Mechanik. 1 Kinematik

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1 Mechanik Kinemaik - Beschreibung der Bewegung eines Körpers durch Or, Geschwindigkei und Beschleunigung - Körper wird als Punkmasse (PM) beschrieben.. Modell der Punkmasse und Koordinaensseme (KS) Def. PM: Volumen V = Einhei: [V] = m³ Masse m = endlich groß [m] = kg Diche ρ = m/v = [ρ] = kg/m 3 Folgen: - Or genau angebbar - Drehung um sich selbs nich möglich!

2 Orsangabe erfolg in einem Koordinaenssem (KS): hier: Karesisches KS (rechwinklig) a) < > Dimensionaliä: a) -dim. (Gerade) -, -, oder z-achse b) -dim. (Ebene) - oder -z-achse b) z< z> z c) 3-dim. (Raum) --z-achse c) Or des Punkes P(,,z) mi Koordinaen (,,z) durch Orsekor fesgeleg: r i j zk i j mi Berag (Länge) r r (,, z) z und (Wiederholung Vekorrechnung) k i, j, k i j k i j k i j i k j k Einheisekoren: mi oder e, e, e z

3 .. Geradlinig (eindimensionale) Bewegung der PM Phsikalische Größen: - Zei, [] = m/s - Or (), [] = m - Geschwindigkei () = (), [] = m/s - Beschleunigung a() = a (), [a] = m/s i k j P(,) PM... Definiion Geschwindigkei Durchschnisgeschwindigkei:, Anfangs- u. Endzei, Anfangs- u. Endor Ep.: Geschw. Lufgewehrkugel 3

4 Momenangeschwindigkei: lim d lim d Differenzialquoien (Gib an, wie sich mi änder, Momenangeschwindigkei). Ableiung on nach häng of on der Zei ab: z.b.: = Ansieg an der --Kure zum Zeipunk, ( ) is Tangene an () Kure bei Ep.: Momenangeschwindigkei 4

5 ... Geradlinige, gleichförmige Bewegung cons Anfangsbedingung: ()? d d Separaion der Variablen (, ) Inegraion d d d d Weg-Zei-Gesez der gleichförmigen, geradlinigen Bewegung () - Gerade 5

6 ..3. Geradlinige, beschleunige Bewegung Jez is Geschwindigkei zeiabhängig = (). Definiion Beschleunigung [a] = m/s Durchschnisbeschleunigung: Momenanbeschleunigung: a a lim, Anfangs- u. Endzei, Anfangs- u. Endgeschwindigkei (Gib an, wie sich mi änder, Momenanbeschleunigung) a lim d d d d.ableiung on nach.ableiung on nach a häng of on der Zei ab: z.b.: = Ansieg an der Ep.: -dim allg. Bewegung auf Lufkissenbahn --Kure zum Zeipunk a( ) is Tangene an () Kure bei 6

7 ..4. Geradlinige, gleichmäßig, beschleunige Bewegung a a cons Anfangsbedingung:,, ()? a d d Separaion der Variablen (, ) Inegraion d a d d ad a a Geschwindigkei-Zei-Gesez der gleichmäßig beschleunigen, geradlinigen Bewegung () - Gerade 7

8 ()? d d Separaion der Variablen (, ) Inegraion d d a d d d mi a a Weg-Zei-Gesez der gleichmäßig beschleunigen, geradlinigen Bewegung () - Parabel 8

9 Hinweis für geradlinige Bewegung: aus gegebenen () folg aus gegebenen a() folg a() () d d a d () () a d d d Ep.: -dim allg. Bewegung auf Lufkissenbahn 9

10 .3. Krummlinige (dreidimensionale) Bewegung der PM.3.. Geschwindigkeisekor Beschreibung in karesischen Koordinaenssem (KKS) zeiabhäniger Orsekor: r ; i j z k ; z i j; k ; sind zeiunabhängige Einheisekoren, die zeilich konsanes KKS aufspannen Bahnkure der PM z k j P(,, z, ) r i j i i k j k j k i

11 .3. Krummlinige (dreidimensionale) Bewegung der PM.3.. Geschwindigkeisekor Durchschnisgeschwindigkei: r r r, Anfangs- u. Endzei r, r Anfangs- u. Endor Momenangeschwindigkei: is Vekorangene an Bahnkure der PM z k i j r r r lim r dr lim r d Differenzialquoien P ( ) r P ( ) dr d d dz i j d d d d r ; ; z r k

12 Durchschnisbeschleunigung:.3.. Beschleunigungsekor a, Anfangs- u. Endzei Anfangs- u., Endgeschwindigkei Momenanbeschleunigung: a lim d a lim d d d r r Differenzialquoien a is Vekorangene an a zeig immer in Richung des Zenrums der gekrümmen Bahnkure

13 .3.3. Spezialfall: Gleichförmige Kreisbewegung -dim. Bewegung in - Ebene Kreisbahn Drehachse enlang z-achse z r B PM s Winkelgeschwindigkei Vekor enlang Drehachse: is Orsekor:, r r r cons Radius der Kreisbahn PM beweg sich auf Kreisbogen: s r Definiion Winkelgeschwindigkei: d ds / r ds B d d r d r [] = rad s - = s - B - Bahngeschwindigkei, angenielle Geschwindigkei 3

14 r PM s gleichförmige Kreisbewegung: d d Inegraion cons d d d d,, 4

15 r PM s d d gleichförmige Kreisbewegung: d d Inegraion cons d d d d,, r,, z mi r cos r sin r rcos,sin, Ep.: Messung (), () - Plaenspieler 5

16 B r PM s gleichförmige Kreisbewegung: d d Inegraion cons d d d d,, Bahngeschwindigkei: B r,, z mi r cos r sin r rcos,sin dr d, r sin,cos, Ep.: Messung (), () - Plaenspieler r, B B B r, B B B r is Vekorangene an Kreisbahn Ep.: Schleifscheibe und Vekorproduk r 6

17 ,, a z B r PM s Zenripealbeschleunigung:: d az d B r az r r r a z B r cos,sin gleichförmige Kreisbewegung is beschleunige Bewegung, B r d d B az B r Vekorproduk (reche Handregel) 7