Physik für Wirtschaftsingenieure

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1 Phsik fü Wischafsingenieue Chisophe Diemaie, Mahias Mändl ISBN Lesepobe Weiee Infomaionen ode Besellungen une hp:// sowie im Buchhandel

2 Mechanik Bild. Bewegung eines Asonauen une dem Einfluss de Gaviaion auf eine Keisbahn um die Ede [NASA] Die Mechanik beschäfig sich mi de Bewegung von Köpen une dem Einfluss von Käfen. Meh noch als Phänomene aus andeen phsikalischen Gebieen (Elekomagneismus, Themodnamik, Aomphsik) pägen mechanische Vogänge unsee Allagsefahungen. Wi sind sändig umgeben von Köpen, deen Bewegung wi beobachen. Die Anwendung mechanische Gesemäßigkeien is nich wegudenken aus Technik und Indusie. Die Unesuchung de Bewegung von Köpen gehö u den gundlegendsen Gegensänden de Phsik. Die Begiffe, Konepe und Gesee, die aus diese Unesuchung hevogingen (. B. Geschwindigkei, Kaf, Enegie, Abei ec.), spielen fü die gesame Phsik eine wichige Rolle. Bei Köpen unescheide man sae und defomiebae Köpe. Sae Köpe sellen eine Idealisieung da, welche in vielen Fällen weckmäßig und geechfeig is. Eine weiegehende Idealisieung is die Dasellung eines saen Köpes als Massenpunk, die dann beache wid, wenn man nu an de Bewegung des Schwepunkes eines Köpes ineessie is. Wi wollen in diesem Kapiel die gundlegenden Begiffe, Konepe und Gesee de Mechanik dasellen, weshalb wi uns auf die Mechanik de Massenpunke und de saen Köpe beschänken.

3 6 Mechanik. Mechanik de Massenpunke Wenn in diesem Abschni von Köpen die Rede is, so sind dami imme Massenpunke bw. die Schwepunke de Köpe gemein. In de Kinemaik wid die Bewegung von Köpen (Massenpunken) beschieben, ohne die Bewegung u begünden. Die Begündung eine besimmen Bewegung duch Käfe und die Fage, wie sich ein Köpe une dem Einfluss von Käfen beweg, is Gegensand de Dnamik... Kinemaik de Massenpunke Geadlinige Bewegung Beweg sich ein Köpe enlang eine Geaden, so kann de O des Köpes duch die Posiion ( auf eine Koodinaenachse beschieben weden, die auf de Geaden lieg. Diese Posiion ände sich i. Allg. mi de Zei und is dami eine Funkion de Zei. Sie heiß Osfunkion. Osfunkion ( Die Geschwindigkei v ( gib an, wie bw. wie schnell sich de O mi de Zei ände. Sie is die Ableiung de Osfunkion nach de Zei. d Geschwindigkei v = & = ( (.) d Die Ableiung nach de Zei wid duch einen Punk (und nich wie in de Mahemaik üblich duch einen Sich) dagesell. Ände sich die Geschwindigkei, so spich man von Beschleunigung (auch ein Bemsvogang is in diesem Sinne eine Beschleunigung). Die Beschleunigung is die Ableiung de Geschwindigkei nach de Zei. d d Beschleunigung a & = & ( = ( (.) d d Aus den Beiehungen (.) und (.) folg unmielba duch Inegaion:

4 . Mechanik de Massenpunke 7 = 0 + v( τ)dτ mi = ) (.3) 0 0 ( 0 v 0 + a( τ)dτ mi v ) (.4) 0 0 ( 0 Is die Geschwindigkei v konsan, so spich man von eine gleichfömigen Bewegung. In diesem Fall folg aus (.3): Gleichfömige Bewegung = + v( ) mi = ) (.5) ( 0 0 Fü 0 = 0 wid daaus 0 ( 0 = 0 + v mi 0 = (0) (.6) Is die Beschleunigung a konsan, so spich man von eine gleichfömig beschleunigen Bewegung. In diesem Fall folg aus (.4): Gleichfömig beschleunige Bewegung v + a( ) mi v ) (.7) ( ( 0 = 0 + v 0 ( 0 ) + a( 0 ) mi 0 = ( 0 ) und v 0 ( 0 ) (.8) Fü 0 = 0 wid daaus v 0 + a mi v 0 (0) (.9) = 0 + v 0 + a mi 0 = (0) und v 0 (0) (.0) Beispiel. Bemsen eines Kf Wie schnell daf ein Kf höchsens fahen, wenn de Bemsweg beim Bemsen mi eine konsanen Beschleunigung a = 0 m / s höchsens s = 45 m beagen soll? Is v 0 die gesuche Geschwindigkei und die Zei, bis das Faheug um Sillsand komm, so folgen aus (.9) und (.0) die Gleichungen v ( ) 0 + a = 0 und ( ) 0 + a = s. Auflösen de esen Gleichung nach und Einseen in die weie Gleichung füh u v 0 = s v 0 = as. Man ehäl die Geschwindigkei v 0 = 30 m/s = 08 km/h. a

5 8 Mechanik Bewegung in Raum Beweg sich ein Köpe im Raum, so kann de O eines Köpes duch die Koodinaen, (, ( in einem kaesischen Koodinaenssem beschieben weden. Diese dei eiabhängigen Koodinaen sind die Komponenen eines Vekos, de Osveko heiß und de den O de Köpes angib. Osveko = ( (, (, ( ) (.) Die eiliche Ändeung des Osvekos wid duch den Geschwindigkeisveko v ( beschieben. ( + v( = lim = lim 0 0 = lim ( ( + (, ( + (, ( + ( ) = ( &, &, & ) 0 Bild. Geschwindigkei v = ( &, &, & ) = ( v, v, v ) (.) Aus Bild. geh hevo, dass de Geschwindigkeisveko angenial u Bahn geiche is. Die Geschwindigkei is die Ableiung des Oes nach de Zei. Sie enhäl wei Infomaionen: Die Richung des Vekos v ( gib die Richung an, in die sich de Köpe beweg. De Beag v ( des Vekos v ( gib an, wie schnell sich de Köpe auf seine Bahn beweg. Die eiliche Ändeung de Geschwindigkei wid beschieben duch die Beschleunigung, welche die eiliche Ableiung de Geschwindigkei is. Beschleunigung a = ( v&, v&, v& ) = ( &&, && (, & ) ( a, a, a ) = (.3) Die Beiehungen (.3) bis (.0) im eindimensionalen Fall gelen im deidimensionalen Fall komponenenweise, d. h. jeweils fü die -, - und -Komponene,. B. gil

6 . Mechanik de Massenpunke 9 v 0 + a ( τ)dτ mi v v ) = ( 0 v 0 + a ( τ)dτ mi v v ) 0 0 = ( 0 v 0 + a ( τ)dτ mi v v ) 0 = ( 0 Bei konsane Beschleunigung a = a, a, a ) gil. B. ( = 0 + v 0 + a mi 0 = (0) und v 0 (0) (.4) = 0 + v 0 + a mi 0 = (0) und v 0 (0) (.5) = 0 + v 0 + a mi 0 = (0) und v 0 (0) (.6) Diese dei Gleichungen lassen sich usammenfassen u de Vekogleichung = 0 + v 0 + a mi = 0 (0) und v = ) 0 v(0 (.7) Fü die wischen den Zeien und uückgelege Secke s gil: s = v( d mi v = v( (.8) v ( is de Beag de Geschwindigkei: v( = v = v + v + v ( Beispiel. Wufpaabel Ein Massenpunk wede vom Anfangso ( 0) = 0 = 0 mi de Anfangsgeschwindigkei v 0) = ( v, v,0) schäg nach oben gewofen (s. Bild.3). Die nach unen geichee Schwekaf bewik bei de -Komponene die Beschleunigung a = g = 9,8 m / s.

7 0 Mechanik a = ( a, a, a v ) = (0, g,0) v v = ( g ( ( = g Mi den Beeichnungen = ( und = ( ehäl man duch Einseen von = / v 0 in 0 g die Bahn des Massenpunkes in de Fom eine Funkionsgleichung: v 0 g = v v 0 0 Bild.3 Von besondeem Ineesse bei Bewegungen in eine Ebene is die Keisbewegung. Wi beachen die Bewegung auf einem Keis in de Ebene = 0 mi Mielpunk im Uspung. Bild.4 Fü diese Bewegung gil (s. Bild.4): = ( cosϕ(, sinϕ(,0) v = ( ϕ& sinϕ(, ϕ& cosϕ(,0) = ϕ& ( sinϕ(,cosϕ(,0) (.9) Die Göße ϕ& ( heiß Winkelgeschwindigkei. Sie gib an, wie schnell sich de Winkel ϕ ände.