O01. Linsen und Linsensysteme

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1 O0 Linsen und Linsensysteme In optischen Systemen spielen Linsen eine zentrale Rolle. In diesem Versuch werden Verahren zur Bestimmun der Brennweite und der Hauptebenen von Linsen und Linsensystemen vorestellt.. Theoretische Grundlaen. Allemeine Grundlaen Linsen sind Körper aus einer lichtbrechenden Substanz, die von zwei meist kuelörmien Flächen berenzt werden. Die Verbindunslinie der Mittelpunkte dieser Flächen heißt optische Achse. Ein au die Linse allender Lichtstrahl wird entsprechend dem Brechunsesetz ebrochen. Beschränkt man sich au Strahlen, die nur kleine Winkel mit der optischen Achse bilden, so vereinit eine Linse alle von einem Geenstandspunkt G ausehenden Strahlen in einem Bildpunkt B. Das Bild heißt reell, wenn sich die Strahlen im Bildpunkt wirklich schneiden, es heißt virtuell, wenn sich nur die rückwärtien Verlänerunen der Strahlen schneiden. Bild : Bildkonstruktion bei einer dünnen Sammellinse (a) und einer Zerstreuunslinse (b) B,G: Bild- bzw. Geenstandsröße b,: Bild- bzw. Geenstandsweite Zunächst werden nur dünne Linsen betrachtet. Bei diesen kann man sich die zweimalie Brechun des Lichtes durch eine einzie Brechun an der Mittelebene der Linse ersetzt denken. Sammellinsen (Konvexlinsen) sind in der Mitte dicker, Zerstreuunslinsen (Konkavlinsen) dünner als am Rand. Parallel zur optischen Achse einallendes Licht wird von einer Sammellinse im Brennpunkt F vereinit; der Abstand des Brennpunktes von der Mittelebene ist die Brennweite der Linse. Der reziproke Wert D/ wird als Brechkrat bezeichnet und in Dioptrien emessen (Dioptrie m - ). Bei Zerstreuunslinsen werden parallel zur optischen Achse einallende Strahlen so ebrochen, als kämen sie von einem Brennpunkt F ; auch hier ist der Abstand des Brennpunktes von der Mittelebene die Brennweite. Sammellinsen haben also reelle, Zerstreuunslinsen virtuelle Brennpunkte (Bild). Beinden sich die beiden brechenden Flächen einer Linse im leichen umebenden Medium, so sind objekt- und bildseitie Brennweite leich. Für die eometrische Konstruktion des Bildes benutzt man (Bild ) den Mittelpunktstrahl, der seine Richtun nicht ändert, den Parallelstrahl, der zum Brennpunktstrahl durch F wird und den Brennpunktstrahl durch F, der zum Parallelstrahl wird. Das Verhältnis von Bildröße B zu Geenstandsröße G bezeichnet man als linearen Abbildunsmaßstab A. Mit Hile des Strahlensatzes eribt sich aus Bild a 05

2 O0 Linsen und Linsensysteme Man erhält auch B b A. () G G B, woraus die Linsenleichun olt: b + b b () + b Bei virtuellen Bildern bzw. Brennpunkten sind b bzw. neativ einzusetzen. Zwei im Abstand d voneinander aneordnete Sammellinsen mit den Einzelbrennweiten und ereben eine resultierende Gesamtbrennweite, die sich aus d + (3) berechnen lässt. Ist der Abstand d klein eenüber den Brennweiten, so addieren sich die Brechkräte: + (3a) Bild : Bildkonstruktion bei einer dicken Sammellinse Bei dicken Linsen oder Linsenruppen kann man sich die zweimalie Brechun der Lichtstrahlen an den Linsenlächen nicht mehr durch eine einzie Brechun an der Mittelebene ersetzt denken. Man hilt sich durch die Einührun der eenstandsseitien Hauptebene H und der bildseitien Hauptebene H (Bild ), an denen man sich die Strahlen ebrochen denkt. Die Bildkonstruktion ist nach olender Vorschrit auszuühren: Zwischen H und H lauen alle Strahlen parallel zur Achse. Der Parallelstrahl wird an der Hauptebene H ebrochen und wird zum Brennpunktstrahl durch den zu H ehörenden Brennpunkt F. Der Brennpunktstrahl durch den zu H ehörenden Brennpunkt F wird zum Parallelstrahl. Der Mittelpunktstrahl 3 wird ledilich parallel verschoben. Bezieht man, b und au die zuehörien Hauptebenen, so elten die Gleichunen () und () auch ür dicke Linsen und Linsenruppen. Die Lae der Hauptebenen lässt sich nach dem in Abschnitt.3 beschriebenen Verahren von Abbe bestimmen. - -

3 O0 Linsen und Linsensysteme. Brennweitenmessun.. Bestimmun aus Geenstands- und Bildweitenmessun Die Brennweite von Sammellinsen misst man am einachsten aus Geenstands- und Bildweite, indem man das Bild eines leuchtenden Geenstandes (beleuchteter Glasmaßstab) au einem Schirm auänt und die entsprechenden Abstände zum Linsenmittelpunkt misst. Aus der Gleichun () berechnet man daraus die Brennweite. Das Verahren hat den Nachteil, dass bei eassten Linsen die Lae der Mittelebene nicht enau bekannt ist... Besselsches Verahren Bei estem Abstand s zwischen Geenstand und Schirm (Bild 3) erhält man bei zwei symmetrischen Linsenstellunen und schare reelle Bilder au dem Schirm (in Stellun ein verrößertes, in Stellun ein verkleinertes), wenn der Abstand s rößer als die vierache Brennweite der Linse ist. Ist die Größe der Verschiebun von Stellun nach Stellun leich e, so ilt ween der Symmetrie der Linsenstellunen ( b, b ) e b bzw. e b (4) s + b bzw. s + b (4a) Bild 3: Besselsche Methode der Brennweitenbestimmun Löst man nach und b au und setzt in die Linsenleichun () ein, so eribt sich e s 4 s. (5)..3 Zerstreuunslinsen Da die Abbildun mit Zerstreuunslinsen nur virtuelle Bilder lieert, muss deren Brennweite indirekt emessen werden. Man setzt zu diesem Zweck die Zerstreuunslinse, deren Brennweite Z zu messen ist, mit einer Sammellinse bekannter Brennweite S zu einem zentrierten Linsensystem zusammen. Ist der Linsenabstand zu vernachlässien, so eribt sich nach Gleichun (3a) ür die Brennweite des Systems +, S Z wobei Z neativ ist. Wählt man die Brennweite der Sammellinse kleiner als den Betra der Brennweite der Zerstreuunslinse, so überwiet die sammelnde Wirkun, und das System hat eine positive Brennweite, die sich nach den beschriebenen Methoden messen lässt. Aus S und eribt sich Z S (6) S - 3 -

4 O0 Linsen und Linsensysteme.3 Brennweite und Hauptebenen eines Linsensystems Die Messun der Brennweite und die Bestimmun der Lae der Hauptebenen eines Linsensystems erolt nach dem Verahren von Abbe, das au der Messun des Abbildunsmaßstabes reeller Bilder beruht. Kombiniert man die Gleichunen () und () miteinander, so eribt sich + (7a) A und b + A. (7b) ( ) Die Krümmunsmittelpunkte K, K der sich erebenden Flächen beinden sich bei einem optischen zentrierten System au einer Geraden. Diese wird im Allemeinen als optische Achse bezeichnet. Für die Brennweiten und kann esat werden, wenn links und rechts der Linse die leiche Brechzahl n vorliet, dann ilt: ' (8) ansonsten ilt: Bild 4: Messun der Hauptebenenlae nach Abbe n. (9) ' n' Die Brechun erolt eientlich an ekrümmten Flächen der Linsen. Zur Vereinachun werden aber die ekrümmten Flächen durch Ebenen ersetzt und diese als Hauptebene bezeichnet, wobei sich die Hauptebene H au der Geenstandsseite und die Hauptebene H au der Bildseite beindet. Der Hauptebenenabstand d beträt typischerweise /3 der Linsendicke. Bei einer dünnen Linse allen die Hauptebenen zusammen. Es ibt nur eine Hauptebene H. Die Geenstandsweite und die Bildweite b sind nicht direkt messbar. Da die Lae der Hauptebenen H und H noch unbekannt ist, misst man zunächst die Enternunen M und b M von einer beliebi am Linsensystem anebrachten Ablesemarke M. Man erhält somit M + γ und b M b + β (0) Setzt man die Gleichunen (7a) und (7b) in die Gleichun (0) ein so erhält man: M + A γ bzw. b M ( + A) β () Es kann vorkommen, dass γ oder β neativ sind. Ein neatives γ bedeutet, dass die Hauptebene H rechts von der Ablesemarke M liet. Ein neatives β bedeutet, dass H links von M liet. Die Brennweite kann ebenalls neativ werden. In diesem Falle liet der eenstandsseitie Brennpunkt F rechts von H, der bildseitie Brennpunkt F links von H

5 O0 Linsen und Linsensysteme Beispiel: Bestimmun von Brennweiten und Hauptebenen eines Linsensystems Messun M / dm b M / dm A 3,4 6,6,0 6,4 3,6 0,5 Berechnun des Abbildunsmaßstabes A bm 6,6 β A,0 M 3,4 γ 6,6 β,0(3,4 γ ) β,0γ 0, bm 3,6 β A 0,5 M 6,4 γ 3,6 β 0,5(6,4 γ ) β 0,5γ + 0,4 β 0,6dm γ 0,4dm Bestimmun der Brennweite sowie von b und in einer Messreihe + b B b A M + γ b M b + β G M b b ( / b + b / b) ( / A) + A A M + γ + ( + γ ) M über autraen Anstie Absolutlied: + γ A A b M b + b b b ( / + b / ) + ( A) ( ) b M b + β A + + β bm über A autraen Anstie ( A + ) A b + Absolutlied: + β Bild 5a: Enternun M über inversen Abbildunsmaßstab Bild 5b: Enternun b M über Abbildunsmaßstab - 5 -

6 O0 Linsen und Linsensysteme.Versuch. Vorbetrachtun Auabe : Beschreiben Sie mit eienen Worten die Heranehensweise ür die Ermittlun der Brennweite zweier Sammellinsen nach den Auaben a) und b). Auabe : Wie kann man den Abbildunsmaßstab A eines Linsensystems bestimmen?. Versuchsdurchührun.. Verwendete Geräte Optische Bank mit Reitern, Lampe, verschiedenen Linsen, Fotoobjektiv, Abbildunsmaßstab, Lineal.. Versuchshinweise Auabe : Ermittlun der Brennweite zweier Sammellinsen a) durch die Bestimmun von Geenstandsweite und Bildweite b sowie b) nach dem Besselschen Verahren Führen Sie jeweils drei Messunen pro Linse und Bestimmunsverahren durch. Auabe a: Bestimmun von Geenstands- und Bildweite Um den Bankmaßstab zur Messun nutzen zu können, empiehlt sich die Messun von Geenstandsort l, Linsenort l und Bildort l 3 (siehe Bild 6). Bestimmen Sie aus diesen Werten die Geenstands- und Bildweiten. Auabe b: Verahren nach Bessel Messen Sie die Größen s und e direkt. Bild 6: Bestimmun von und b Auabe : Brennweite einer Zerstreuunslinse Bestimmen Sie die Brennweite einer Zerstreuunslinse. Wählen Sie die daür notwendie Sammellinse selbständi aus Messen Sie das Linsensystem nach dem Besselschen Verahren. Führen Sie drei Messunen bei einem unterschiedlichen Abstand zwischen Geenstand und Bild durch. Auabe 3: kompaktes Linsensystem Die Messun erolt analo zur Auabe a Messen Sie bei jeder Einzelmessun den Abbildunsmaßstab mit. Messen Sie dazu die Bildröße B am Schirm mit einem Lineal aus. Der als Geenstand G einesetzte Glasmaßstab besitzt eine Millimeterteilun. Bestimmen Sie ür das kompakte Linsensystem (Fotoobjektiv) die Brennweite und die Lae der Hauptebenen relativ zu einer willkürlich ewählten Markierun M. Führen Sie 6 Messunen bei einem unterschiedlichen Abstand von Geenstandsort l, Linsenort l und Bildort l 3 durch

7 O0 Linsen und Linsensysteme.3 Versuchsauswertun Auabe : Ermittlun der Brennweite zweier Sammellinsen durch die Bestimmun von Geenstandsund Bildweite sowie nach dem Besselschen Verahren Auabe a: Bestimmun von Geenstands- und Bildweite Welche Vorteile hat dieses Vorehen in Bezu au die Messunsicherheit? Prüen Sie die Messenauikeit bei der Brennweitenbestimmun durch die Ermittlun von Geenstandsweite und Bildweite b. Stellen Sie dazu die Wertepaare von und b in einem Diaramm der Funktion b () raphisch dar (Siehe Bild 7)und verbinden Sie die zusammenehörien Punkte miteinander. Die sich daraus erebenden drei Geraden einer Linse sollen sich in einem Punkt P schneiden. Fällen Sie von P aus Lote au die Koordinatenachsen. Sie erhalten so die Brennweite einer Linse. Bestimmen Sie die Messunsicherheit durch Bild 7: Graphische Bestimmun der Brennweiten eine Fehlerrechnun ür beide Methoden am Beispiel einer Messun. Diskutieren Sie das Erebnis. Kann die ermittelte relative Messunsicherheit au alle durcheührten Messunen bezoen werden? Auabe : Brennweite einer Zerstreuunslinse Berechnen Sie die Messunsicherheit (absolut und relativ) durch eine Fehlerrechnun ür die Brennweite der Zerstreuunslinse unter Verwendun der in Auabe bestimmten relativen Abweichunen des Besselschen Verahrens. Auabe 3: kompaktes Linsensystem Stellen Sie in je einem Diaramm die raphische Funktion von M (/A) sowie b M (A) dar. Die sich daraus erebenden Anstiee entsprechen der Brennweite. Ermitteln Sie die Hauptebenen H und H, skizzieren Sie das Linsensystem und zeichnen Sie die ermittelten Hauptebenen relativ zur Markierun M und den Brennpunkten maßstabserecht ein. 3. Eränzun 3. Eränzende Bemerkunen Linsenehler Die Aussae, dass sich achsenparallele Strahlen in einem Punkt, dem Brennpunkt der Linse, schneiden, ist nur ür Strahlen mit kleinem Abstand zur optischen Achse in uter Näherun erüllt. Je achsenerner der Strahl im Geenstandsraum verläut, umso näher rückt im Bildraum sein Schnittpunkt mit der optischen Achse an die Linse. Die Brennweite ür achsenerne Strahlen ist also eriner als diejenie ür achsennahe Strahlen (sphärische Abberation)

8 O0 Linsen und Linsensysteme Die Ausbreitunseschwindikeit von Licht in Materie mit dem Brechunsindex n ist wellenlänenabhäni (Dispersion). Rotes Licht wird an den Grenzlächen schwächer ebrochen als blaues Licht, die Brennweite einer Linse ist also ür rotes Licht rößer als ür blaues Licht (chromatische Abberation). Ein weiterer Abbildunsehler macht sich bemerkbar bei parallelen Lichtbündeln, die unter roßem Winkel een die optische Achse einallen. Als Bild eribt sich in zwei verschiedenen Enternunen von der Linse je ein Strich. Die beiden Striche sind zueinander senkrecht (Astimatismus schieer Bündel). Neben den enannten ibt es weitere Linsenehler (z.b. Koma, Bildwölbun, Verzeichnun), au die hier nicht eineanen werden soll. Linsenehler können weitehend kompensiert werden durch eeinete Kombination mehrerer Linsen mit unterschiedlichen Krümmunsradien und aus verschiedenen Glassorten mit unterschiedlicher Dispersion. Eine Korrektur der chromatischen Abberation zumindest ür zwei Farben erreicht man durch Kombination einer Sammellinse mit einer Zerstreuunslinse aus zwei Glassorten mit eeinetem Brechunsindex (Achromat). Weitehende Korrekturen machen kompliziertere Linsensysteme mit mehreren Linsen erorderlich. Hinweis: Bei symmetrischem Schli lieen die Hauptebenen innerhalb der Linse, typischerweise beträt der Hauptlinsenabstand /3 der Linsendicke. Bei stark asymmetrischem Schli können die Hauptebenen auch außerhalb der Linse lieen. Bild 8: Einie Linsenbeispiele mit einetraenen Hauptebenen - 8 -