System: Das mathematische Pendel

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Herta Eberhardt
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1 System: Das mathematische Pendel Verhaltensbeschreibun durch eine Formel (für die Größen) Zuan zur Formel Nutzun der Formel Näherun Datennahme Beispiel für modulares Vorehen Benötites und Benutztes: (Winkel im Boenmaß) Trionometrische Funktionen Ortsvektor: Polare Wedarstellun und zuehörie Formeldarstellun Änderunsrate: Geschwindikeit, Winkeleschwindikeit Übersicht über das Vorehen zur Herleitun der Formel Auch wenn man einzelne dieser Schritte nicht beherrscht, man kann doch verstehen was sie jeweils leisten und das (modular) in das Gesamtbild einbauen! (a) Die Systemidealisierun in einer Skizze "anzheitlich" zusammenfassen. Benötit wird der Auslenkwinkel α(t). (b) Die Vektorrechnun liefert eine Formel für den interessierenden Ortsvektur r(t) zu eebenem α(t). Darstellun von α(t). (c) Newton liefert eine Bestimmunsl. für r(t). Mit Hilfe von (b) wird daraus eine Differentialleichun für α(t) (d) Mathematik behandelt die ösun der Dl. Numerisch ist sie (bei eebenen Anfansbedinunen) einfach zu lösen. Eine exakte ösunsformel ist problematisch und schwieri. Verleich mit Experiment. (e) Üblich und nützlich ist eine Näherun des Problems für kleine Winkel: Es entsteht ein einfach behandelbares Differentialleichunsproblem. ( Oszillator) (f) Eine alternative Auswertun von (d) bzw (e) liefert jeweils eineformel für die Periode oder Schwinunsdauer (Eine physik. interessante Größe). Nur die Formel zu (e) ist einfach. Interpretation und Diskussion der Formel zu (e) Anwendunen - Aufaben Verleich mit dem Experiment Wie ut ist dienäherun? Zuehörie Diskussion Datenewinnun und -auswertun 1

2 Schwinunsdauer des Pendels Zu a): Die folende Fiur enthält die idealisierte Konfiuration, das benutzte Koordinatensystem (ebene Polarkordinaten) und zusammenesetzt die daraus folende Vektorbeschreibun. Die interessierende Beobachtunsröße ist der Auslenkwinkel α, der sich mit der Zeit ändert. Also die Funktion α = α(t). Sie vorherzusaen ist hier das zentrale physikalische Problem. Sobald man diese Funktion kennt, liefert die Fiur den Ortsvektor r des Pendelpunktes zur Zeit t, also r(t). Und das ist die Größe, aus der man mathematisch alle weitere Information folt. Zu b) Wir finden mit Hilfe der Fiur und den Formeln zu den Polarkoordinaten: Schritte (c-e) später! Jetzt leich zu f) Aber beachte: r(t) = e r (ϕ(t)) = e r ( π α(t)) = ( e 1 cos( π α(t)) + e sin( π α(t))) = ( e 1 sin (α(t)) e cos(α(t))) Das mit der Idealisierun verbundene mathematische Modell bestimmt ϕ(t) bei eebenen Startwerten für alle Ewikeit vollständi. Und damit auch alle abeleiteten Größen wie etwa die Schwinunsdauer. Zu (f): Zunächst interessiert die Schwinunsdauer. Das ist die kleinste Zahl T>0, für die r(t) = r(t + T ) ilt. D.h. das Pendel befindet sich zum späteren Zeitpunkt an demselben Ort mit derselben Geschwindikeit.

3 Zusammenstellun der Beschreibunsrößen des idealen Systems (äußere Parameter, eränzt noch a)) : Pendelläne [m] Pendelmasse m [k] Erdbeschleuniun [m/s ] Wichtiste Beschreibunsrößen des (jeweilien) Systemzustandes: Maximaler Auschlaswinkel ϕ 0 Maximale Geschwindikeit (am tiefsten Punkt) v 0. Periode oder Schwinunsdauer T=T z.(kleinstest>0 mitϕ(t + T )=ϕ(t) ) Erwartun: Wie sollte sich das System ualitativ verhalten???? Das Resultat: Für kleine Schwinunen findet man näherunsweise T=π Vertrautmachen: Einheitenkonsistenz: m ( m ) = s stimmt. s Monotonieverhalten in und wie erwartet. T ist unabhänikeit von m! Bedeutun, Experimente. Dies T ist unabhäni von ϕ 0. Typische Aufaben: äne des Sekundenpendels / Handexperiment (Stabil een Beweun der Hand?? / Schwinunsdauer auf Neutronenstern In der Hierarchie Nach oben (Verallemeinerun): Periodische Beweunen Wie ut ist die Näherun? Sei k =sin ϕ 0. Dann folt die exakte Schwinunsdauer in Form einer unendlichen Reihe: : s Ã µ µ µ T =π 1+k + k 4 + k ! Bessere Form Ã µ 1 T = 1+k T = T {z} 0 Bezusdauer + k 4 µ (...) {z} Korrekturfaktor µ k ! 4 6 Eine exakte elementare Formel für die esamte Reihe ist leider nicht unmittelbar verfübar. Näherun durch die ersten Beiträe der Reihe. 3

4 Bezeichnunen: Ã µ! µ 1 1 T 1 = 1+k und damit T 1 = k Ã µ µ! T = 1+k + k 4 und damit T =...usw. 4 Wie ut ist die jeweilie Näherun??? Tistimmer unabhäni von m. (et was für ein Experiment nahe?) Für kleine ϕ 0 ist T auch (näherunsweise) unabhäni von ϕ 0. Experiment? Frae: Wie beschreibt man den Fehler uantitativ? Fehlerbeschreibun: Zunächst für die Näherun von sinϕ durch ϕ. T, Wert und Näherunswert T- µ absoluter Fehler T oder T T 0 relativer Fehler T Maximaler Ausschla ϕ 0. äne =1m. wie roß ist die Ausschlasweite sinϕ 0?? \ϕ sinϕ ϕ (dh. 1cm) 0.1 d.h. (10cm) sin(ϕ 0 ) ϕ 0 sin ϕ sin(ϕ 0 ) ϕ 0 ϕ k =sin ϕ Die Korrekturen für die Schwinunsdauer raphisch darstellen: Wie ändert sich die Schwinunsdauer, wenn sich die Pendelläne um 10% verrößert? µ T =π (1+α) Einsetzen, absol. Änderun =π 1+α 1 Umformen =π T = 1+α 1 1 α Endform für relative Änderun samt Näherun für kleine α. Das Bild zeit die relative Änderun im Bereich 1 <α<1 samt der Näherun (blau) 4

5 Die Aufabe verlant α =0.1. Also T (Exakter Wert 1.1 1=0.049) 0.05, was einer Änderun von 5% entspricht. 5

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