2. Kinematik punktförmiger Körper

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Vincent Krämer
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1 . Kinemaik punkförmier Körper Beschleuniun: Körper werden als Massenpunke idealisier. Beweun im -dimensionalen Raum d( ) a( ) ɺ ( ) ɺɺ ( ) d Konenion: : Zei [s] (,y,) : Or [m] : Geschwindikei [m/s] a : Beschleuniun [m/s ] s : Orskure (beschreib Beweun): urückeleer We [m] ( ) Beispiel: Or Ableiun der Geschwindikei nach der Zei (bw. weie Ableiun der Orskure) () () Geschwindikei: Seiun der Orskure ( ) beliebie Funkion der Zei Geschwindikei Geschwindikei: d( ) ( ) ɺ ( ) d Beschleuniun a() Ableiun der Orskure nach der Zei

2 3 4 Einfachser Fall: konsane Geschwindikei hier is und mi : d d s Umeform: s Genauer: die Umkehrun der Ableiun is die Ineraion Geschwindikei d d + ( ) ( ) d Beispiel: konsane Beschleuniun (leichförmi beschleunie Beweun), mi s : ( ) + ad + a ( ) + ( ) d () ( ) + + a d + + a Beschleuniun d a d + ( ) a( ) d hier neai

3 . Der freie Fall 5 Beschreibun des freien Falls a() Ineral Fläche uner der Kure! 6 Meßerebnis: Beschleuniun: in der Nähe der Erdoberfläche wirk auf alle Körper die leiche Beschleuniu a a - (wenn die Lufreibun ernachlässi werden kann, d.h. im Vakuum oder bei kleinen Geschwindikeien) Diese berä (im Miel) 9.8 m/s Erdschwerebeschleuniun Mi und : Geschwindikei: (-)d () (der Wer ariier roß- und kleinräumi; an den Polen berä er ewa 9.83 m/s, am Äquaor ewa 9.78 m/s ) Konenion: die Höhe wird mi beeichne, mi posiier Richun nach oben; dann ha a ein neaies Voreichen a m/s Or: ()d (-)d () Tabelle (seen m/s ). s. s.4 s - - m/s - m/s -4 m/s - / -.5 m -. m -.8 m.6 s -6 m/s -.8 m.8 s -8 m/s -3. m s - m/s -5 m

4 7 8 Allemein: freier Fall mi Anfansbedinunen Zusammenhan: (Anfansbedinunen sind die frei wählbaren anfänlichen Were der Lösunsfunkionen einer Differenialleichun; hier sind es Saror und Sareschwindikei ) ( ) +.3 Beweun im dreidimesionalen Raum Kinemaische Größen sind Vekoren Or Geschwindikei r y y y Orsekor r y d r d r() ẋ() () ż() (jede Komponene des Orsekors wird nach der Zei abeleie) a d d () () y () () Analo um eindimensionalen Fall il auch: + r ( ) r ( ) d + ( ) a( ) d ẍ() ÿ() () Beschleuniun a a a y a Für die konsane Beschleuniun is also r ( ) r + + a

5 .4 Der schiefe Wurf 9 Bahnkure: beide Achsen Orskoordinaen! (freier Fall mi Anfanseschwindikei) Vekorielle Darsellun der Erdbeschleuniun: a Allemeine Beweun: (konsane Beschleuniun in neaier -Richun) r() r + +, y +,y, + Das Koordinaensysem sei so ewähl, dass y il: () y() () +, y +, Genauer: α die Anfanseschwindikei ha einen Bera und einen Winkel α ur -Achse (ur Erdoberfläche) cosα sinα Berechnen der Bahnkure (hier mi ): α l A Ziel h Es is A l cosα h l sinα Zei, um A urückuleen: A A l cosα l cosα

6 Höhe bei A : l l ( A) A A sinα Besimmun des Zeipunks des Aufreffens auf dem Boden (): l ( A) h is unabhäni om Winkel α! Ein anfänlich auf einen Punk ericheer Wurf erfehl diesen in senkrecher Richun um die Srecke, die ein frei fallendes Objek (ohne Anfanseschwindikei) in derselben Zei urückle! Frae: welcher Winkel führ bei eebener Geschwindikei um weiesen Wurf? cosα sinα l Lösunen: oder Umeform: (am Anfan is das Objek bei ) (beschreib die esuche Lösun) In -Richun urückeleer We u diesem Zeipunk: l cosα sinα sin α Diese wird maimal für α 45 Grad ( π/4 ) Beweun in -Richun: ( ) α l ma Maimale Weie des schiefen Wurfs auf einer Ebene

7 3 4 Zahlenbeispiele: Zeiabhänikei der Koordinaen: harmonische Osillaion Weisprun, m/s l ma m Moorrad, 5m/s (8 km/h) l ma 5 m.6 Kreisbeweun y r ϕ r r Bei leichförmier Beweun: Wir berachen eine Kreisbeweun in der y-ebene. Hier il: r cosϕ y r sinϕ Der Winkel is eiabhäni: ϕ ϕ() ϕ ω () y() τ/ τ/ Periode τ Merke: normale Frequen τ τ es il: ω π τ ωτ π π τ ω Kreisfrequen f τ ω πf Dami wird der Orsekor: r() r cosω r sinω Kreisfrequen Allemein il: d ω ( ) ϕ( ) d Winkeleschwindikei

8 Geschwindikei und Beschleuniun bei der Kreisbeweun 5 b) für den Bera des Vekors il: 6 ( r )() Geschwindikei () d d Wir berachen eine Kreisbeweun in der y-ebene Or: r() r cos(ω) r sin(ω) r cos(ω) r sin(ω) r ωsin(ω) r ωcos(ω) + + y r ω sin ( ω) + r ω cos ( ω ) r ω ω r Der Bera der Geschwindikei bleib konsan! (für konsanes ω) Eienschafen der Geschwindikei a) Es il () r() r ωsin(ω) r ωcos(ω) r cos(ω) r sin(ω) Es is also ω r Beschleuniun a() d r ωsin(ω) r ωcos(ω) d r ω cos(ω) r ω sin(ω) r ω ( cos(ω)sin(ω)+cos(ω)sin(ω)) a() ω r() Das Skalarproduk is immer Null, d.h. der Geschwindikeis- Vekor seh immer senkrech auf dem Orsekor! (daher eränder sich die Läne des Orsekors nich) Der Beschleuniunsekor ei um Zenrum der Kreisbahn! Für seinen Bera il: a r ω

9 Vekorielle Beschreibun der Kreisbeweun ω ωn Richun der Drehachse: n (Einheisekor mi Läne ) Bahneschwindikei: r r r sin r ( ) ω ω α y α Es il: r n Dies ensprich den Geebenheien bei einem Kreuproduk. Mi der Definiion ω ωn läß sich also schreiben: r ω ω r Bahneschwindikei bei einer Drehun um eine Drehachse durch den Ursprun, beschrieben durch ω. Beschleuniun: a ɺ ( rɺ ω ) + ( r ɺ ω ) ( ω ) ω, da der Vekor konsan is Einseen der obien Formel für die Geschwindikei: a ω ( ω r ) ( ω r ) ω ( ω ω ) r ( ω r ) ω ω r ω ( ω r ) ω r ω ω ω ω ( r ) r ω ω ω r r r + r r r a ω r Der Beschleuniunsekor ei um Zenrum der Kreisbahn!

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