Protokoll zum 5.Versuchstag: Brechungsgesetz und Dispersion

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1 Samstag, 17. Januar 2015 Praktikum "Physik für Biologen und Zweifach-Bachelor Chemie" Protokoll zum 5.Versuchstag: Brechungsgesetz und Dispersion von Olaf Olafson Tutor: ---

2 Einführung: Der fünfte Versuchstag war eine Einführung in die Optik, in der diverse Teilbereiche dieser behandelt wurden. 1.0 Theorie: Mithilfe von Linsen kann ein Objektpunkt G abgebildet werden. Es wird zwischen zwei Abbildungen (Bildpunkten, Kürzel B)unterschieden. Ein reeller Bildpunkt liegt dann vor, wenn die von G ausgehenden Lichtstrahlen sich nach Durchtritt durch die Linse in B vereinigen. Ein virtueller Bildpunkt von G entsteht, wenn bei der rückwärtigen Verlängerung der Lichtstrahlen ein Bildpunkt B vorhanden ist. Dieser lässt sich jedoch nur mit zusätzlichem optischen Vorrichtungen erkennen (Z.B. Auch das Auge, man denke etwa an optische Täuschungen). Um ein Bild geometrisch zu konstruieren, geht man von Lichtstrahlen aus. Es werden drei Grundsätzliche Strahlentypen unterschieden: Achsenparallele Strahlen: Verlaufen nach Brechung durch Brennpunkt der Linse Brennpunktstrahlen: Werden gebrochen und verlaufen nach Linsendurchtrittachsenparallel Strahlen, die den Mittelpunkt der Linse passieren erfahren keine Brechung Reellen Abbildung: Diese ergibt sich, wenn G sich außerhalb der Brennweite F befindet. Die Entfernung von G zur Linse (g) ist kleiner als die Entfernung des Brennpunktes zu derselben (f). Es gilt als g>f. Der Abbildungsmaßstab A ist das Verhältnis von Bildpunkt-Größe und Ojektpunkt-Größe. Es ergibt sich (b=entfernung Bildpunkt/Linse)

3 Daraus folgt: Dies ist die so genannte Linsenformel (auch Abbildungsgleichung genannt). Im Folgenden werden die zu Beantwortenden Aufgaben behandelt:

4 Virtuelle Abbildung: Steht der Gegenstand innerhalb der Brennweite (g<f), so fungiert eine Linse als Lupe. Hierbei gilt: Hieraus folgt b>g, sodass es sich immer um einer Vergrößerung handelt. Ein Linearer Zusammenhang zwischen A und b ist gegeben. Die Angabe des Abbildungsmaßstabs ist jedoch nicht sinnvoll, da es sich lediglich um eine virtuelle Abbildung handelt. Zur Beschreibung des Vergrößerungseffektes einer virtuellen Abbildung nutzt man: V ist die Sehwinkelvergrößerung, α der Sehwinkel der Lupe, β der Sehwinkel ohne Lupe. Befindet sich das Auge direkt hinter der Lupe, so gilt: Ohne Lupe sieht man das Objekt unter dem Sehwinkel P 1 AP2 Dabei ist: Es ergibt sich: Mit zunehmender Bildentfernung nimmt demnach die Sehwinkelvergrößerung ab (im Gegensatz zum Abbildungsmaßstab).

5 Linsenmachergleichung und Brechkraft: Es wird von einer dünnen Linse ausgegangen, die den Brechungsindex n hat, aus zwei konvexen Oberflächen besteht mit den Krümmungsradien r 1 und r 2. Hierbei gilt für die Brennweite die Linsenmachergleichung: Bei Symmetrischen Linsen gilt: Je kugelförmiger die Linse (kleiner Krümmungsradius), desto geringer ist die Brennweite. Je flacher die Linse (großer Brechungsradius), desto höher wird die Brennweite. Die Einheit der Brennweiter ist der Meter. Die Brechkraft ist der Kehrwert der Brennweite. Die Einheit für die Brechkraft ist die Dioptrie (dpt) 1dpt=1/m. Bei f=2cm bedeutet dies: 1/0,02=50dpt Beim Hintereinanderschalten von Linsen addieren sich die Brechkräfte. Die Gesamtbrechkraft D ist die Summe der einzelnen Brechkräfte. Aufbau des Mikroskops Da für starke Vergrößerungen Lupen mit sehr kleiner Brennweite verwendet werden müssten, dies aber kaum realisierbar ist, nutzt man optische Systeme mit zwei Linsen, also Mikroskope. Ein reelles Bild wird abgebildet von einer Lupe mit kurzer Brennweite. Eine zweite Lupe dient als Okular, mit welchem man dieses reelle Bild beobachten kann. Hierbei ist die Gesamtvergrößerung das Produkt aus Objektivvergrößerung V obj und der Lupenvergrößerung V ok. Es gilt beim Beobachten mit entspanntem Auge: t=optische Tubuslänge (Abstand der zueinander stehenden Brennpunkte von Objektiv und Okular)

6 t=/= mechanische Tubuslänge. Diese ist der Abstand der Mittelebenen des Objektivs und des Okulars. Für die Lupenvergrößerung bei b= gilt(nach der Gleichung für die Sehwinkelvergrößerung): Ist s die deutliche Sehweite (d.h. 25cm), so gilt: Die Gesamtvergrößerung des Mikroskop ist also proportional zur Tubuslänge t und umgekehrt proportional zu den Brennweiten des Okulars und des Objektives. Brechnungsindex und Dispersion: So genanntes weißes Licht besteht aus einer Vielfalt von diversen unterschiedlichen Lichtfarben, die auch als Spektralfarben bezeichnet werden. Sie stellen die Grundeinheiten des Lichtes dar und sind nicht weiter zerlegbar. Die Lichtwellen dieser haben unterschiedliche Eigenschaften wie, Frequenz f und Energie E. Dieser Zusammenhang ist über die Plancksche Konstante (h) definiert: E h f Es ist durchaus möglich die Parameter wie Frequenz f, Wellenlänge λ und Ausbreitungsgeschwindigkeit c in folgender Formel genauer zu beschreiben: c f Beim so genannten "brechen" des Lichtes (Übergang von durchsichtigen Stoff in anderen) erfährt dieses eine Richtungsänderung, es wird also gebrochen. Es gilt das Gesetzt von Snellius:

7 sin sin c c1 2 n n 2 1 α ist hier der Einfallswinkel und β der Ausfallswinkel, wobei c 1 und c 2 die Ausbreitungsgeschwindigkeiten des Lichtes in beiden Materialien darstellen. Weiterhin ist zu erwähnen, dass bei der Brechung des Lichtes die Energie und auch die Frequenz gleich bleiben ( E h f ). Es ändert sich nur die Wellenlänge und somit die Lichtgeschwindigkeit ( c f ), die wiederum von der Frequenz abhängig ist. Dies bezeichnet man auch als Dispersion, welche auf zwei Weisen definiert ist: Normale Dispersion: Brechzahl n steigt mit Frequenz. Anormale Dispersion: Brechzahl n sinkt mit Frequenz. Ein Lichtstrahl wird im Prisma um den Winkel (Ablenkwinkel) abgelenkt, dieser wird wiederum von dem Brechungsindex des Prismenmaterials, vom brechenden Winkel des Primas und von seiner Lage im Bezug zum einfallendem Licht, beeinflusst ( ist am kleinsten wenn der Lichtstrahl symmetrisch zum Prisma verläuft). Nach folgenden Formeln werden die Ablenkwinkel (symmetrisch) definiert: 2y 180 und y 90 Somit folgt: und 2 2 Zusammen mit dem Allgemeinen Brechungsgesetz ergibt sich:

8 sin n 2 sin 2 Das Auge: Abbildung 1: Aufbau des menschlichen Auges (Quelle: mages/03_-_menschliches_auge_querschnitt.png) Kurzsichtigkeit: Brechkraft des Auges zu groß. Weit entfernte Objekte: Können nicht scharf wahrgenommen werden, da der Brennpunkt zu nahe der Netzhaut liegt. Nahe Objekte: Werden scharf wahrgenommen. Weitsichtigkeit: Brechkraft des Auges zu klein. Weit entfernte Objekte: Werden scharf wahrgenommen. Nahe Objekte: Können nicht scharf wahrgenommen werden, da der Brennpunkt hinter der Netzhaut liegt.

9 2.0 Versuchsdurchführungen: Lupe Aufbau des Mikroskops Brechungsindex und Dispersion Messungen mit dem "Augenmodell"

10 2.1 Lupe Geräte: Sammellinse in Fassung, Objekt (Lineal mit mm-teilung), Schirm mit mm - Raster, opt. Bank, Maßstab Durchführung: Eine "halbierte" Sammellinse soll als Lupe verwendet werden, also ein vergrößertes Bild werfen. Im folgendem wird ein Schirm im Abstand von b=20 cm vor der Lupe aufgestellt. Nun wird der Gegenstandsabstand g so eingestellt, das dass mm-raster und das vergrößerte Bild des Objekts maximal scharf sind. Diese Messung (auch g jedes mal neu messen) wird für die Bildabstände 25, 30, 40 und 60 cm wiederholt. Aufgabe: Berechnen Sie den Abbildungsmaßstab für die Bildabstände 20, 30, 40 und 60 cm, sowie die Brennweite f und die Sehwinkelvergrößerung (inklusive Mittelwert und Standartfehler). Ergebnisse und Berechnungen: G (in cm ± 0,1cm) b (in cm ±0,1cm) B (in cm, ± 0,1cm) A ΔA f (in cm) 2,0 20 6,0 3,0 0,158 10,0 3,75 0,28 1,0 25 3,5 3,5 0,364 10,0 3,50 0,36 1,0 30 4,2 4,2 0,432 9,4 3,50 0,66 1,0 40 5,0 5,0 0,510 10,0 3,13 0,33 1,0 50 6,0 6,0 0,608 10,0 3,00 0,34 1,0 60 7,0 7,0 0,707 10,0 2,92 0,39 =9,9cm σ f =0,2cm ΔA wird berechnet durch: V ΔV Bestimmung des Abbildungsmaßstabs A geschieht durch

11 Die Formel für den Abbildungsmaßstab wird nach f umgestellt: Und Somit: Für die Sehwinkelvergrößerung V wird angewandt: wobei die deutliche Sehweite (25 cm) für s eingesetzt wird. Zur Berechnung des Standardfehlers der Sehwinkelvergrößerung wird zunächst partiell abgeleitet: Dann wird mit der Gaußschen Fehlerfortpflanzung gearbeitet. Es ergibt sich folgende Formel: Die Brennweite der Lupe beträgt (9,9±0,2)cm, die Sehwinkelvergrößerung nimmt dabei mit der Entfernung des Objektes G immer weiter ab.

12 2.2 Aufbau des Mikroskops Geräte: Mikroskop aus Aufbauteilen der mikroskopischen Bank, Lampe, Netzgerät Abbildung 2: Versuchsaufbau "Mikroskop". Durchführung: Am Anfang des Versuchs befindet sich die Mattscheibe im Strahlengang des Modellmikroskops, im folgendem soll der Objektabstand so variiert werden, dass auf der Mattscheibe ein vierfach vergrößertes Bild des Objektes dargestellt wird. Aus den erhaltenen Werten der Mikrometerskala soll nun die Tubuslänge bestimmt werden. Im zweiten Teil wird anstelle der Lupe ein Okular eingebaut, um die Funktionsweise zu verdeutlichen. Aufgabe: Bestimmen Sie mithilfe der Mikrometerskala des Objektes die mechanische Tubuslänge. Berechnen Sie aus der Objektivvergrößerung und der Okularvergrößerung die Gesamtvergrößerung des Mikroskops. Ergebnisse und Berechnungen: Mechanische Tubuslänge:

13 t mech = (17,40 ± 0,1)cm f obj = 2,75cm f ok = 5,00cm Berechnung der optischen Tubuslänge: t= t mech - f obj - f ok t= 9,65 Berechnung der Objektivvergrößerung: Berechnung der Okularvergrößerung: x Berechnung der Gesamtvergrößerung:

14 Das Mikroskop hat also eine Vergrößerung von 17,55x. Beim Wechsel des Okulars von Lupe zu Mikroskopokular wird die Vergrößerung stärker (da sich die Brennweite verkleinert) und das Gesichtsfeld kleiner. 2.3 Brechungsindex und Dispersion Geräte: Spektrometer-Goniometer, Hg-Spektrallampe mit Netzdrossel, Prisma Abbildung 3: Versuchsaufbau "Brechungsindex und Dispersion". Durchführung: Mithilfe eines so genannten Spektrometer-Goniometer soll der Brechungsindex eines Prismenmaterials im Einfluss der Wellenlänge bestimmt werden. Aufgabe: Der Ablenkwinkel δ soll für alle Spektrallinien des Hg-Lichtes gemessen werden. Im Anschluss soll für mind. fünf dieser der Brechungsindex n der verwendeten Substanz errechnet werden. Dieser soll gegen die Wellenlängen der betreffenden Spektrallinien aufgetragen werden ( n und n ablesen). F C

15 Ergebnisse und Berechnungen: AB-Winkel AC-Winkel Messung 1 342,2 222,2 Tabelle 2: Messergebnisse "Brechungsindex und Dispersion". Berechnet man die Differenz beider Winkel, so ergibt sich der Drehwinkel: AB AC 120 Dieser Wert wird nun in die Gleichung für ϕ eingesetzt: Spektralfarben Ablenkwinkel Brechungsindex n Wellenlänge in nm δ ± 0,1 Grün 43,5 1, ,07 Violett 49,2 1,63 407,78 Blau 48,8 1, ,83 Gelb 37,9 1, ,96 Rot 36,8 1, ,44 Tabelle 3: Berechneter Brechungsindex und Wellenlänge. Um den Brechungsindex n zu bestimmen, wird folgende Formel angewandt: sin n 2 sin 2

16 Berechnung der mittleren Dispersion Diagramm 1: anhand korrigierte der Dispersionskurve. C- und der F-Linie: Wir setzen zunächst für den x-wert in der Gleichung der Geraden die Werte für n c (656,28nm) und n F (486,13) ein. n c = -0,000661*656,28+1, n c = 1, n F =-0,000661*486,13+1, n F =1, Nun können wir hiermit die mittlere Dispersion berechnen: dn= n F -n c dn = 1, , dn = 0, Messungen mit dem "Augenmodell" Geräte: Augenmodell, Linsen 8-0,5 dpt und dpt)

17 Abbildung 4: Versuchsaufbau "Augenmodell". Durchführung: Im letzten Versuch soll beobachtet werden wie sich das Auge bei Ausdehnung der Linse (Wassereinstrom) und bei Zusammenzug (Wasserausstrom) verhält. Ein Objetkt in 1m Entfernung zum Augenmodell soll dies verdeutlichen. Im nächsten Teil soll die Auswirkung von Kurzsichtigkeit und Weitsichtigkeit dargestellt werden, dazu werden zwei Linsen benutzt (-0,5 dpt und +1,5 dpt). Aufgabe: Diskutieren und Interpretieren Sie Ihre Versuchsbeobachtungen am "Augenmodell". Ergebnisse und Berechnungen: Wird Wasser in die Linse gepumpt so dehnt diese sich aus und wird breiter. Wir Wasser herausgezogen zieht diese sich zusammen. Trifft ein Bild auf das Auge und somit auf die Linse, so wird dieses Mehr oder weniger scharf, in Abhängigkeit der Linsenbreite, auf der Netzhaut dargestellt. Je näher sich dieses vor dem Auge befindet, desto breiter muss die Linse sein, um das Bild scharf zu halten. Befindet es sich aber in großer Entfernung, so muss die Linse um so schmaler sein. Der so genannte Nahpunkt ist der kürzeste Abstand vor dem Auge, beim dem ein Objekt noch scharf dargestellt wird. Dieser Punkt lag bei unserem Augenmodell bei ca. 20 cm. Beim menschlichem Auge liegt dieser bei ca. 7 cm.

18 Quellen: Praktikumsskript Abbildung-Augenquerschnitt: bielefeld.de/~tpfeiffe/lehre/virtualreality/slides/images/03_- _Menschliches_Auge_Querschnitt.png Versuchsaufbauten: Uni-Oldenburg "Mikroskop": ikroskop2.jpg "Brechungsindex und Dispersion": spersion2.jpg "Augenmodell": ugenmodell1.jpg