11.1 Allgemeine Theorie

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1 Kapitel Linsen

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3 .. ALLGEMEINE THEORIE 3. Allemeine Theorie.. Geometrische Optik Die eometrische Optik (oder Strahlenoptik) umfasst denjenien Bereich der Optik, welcher durch die Vernachlässiun der endlichen Grösse der Wellenläne ekennzeichnet ist. Dieser Grenzüeran λ 0 ist dann erlaut, wenn die Dimensionen aller Berenzunsflächen (Spalten, Blenden) eines Lichtündels ross eenüer der Wellenläne des Lichts sind. In diesem Fall entspricht der Fortpflanzun von Licht die Ausreitun von Lichtstrahlen, welche eometrische Kurven durchlaufen. Die drei Grundesetze der eometrischen Optik sind (Siehe []): a) Geradlinie Lichtausreitun: In Medien mit konstantem Brechnunsindex reitet sich Licht eradlini aus (deshal kann man von Lichtstrahlen sprechen). ) Reflexionsesetz: Der Ausfallswinkel eines an einer Eene reflektierten Lichtstrahles ist leich dem Einfallswinkel: α = α (.) c) Brechunsesetz von Snellius: Ein Lichtstrahl wird an der Grenzfläche zweier Medien mit verschiedenem Brechunsindex zum Teil erochen, zum Teil reflektiert. Der einfallende, der erochene und der reflektierte Strahl lieen in einer Eene. Es ilt: n sin α = n sin α (.) n und n sind Materialkonstanten; sie heissen Brechunsindizes. Die eientliche Ursache der Brechun ist die, dass die Lichteschwindikeit c i in einem Medium mit n i > kleiner ist als die Lichteschwindikeit c im Vakuum. Es ilt: c i = c n i (.3) Einfallender Strahl Lot Reflektierter Strahl α α n n α n < n erochener Strahl Aildun.: Reflektion und Brechun

4 3. LINSEN Die drei Grundesetze der eometrischen Optik lassen sich alle aus dem Fermatschen Prinzip aleiten: x x dt = minimal oder x woei ilt: ds = d x x x n( x )ds = minimal (.4) x d.h. zwischen zwei Punkten x und x verläuft der Lichtstrahl so, dass der Lichtwe x x n( x )ds minimal wird. Daei edeutet n( x ) den im allemeinen örtlich veränderlichen Brechunsindex. Der Brechunsindex n hänt nicht nur vom Medium, sondern auch von der Wellenläne des Lichts a. Diese Ahänikeit n(λ) nennt man Dispersion. Einie Zahlenwerte: Medium Brechunsindex n (T = 0 o C, λ = 5900 Å) Vakuum Luft.0003 H O.333 Glas Diamant.4 Taelle.: Brechunsindex für verschiedene Medien λ (Å) n(λ) 434 (violett) (lau) (rün) (el) (rot) (tiefrot).3895 Taelle.: Dispersion: Brechzahlen von H O ei 0 o C

5 .. ALLGEMEINE THEORIE 33.. Linsen a) Allemeines: Da die Dimensionen von Linsen merklich rösser sind als die Wellenläne des Lichts, kann die Aildun durch Linsen in erster Näherun mit Hilfe der eometrischen Optik erechnet werden. Eine Linse hat, je nach ihrer Form die Fähikeit ein paralleles Lichtündel entweder zu zerstreuen, oder zu sammeln. F Optische Achse F Zerstreuunslinse Sammellinse Aildun.: Zerstreuuslinse und Sammellinse Die Sammellinse vereinit alle Strahlen eines Lichtündels, das parallel zur optischen Achse einfällt, in einem Punkt auf der optischen Achse, dem Brennpunkt F. Der Astand zwischen Linse (enauer: Haupteene) und Brennpunkt heisst Brennweite f der Linse. Die Zerstreuunslinse (konkave Berenzunsflächen zerstreut die Strahlen eines parallel zur Achse einfallenden Lichtündels so, als o sie aus einem vor der Linse lieenden Achsenpunkt kämen. Man schreit ihr entsprechend eine neative Brennweite zu. Der Kehrwert der Brennweite heisst Brechkraft D: D = f (.5) (Einheit: Dioptrie = dpt = m ) ) Aildun durch Linsen: Zur Vorereitun etrachen wir die Alenkun von Lichtstrahlen an einem Prisma. Wir eschränken uns auf den Grenzfall kleiner Einfalls- und Ausfallwinkel, α und ψ (vl. Fi..3), was nur ei kleinem rechenden Winkel ϕ des Prismas leichzeiti mölich ist. Beim Eintritt und eim Austritt des Strahles ilt das Brechunsesetz: n sinβ = sin α (.6) n sin γ = sin ψ (.7) (n = n Prisma n Luft ) Für kleine Winkel: Ausserdem ilt: n β α (.8) n γ ψ (.9) ϕ = β + γ (.0)

6 34. LINSEN ϕ α β γ δ ϕ ψ Aildun.3: Lichtrechun im Prisma und: (vl. Fi.) Aus (.8), (.9) und (.0) folt: δ = (α β) + (ψ γ) (.) β = α n γ = ϕ β = ϕ α n ψ = n γ = n ϕ α Damit erit sich schliesslich für die totale Alenkun, mit Gleichun (.): δ = α α n + n ϕ α ϕ + α n = ϕ (n ) (.) Betrachten wir nun die Bilderzeuun durch eine sphärische Linse: Sie eruht auf einer zweimalien Brechun der vom Geenstand ausehenden Lichtstrahlen an der Vorderund Hinterfläche der Linse (vl. Fi..4). Die Alenkun δ des vom Geenstand G ausehenden Strahles ist in einer dünnen Linse (Krümmunsradius ross een Dicke und Durchmesser der Linse): δ = (n ) ϕ = (n ) (β + β ) vl. Gleichun (.).

7 .. ALLGEMEINE THEORIE 35 ϕ δ G α z β ϕ h r h r β z α B Aildun.4: Lichtrechun in der sphärischen Linse Ausserdem ist δ = α + α (vl. Fi..4) d.h. α + α = (n ) (β + β ) Mit α tan α, α tan α und β sin β, β sin β erhält man unter Benützun der Krümmunsradien r und r der Kuelflächen ( ) h + h = (n ) h r + h r und da für eine dünne Linse h h ist, folt: + ( = (n ) + ) r r (.3) Befindet sich der Geenstandspunkt G unendlich fern ( ), so wird er im Brennpunkt des Bildraums der Linse aeildet. Die Bilddistanz ist dann leich der Brennweite f: f ( = (n ) + ) r r (.4) Die Brennweite einer Linse ist also umso kleiner, je kleiner die Krümmunsradien r und r ihrer Berenzunsflächen sind. Die Krümmunsradien konkaver Flächen sind neativ einzusetzen. Zerstreuunslinsen mit zwei konkaven Berenzunsflächen haen demzufole neative Brennweiten. Aus (.3) und (.4) erit sich die ekannte Linsenleichun + = f (.5) Lae und Grösse des Bildes eines eeenen Geenstandes lassen sich ei ekannter Brennweite f der Linse durch eine einfache Konstruktion finden: - Achsenparallele Strahlen des Geenstandsraumes verlaufen durch den Brennpunkt des Bildraumes und umekehrt.

8 36. LINSEN Sammellinse: Mitteleene M der Linse Geenstandsraum Bildraum G F f f F B Aildun.5: Bildkonstruktion für eine dünne Sammellinse - Strahlen durch den Schnittpunkt der Achse mit der Mitteleene ehen unaelenkt durch die Linse. Für die Verrösserun erit sich aus Fi..5 (Strahlensatz!) v = B G = (.6) Zerstreuunslinse: M Geenstandsraum G F B F f f < 0 Aildun.6: Bildkonstruktion für eine dünne Zerstreuunslinse - Achsenparallele Strahlen des Geenstandsraumes verlaufen auf der anderen Seite der Linse so, dass ihre Verlänerun in den Geenstandsraum den Brennpunkt schneidet und umekehrt. - Strahlen durch den Schnittpunkt der Achse mit der Mitteleene ehen unaelenkt durch die Linse.

9 .. ALLGEMEINE THEORIE 37 Mit f = f erit sich die Linsenleichun (.5) in der Form f = + oder = f d.h. es ist immer < 0, das Bild efindet sich auf derselen Seite der Linse wie der Geenstand; es lässt sich - ohne weitere Linse - nicht auf einen Schirm oder eine Mattscheie ailden, da sich nicht die wirklichen Strahlen, sondern nur deren Verlänerunen in einem Punkt treffen. Solche Bilder heissen virtuell. Bilder, die man auf einem Schirm ailden kann, heisen reell. c) Das ideale Linsendulett: Zwei hintereinanderestellte ideale (dünne) Linsen ezeichnet man als ideales Linsendulett. Die Aildun durch ein solches Linsendulett kann in derselen Art wie vorher konstruiert werden, wenn man zwei zusätzliche Hilfslinien, die soenannten Haupteenen H und H einführt. Man erhält die Haupteene H, indem man vom linksseitien Brennpunkt (des esamten Duletts) die totale Brennweite f nach rechts aträt. Analo erhält man H, indem man vom rechtsseitien Brennpunkt f nach links aträt (siehe auch Fi..7). Die totale Brennweite zweier (dünner) Linsen ist wie folt eeen ([3], S. 356): f = f + f d f f (.7) Hierei edeuten f die totale Brennweite des Duletts, f,f die Brennweiten der Linsen L und L sowie d der Astand der eiden Linsen. Für die fokalen Schnittweiten s und s elten folende Beziehunen ([3], S. 35): s = (f d) f f + f d s = (f d) f f + f d (.8) Die Konstruktion der Aildun durch das Linsendulett ist nun sehr einfach: Strahlen, die auf den Schnittpunkt der optischen Achse mit H hinlaufen, verlassen den Schnittpunkt der optischen Achse mit H als paralleler Strahl. Strahlen, die von links achsenparallel einfallen, laufen von H an auf F zu, Strahlen, welche durch F ehen laufen von H an achsenparallel. Misst man, und f von den zuehörien Haupteenen aus, so ilt die Linsenleichun in unveränderter Form.

10 38. LINSEN s d F H H F s f f G F F B H H Aildun.7: Bildkonstruktion für ein ideales Linsendulett d) Dicke Linsen: Für dicke Linsen (Dicke nicht klein een Krümmunsradius) lassen sich enauso wie für das ideale Dulett zwei Haupteenen aneen. Für die Details der Konstruktion sei auf ([3], S. 36 ff.) verwiesen. Für uns hier wichti ist der Astand der eiden Haupteenen, dieser erechnet sich wie folt: = D L ( n D L (n ) r +r ) ( D L ) n (.9) Hierei edeutet D L die Dicke der Linse, r, r die Radien der die Linse erenzenden Kuelflächen.

11 .. THEORIE ZUM VERSUCH 39 Aildun.8: Bildkonstruktion für eine dicke Linse..3 Üunen ) Eine Linse (f = 8 cm) erzeut von einem 46 cm hohen Geenstand ein cm hohes Bild. =?, =? ) Die Brennweite eines Kameraojektivs etrae 50 mm, der Auszu (max. Entfernun Film - Linse) 6 cm. Wie ross ist die kürzestmöliche Geenstandsweite, d.h. wie nahe kann man mit dieser Kamera an den Aufnahmeeenstand heranehen? 3) Welche Brennweite muss ein Kameraojektiv haen, damit man einen Kopf von 30 cm Höhe in 5 m Entfernun cm ross ailden kann? 4) Versuche die Grundesetze der eometrischen Optik aus dem Fermatschen Prinzip herzuleiten. 5) Man konstruiere die Aildun eines Pfeiles durch die Sammellinse, und zwar für > f, = f, f > > f, = f und < f. Man eschreie die Art der Aildun, indem man für jeden der 5 Fälle Art (reell/virtuell) und Lae (aufrecht/umekehrt) des Bildes, Verrösserun (>, = oder < ) und Bildweitenereich (Beispiel: f < < f für > f) anee.. Theorie zum Versuch.. Brennweitenestimmun nach Bessel Im folenden sei a = + eine festehaltene Grösse, d.h. Geenstand und Bildschirm in Fi..9 seien fix, nur die Linse soll verschoen werden können. Dann it es zu einer eeenen Linsenrennweite f < a 4 enau zwei möliche Linsenpositionen, welche vom Geenstand G ein scharfes Bild auf dem Bildschirm liefern. Eines der Bilder

12 40. LINSEN Position G B Position G B e a Aildun.9: Brennweitenestimmun nach Bessel für eine dünne Linse ist verrössert, das andere verkleinert. Die eiden Linsenpositionen sind eeen durch, = a ± (a ) a f (.0), = a, =, = a (a ) a f (.) (Beweise diese Beziehun mit Hilfe der Linsenleichun, unter Benützun von a = +!) Ist f > a 4, so entsteht kein reelles Bild. Ist f = a 4, erit sich für = = a ein einzies reelles Bild. Nach (.0) ist Mit e. = erit sich = (a ) a f f = a e (.) 4 a Die Brennnweite kann also estimmt werden durch Messun von a und e. Das Besselsche Verfahren hat eenüer der direkten Messun von und (und nachfolender Berechnun von f) den Vorteil, dass es auch für dicke Linsen und Linsensysteme anewandt werden kann: Für eine dicke Linse zw. ein Linsensystem ilt (vl. Fi..0) + = a = e

13 .. THEORIE ZUM VERSUCH 4 woei der Astand der eiden Haupteenen ist. Die Linsenleichun erit f = (a ) e (für = 0 stimmt (.3) mit (.) üerein). 4 (a ) (.3) G H H B H H = = e a Aildun.0: Brennweitenestimmun nach Bessel für eine dicke Linse Um e zu messen, kann man irendeinen Punkt der Linse oder des mit der Linse starr verundenen Halters als Bezuspunkt wählen. Damit üerhaupt ei Positionen ein scharfes (reelles) Bild entsteht, muss wie oen erwähnt 0 < f < a 4 sein. Wenn die Distanz a (z.b. durch die Läne der optischen Bank) eschränkt ist, können nur Brennweiten is f = a 4 direkt emessen werden. Linsen mit rösseren Brennweiten und Zerstreuunslinsen (neative Brennweiten) müssen mit Sammellinsen ekannter Brennweiten zusammen emessen werden (vl. Gleichun (.7))... Brennweitenestimmun ei Zerstreuunslinsen Das Bild, welches die Zerstreuunslinse von einem Geenstand entwirft, ist virtuell und kann nicht auf einem Schirm aufefanen werden. Setzt man aer eine Sammellinse ekannter Brennweite f s und eine Zerstreuunslinse unekannter Brennweite f z ( f z > f s ) hintereinander, dann lässt sich nach dem Besselschen Verfahren die Gesamtrennweite f des Systems messen und follich auch die Brennweite der Zerstreuunslinse erechnen. Nach Gleichun (.7) ist f = f s + f z d f s f z

14 4. LINSEN d.h. f z = f (f s d) f s f (.4)..3 Messun von rossen Brennweiten Wie in Aschnitt.. erwähnt, können Brennweiten f > a 4 nicht direkt emessen werden. Setzt man eine solche Linse mit Brennweite f x und eine Sammellinse ekannter Brennweite f s hintereinander, so ilt analo zu Gleichun (.4) f x = f (f s d) f s f (.5) Aufae: Eine Linse mit 80 mm Brennweite und eine Linse mit unekannter Brennweite werden im Besselschen Verfahren ausemessen. Der Astand d zwischen den eiden Linsen eträt 0 mm. Bei einer Läne a von 600 mm wird für e 55.3 mm emessen. Wie ross sind die Brennweiten des Linsenduletts und der zweiten Linse und wie ross ist?.3 Versuchsaufaen - Man messe die Brennweite von vier Linsen nach der Methode von Bessel. Jede einzelne Messun sollte 5 mal wiederholt werden. Berechne Mittelwerte und Standardaweichunen. - Stelle die vier emessenen Linsenrennweiten (inkl. Fehler) zusammen und diskutiere möliche Fehlerquellen. Tip: Die Linsen Nr. und Nr.4 können direkt emessen werden, Nr. und Nr.3 nur indirekt (vl. Aschnitte.. und..3). Linsen können fix aufeinander montiert werden! - (Fakultativ) Versuche die Beziehun (.6) experimentell zu üerprüfen. (Mit den zur Verfüun stehenden Mitteln ist keine Präzisionsmessun, sondern nur eine qualitative Üerprüfun von (.6) mölich.) Bemerkun: Die Astandsmessun kann mit einem Sta ekannter Läne eeicht werden.

15 Literaturverzeichnis [] Hecht, Optik, 3. Auflae (00), TDA 30 [] Feynman, Feynman Lectures on Physics, Chapter 7 [3] Frauenfelder & Huer, Physik II, S. 335 ff. [4] Gerthsen, Physik, Aschnitt üer eometrische Optik Aildun.: Versuchsanordnun