Auflösungsvermögen bei leuchtenden Objekten

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1 Version: 27. Juli 2004 Auflösungsvermögen bei leuchtenden Objekten Stichworte Geometrische Optik, Wellennatur des Lichts, Interferenz, Kohärenz, Huygenssches Prinzip, Beugung, Auflösungsvermögen, Abbé-Theorie zur Auflösung des Mikroskops, Apertur, Vergrößerung, Okular, Objektiv, Laser. zusätzliche Literatur: Bergmann-Schaefer III (Bildentstehung im Mikroskop nach Abbé). Grundlagen Ein optisches System hat die Aufgabe, Gegenstände verzerrungsfrei, d.h. maßstabsgetreu abzubilden. Seine Abbildungsqualität läßt sich aus dem Gang der Strahlenbündel erkennen, die vom einzelnen Gegenstandspunkt ausgehen und zur Abbildung beitragen. Diese Bündel werden wesentlich von den Eigenschaften der Beleuchtung des Gegenstandes beeinflußt und können durch Lage und Größe der Pupillen ermittelt werden. Dies sind die Flächen, in denen alle abbildenden Lichtbündel einen gemeinsamen, für alle gleich großen Querschnitt besitzen. Pupillen sind häufig körperliche Blenden und werden auch als Iris oder als Aperturblende bezeichnet. Durch die optische Abbildung entsteht ein Bild dieser Blende, das als Eintrittspupille bzw. Austrittspupille bezeichnet wird, je nachdem, ob es im Gegenstandsraum oder im Bildraum liegt. Zur Illustration diene die Abbildung eines nicht selbstleuchtenden Gegenstandes mit einer Sammellinse (Abb (- 1)), (vgl. auch Abb. (O10-1) in O10). Die endlich ausgedehnte Lampenwendel L ist hier Eintrittspupille, ihr Bild L Austrittspupille. Die Eintrittspupille ist maßgebend für die Öffnung eines auf das optische System fallenden Strahlenbündels. Je größer die Öffnung des durch die Eintrittspupille eintretenden Strahlenkegels ist, desto größer ist die Energiemenge (Lichtmenge), die dem Bild zugeführt wird; umso größer ist demnach die Helligkeit des Bildes. Damit ist die Funktion der Aperturblende festgestellt: sie bestimmt die Helligkeit des Bildes. Den Winkel α bezeichnet man als Öffnungs- oder Aperturwinkel. Die Austrittspupille begrenzt die Öffnung eines aus dem System austretenden Strahlenbündels. Den zu α konjugierten Winkel α bezeichnet man als Projektionswinkel. Die gestrichelten Strahlen, die dann entstehen, wenn die Pupillendurchmesser gegen Null gehen, werden Hauptstrahlen genannt. Das Bild B unseres Beispiels ist kissenförmig verzeichnet. Wieso? (siehe auch Versuch O12). Bei optischen Systemen, die für eine visuelle Betrachtung konstruiert sind, soll der Sehwinkel gegenüber dem bei unbewaffnetem Auge vergrößert werden (Abb. (- 2)). Man definiert als angulare Vergrößerung 425

2 Optik Version: 27. Juli 2004 Abb. - 1: Abbildung eines nicht selbstleuchtenden Gegenstandes V = ε ε 0 = Sehwinkel mit Instrument Sehwinkel ohne Instrument, Gegenstand in 25 cm Entfernung S 0 = 25 cm bezeichnet man als deutliche Sehweite. (- 1) Die Größe, unter der ein Gegenstand dem Auge erscheint, und die durch den Sehwinkel ε gemessen wird, ist vom Abstand zwischen Auge und Gegenstand abhängig. Kleine Dinge können mit gleicher scheinbarer Größe gesehen werden wie große, wenn sie dem Auge entsprechend genähert werden (Pfeil 3 und 2 im Vergleich mit 1). Der gleiche Gegenstand wird bei Annäherung ans Auge, die man mit Hilfe optischer Mittel sehr weit treiben kann, unter immer größerem Sehwinkel vergrößert gesehen (Pfeil ). Nicht zu verwechseln mit der Angularvergrößerung ist die Lateralvergrößerung, auch Abbildungsmaßstab genannt Bildgröße β = Gegenstandsgröße = B G = b g b: Bildweite; g: Gegenstandsweite. Es läßt sich leicht zeigen, daß die Vergrößerung einer Lupe (- 2) V L = S 0 f (- 3) 426

3 Version: 27. Juli 2004 Abb. - 2: Darstellung des Sehwinkels (aus Michel, Grundzüge des Mikroskops) beträgt, wenn der Gegenstand in der Brennebene der Lupe steht (f: Brennweiteder Lupenlinse). Die Vergrößerung eines Mikroskops ergibt sich zu: V M = S 0 t f 1 f 2 (- 4) wobei f 1 und f 2 die Brennweiten von Objektiv und Okular sind und t die optische Tubuslänge, d.h. der Abstand der hinteren Brennebene des Objektivs zur vorderen Brennebene des Okulars. Abb. - 3: Zur Vergrößerung des Mikroskops. F 1 : Brennpunkt des Objektivs, F 2 : Brennpunkt des Okulars, t: optische Tubuslänge Den Strahlengang in einem Mikroskop mit richtig angebrachtem Kondensor zeigt Abb. (- 4). 427

4 Optik Version: 27. Juli 2004 Kondensor Objektiv Okular (Lupe) Augenlinse Schirm t M f O t f L G F O F L ε F K F O ZB F A F L B f A Augenphantom Abb. - 4: Strahlengang im Mikroskop mit Augenphantom F: Brennpunkte für G: Gegenstand Kondensor K ZB: Zwischenbild Objektiv O (f 0 ) t M : mechanische Federlänge Lupe L (f L ) t: optische Tubuslänge Augenlinse A (f A ) Auflösungsvermögen optischer Systeme bei nicht selbstleuchtenden Objekten (Abbé-Theorie) Die Abbé-Theorie behandelt das Auflösungsvermögen eines optischen Systems im Extremfall eines kohärent beleuchteten Objektes. Zur Erläuterung der Abbé-Theorie des Auflösungsvermögens eines Mikroskops wird als Objekt ein Strichgitter betrachtet, das mit parallelem, monochromatischem Licht von hinten beleuchtet wird (Abb (- 5)). Wäre kein Objekt im Strahlengang, so würde die im Unendlichen liegende Lampe L im Punkt L in der Brennebene abgebildet. Bringt man ein Gitter in den Strahlengang, so wird das Licht gebeugt, und es treten Lichtstrahlen schräg zur optischen Achse ins Objektiv ein, die in der Brennebene die gebeugten Bilder der Lichtquelle S 1,S 2,...erzeugen. Dieses Beugungsbild der Lichtquelle nennt Abbé dasprimäre Bild. Wie man aus Abb. (- 5) sieht, vereinigen sich nun jeweils ein Strahl nullter Ordnung mit seinen zugehörigen Beugungsstrahlen 1., 2.,...Ordnung in der Ebene des Zwischenbildes zu einem reellen Bild des Objekts, das von Abbé als sekundäres Bild bezeichnet wird. Eine Abbildung der Objektstruktur im sekundären Bild ist direkt an das Vorhandensein von Beugungsbildern der Lichtquelle geknüpft. Durch Einfügen von Spalten und Blenden in die hintere Brennebene des Objektivs kann das Bild des Gegenstandes verändert werden. So führt z.b. Ausblenden aller Beugungsordnungen außer der nullten zu einem gleichmäßig beleuchte- 428

5 Version: 27. Juli 2004 Abb. - 5: Schema zur Bildentstehung nach Abbé ten Bild ohne Struktur. Ist die Objektivöffnung zu klein, um die gebeugten Strahlen noch aufzunehmen, dann entsteht kein primäres Bild und das Zwischenbild hat keine Struktur. Um eine Abbildung des strukturierten Objektes zu erhalten, müssen also mindestens noch die Beugungsmaxima 1. Ordnung ins Objektiv fallen. Abb. - 6: Der Einfluß der Objektivöffnung nach der Abbé-Theorie (aus Michel, Grundzüge der Theorie des Mikroskops). Bezeichnungen: L: Lichtquelle, K: Kondensor, G: Gegenstand, O: Objektiv, B: Bildebene In Abb. (- 6) wirkt die Objektivöffnung (OÖ) als Blende. Sie läßt aus der das Beugungsbild der Lichtquelle darstellenden Reihe von Maxima in der Zwischenebene nur eine 429

6 Optik Version: 27. Juli 2004 ihrem Durchmesser entsprechende Zahl wirksam werden. Die Beugungsmaxima 1.Ordnung treten auf unter dem Winkel sin ϕ 1 = λ D (- 5) (siehe Versuch O30, Gl. (O30-1)). λ: Wellenlänge des Lichtes; D: Gitterkonstante. Dieser Beugungswinkel darf im höchsten Fall gleich dem Öffnungswinkel α (Apertur) des Objektives sein. sin α sin ϕ 1 = λ D Daraus folgt der kleinste noch auflösbare Abstand D zweier Gegenstandspunkte D = λ sin α (- 6) Hat man ein Flüssigkeits-Immersionssystem, so ist die numerische Apertur n sin α einzusetzen (n: Brechzahl der Flüssigkeit). Als Auflösungsvermögen des Mikroskops definiert man den reziproken Wert von D 1 = n sin α D λ (- 7) Auflösungsvermögen optischer Systeme bei selbstleuchtenden Objekten (Helmholtzsche Theorie) Die Helmholtzschen Betrachtungen des Auflösungsvermögens optischer Systeme werden unter der Voraussetzung durchgeführt, daß die von verschiedenen Objektpunkten ausgehenden Lichtquellen inkohärent sind. Den tatsächlichen VerhältnisseninderMikroskopie entsprechen die Überlegungen von Helmholtz mehr, da meist inkohärente Beleuchtung vorliegt. Vom Standpunkt der modernen Optik besteht jedoch kein prinzipieller Unterschied, da sich die Überlegungen von Abbé und Helmholtz auf den Fall inkohärent bzw. kohärent leuchtender Objekte verallgemeinern lassen. Selbst ein vollkommen korrigiertes Objektiv bildet einen Punkt nicht als Punkt ab, sondern infolge der Beugung des Lichts an der Objektivbegrenzung als endlich ausgedehntes Lichtscheibchen. Will man zwei Punkte abbilden, die so dicht zusammenliegen, daß ihre 430

7 Version: 27. Juli 2004 Beugungsscheibchen sich stark überlappen, so können sie nicht mehr aufgelöst werden. Man darf annehmen, daß die Trennung mit Sicherheit gelingt, wenn das Helligkeitsmaximum des einen Objekts auf das 1. Helligkeitsminimum des anderen zu liegen kommt (vgl. Abb. (- 7)). Für kreisförmige Objektive berechnete Helmholtz als erster den kleinsten noch auflösbaren Abstand zweier Punkte D =1, 22 λ sin α (vgl. Gl. (- 6)) (- 8) Begrenzt ein Spalt vor der Linse die Apertur α, so erhält man folgende Verhältnisse (vgl. Abb. (- 7)): Abb. - 7: Schema zur Bestimmung des Auflösungsvermögens eines Kreuzgitters Das erste Beugungsminimum erscheint unter dem Winkel ϕ, wobei sin ϕ = λ ; S: Spaltbreite (- 9) S 431

8 Optik Version: 27. Juli 2004 Damit ergibt sich für den kleinsten auflösbaren Gitterabstand D D =tanϕ (g a) λ S (g a) (- 10) Setzt man die Apertur α des Systems ein, so ergibt sich D λ 2sinα (- 11) Man beachte, daß α der halbe Öffnungswinkel ist (siehe Abb. (- 7)). 432

9 Version: 27. Juli 2004 Fragen 1. Was bewirkt eine Immersionsflüssigkeit zwischen Objekt und Objektiv? 2. Stellen Sie ɛ und ɛ 0 bzw. V = ɛ ɛ 0 Abb. 2. durch B, G, S 0 und f A dar. Verwenden Sie hierzu 3. Warum hat das Elektronenmikroskop ein größeres Auflösungsvermögen als ein Lichtmikroskop? 4. Wann sind Lichtwellen kohärent? Messprogramm Auflösungsvermögen optischer Systeme bei selbstleuchtenden Objekten 1. Bilden Sie das Kreuzgitter mit einer Sammellinse (f = 10 cm) und einer geeigneten Beleuchtungseinrichtung (Kondensor) ab und bestimmen Sie die Maschenweite G des Gitters aus Bildgröße B und Bildweite b nach der Formel G/B = f/(b f) (Herleitung!) für drei verschiedene Bildgrößen. 2. Stellen Sie die Auflösungsgrenze (kleinster auflösbarer Gitterabstand)durch Verändern der Apertur fest. Blenden Sie mit dem Spalt zwischen Gitter und Linse so weit ab, daß gerade die Striche der einen Richtung verschwinden und messen Sie die dazu nötige Spaltbreite für zwei verschiedene Entfernungen a zwischen Spalt und Linse. Zugehörige Gegenstandsweite g notieren! 3. Berechnen Sie aus den Messwerten die zur Auflösung der Gitterstruktur notwendige Apertur nach der Formel α = S und vergleichen Sie den Wert mit dem 2(g a) theoretischen nach Gl. (- 11)) (hier ist λ = 600 nm einzusetzen). 4. Welchen Einfluss hat eine Drehung des Spalts? 433

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