ω s = ωs K ω dω π ω s = K π ] ωs ω ω s = K π ω s =, K dω = S N 6. = S 0ω s π Kω s π S 0 = ω s K = (π 0 khz S0 K 0, S0 K 6. Preemphasis dien dazu, die Signalleisung des gesendeen Signal in den Frequenzen zu erhöhen, in denen das Rauschen besonders hoch is. Deemphasis mach diesen Vorgang beim empfangenen Signal wieder rückgängig, d.h. das empfangene Signal wird in diesen Frequenzbereichen ensprechend gedämpf = Reduzierung der Rauschleisung H P (ω = = = = = r r + R jωc R + jωc r (R + jωc r (R + + R jωc jωc r R + r jωc r R + (r + R jωc r + jωrrc (r + R + jωrrc + jω 75 µs 5 + jω 75 µs Daum:. Okober 007

22 Nachrichenechnische Syseme /79 H D (ω = = = jωc R + jωc + jωrc + jω 75 µs 6. Resrikion: Leisung des gesendeen Signals bleib konsan. = Leisung des Eingangssignals des FM-Modulaors bleib konsan. Sendeleisung nach Preemphasis S P = π = π ωs ω s S 0 = π S0 A Sxx(ω H P (ω A dω A + jω 75 µs 5 + jω 75 µs dω ωs + jω 75 µs 5 + ω 5 µs dω ω s = π S0 A 5 S 0 A 6, 06 π 5, 75 A S 0 π 0 khz π 0 khz + (ω 75 µs + (ω 5 µs dω vgl: S = 0000 S 0 6. = A = 0000, 75 A = 8, 99 Daum:. Okober 007

23 Nachrichenechnische Syseme / N = π = π = K π + +ωs π 0 khz π 0 khz Sn D n D (ω H D (ω dω K ω ω s + jω 75 µs ω + (ω 75 µs dω dω = K 7, 7 0 π = 6, 0 0 K S = π = π = π = S 0 9 4π = S 0 9 4π +ωs S 0 ω s ωs S 0 ω s ωs Sxx(ω H P (ω H D (ω A dω ω s ωs H P(ω H D (ω A dω 9 + jω 75 µs 5 + jω 75 µs + jω 75 µs 5 + jω 75 µs dω 5 + jω 5 µs dω ω s = S 0 9 4π 5 π 0 khz π 0 khz S 0 9 4π 4, = S 74, 68 S 0 + (ω 5 µs dω dω S = 74, 68 S 0 N 0, K, 9 0 0S 0 K 6.4 = S N S N =.9 =, = Verbesserung um 5 % durch Preemphasis / Deemphasis ˆ= ca. db Daum:. Okober 007

24 Nachrichenechnische Syseme /79 Lösung Aufgabe 7 7. Zwei Signale x ( und x ( sind orhogonal zueinander, wenn gil: x i ( x j (d = { 0 i j k i = j Die Signale sind orhonormal, wenn k = x ( x ( A A A A = x ( x (d = A A A A = 0 A A = 0 = A = A Daum:. Okober 007

25 Nachrichenechnische Syseme 4/79 x ( x ( A = x ( x (d = A = A = x ( x ( A A = x ( x (d = A + A = A + 4 A = A = = A = = A = A = A = Daum:. Okober 007

26 Nachrichenechnische Syseme 5/79 7. Allgemein: Gegebenes Signal a( mi Signaldauer a = h( = k a( a, d.h. a( muß dann an der verikalen Achse gespiegel werden und dann um a nach rechs verschoben werden. Hier: x ( h ( k = x ( k h ( = k Die Konsane k wird zu gesez, solange nichs anderes gesag wird. 7. ỹ ( ỹ ( ỹ ( ỹ ( x(=x ( x(=x ( x(=x ( x(=x ( = x ( h ( = = x ( h ( = = x ( h ( = = x ( h ( = x (τ h ( τdτ x (τ h ( τdτ x (τ h ( τdτ x (τ h ( τdτ Daum:. Okober 007

27 Nachrichenechnische Syseme 6/79 ỹ ( x ( ỹ ( x ( = Õ ỹ ( x ( ỹ ( x ( Õ ( +( ( = Der Enscheider ese: ỹ ( + > ỹ ( + > ỹ ( + = x wurde gesende ỹ ( + = x wurde gesende = Fehler, wenn:. x gesende und Ỹ( + > Ỹ( + oder. x gesende und Ỹ( + > Ỹ( + Kriischer Fall, x gesende: Daum:. Okober 007

28 Nachrichenechnische Syseme 7/79 ỹ ( x ( ỹ ( y ( 7 6 max 7 > = > ( + 7 ( > + 7 = < 7 + 0, 4 = max = 0, 4 Daum:. Okober 007

29 Nachrichenechnische Syseme 8/79 Lösung Aufgabe 8 8. gegeben: g i (i = i ( ν+ rec ν= = g ( = ( rec ( = rec ( ν i i ( ( g ( = ( rec ( 4 = rec rec ( g ( = ( rec + ( 4 rec ( 6 = rec ( + ( rec ( 4 ( rec ( + ( rec ( 6 ( rec Daum:. Okober 007

30 Nachrichenechnische Syseme 9/79 g ( - g ( - g ( - Daum:. Okober 007

31 Nachrichenechnische Syseme 0/79 8. Darsellung der nich orhogonalen Signalfunkionen g i (, i =...M als Summe von gewichen orhonormalen Basisfunkionen ϕ j, j =...N mi N M g i ( = wobei: ϕ i ( = mi g ij = = ϕ ( = = N g ij ϕ j ( j= 0 0 g i ( i j= g i ( i j= g i ( ϕ j (d g ( g ( d 0 ( rec g ij ϕ j ( g ij ϕ j ( d ϕ ( Daum:. Okober 007

32 Nachrichenechnische Syseme /79 ϕ ( = g ( = g ( g ϕ ( g ( g ϕ ( d 0 g ( ϕ (d 0 hier: g = 0 (d.h. g ( und g ( sind schon orhogonal! = ϕ ( = = g ( g ( d 0 rec ( 4 rec ( 4 ϕ ( Daum:. Okober 007

33 Nachrichenechnische Syseme /79 ϕ ( = g ( = g ( g ϕ ( g ϕ ( g ( g ϕ ( g ϕ ( d 0 g ( ϕ (d = I (d 0 0 I ( = g = = g ( = g ( ϕ (d = I (d 0 0 I ( = g = 0 Daum:. Okober 007

34 Nachrichenechnische Syseme /79 ϕ ( = g ( g ϕ ( g ( g ϕ ( d 0 g ( g ϕ ( g ( g ( ϕ ( 4 = g ( g ϕ ( = rec ( 6 4 rec ( 6 + ( 5 rec 6 Daum:. Okober 007

35 Nachrichenechnische Syseme 4/79 Nenner von ϕ ( = = = = = = 0 g ( g ϕ ( 0 0 g ( g ( d [ ] = 8 9 g ( ϕ ( + 9 ϕ (d g ( ϕ (d + ϕ 9 (d 0 0 = ϕ ( = ( rec rec ( ( rec 6 8 ϕ ( Daum:. Okober 007

36 Nachrichenechnische Syseme 5/79 Lösung Aufgabe 9 9. Mi den Zuordnungen w(k {m R (k, m I (k} ergib sich das folgende Zusandsdiagramm: m I m R Uner Verwendung der gegebenen Zuordnungen ergib sich: n 0 d(n 0 0 k 0 m R (k + m I (k + Daum:. Okober 007

37 Nachrichenechnische Syseme 6/79 n d(n 0 0 k m R (k - m I (k + n d(n 0 k m R (k - m I (k - 9. E = p (d! = p ( A s A p( A s( ( A A s ( A s( Daum:. Okober 007

38 Nachrichenechnische Syseme 7/79 E = = = = A = s 0 ( A ( A s ( A = A d +! s = ] s 0 ( s s ( A ( d s ( A s ( ( A + ( s ] s s 9.4 x R ( = x I ( = ( + m R (k δ( k p( = k= ( + m I (k δ( k p( = + k= + k= k= m R (k p( k m I (k p( k Also besehen die Signale x R ( bzw. x I ( aus einer Summe von um k verschobenen Impulsen p(, die mi m R (k bzw. m I (k gewiche werden. + x R ( + Daum:. Okober 007

39 Nachrichenechnische Syseme 8/79 + x I ( Berachung der Komponene n R (: ( n R ( = n( cos(ω 0 h P ( ( [nin = ( cos(ω 0 n Qu ( sin(ω 0 ] cos(ω 0 h P ( ( = n In ( cos (ω 0 n Qu ( sin(ω 0 cos(ω 0 h P ( = ( [ n In ( cos(0 + ] }{{} cos(ω 0 [ n Qu ( sin(0 }{{} 0 + ] sin(ω 0 h P ( Durch das iefpassfiler werden alle alle Komponenen bei ±ω 0 weggefiler. n R ( = n In ( Berachung der Komponene n I (: ( n I ( = n( ( sin(ω 0 h P ( ( [nin = ( cos(ω 0 n Qu ( sin(ω 0 ] ( sin(ω 0 h P ( ( = n In ( cos(ω 0 sin(ω 0 + n Qu ( sin (ω 0 h P ( = ( [ n In ( sin(0 + ] }{{} sin(ω 0 0 [ + n Qu ( cos(0 }{{} ] cos(ω 0 h P ( Daum:. Okober 007

40 Nachrichenechnische Syseme 9/79 Durch das iefpassfiler werden alle alle Komponenen bei ±ω 0 weggefiler. 9.6 Aus Seminar-Aufgabe is bekann: n I ( = n Qu ( y R ( = x R ( y I ( = x I ( f( sei das Ausgangssignals des Mached Filers, wenn ein einzelner Impuls am Eingang angeleg wird: f( = p( ϕ 0 ( Dann gil: = z R ( = = = = z I ( = = = = ( + k= ( + k= ( + k= + k= ( + k= ( + k= ( + k= + k= m R (k p( k m R (k δ( k m R (k δ( k m R (k f( k m I (k p( k m I (k δ( k m I (k δ( k m I (k f( k ϕ 0 ( p( ϕ 0 ( }{{} f( f( ϕ 0 ( p( ϕ 0 ( }{{} f( f( Die Mached Filer sind auf den Impuls p( angepass: ϕ 0 ( = p( Daum:. Okober 007

41 Nachrichenechnische Syseme 40/79 p( ϕ 0 ( A s A A s( A s A A s( Mi A = = A s Im folgenden wird die Funkion f( berache: = 4 = = s f( = p( ϕ 0 ( = + p(τ ϕ 0 ( τ dτ p(τ ϕ 0 ( τ τ ( ( τ s τ (s τ s τ Für < 0 überlappen sich die Funkion p(τ und ϕ 0 ( τ nich. Also is in diesem Inervall der Inegrand und dami die Funkion f( gleich null. Daum:. Okober 007

42 Nachrichenechnische Syseme 4/79 Für 0 < < ergib sich das folgende Bild: p(τ ϕ 0 ( τ τ ( ( τ τ s s (s τ s τ In diesem Inervall 0 < < is: f( = + = p(τ ϕ 0 ( τ dτ = 0 0 ( τ τ τ dτ = ( s = s τ dτ Daum:. Okober 007

43 Nachrichenechnische Syseme 4/79 Für < < ergib sich das folgende Bild: p(τ ϕ 0 ( τ τ τ ( ( τ s (s τ s τ In diesem Inervall < < is: f( = = + p(τ ϕ 0 ( τ dτ s ( τ ( τ dτ s 0 } {{ } I + + s s ( τ τ dτ } {{ } I s ( τ ( τ dτ } {{ } I Daum:. Okober 007

44 Nachrichenechnische Syseme 4/79 Die einzelnen Inegrale I, I und I besimmen sich zu: I = [ s = τ τ + τ ( ] s ( = s = I = [ s = ] s τ τ ( [ s 8 ] 4 [ ( = s = + ] 4 Daum:. Okober 007

45 Nachrichenechnische Syseme 44/79 I = [ τ s τ τ + ] τ ( [ s = s + ] [ ( = s = Dami ergib sich in diesem Inervall < < : f( = I + I + I = Daum:. Okober 007

46 Nachrichenechnische Syseme 45/79 Für das Inervall < < ergib sich das folgende Bild: p(τ ϕ 0 ( τ τ τ ( (s τ s ( τ s τ f( = = + s p(τ ϕ 0 ( τ dτ ( τ ( τ dτ s } {{ } I a + s s ( τ ( ( τ dτ s } {{ } I b + s ( τ ( τ dτ } {{ } I c Daum:. Okober 007

47 Nachrichenechnische Syseme 46/79 Die einzelnen Inegrale I a, I b und I c besimmen sich zu: I a = [ s ( = s τ τ + τ ] s [ + s ] ( = s = I b = = = s τ τ + τ + s τ dτ s [ τ τ + ] τ + s s τ ( s s [ ] ( = s = + Daum:. Okober 007

48 Nachrichenechnische Syseme 47/79 I c = [ s τ τ τ + ] s τ s ( = + [ + 8 s ] 4 ( = s = Dami ergib sich in diesem Inervall < < : f( = I a + I b + I c = Daum:. Okober 007

49 Nachrichenechnische Syseme 48/79 Für das Inervall < < ergib sich das folgende Bild: p(τ ϕ 0 ( τ τ (s τ s s τ ( ( τ s τ In diesem Inervall < < is: Daum:. Okober 007

50 Nachrichenechnische Syseme 49/79 f( = + p(τ ϕ 0 ( τ dτ = ( τ ( ( τ dτ s = = = τ τ + τ + s τ dτ [ τ τ + ] s τ + s τ ( + + [ + s ] + s ( = 6 + s + 4 s = Für > überlappen sich sich die Funkion p(τ und ϕ 0 ( τ nich. Also is in diesem Inervall der Inegrand und dami die Funkion f( gleich null. Dami ergib sich: Daum:. Okober 007

51 Nachrichenechnische Syseme 50/79 f( = 0 : < 0 : : 0 < < : s + : : + 4 s + 6 : : < < : < < : < < 0 : > f( 4 4 Die Funkionen z R ( bzw. z I ( ergeben sich als Überlagerung von um k verschobenen Funkionen f(, die mi m R (k bzw. m I (k gewiche sind. Daum:. Okober 007

52 Nachrichenechnische Syseme 5/ m R (0 f( 0 m R ( f( s m R ( f( s z R ( Daum:. Okober 007

53 Nachrichenechnische Syseme 5/79 + m I (0 f( + m I ( f( s 0 m I ( f( s z I ( Daum:. Okober 007

54 Nachrichenechnische Syseme 5/79 Lösung Aufgabe 0 Vorbemerkungen Sendesignal QAM: Empfangssignal: x QAM ( = + k= + k= = R m R (k p( k cos(ω 0 + k= m I (k p( k sin(ω 0 [m R (k + jm I (k] p( k }{{} s exp(jω 0 m(k y( = x QAM ( + n( n( is Bandpassrauschen Aus der Vorlesung is bekann: n( = n R ( cos(ω 0 n I ( sin(ω 0 = R [n R( + jn I (] exp(jω }{{} 0 n( die Rauschkomponenen n R ( und n I ( sind mielwersfrei, gaussvereil und saisisch unabhängig, d.h: fn R (n R = fn I (n I = ( exp n R πσ n R σn ( R exp n I πσ n I σn I Für die Rauschleisung der Rauschkomponenen gil: E{n R(} = E{n I(} = E{n (} = N 0 = σ n R = σ n I y( wird demodulier, über ein Mached Filer gefiler und abgease. Das Ausgangsignal nach der Abasung sez sich zusammen aus einer Überlagerung der Symbolwere und den Rauschkomponenen Daum:. Okober 007

55 Nachrichenechnische Syseme 54/79 y R = m R + n R y I = m I + n I y = y R + j y I = ( ( m R + n R + j mi + n I 0. Bei symmerischer Wahrscheinlichkeisdiche (z.b. mielwersfreie Gaussvereilung, mielwersfreie Gleichvereilung werden die Enscheidungsregionen durch die Mielsenkrechen auf den Verbindungslinien von benachbaren Punken begrenz. Alle empfangenen Werepaare (y R, y I, die in einer Enscheidungsregion liegen, werden dem Symbol, das in der Enscheidungsregion lieg zugeordne. m I D x x x x 4 D x 5 x 6 x 7 x 8 m R x 9 x 0 x x x x 4 x 5 x 6 0. Die Fehlerwahrscheinlichkei läss mi den angegebenen Wahrscheinlichkeien be- Daum:. Okober 007

56 Nachrichenechnische Syseme 55/79 rechnen zu: P e { = P n R < D } { = P n R > + D } { = P n I < D } { = P n I > + D } = P e = D fn R (n R dn R = fn R (n R dn R = D fn I (n I dn I = D D fn I (n I dn I Da die Rauschkomponenen n R und n I die gleichen mielwersfreien, gaußvereilen Wahrscheinlichkeisdichen besizen, is der Wer aller Inegrale gleich groß und läss sich mi Hilfe der Error funcion (Fehlerfunkion erf(x besimmen. P e = D ( exp n R πσ n R σn R dn R = ( + erf ( D N 0 0. Die Wahrscheinlichkei, dass ein Symbol korrek empfangen wird ergib sich zu: P k = 6 m= P xm P k xm Dabei gib P k xm die Wahrscheinlichkei an, dass das Symbol korrek empfangen wurde uner der Bedingung, dass das Symbol x m gesende wurde und P xm gib die Wahrscheinlichkei an, dass das Symbol x m gesende wird. Es wird davon ausgegangen, dass die Symbole x m gleichwahrscheinlich ausgesende werden, also: P x = P x = P x... = P x6 = 6 Für die Symbole x m gib es verschiedene Aren von Enscheidungsregionen. Symbole an den Ecken: Symbole an den Rändern: x, x 4, x, x 6 x, x, x 8, x, x 5, x 9, x 4, x 5 Symbole in der Mie: x 6, x 7, x 0, x Daum:. Okober 007

57 Nachrichenechnische Syseme 56/79 = P k = (4 6 P k x + 8 P k x + 4 P k x6 Dami das Symbol x korrek empfangen wird gil: Die Rauschkomponene n R darf nich größer als D werden und die Rauschkomponene n I darf nich kleiner als D werden. Daher gil für die bedinge Wahrscheinlichkei, dass das Symbol korrek empfangen wurde uner der Bedingung, dass das Symbol x gesende wurde: P k x { = P n R < D, n I > D } { = P n R < D } { P n I > D } ( { = P n R > D } ( { P n I < D = ( P e } Dami das Symbol x korrek empfangen wird gil: Die Rauschkomponene n R darf nich kleiner als D und nich größer als +D werden und die Rauschkomponene n I darf nich kleiner als D werden. Daher gil für die bedinge Wahrscheinlichkei, dass das Symbol korrek empfangen wurde uner der Bedingung, dass das Symbol x gesende wurde: P k x { = P D < n R < + D, n I > D } { = P D < n R < + D } { P n I > D } ( { = P n R > D } { P n R > D } ( { P n I < D ( { = P n R < D } P e ( P e = ( P e ( P e } Dami das Symbol x 6 korrek empfangen wird gil: Die Rauschkomponene n R darf nich kleiner als D und nich größer als +D werden und die Rauschkomponene n I darf nich kleiner als D und nich größer als +D werden. Daher gil für die bedinge Wahrscheinlichkei, dass das Symbol korrek empfangen wurde uner der Bedingung, dass das Symbol x 6 gesende wurde: Daum:. Okober 007

58 Nachrichenechnische Syseme 57/79 P k x6 { = P D < n R < + D, D < n I < + D } { = P D < n R < + D } { P D < n I < + D } ( { = P n R > D } { P n R > D } ( { P n I > D } P ( { = P n R < D } ( { P e P n I < D } P e { n I > D } = ( P e Dami gil für Wahrscheinlichkei, dass ein Symbol korrek empfangen wird: = P k = 6 4 ( P e ( P e ( P e ( P e = [ ] 4 P e + Pe + [ ] P e + Pe + [ ] 4 4P e + 4Pe = P e P e Für die Wahrscheinlichkei, dass ein Symbol fehlerhaf empfangen wurde gil: P S,6 QAM = P k = P e 9 4 P e Da gil P e = P e P e, folg für die Symbolfehlerwahrscheinlichkei der 6 QAM P S,6 QAM P e Daum:. Okober 007

59 Nachrichenechnische Syseme 58/79 Lösung Aufgabe. L : y R = 0, y I 0 L L : y R 0, y I = y R : y R 0, y I = y R y I L x L Z Z Z x x y R d L. fn R (n R dn R = d d k dn R = k = d Daum:. Okober 007

60 Nachrichenechnische Syseme 59/79. y I L x Z h b Z Z x x L y R d d L d.4 P e x =k Fläche des schraffieren Bereichs (A. P e x = 4 b = d d h = b = ( d d A = ( d d = d 8 (4 Daum:. Okober 007

61 Nachrichenechnische Syseme 60/79.5 y I L x Z L b h d d d Z Z x x d y R d d L.6 P e = p(x P e x + p(x P e x + p(x P e x = (P e x + P e x + P e x = 4 P e x = 6 (4 Daum:. Okober 007

62 Nachrichenechnische Syseme 6/79 Lösung Aufgabe. Die Impulsanwor von Impulsformungsfiler und Kanal q( = p( h( ergib sich aus Überlagerung der verschobenenen Impulse p( q( = p( h( s s s. Das Mached Filer besiz die Impulsanwor ϕ( = p( : s ϕ( = p( Die Gesamimpulsanwor von Impulsformungsfiler, Kanal und Empfangsfiler ergib sich zu: g( = p( h( ϕ( }{{} q( Daum:. Okober 007

63 Nachrichenechnische Syseme 6/79 g( Die Gesamimpulsanor g( erreich den Maximalwer bei =, daher wird für den Empfang des Symbol, das bei = ν gesende wird die empfangene Impulsfolge bei = (ν + abgease Da die Gesamimpulsanwor g( eine zeiliche Ausdehnung von g.5 besiz, überlappen sich im Berachungszeiraum des Augendiagramms genau Gesamimpulse: Der gerade ausgesande, der vorherige und der nachfolgende Impuls. g( Im Augendiagramm beracheer Zeipunk (ν (ν ν (ν + s s (ν + Daum:. Okober 007

64 Nachrichenechnische Syseme 6/79 Im folgenden werden die sich überlagernden Impulse genauer berache. Das Symbol, das zum Zeipunk = ν gesende wird kann die Were + und annehmen. Für die Besimmung des Augendiagramms müssen alle Kombinaionen der empfangen ( Impulse berache werden, die in dem Zeiinervall ν S ( S... ν S + S zu unerschiedlichen Überlagerungen führen: g( 5 6 X ν = + X ν = + X ν = (ν (ν ν 5 6 X ν = X ν = X ν = Das Augendiagramm ergib durch Aufragen aller möglichen unerschiedlichen Überlagerungen in dem Zeiinervall ( ν S S... ( ν S + S. Hier überlagern sich immer lineare Funkionen, daher is das Ergebniss der Überlagerungen immer eine lineare Funkion. Das Augendiagramm als Ergebnis aller möglichen Überlagerungen is im folgenden Diagramm dargesell. Dabei bedeuen die Were in den geschweifen Klammer die Symbolwere, die für die jeweiligen Überlagerungen geführ haben: {X ν, X ν, X ν, } Daum:. Okober 007

65 Nachrichenechnische Syseme 64/79 z( {+,+,X} {,+,X} {+,+,+} {,+,+} {,+, } {+,+, } ( ν 6 0 {+,,X} {+,,+} {,,+} 5 6 {,,X} {+,, } {,, }.4 Die Überragung der Symbole kann nich ohne Inersymbolinerferenz geschehen, da das Augendiagramm im Abaszeipunk nich maximal geöffne is. Eine andere Begründung kann mi Hilfe des. Nyquiskrieriums geschehen. Dieses sag aus, dass die Überagung Inersymbolinerferenzfrei geschehen kann, wenn für die Gesamimpulsanwor g( im Abaszeipunk gil: g(ν S = { 0 : ν k : ν = k Da hier die Gesamimpulsanwor g( sowohl zu dem Zeipunk = als auch zum Zeipunk = ungleich 0 is, is das. Nyquiskrierium nich erfüll. Daum:. Okober 007

66 Nachrichenechnische Syseme 65/79 Lösung Aufgabe. Spannungseiler: mi G K+E (ω = F s( exp ( α α + jω = = jωc R + jωc jωrc + + jω s G K+E (ω = = g K+E ( = s( exp + jω = + jω (. w K+E ( = g K+E (τdτ exp( τdτ = 0 = ( [ s exp [ ( = exp ( s = exp ( ] τ 0 ] exp(0 Daum:. Okober 007

67 Nachrichenechnische Syseme 66/79 w K+E ( Das gesendee Signal x ( ha die folgende Form: x ( = ν = ν X ν δ( ν p( X ν p( ν Das gesame Überragungssysem sieh dami wie folg aus: Xν δ( ν p( h( ϕ 0 ( z ( R C Besimmung der Gesamimpulsanwor g( von Sendeimpulsformungsfiler, Kanal und Empfangsfiler: Daum:. Okober 007

68 Nachrichenechnische Syseme 67/79 Xν δ( ν g( z ( Also enseh die Gesamimpulsanwor g( durch die Falung der Impulsanworen von Sendeimpulsformungsfiler, Kanal und Empfangsfiler = g( = p( h( ϕ 0 ( }{{} g K+E ( Die Impulsanwor des Sendeimpulsformungsfiler läss sich durch die Überlagerung von Sprungfunkionen beschreiben: p( s( s( S = S S p( = s( s( S = s( δ( S s( = g( = s( g K+E ( δ( S s( g K+E ( = w K+E ( δ( S w K+E ( = w K+E ( w K+E ( S Daum:. Okober 007

69 Nachrichenechnische Syseme 68/79 w K+E (, w K+E ( S + + S S S g( + + S S S Da die Gesamimpulsanwor prinzipiell zeilich unbegrenz ausgedehn is, überlapp sich die der Gesamimpuls eines Symbol mi jedem Gesamimpuls aller nachfolgenden Symbole. Also müsse eine unendliche Folge von zufälligen Symbolen X ν überragen werden werden und das Ausgangssignal im Bereich [ = ν S S ; = ν S + ] S für alle ν überlager werden um alle Kombinaionen zu finden, die zu unerschiedlichen Kurven im Augendiagramm führen. Aber, da die Sprunganwor asympoisch gegen einen eingeschwungenen Zusand sreb, lassen sich die innneren Grenzen des Augendiagramms besimmen: Dafür müssen die zwei Exremfälle berache werden: Alle Sendesymbole X ν sind negaiv, nur ein einzelnes Sendesymbol is posiiv. = innere Begrenzung des Augendiagramms nach oben hin Alle Sendesymbole X ν sind posiiv, nur ein einzelnes Sendesymbol is negaiv. = innere des Augendiagramms nach unen hin Erser Fall: Alle Sendesymbole X ν sind negaiv, nur ein einzelnes Sendesymbol is posiiv. Dann sieh das Signal x ( wie folg aus: Daum:. Okober 007

70 Nachrichenechnische Syseme 69/79 x ( + + n n + Das Signal x ( läss sich mi Hilfe der Sprungfunkion wie folg darsellen: x ( = + s( n s( (n x ( n n + Am Ausgang des Empfangsfiler resulier jede Sprungfunkion in einer Sprunganwor. z ( n n Daum:. Okober 007

71 Nachrichenechnische Syseme 70/79 Das Signal z ( ergib sich dami als Überlagerung von verschobenen Sprungfunkionen: + z ( + n n Das Signal am Ausgang des Empfangsfiler für den zweien Fall: alle Sendesymbole X ν sind posiiv, nur ein einzelnes Sendesymbol is negaiv ergib sich durch die Inverierung des Signal für den ersen Fall. + + z ( n n + Die innere Begrenzung des Augendiagramms ergib sich durch die Überlagerung im Bereich [ = ν S S ; = ν S + ] S Daum:. Okober 007

72 Nachrichenechnische Syseme 7/79 z ( ( ν s.4 Die Überragung is nich ohne Inersymbolinerferenz möglich, da sich die Gesamimpulsanwor nich das Nyquis-Krierium erfüll: g(ν S = { 0 : ν k : ν = k Daum:. Okober 007

73 Nachrichenechnische Syseme 7/79 Lösung Aufgabe 4 4. allgemeines CPM-Signal: x CPM ( = x 0 cos (ω 0 + ϕ( mi ϕ( = h π X i g f (τ i S dτ S = h π i= i= X i g ϕ ( i S 4. wobei: : Symbolperiode, Symboldauer h: Modulaionsindex g ϕ (: Phasengrundimpuls g f (: Frequenzgrundimpuls ϕ(: Momenan Phase Es gil: g ϕ ( = S g f (τ dτ ( g f ( = rec S S = ϕ( = h π S ϕ( = h π S ν= ν= X ν ( τ X ν rec S ν S S dτ ( τ ( rec S + ν S dτ S ( τ ( rec s+ν S S ν S (ν + S ν S + S S τ Daum:. Okober 007

74 Nachrichenechnische Syseme 7/79 = = ( τ ( rec S + ν S dτ S 0 für < ν S = ν > S S für (ν + S = ν S = I(, ν ν S für ν S < (ν + S = S < ν S da ν nur eine ganzzahlige Zahl sein darf wird weierhin der folgende Operaor verwende: x liefer die größe, ganze Zahl, die kleiner oder gleich x is! =. =.9 =. = = I(, ν = 0 für ν > S S ν S für ν S für S < ν = ν = S S = ϕ( = h π S = h π S = h π S ν= S ν= S X ν I(, ν S ν= X ν S + S ν= S X ν ( ν S ( X ν + X S S S Daum:. Okober 007

75 Nachrichenechnische Syseme 74/79 ϕ( h π Daum:. Okober 007

76 Nachrichenechnische Syseme 75/79 Lösung Aufgabe 5 5. s n ( = e jπfn [x n ( g(] = x n g( e jπfn ( ( N/ = x n rec exp j πn N N 5. Es gil: ( rec N ( N/ rec N ( ( N/ rec exp j πn N N F F F ( N si ω N ( N si ω N N si exp (( ω πn N ( j ( ω πn N ( exp jω N N N Daraus folg: ( N/ s n ( = x n rec N F S n (ω = x n N si (( ω n ( exp j πn N ( ( π N exp j ω n N π N N 5. Für den Berag von S n (ω gil: S n (ω = x n N ((ω si π N n N ( = x n N si π ω n ω ( π = N si ω ω (ω n ω Daum:. Okober 007

77 Nachrichenechnische Syseme 76/79 N S (ω S (ω ω ω 0 ω ω ω 4 ω ω 5.4 Es gil für das Ausgangssignal: y( = N s n ( = n= Einsezen von = i ergib: N ( N/ x n rec N n= ( exp j πn N N ( ( i N/ y i = y(i = x n rec exp j πn N N i n= N ( = x n exp j πn N N i = x n exp (j πn ni n= Der leze Ausdruck ensprich für i N der IDF der Folge x n ( n N. n= Daum:. Okober 007

78 Nachrichenechnische Syseme 77/79 Lösung Aufgabe 6 6. g(n x(n n n 6. z u (n n 6., ( +, ( + + -, ( +, ( + Eingang x(n, ( Ausgang z 0 (n e(n=0 Zusand x(n Daum:. Okober 007

79 Nachrichenechnische Syseme 78/ z 0 (n n Daum:. Okober 007

80 Nachrichenechnische Syseme 79/ ( z0(i = i = 0 i = i = ( ˆx(i = + + Erklärung Eingang + Eingang Feld zum Einragen der Ausgangssymbole ẑu(i Feld zum Einragen der Merik Mi+ Daum:. Okober 007