Hochschule Bremen Technische Physik (Kapitel 1) / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus 1. Unter Naturwissenschaft versteht man

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1 . Einführung Aus der Neugierde des Menschen enwickele sich das Ineresse die ihn umgebende Wel zu ersehen. Um die Vielfal der Beobachungen (Ereignisse) zu ordnen haben sich unerschiedliche Herangehensweisen enwickel, z.b. die Religion Naurwissenschaf Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus Uner Naurwissenschaf erseh man die gesammelen Erkennnisse über die uns umgebende maerielle Wel, den Vorgang der Erkennnisgewinnung der sich durch Ssemaik und Raionaliä auszeichne. Gewöhnlich eil man die Naurwissenschaf in oneinander abgrenzbare Disziplinen ein. Biologie (unersuch lebende Organismen) Chemie (handel on der Wechselwirkung der Elemene und Verbindungen) Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus

2 Geologie (befass sich mi dem Aufbau der Erde) Asronomie (unersuch das Sonnenssem, Serne, Galaien und das Uniersum als Ganzes) Phsik In der Phsik geh es um Maerie und Energie Prinzipien der Bewegung on Teilchen und Wellen Eigenschafen on - Gasen, Flüssigkeien und Feskörpern - Molekülen, Aomen, Aomkernen (ausgedehne Sseme) d.h. um die unbelebe Naur. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 3 Die Phsik glieder sich je nach Arbeisweise in die Theoreische Phsik (mahemaische Enwicklung und Zusammenfassung der Naurgeseze) Eperimenal Phsik (Herleiung on Gesezen aus der unmielbaren Erfahrung und eperimenellen Besäigung neuer Zusammenhänge, die on der heoreischen Phsik gefunden wurden) Angewande / Technische Phsik (beschäfig sich mi Problemsellungen mi hohem Anwendungsbezug, die (noch) keiner besimmen Technik zugeordne werden können) Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 4

3 . Phsikalische Größen und Einheien Die phsikalischen Geseze formulieren Zusammenhänge zwischen phsikalischen Größen wie Länge Zei Kraf Energie Temperaur Als Forderung an die Phsik ergib sich daraus die Nowendigkei phsikalische Größen eindeuig zu definieren und genau zu messen. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 5 Messen einer phsikalischen Größe bedeue eine genau definiere Einhei für diese Größe mi der zu ermessenden phsikalischen Größe zu ergleichen. Beispiel: Absandsmessung zweier Punke durch ergleichen mi einer Einhei der Länge. Die Einhei der Länge sei z.b. das Meer, dann bedeue die Aussage die Srecke is 5 Meer lang, dass ihre Länge 5mal größer als die der Einhei Meer is. Der Zahlenwer or der Einhei gib an, wie of der Vergleichsmesssab des Meers angeleg werden kann. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 6

4 Somi is jede phsikalische Größe das Produk aus einem Zahlenwer (quaniaie Aussage) und einer Einhei (qualiaie Aussage). Es gil also wobei bezeichne. G : G { G}[ G] die phsikalische Größe { G} : [ G] : die Einhei (Maßeinhei) den Zahlenwer (Maßzahl) Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 7 Die Einheien aller phsikalischen Größen lassen sich auf 7 sogenanne Basiseinheien zurückführen. Die Wahl dieser Einheien besimm dami ein gesames Ssem on Basis- und abgeleieen Einheien. Das am weiesen erbreiee Ssem bilden die SI-Einheien (SI-Einheien seh für Ssème Inernaional d Uniés) Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 8

5 Basisgrößen Länge Zei Masse elekrische Sromsärke Temperaur Lichsärke Soffmenge Basiseinheien Meer Sekunde Kilogramm Ampère Kelin Candela Mol Smbol m s kg A K cd mol Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 9 Definiion einiger Basisgrößen: Meer m is die Länge der Srecke, die Lich im Vakuum während der Zeispanne on / Sekunden durchläuf. (wurde früher durch ein in Sères aufbewahres Urmeer definier) Sekunde s is die Dauer on Perioden der beim Übergang zwischen den beiden sogenannen Hperfeinsrukurnieaus des Grundzusands on Cäsium-33 ausgesendee Srahlung. (wurde früher über die Drehung der Erde als /(6 6 4) des mileren Sonnenags fesgeleg) Kilogramm kg is die Masse des inernaionalen in Sères aufbewahren Kilogrammproops (Urkilogramm). Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus

6 Kelin K is der 73,6e Teil der Temperaur des Tripelpunkes on Wasser bezogen auf den absoluen Nullpunk, bei 3,5hPa. Mol mol is die Soffmenge eines Ssems, das aus ebenso ielen Einzeleilchen beseh, wie Aome in / kg des Kohlensoffnuklids C enhalen sind, nämlich 6, Aogadro-Konsane N A 6,367 mol 3 6,367 kmol 6 Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus Häufig orkommende abgeleiee SI-Einheien besizen eigene Bezeichnungen mi Namen on bedeuenden Phsiker wie z.b. die Kraf : der Druck : die Leisung : kg m Newon N s kg Pascal Pa m s kg m Wa W 3 s Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus

7 Vorsilben für dezimale Vielfache on Einheien Vielfaches Vorsilbe Abkürzung 8 Ea E 5 Pea P Tera T 9 Giga G 6 Mega M 3 Kilo k Heko ) h Deka ) d ) Heko und Deka sind keine Poenzen on 3. Sie werden nur noch in Ausnahmefällen, z.b. hpa, benuz. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 3 Vorsilben für dezimale Brucheile on Einheien Vielfaches Vorsilbe Abkürzung - Dezi ) d - Zeni ) c -3 Milli m -6 Mikro µ -9 Nano n - Piko p -5 Femo f -8 Ao a ) Dezi und Zeni sind keine Poenzen on 3. Sie werden nur noch in Ausnahmefällen, z.b. cm, benuz. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 4

8 . Messgenauigkei und Messfehler Messen is der eperimenelle Vorgang durch den ein spezieller Wer (Messwer) einer phsikalischen Größe (Messgröße) als Vielfaches einer Einhei ermiel wird. Messungen sind immer mi Messfehlern behafe. Messergebnisse sind Schäzwere des wahren Weres der Messgröße Die Güe der Schäzwere (Messgenauigkei) häng on den Fähigkeien des Eperimenaors der erwendeen Messapparaur ab. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 5 Bei Messfehlern unerscheide man zwischen ssemaischen Fehlern (reen bei wiederholen Messungen in gleicher Weise auf, Ursache z.b. mangelhaf kalibriere Messgeräe) zufälligen Fehlern (reen bei wiederholen Messungen in unerschiedlicher Weise auf, Ursache z.b. Schwankungen der Versuchsbedingungen, Zufallscharaker der Messgröße) Zufällige Messfehler können durch wiederholes Messen mi anschließender Mielwerberechnung reduzier werden. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 6

9 Es seien,,, Messungen n Arihmeisches Miel der Messwere Messwere aus wiederholen i n n i (Schäzwer für den Erwarungswer) ( ) Sandardabweichung der Messwere s n n n i ( ) (Maß für die Sreuung der Messwere um den Erwarungswer) Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 7 i n Sandardabweichung des arihmeischen Miels (Maß für die Sreuung des arihmeischen Miels um den Erwarungswer) Normalereilung (Gauß-Vereilung) Messwere können häufig durch eine Normalereilung mi Wahrscheinlichkeisdiche ( μ ) f ( ) ep πσ σ modellier werden. s s n n ( n ) n i ( ) i Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 8

10 Parameer der Normalereilung μ : σ : 68% der gesamen Fläche unerhalb des Graphen μ-σ μ μσ Erwarungswer Sandardabweichung Das arihmeische Miel is ein Schäzwer für μ mi lim μ n Die Sandardabweichung der Messwere is ein Schäzwer für σ mi lim s σ n Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 9 Fehlerforpflanzungsgesez on Gauß Es seien,, m Messwere on m Messgrößen die in eine Formel eingesez die ineressierende phsikalische Größe liefern f,, ) ( m Mi den Sandardabweichungen s,, die Sandardabweichung on zu s m ergib sich wobei f j bezeichne. m f s s j j j die parielle Ableiung on f nach j Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus

11 Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus Beispiel: Besimmung eines ohmschen Widersandes aus Spannungs- und Srommessungen Mi den pariellen Ableiungen nach und ergib sich die Sandardabweichung on zu ; ), ( I U I U f R, ma; s 9,98 A;,3 V; s, V; A U I U ; ; I U f I U I f s R I U Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus Beispiel (Forsezung): mi Ω 3,6 I s U s R I s R U s R I U s I s s I U I U I U R Ω 3 I U R

12 Lineare Regression Temperaur- und Spannungsmessung an einem Thermoelemen Thermospannung [mv] Temperaur ϑ [ C] Messwere ϑ, ; k, k U k, Regressionsgerade U mϑ b k k Kleinse-Quadrae-Schäzung n min ( U k mϑk b) m, b k n Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 3.3 Dimension phsikalischer Größen Die Dimension einer phsikalischen Größe gib die Abhängigkei dieser Größe on den Basisgrößen, z.b. der Länge Zei Masse an. Die Dimension is unabhängig on den erwendeen Einheien. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 4

13 Beispiel: ) Die Fläche eines Recheckes mi den Seien und is A. Unabhängig on der erwendeen Einhei m oder km besiz die Fläche die Dimension Länge Länge ) Die Geschwindigkei eines Gegensandes besiz die Dimension Länge L Zei T L Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 5 Die Dimension erlaub ein schnelles Überprüfen on phsikalischen Gleichungen Beispiel: Eine Srecke wobei a bezeichne. sei gegeben durch die Beziehung die Zei a [ L] die Geschwindigkei die Beschleunigung [ L / T ] [ L / T ² ] [ T ] Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 6

14 Beispiel (Forsezung): Da der Summand kann die Formel [ L] [ L T ] [ T ] [ L] [ L / T ² ][ T ] / [ L / T ] a die falsche Dimension ha a nich simmen. Bei phsikalischen Größen die als Produk anderer phsikalischer Größen dargesell werden können, kann man die Dimension dazu benuzen, die Formel bis auf einen Proporionaliäsfakor zu raen. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 7 Beispiel: Die Schwingungsdauer eines Pendels sei ausschließlich eine Funkion der Masse m [kg] Fadenlänge l [m] Erdbeschleunigung g [m/s²] die muliplikai erknüpf sind. Mi dem Produkansaz α β γ m l g erhäl man für die Dimensionen [ T ] [ M ] α [ L] β [ L / T ² ] γ Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 8

15 Beispiel (Forsezung): und nach Umformen α β γ γ [ T ] [ M ] [ L] [ T ] α, γ, β Dami laue der Ansaz übereinsimm. l g der bis auf den Proporionaliäsfakor π mi der richigen Formel l π g l g Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 9.4 Rechnen mi phsikalischen Größen Phsikalische Größen können ses als Produk aus Zahlenwer und Einhei dargesell werden. Einheien können wie gewöhnliche Fakoren behandel, d.h. ausgeklammer und gekürz, werden. Eponenialdarsellung phsikalischer Einheien Beispiele: m 8 m Lichgeschwindigkei s s Absand Erde/Sonne 5... m,5 m Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 3

16 Umwandlung phsikalischer Einheien Beispiel: m km Geschwindi gkei on? s h Mi den Umwandlungsfakoren km km m m und 36s h 36s h erhäl man m m 36s km km 3,6 s s h m h Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 3 Gülige/signifikane Sellen Beispiele: Die Zahl,5 " ",53,3,3-3 ha 3 ha 4 ha 3 gülige Sellen " " Gülige Sellen nach Addiion und Subrakion Das Ergebnis einer Addiion oder Subrakion zweier Zahlen besiz keine güligen Sellen jenseis der lezen Dezimalselle, an der beide Zahlen eine gülige Selle haben. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 3

17 Gülige Sellen nach Muliplikaion und Diision Die Zahl der güligen Sellen beim Ergebnis einer Muliplikaion oder Diision is gleich der kleinsen Zahl güliger Sellen in allen Fakoren. Beispiele: Berechnen einer Kreisfläche Durch abschreien wurde ein Radius on 8m besimm. A π r Die Genauigkei der Radiusmessung lieg bei ca. ±,5m Amin π rmin 76,745868m m A Ama π rma 6,9869 m π 64 m,6998m Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 33 Größenordnung (grobe Abschäzungen, runden auf er Poenzen) Beispiele: Eine Ameise is ewa 8-4 m lang. Die Größenordnung der Länge einer Ameise beräg -3 m. Menschen besizen eine Körpergröße der Größenordnung m. Die asächliche Körpergröße lieg näher bei m als bei m oder,m. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 34

18 . Mechanik. Kinemaik Die Kinemaik beschäfig sich mi der Beschreibung on Bewegungen ohne dabei deren Ursachen zu hinerfragen. Zur Vereinfachung der Berachungen sei die Posiion der sich bewegenden Gegensände durch die Angabe der Koordinaen eines Punkes beschreibbar. Einen Gegensand mi dieser Eigenschaf nenn man Teilchen oder Massenpunk und mein dami einen idealisieren Körper dessen Masse in einem Punk konzenrier is. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 35.. Bewegung in einer Dimension Von eindimensionalen Bewegungsabläufen sprich man, wenn die Bewegung enlang einer geraden Line erläuf. Beispiel: Ein Auo das auf einer ebenen, geraden und schmalen Sraße fähr. Durchschnisgeschwindigkei Anschaulich is die Durchschnisgeschwindigkei definier durch Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 36

19 Durchschni sgeschwindigkei Beispiel: zurückgelege Srecke benöige Zei Ein Fahrzeug leg in 5 Sunden km zurück. km 5h km 4 h oder in SI-Einheien m s m s Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 37 Bei der Besimmung der Durchschnisgeschwindigkei wird die Richung der Bewegung üblicherweise nich berücksichig. Zur Vorbereiung auf mehrdimensionale Bewegungen soll im folgenden die Richung mi einbezogen werden. Hierzu führ man auf der Fahrsrecke ein Koordinaenssem ein. Δ ( ) ( ) Fahrsrecke () Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 38

20 Die Posiionseränderung des Massenpunkes nenn man Verschiebung Δ mi Mi dem Zeiinerall Δ Δ ergib sich die Durchschnisgeschwindigkei zu Δ Δ Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 39 Verschiebung und Durchschnisgeschwindigkei können sowohl > als auch < annehmen. Beispiel: Ein Fußgänger sei zu den Zeien s und 7s am Or ( ) m und ( ) m Δ m m 8m m,6 5,76 s Δ 7s s 5s posiie Were, d.h. Bewegung nach rechs negaie Were, d.h. Bewegung nach links Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 4 km h

21 Beispiel: Ein Radfahrer sei zu den Zeien 5s, s und 3 s am Or m, 5m und 4m mi Vorzeichen (phsikalische Herangehensweise) Δ ( 3 ) ( ) 3 Δ m 3 Δ 3 3 Δ 7s ( ) ( ) s ohne Vorzeichen (Allagsersändnis) s 3 s Δ ( 3 ) ( ) Δ m 7s m s m Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 4 Geomerische Deuung der Durchschnisgeschwindigkei Weg-Zei-Diagramm Δ ' P ( ), P ' ' ( ) ', ϕ P ( ), Δ ' Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 4

22 Die Durchschnisgeschwindigkei ensprich der Seigung der Geraden (Sekane) Δ m anϕ Δ P ( ) ( ) durch die Punke, und P,. Die Durchschnisgeschwindigkei häng bei nich konsaner Geschwindigkei on der Wahl des Zeiineralls ab, z.b. gil für die orangegangene Abbildung < p p ', p, p Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 43 Momenangeschwindigkei ''' P '' P ' P Δ ' Δ '' Δ ''' Δ '''' Δ '''' P P P Tangene an P '''' Δ ''' Δ '''' ''' '' ' '' Δ ' Δ Δ Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 44

23 Die Momenangeschwindigkei für einen besimmen Zeipunk is die Seigung der Tangene an die Weg- Zei-Kure in diesem Punk. Demzufolge kann die Momenangeschwindigkei mahemaisch durch den Grenzwer Δ lim Δ Δ ausgedrück werden. Der Grenzwer wird in der Differenialrechnung als Ableiung on nach bezeichne und durch Δ d lim Δ Δ d smbolisier. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 45 Ensprechend der Seigung d d oder d < d kann die Momenangeschwindigkei oder < sein. < > < Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 46

24 Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 47 Ableiung der Poenzfunkion Die Poenzfunkion is definier durch wobei und beliebige Konsanen sind. Die Ableiung on nach laue Beispiel: C n n C ( ) n n C n C d d d d C d d C n C d d C n : : Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 48 Beweis für und ( ) ( ) ( ) C C C C d d Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ lim lim lim n n ( ) ( ) ( ) C C C C C C C C C d d Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ lim ) ( lim lim lim

25 Weg-Zei-Diagramm Geschwindigkei-Zei-Diagramm m 6 > 3 > m s m s m s m s 8 8 m s 4 4 m s s s Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 49 Durchschnisbeschleunigung Massenpunke deren Momenangeschwindigkei sich mi der Zei änder unerliegen einer Beschleunigung. Die Durchschnisbeschleunigung is definier als Durchschni sbeschleunigung und kann mahemaisch durch Δ a Δ ausgedrück werden. ( ) ( ) Geschwindigkeisänderung benöige Zei Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 5

26 Geomerische Deuung der Durchschnisbeschleunigung Geschwindigkei-Zei-Diagramm Δ P ( ), P ( ), Δ Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 5 Die Durchschnisbeschleunigung ensprich der Seigung der Geraden die durch die Punke P (, ) und P (, ) geh. Die Durchschnisbeschleunigung häng bei zeiabhängiger Beschleunigung on der Wahl des Zeiineralls ab. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 5

27 Momenanbeschleunigung Tangene an P P Δ ' Δ '' Δ ''' Δ '''' Δ P '''' P ''' P '' P ' P '''' Δ ''' Δ '''' ''' '' ' '' Δ ' Δ Δ Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 53 Für einen besimmen Zeipunk is die Momenanbeschleunigung durch die Seigung der Tangene an die Geschwindigkei-Zei-Kure in diesem Punk gegeben. Die Momenanbeschleunigung ergib sich mahemaisch als Grenzwer Δ a lim Δ Δ und somi als die Ableiung der Geschwindigkei oder als die zweie Ableiung des Ores nach der Zei, d.h. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 54

28 Beispiel: a d d d d d d d d Ein Auo beschleunige in 5s on km/h auf 9km/h. Wie groß is die Durchschnisbeschleunigung? Mi wobei m/s Δ Δ 3,6 km/h gil 9 km/h 5 s m/s 3,6 km/h m a 5 s g die Erdbeschleunigung angib. g Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 55 Übungsaufgabe : Das Weg-Zei-Verhalen eines Massenpunkes sei durch C 3 gegeben, wobei die Konsane C die Einhei m/s 3 besize. Ermieln Sie die Geschwindigkei und die Beschleunigung als Funkion der Zei! Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 56

29 Bewegung mi konsaner Beschleunigung Aus dem orangegangenen is bekann Gesuch is nun die Umkehrung Inegraion differenzieren differenzieren ( ) ( ) a( ) inegrieren inegrieren a( ) ( ) ( ) Die Beschleunigung a() sei bekann. Ziel is es nun eine Geschwindigkei () zu finden, deren Ableiung der Beschleunigung a() ensprich. () bezeichne man dann auch als Sammfunkion on a(). Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 57 Bei konsaner Beschleunigung d a( ) a gil d a und dami für die Geschwindigkei a ( ) d d d a da, d d d a wobei eine Konsane is, die die Anfangsgeschwindigkei zur Zei angib. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 58

30 Da die Ableiung des Ores () die Geschwindigkei d a d ergib, kann bei analoger Vorgehensweise wie zuor gefunden werden, da d d d d a ( ) d( a ) d d d a Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 59 Anfangsbedingungen Die als Inegraionskonsanen bezeichneen Konsanen und sind durch den Or und die Geschwindigkei des Massenpunkes zu einem besimmen Anfangszeipunk, z.b. bei gegeben. Anfangswerproblem Gegeben sei a () besimme (). Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 6

31 Sammfunkion der Poenzfunkion Die Sammfunkion on f ( ) C mi R und n Z \ laue a { } C n F( ) D n Beispiel: 3 C 4 C 5 a ( ) C ( ) D ( ) D 4 n E Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 6 Konsane Beschleunigung komm in der Naur häufig or, z.b. Gegensände fallen mi einer konsanen Erdbeschleunigung m g 9,8 s nach unen (Lufwidersand ernachlässigen). die Seigung der Geschwindigkei-Zei-Kure is konsan, d.h. die Geschwindigkei nimm linear mi der Zei zu. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 6

32 Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 63 Zur Zei befinde sich der Massenpunk am Or und besize die Geschwindigkei. Abhängigkei der Geschwindigkei on der Zei bei konsaner Beschleunigung Abhängigkei des Ores on der Zei bei konsaner Beschleunigung a a Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 64 Durchschnisgeschwindigkei bei konsaner Beschleunigung ( ) ( ) a a Δ Δ a

33 Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 65 Abhängigkei der Geschwindigkei om Or bei konsaner Beschleunigung Aus folg nach einsezen on, da, der Ausdruck a a a a a a Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 66 Muliplizieren mi auf beiden Seien liefer und nach aufgelös schließlich ( ) ( ) ( ) ( ) a a a a ( ) a a Δ a

34 Übungsaufgabe : Ein Gegensand werde mi der Anfangsgeschwindigkei on 3 m/s senkrech nach oben geworfen. Gleichzeiig erfähr er eine Erdbeschleunigung on g m/s nach unen. ) Wie lange brauch der Gegensand bis zu seinem höchsen Punk? ) Welche Srecke leg der Gegensand bis zu seinem höchsen Punk zurück? 3) Wie lange is der Gegensand insgesam in der Luf? Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 67.. Bewegung in zwei oder drei Dimensionen Geschwindigkeisekor Ein Massenpunk bewege sich enlang einer beliebigen Kure (Trajekorie) im Raum P ( ( ), ( )) (, ) Δs Δr r r r P ( ( ), ( )) (, ) r Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 68

35 Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 69 Orsekor, wobei die Vekoren,, die Einheisekoren in einem rechwinkligen Koordinaenssem bezeichnen. z e z e e z e r e r z e z z r z e z e e r z e z e e r e e z e Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 7 Vekoraddiion Hierbei sind und die Orsekoren an die Trajekorie zu den Zeipunken und. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) z z z e z z e e e z e e e z e e r r ( ) ( ) ( ) ( ) z z e z e e r e z e e r ( ) ( ) ( ) ( ) z z e z e e r e z e e r

36 Der Verschiebungsekor is die Differenz der beiden Orsekoren, d.h. Δr r r Δ e Δ e Δz ez e e z z e ( ) ( ) ( ) z Vekor der Durchschnisgeschwindigkei Das Verhälnis zwischen Verschiebungsekor Δr und Zeiinerall Δ ensprich der ekorwerigen Durchschnisgeschwindigkei, d.h. Δr Δ Δ Δz e e ez e e z e Δ Δ Δ Δ z Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 7 Vekor der Momenangeschwindigkei Δ Δr Δs und die Richung on Δr näher sich der Richung der Tangene im Punk r P P P Δr Δr Δr P P Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 7

37 Die ekorwerige Momenangeschwindigkei is definier als Grenzwer der ekorwerigen Durchschnisgeschwindigkei für Δ gegen null, d.h. Δr Δ Δ Δz lim lim e e ez Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δz lim e lim e lim ez Δ Δ Δ Δ Δ Δ d d dz e e ez d d d dr e e z ez r d Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 73 Berag der Momenangeschwindigkei dr d d d ( d) ( d) ( dz) d d d dz d ds d wobei s angib. den enlang der Kure zurückgelegen Weg Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 74

38 Δ P Δs Δs Δr P P r P Δ Δr ( Δ) ( Δ) ( Δz) Δs Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 75 Übungsaufgabe 3: Ein Segelboo besize zur Zei s die Anfangskoordinaen P (, ) (m, m) und zur Zei s die Koordinaen P (, ) (4m, m). ) Wie groß sind die Komponenen und der Berag der ekorwerigen Durchschnisgeschwindigkei? ) Welche Richung besiz die ekorwerige Durchschnisgeschwindigkei? Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 76

39 Beschleunigungsekor Vekor der Durchschnisbeschleunigung Die ekorwerige Durchschnisbeschleunigung is definier als das Verhälnis aus Momenangeschwindigkeisänderung Δ und Zeiinerall Δ, d.h. Δ ( ) ( ) a Δ Vekor der Momenanbeschleunigung Die ekorwerige Momenanbeschleunigung ergib sich als Grenzwer der Durchschnisbeschleunigung für zu a Δ lim Δ lim Δ Δ ( Δ) ( ) Δ Δ d d Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 77 Mi d d e e e d d e ergib sich die Momenanbeschleunigung zu a d e d d e d z e z dz d e z e d dz e ez d d d d z e e z d d e e z e e z z e z Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 78

40 Von Beschleunigung sprich man, wenn der Berag und/oder die Richung des Geschwindigkeisekors ariier. Ein wichiges Beispiel für eine beschleunige Bewegung mi einer Geschwindigkei on konsanem Berag und ariierender Richung is die gleichförmige Kreisbewegung. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 79 Übungsaufgabe 4: Ein Auo durchfahre in 5 s eine 9 -Kure mi einer Geschwindigkei on 6 km/h. Welche Durchschnisbeschleunigung erfähr das Auo während der Kurendurchfahr? Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 8

41 Wurfbewegungen Das wichigse Merkmal der Wurfbewegung is, dass die horizonalen und erikalen Komponenen unabhängig oneinander sind. Δ Δ 3Δ 4Δ Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 8 Schräger Wurf Wir berachen die Bewegung eines Balls in einem Koordinaenssem mi horizonaler -Achse und erikaler -Achse. Für die Komponenen des Beschleunigungsekors gil a und a g ( g Erdbeschleunigung) Der Ball werde im Ursprung mi der Anfangsgeschwindigkei und einem Winkel ϕ zur horizonalen abgeworfen. Der Vekor der Anfangsgeschwindigkei besiz dann die Komponenen cosϕ und sinϕ. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 8

42 Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 83 Aus folg Für die -Komponene erhäl man mi Die Komponenen der Verschiebung lauen a a g g a g Δ Δ ( ) a Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 84 Übungsaufgabe 5: Ein Ball werde uner einem Winkel ϕ 37 zur Horizonalen mi einer Anfangsgeschwindigkei 5 m/s in die Luf geworfen. ) Wie lange is der Ball in der Luf? ) Welche horizonale Enfernung R (Reichweie) ha der Ball zurückgeleg?

43 Die allgemeine funkionale Abhängigkei zwischen und, d.h. (), ergib sich durch Einsezen on Δ ( Δ ) in Δ g zu Δ Δ Δ g bzw. g ( ) ( ) Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 85 m 5 e 4 3 e e e e e e e e e e e m Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 86

44 Reichweie eines Projekils Für den Spezialfall idenischer Anfangs- und Endhöhe kann eine allgemeine Formel für die Reichweie hergeleie werden.,, g g Lösungen der quadraischen Gleichung sind (Anfangsbedingung) und g g g Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 87 Einsezen on cosϕ und sinϕ sowie Umbenennen on in die Reichweie R liefer sinϕ cosϕ R. g Nach Ausnuzen des Addiionsheorems sin( ϕ ϕ ) sinϕ cosϕ sinϕ cosϕ für ϕ ϕ ϕ, d.h. sin ( ϕ ) sinϕ cosϕ erhäl man schließlich R sin( ϕ ). g Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 88

45 Aufgrund on sin( ( 45 Δϕ )) sin( ( 45 Δϕ )) is die Reichweie on Projekilen idenisch, wenn ihr Abwurfwinkel um denselben Winkel nach oben oder unen on 45 abweich. ' ' 3' 3 Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 89 Lieg der Aufreffpunk eines Projekils niedriger als der Abwurfpunk, so wird die Reichweie bei einem Winkel maimal, der kleiner als 45 is. 45 Wurfparabel flachere Wurfparabel Anfangshöhe Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 9

46 Kreisbewegungen Zenripealbeschleunigung Ein Saelli bewege sich mi der Geschwindigkei auf einer Kreisbahn mi dem Radius r um die Erde. P, r r P ' h P, Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 9 Ohne Zenripealbeschleunigung würde sich der Saelli in der Zei on Punk P nach P bewegen. Aufgrund der Beschleunigung bleib der Saelli auf der Kreisbahn und erreich in der Zei den Punk P ', d.h. der Saelli fäll gewissermaßen um die Srecke h in Richung des Kreismielpunks zurück. Ursache dafür is die Zenripealbeschleunigung, die im folgenden hergeleie wird. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 9

47 Aus der orangegangenen Abbildung ennimm man ( r h) ( ) r r r h h r h ( r h) Da für sehr kleine auch h sehr klein und somi h << r is, kann h gegenüber r in der Klammer ernachlässig werden, so dass rh oder nach h umgeform h r gil. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 93 Da der Saelli auf einer Kreisbahn gehalen wird, muss andererseis eine beragsmäßig konsane zum Kreismielpunk gerichee Beschleunigung orliegen, d.h. h azp Gleichsezen der beiden Gleichungen liefer schließlich nach Umformen den Berag der Beschleunigung a zp r (bei Verdoppelung on bzw. erierfach bzw. halbier sich die Beschleunigung) r Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 94

48 Übungsaufgabe 6: Ein Auo fahre um eine Kure, deren Radius r 3 m Beräg. Durch Reibung ree eine maimale Zenripealbeschleunigung on a ma 4,8 m/s auf. Mi welcher maimalen Geschwindigkei kann das Auo die Kure durchfahren? Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 95 Allgemeine Herleiung der Zenripealbeschleunigung P r Δr Δs Δϑ P Δϑ r Δ Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 96

49 Der Geschwindigkeisekor bzw. seh im Punk P bzw. P senkrech auf dem Orsekor r bzw. r, d.h. r und r. ( bzw. is Tangene an den Kreis im Punk P bzw. ) P Δϑ r, r ( ) ( ), Somi gil Δs Δr Δ Δϑ r r wobei r r r den Radius des Kreises und den Berag der Geschwindigkei bezeichne. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 97 Beache man noch, dass so erhäl man Δ Δϑ r Δs Δ Δ oder oder nach Grenzübergang Δ azp lim Δ Δ r Δ Δ r Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 98

50 Tangenial- und Normalbeschleunigung a ae r a a e a n e e Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 99 Die Bewegung eines Massenpunkes auf einer beliebigen Bahn kann abschnisweise, d.h. in kurzen Zeiinerallen, als Bewegung auf Kreisbögen aufgefass werden. Der Vekor der Momenanbeschleunigung kann alernai zur karesischen Komponenendarsellung ae und a e in die normal Komponene a n mi dem Berag an a n,, r r r und die Tangenialkomponene, die die zeiliche Veränderung des Berages der Geschwindigkei beschreib, d d a d d zerleg werden. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus

51 . Grundgeseze der Dnamik In dem orangegangenen Abschni zur Kinemaik habe wir die Bewegung on Massepunken geomerisch-analisch beschrieben. Wir wissen also, wie sich ein Massenpunk beweg. Die Fragen nach den Ursachen können wir jedoch noch nich beanworen. Dieser Fragesellung widme sich die Dnamik Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus.. Erses Newonsches Aiom Erses Newonsches Aiom (Trägheisprinzip) Ein Körper bleib in Ruhe oder beweg sich mi konsaner Geschwindigkei (Berag und Richung) weier, wenn keine resulierende Kraf auf den Körper einwirk. Die Eigenschaf eines Körpers seinen Bewegungszusand beizubehalen, bezeichne man als Träghei. Daher bezeichne man das erse Newonsche Aiom auch als Trägheisgesez. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus

52 Früher (or Galilei) nahm man an, dass ses eine Kraf wirken muss um einen Körper in Bewegung zu halen. Allagserfahrung Ein gezogener Schlien gleie nach dem Loslassen ein Sück weier und bleib schließlich sehen. Galilei und Newon erkannen aber, dass sich der Schlien aufgrund on Reibung nich kräfefrei beweg. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 3 Galilei Eperimen (moiier es Newonsches Aiom) h ϑ ϑ' Die Bälle bewegen sich unabhängig om Neigungswinkel der Schräge fas wieder bis zu ihrer ursprünglichen Höhe h. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 4

53 ) Je kleiner der Neigungswinkel ϑ wird, um so weier roll der Ball nach rechs. ) Bei Vernachlässigung der Reibung wird der Ball auf einer horizonalen Ebene, d.h. ϑ, für immer und ohne Geschwindigkeisänderung weierrollen. Dieser Sacherhal moiiere die Formulierung des ersen Newonschen Aioms. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 5 Bezugsssem, Inerialssem Das e Newonsche Aiom unerscheide nich zwischen einem ruhenden und einem sich gradlinig gleichförmig, d.h. mi konsaner Geschwindigkei (Berag und Richung), forbewegenden Körper. Ob ein Körper ruh oder sich mi konsaner Geschwindigkei beweg, häng on dem für die Berachung der Bewegung gewählen Koordinaenssem ab. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 6

54 Gedankeneperimen ' S' Eisenbahnwaggon Gegensand Lufkissenisch O' ' a) Der Gegensand befinde sich in dem Koordinaenssem S ', dessen Ursprung O' mi dem Waggon erbunden is, in Ruhe. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 7 S ' S' O' ' O b) Der Gegensand befinde sich relai zum Waggon, d.h. relai zum Bezugsssem S' in Ruhe. Die Geschwindigkei wird relai zum Koordinaenssem S, das mi den Schienen erbunden is, gemessen. Relai zum Bezugsssem S beweg ich der Gegensand mi der selben Geschwindigkei wie der Waggon nach rechs. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 8

55 S '' S'' F a O'' '' O c) Der Eisenbahnwaggon sare zur Zei aus einer Ruheposiion heraus. Der Gegensand erfahre wegen des Lufkissens keine Reibung und bleibe relai zum Bewegungsssem S in Ruhe, während sich der Lufkissenisch zusammen mi dem Waggon uner ihm hinwegbeweg. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 9 Im beschleunigen Bezugsssem S'' wird der Gegensand mi a nach hinen beschleunig, d.h. er unerlieg ohne Krafeinwirkung einer horizonalen Beschleunigung. Um den Gegensand im Bezugsssem S'' in Ruhe zu halen, is die horizonale Kraf F nöig. Das erse Newonsche Aiom gil nich in beschleunigen Bezugsssemen. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus

56 Ein Bezugsssem heiß genau dann Inerialssem, wenn das erse Newonsche Aiom gil. Ein Bezugsssem, das sich relai zu einem Inerialssem mi konsaner Geschwindigkei (Berag und Richung) beweg, is selbs auch ein Inerialssem. Ein mi der Erdoberfläche erbundenes Bezugsssem kann wegen der Erdbewegung genaugenommen kein Inerialssem sein. Is die Erddrehung im Vergleich zum Zeiablauf eines Eperimens ernachlässigbar langsam, so kann ein mi der Erdoberfläche erbundenes Bezugsssem in guer Näherung als Inerialssem angesehen werden. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus.. Zweies Newonsches Aiom Zweies Newonsches Aiom (Akionsprinzip) Die Beschleunigung eines Körpers is umgekehr proporional zu seiner Masse und direk proporional zur resulierenden Kraf, die auf ihn wirk, d.h. F a bzw. m F ma Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus

57 Eine Kraf is die Größe, die einen Körper dazu bring, seine Geschwindigkei zu ändern, d.h. zu beschleunigen. Die Kraf und die on ihr erursache Beschleunigung zeigen in dieselbe Richung. Der Berag der Kraf is das Produk aus der Masse und dem Berag der Beschleunigung. Wirken mehrere Kräfe gleichzeiig auf einen Körper ein, so beobache man, dass der Körper nur in eine Richung beschleunig wird, so als ob auch nur eine resulierende Kraf an ihm angreife. Um die resulierende aus mehreren Teilkräfen zu finden, sez man diese uner Parallelerschiebung aneinander. Die Resulierende is dann der Schlusspfeil des gebildeen Krafecks. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 3 Beispiel: F ' F F res F F F '' F F res F 3 Resulierende zweier Kräfe F 4 Geomerische Addiion on Kräfen Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 4

58 F F 3 F F F 3 F F res F 4 Geomerische Addiion on Kräfen (das Krafeck) Drei Kräfe im Gleichgewich Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 5 Die Masse (genauer räge Masse) is die jedem Körper innewohnende Eigenschaf, sich einer Beschleunigung zu widersezen. Das Verhälnis zweier Massen kann wie folg definier werden. Eine Kraf F wirke auf zwei Körper der Masse m bzw. m und erzeuge die Beschleunigung a bzw. a, d.h. F m a und F m a Gleichsezen liefer F ma ma und nach Umformen die Definiion der Masse m a m a Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 6

59 Mi diesem Gesez können Massen erglichen, z.b. aus m m und m 3 4m m 3 m, und eine Massenskala miels eines Sandarkörpers, dessen Masse man als Masseneinhei fesleg, definier werden. Die Einhei der Kraf is Newon [N] und ensprich jener Kraf, die benöig wird, um einen Körper der Masse kg mi m/s zu beschleunigen. Aus den Definiionen der zuor eingeführen Begriffe der Kraf und Masse folg direk das e Newonsche Aiom d d r F ma m m d d Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 7 Das e Newonsche Aiom erbinde die dnamischen Größen - Masse und - Kraf mi den kinemaischen Größen - Beschleunigung, - Geschwindigkei und - Verschiebung Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 8

60 Impuls Der Impuls is definier als p m Newon ha das e Aiom selbs ewas allgemeiner formulier. Wenn eine Kraf auf einen Körper wirk, so änder sich sein Impuls. dp d( m ) dm d F m d d d d Is die Masse keine Funkion der Zei, so gil dp d F m ma d d Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 9 Übungsaufgabe 7: An einem Massenpunk der Masse m,4 kg greifen die Kräfe F N e 4 N e und F,6 N e 5 N e an. Wo befinde sich der Massenpunk bei,6 s und welche Geschwindigkei besiz er dann, wenn der Massenpunk bei s im Ursprung aus der Ruhe heraus sare? Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus

61 Gewichskraf Die Gewichskraf F G eines Körpers is die Graiaionskraf zwischen dem Körper und der Erde. Sie is proporional zur Masse m und zur Erdbeschleunigung g, durch die das Graiaionsfeld der Erde definier wird und die mi der Beschleunigung des freien Falls übereinsimm, d.h. m g F G Die Gewichskraf is keine körpereigene Eigenschaf. Sie is wie die Beschleunigung orsabhängig. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus..3 Dries Newonsches Aiom Dries Newonsches Aiom (Reakionsprinzip) Kräfe reen immer paarweise auf. Wenn ein Körper A eine Kraf auf einen Körper B ausüb, so wirk eine gleich große, aber engegengesez gerichee Kraf on Körper B auf Körper A. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus

62 Im Zusammenhang mi dem 3en Newonschen Aiom werden häufig die Begriffe Kraf und Gegenkraf erwende, d.h. wenn ein Körper A eine Kraf auf einen Körper B ausüb, dann wird die Kraf, mi der B umgekehr auf A einwirk, als Gegenkraf bezeichne. Kraf-Gegenkraf-Paar Kraf Gegenkraf F T ' F T F G F G ' Körper Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 3 Die Gewichskraf F is die Kraf, die on der Erde G auf den Körper ausgeüb wird. Eine gleich große, aber engegengesez gerichee Kraf F G ' F G wirk als Gegenkraf om Körper auf die Erde. Der Tisch wiederum üb eine Kraf F T auf den Körper aus, da sons der Körper nach unen beschleunig würde. Der Körper wirk seinerseis mi der Gegenkraf F T ' F T auf den Tisch ein. Kraf und Gegenkraf wirken auf erschiedene Körper, so dass sich diese Kräfe niemals gegeneinander aufheben können. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 4

63 ..4 Kräfe und Scheinkräfe Fundamenalkräfe Alle Kräfe, denen wir in der Naur begegnen, können durch ier grundlegende Wechselwirkungen erklär werden. Graiaionswechselwirkung elekromagneische Wechselwirkung sarke Wechselwirkung (Proonen und Neuronen, die den Zusammenhal des Aomkerns bewirken) schwache Wechselwirkung (zwischen Elekron und Proon oder Neuron) Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 5 Die meisen Kräfe, die auf makroskopische Gegensände des Allags einwirken, wie die Konakkräfe, die on Federn, Seilen oder Oberflächen ausgeüb werden, beruhen auf molekularen Kräfen. Sie sind lezlich eine Folge elekromagneischer Wechselwirkungen. Für die meisen Anwendungen is eine empirische Beschreibung des makroskopischen Verhalens hinreichend. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 6

64 Konakkräfe Federkraf (Rücksellkraf) Ein zusammengedrücke oder auseinandergezogene Feder nimm nach dem Loslassen ihre ursprüngliche Form an, orausgesez, die Sauchung oder Dehnung war nich zu groß. Bei zu großen Auslenkungen, d.h. oberhalb einer gewissen Grenze, wird die Feder dauerhaf erform. Eperimenell beobache man, dass bei kleinen Auslenkungen Δ die Federkraf proporional zu Δ is und engegen der Auslenkungsrichung wirk. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 7 Dieser Sacherhal is als Hooksches Gesez F ( ) c Δ c bekann, wobei die Proporionaliäskonsane c als Federkonsane bezeichne wird. Körper F a) Wenn die Feder weder gedehn noch gesauch is, üb sie auch keine Kraf auf den Körper aus. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 8

65 Δ F F c Δ is negai da Δ posii b) Wenn die Feder gedehn wird, d.h. Δ >,dann greif die Kraf in negaier -Richung mi dem Berag c Δ am Körper an. F Δ F c Δ is posii, da Δ negai c) Wenn die Feder gesauch wird, d.h. Δ <,dann greif die Kraf in posiier -Richung mi dem Berag c Δ am Körper an. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 9 Normalkraf, Hangabriebskraf F E F H ϑ ϑ F N m g F G Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 3

66 Die Gewichskraf führ bei Körpern auf einer schiefen Ebene mi dem Neigungswinkel ϑ zu einer senkrech auf die schiefe Ebene wirkenden Kraf, der Normalkraf F N, mi dem Berag F N m g cosϑ und zu einer parallel zur schiefen Ebene gericheen beschleunigenden Kraf, der Hangabriebskraf F H mi dem Berag F H m g sinϑ Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 3 Übungsaufgabe 8: Besimmen Sie die Beschleunigung eines Körpers der Masse m, der eine schiefe Ebene mi dem Neigungswinkel ϑ 3 reibungsfrei hinabgleie. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 3

67 Feskörperreibungskraf Körper F F R, H Boden Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 33 Beim Versuch, einen großen Gegensand zu schieben, wirk die Reibung einer Bewegung engegen. Der Boden üb eine Hafreibungskraf F R, H aus, die die aufgewendee Kraf ausgleich, so lange F < F R,H ma. Inuii könne man ermuen, dass die Hafreibungskraf proporional zur Größe der Berührungsfläche is. Eperimenell zeig sich jedoch, dass die Hafreibung nich on der Größe der Berührungsfläche abhäng proporional zur Normalkraf is, die eine Oberfläche auf die andere ausüb on der Oberflächenbeschaffenhei der beeiligen Körperflächen abhäng. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 34

68 Die maimale Hafreibungskraf ergib sich folglich zu R, H ma wobei der Proporionaliäsfakor als Hafreibungszahl bezeichne wird und on der Oberflächenbeschaffenhei der Berührungsfläche abhäng. Allgemein gil für die Hafreibungskraf F F R, H μ μ H H F F N μ H N Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 35 Bei einer Kraf F > F R,H ma Bewegung. gerä der Gegensand in Um den Gegensand mi konsaner Geschwindigkei weierbewegen zu können, muss jez eine Kraf aufgebrach werden, die die Gleireibungskraf kompensier, d.h. Gleireibung wirk ebenfalls der Bewegung engegen. Die Gleireibung is definier als F μ F wobei μ G R, G die Gleireibungszahl angib. G N Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 36

69 Eperimenell ergib sich μ is kleiner G μ G μ H häng on der Relaigeschwindigkei der Oberflächen ab. Im Geschwindigkeisbereich on cm/s bis zu mehreren Meern pro Sekunde kann es als näherungsweise konsan angesehen werden. μg häng wie μ H on der Beschaffenhei der Konakflächen, nich aber on der Größe der makroskopischen Fläche ab. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 37 F R Reibungskraf F R, H ma μ F H N F R, G μ F G N F R, H F eingeseze Kraf F Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 38

70 Übungsaufgabe 9: Eine Kise gleie auf einem horizonalen Fußboden enlang. Aus einer Anfangsgeschwindigkei on,5 m/s komme die Kise nach,4 m zum Sillsand. Besimmen Sie die Gleireibungszahl. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 39 Eine drie Variane der Feskörperreibung is die sogenanne Rollreibung. Während z.b. ein Auoreifen roll, müssen sich die Konakflächen sändig oneinander lösen. Außerdem erform sich die Oberfläche. Wie bei der Gleireibung, erfass man alle zur Rollreibung beiragenden Einflüsse pauschal durch eine Rollreibungszahl μ R, wobei die Rollreibungskraf ereinfach durch FR, R μ RFN definier is. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 4

71 Übungsaufgabe : Ein Auo fahre mi 3 m/s eine horizonale Sraße enlang. Die Reibungszahlen zwischen der Sraße und den Reifen seien μ H,5 und μ G,3. Wie lang is der Bremsweg, wenn a) die Reifen sich gerade noch drehen, b) die Räder blockieren? Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 4 Scheinkräfe, Trägheiskräfe Die Newonschen Geseze gelen nur in Inerialssemen, d.h. in ruhenden oder gradlinig gleichförmig bewegen Bezugsssemen. Sie gelen nich in beschleunigen Bezugsssemen. Sie lassen sich aber rozdem anwenden, wenn man Scheinkräfe einführ, die on der Beschleunigung des Bezugsssems abhängen. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 4

72 Translaionsbeschleunige Bezugssseme Gegensand auf Lufkissenisch im beschleunigen Eisenbahnwaggon. S '' S'' F S m F a O'' '' O Das e Newonsche Aiom kann im Bezugsssem des Waggons nur dann angewende werden, wenn wir die Scheinkraf (Trägheiskraf) m a einführen. F S Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 43 d Albersches Prinzip In Bezug auf ein mi einem beschleunigen Körper mibeweges Bezugsssem befinde sich dieser in Ruhe. Die Vekorsumme aller am Körper angreifender Kräfe F n ( n,,, N ) einschließlich der Scheinkraf F S m a is ses gleich Null N F F F F F m a n n S res S res Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 44

73 Übungsaufgabe : Welche Kräfe wirken auf eine Person die sich in einem frei fallenden Aufzug befinde? Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 45 Roierende Bezugssseme Eine mi einer roierenden Scheibe fes erbundenes Bezugsssem is kein Inerialssem, denn jeder Punk auf der Scheibe beweg sich auf einer Kreisbahn und besiz demzufolge eine Zenripealbeschleunigung. es Eperimen: Ein Körper is über ein Seil mi dem Mielpunk einer roierenden Scheibe erbunden. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 46

74 F zp a m zp a) Für einen neben der Scheibe sehenden Beobacher (INS) beweg sich der Körper auf einer Kreisbahn mi der Zenripealbeschleunigung, die on der Zugkraf (der Zenripealkraf) F F zp zp m a zp m r im Seil aufgebrach wird. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 47 b) Für einen Beobacher auf der Scheibe befinde sich der Körper in Ruhe. Dami das e Newonsche- Aiom gil, muss eine F zf Scheinkraf, die Zenrifugalkraf m F zp Fzf Fzp Fzf Fzf Fzp m r eingeführ werden, die nach außen wirk und die Zenripealkraf ausgleich. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 48

75 Dami das zweie Newonsche Aiom in roierenden Bezugsssemen gil, muss neben der Zenrifugalkraf noch eine weiere on der Geschwindigkei des Körpers abhängende Scheinkraf, die Coriolis-Kraf, eingeführ werden. es Eperimen: Vom Zenrum einer roierenden Scheibe wird eine Kugel mi der Geschwindigkei horizonal abgeworfen. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 49 a) In einem Inerialssem beweg sich die Kugel geradlinig und erpass den Fänger, weil sich dieser mi der Scheibe weggedreh ha. Fänger Fänger Werfer Werfer Δ Beobacher Beobacher Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 5

76 b) Im Bezugsssem der roierenden Scheibe is der Fänger in Ruhe und die Kugel wird nach rechs abgelenk. Die Scheinkraf, die die Kugel on der gradlinigen Bahn abbring, heiß Coriolis-Kraf. Δ Fänger Δs Fänger Werfer Beobacher Werfer Beobacher r Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 5 Die Coriolis-Beschleunigung/Kraf erhäl man wie folg Verschiebung: für radial laeral, s Δs s s s Δ gil, r s ω ( r Δ) ( Δs r π n Δ rω Δ ω Δ ) wobei n die Drehzahl, ω π die Winkelgeschwindigkei und T T T die Dauer einer Umdrehung bezeichne. d s Coriolis-Beschleunigung: ac a c ω Coriolis-Kraf: F F d m a mω c c c Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 5

77 Beispiel: a) Einfluss der Zenrifugalbeschleunigung auf die Erdbeschleunigung. b) Wirkung der Coriolis-Kraf auf der Erde. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 53.3 Arbei und Energie.3. Arbei In der Phsik besiz Arbei eine eindeuige Definiion, die on unserem alläglichen Sprachgebrauch abweich. Arbei wird nur dann on einer Kraf erriche, wenn sich der Angriffspunk eine gewisse Srecke beweg. Voraussezung dafür is, dass die Kraf eine Komponene in Richung des Weges besiz. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 54

78 dimensionale Bewegung bei konsaner Kraf Eine konsane Kraf om Berag F wirk auf einen Körper uner dem Winkel ϑ enlang der Srecke Δ. F ϑ Δ Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 55 Wir definieren die Arbei, die eine Kraf an einem Körper erriche, als das Produk aus der Krafkomponene in Bewegungsrichung und der Verschiebung, d.h. W F Δ F cosϑ Δ Die Arbei is eine skalare Größe W >, wenn F und Δ gleiches Vorzeichen W <, wenn F und Δ unerschiedliches Vorzeichen Die Dimension der Arbei is Kraf mal Länge. Ihre SI-Einhei is das Joule J, definier als J Nm. [ ] Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 56

79 Zusammenhang zwischen der an einem Massenpunk erricheen Arbei und seiner Anfangs- und Endgeschwindigkei Für die Kraf in Bewegungsrichung besag das e Newonsche Gesez F m a Wegen F cons is auch a cons. Bei konsaner Beschleunigung kann die Verschiebung Δ des Massenpunkes durch seine Anfangsgeschwindigkei und Endgeschwindigkei ausgedrück werden. a e F Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 57 e a a Δ Die am Massenpunk errichee Arbei is und nach Einsezen on schließlich W a W F Δ Δ m a ( ) e ( ) m e a a Δ Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 58

80 Übungsaufgabe : Eine Kise der Masse 4 kg werde aus der Ruheposiion heraus on einer aufwärs gericheen Kraf F 6 N eine Höhe Δ 3 m nach oben gezogen. Besimmen Sie a) die on der eingesezen Kraf errichee Arbei, b) die on der Graiaion errichee Arbei, c) Die Endgeschwindigkei der Kise. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 59 Arbei gegen orsunabhängige Kräfe Hubarbei gegen die Gewichskraf Kraf: Weg: F m g Δ Verrichee Arbei: W m g Δ F Δ (nur abhängig on der Höhendifferenz Δ) F G Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 6

81 Arbei auf reibungsfreier schiefer Ebene Kraf: F m g sinϑ Weg: s Δ Δ sinϑ Δ Verrichee Arbei: W m g sinϑ s (nur abhängig on der Höhendifferenz Δ) F H ϑ F G Δ m g sinϑ m g Δ sinϑ F F N Δ Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 6 Feskörperreibungsarbei gegen die Reibungskraf Kraf: F μ FN μ m g Weg: Δ F F R Verrichee Arbei: W μ m g Δ (Reibungszahl μ auf Weg konsan) F N F G Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 6

82 Beschleunigungsarbei ohne Reibung Kraf: Weg: F m a Δ a Verrichee Arbei: W m ( ) ( ) (nur abhängig on Anfangs- und Endgeschwindigkei) F Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 63 dimensionale Bewegung bei eränderlicher Kraf Die on einer konsanen Kraf errichee Arbei ensprich dem Flächeninhal der durch die -Achse und die Kraf-Weg-Kure begrenzen Fläche. F W F Δ Δ Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 64

83 Ofmals sind die Kräfe jedoch nich konsan, sondern orsabhängig, wie z.b. die Federkraf (die Federkraf is proporional zur Auslenkung) Graiaionskraf (die Graiaionskraf nimm mi / r ab, r Absand zum Erdmielpunk) Die Inerpreaion der Arbei als Flächeninhal der durch die -Achse und die Kraf-Weg-Kure begrenzen Fläche moiier bei eränderlicher Kraf die folgende Berechnungsweise der erricheen Arbei. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 65 [ ] ) Inerall, in iele kleine Ineralle Δ i eineilen. F ( i ) W ) Für Inerall Δ i is F ( ) F ( i ) für i,, ( ) F Δ i i i F ( i ) Δi i Δ i Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 66

84 Die Summe aller Recheckflächen näher sich bei Verfeinerung der Inerallzerlegung immer mehr dem asächlichen Flächeninhal uner der Kure an, d.h. W Δ ( i ) Δi lim F i Δ wobei der Grenzwer als Inegral on bezeichne wird. i, i,, i F ( ) d () F über Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 67 Übungsaufgabe 3: Ein Körper der Masse 4 kg sei auf einem reibungsfreien Tisch mi einer horizonal liegenden Feder erbunden, die on der Gleichgewichslage bei cm auf -5 cm zusammengedrück und danach losgelassen wird. Besimmen Sie a) die Arbei, die die Feder am Körper erriche b) die Geschwindigkei des Körpers bei. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 68

85 Arbei gegen orsabhängige Kräfe Verformungsarbei Krafgesez: F F c F F F F F F F W Δ Verrichee Arbei: W c ( ) Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 69 Hubarbei gegen die Graiaionskraf Krafgesez: F F F G F G γ G m M r F G m dr F r W Δr r r M r Verrichee Arbei: W γ G m M r r Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 7

86 3dimensionale Bewegung Ein Massenpunk bewege sich enlang einer beliebigen Bahn im Raum. Δs ϕ s s F (s) s s s F (s) s F n (s) F (s) Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 7 Die Normalkomponene F n änder die Bewegungsrichung des Massenpunkes, nich aber dessen Geschwindigkei. Die Tangenialkomponene F bewirk eine Geschwindigkeisänderung ohne Richungsänderung. Nur die Tangenialkomponene erriche Arbei. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 7

87 Approimaion der Bahnkure durch Aneinanderreihung on s Δr r r Δ i i i i s Δs i s r i r i s Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 73 Die on der Kraf an dem Massenpunk errichee Arbei berechne sich für kleine Δ s i Δs i über die Tangenialkomponene F s F s zu W bzw. nach Grenzübergang W lim Δ s i ( i ) ( i ) ( s ) s F Δ i Für die Tangenialkomponene gil nach dem en Newonschen Gesez d F m a m d i ( s ) Δs F ( s) F i i i i s s ds Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 74

88 Berache man nun die Srecke s (Bogenlänge) als Funkion der Zei und die Geschwindigkei als die Funkion der Srecke s, d.h. ( s( )) s s( ), ( s) dann liefer die Keenregel der Differenialrechnung d d d ds ds d d ds da ds / d der Geschwindigkei ensprich. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 75 Die errichee Arbei ergib sich nach Einsezen zu W s s ( s ( s F ( s) ds ) ) m m d ds s s ds m m d d m d ( ) ds Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 76

89 Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 77 Skalarproduk Das Skalarproduk zweier beliebiger Vekoren und is definier als mi Geomerische Veranschaulichung cosϕ b a b a b a ( ) b a, ϕ b a cosϕ a ϕ a b ϕ b a cosϕ b ϕ Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 78 Komponenen Darsellung (karesische Basis ) mi dem Kommuai- und Disribuigesez gil wegen z e e e,, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) z z z z z z z z z z z z z z z z z z b a b a b a e e b a e e b a e e b a e e b a e e b a e e b a e e b a e e b a e e b a e b e b e b e a e a e a b a z z z z e b e b e b b e a e a e a a,, z z z z e e e e e e e e e e e e

90 Allgemeine Definiion der Arbei Mi Hilfe des Skalarproduks läss sich die Arbei dw, die eine Kraf während einer kleinen Verschiebung ds erriche, schreiben als dw F ds F cosϕ ds F ds Die Arbei, die bei der Bewegung eines Massenpunkes on einem Punk zum Punk, d.h. on s nach s, erriche wird is daher s W F ds s Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus Energie Der Begriff der Energie is eng mi dem Begriff der Arbei erbunden. Die Energie eines Körpers oder Ssems beschreib die Fähigkei Arbei zu errichen. ) kineische Energie (Bewegungsenergie) ) poenielle Energie (Lageenergie, Spannungsenergie) 3) Wärmeenergie (molekulare Bewegung, Temperaur) Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 8

91 Kineische Energie Ein mi einer Anfangsgeschwindigkei erschobener Wagen der Masse m kann eine Schiefe Ebene hinauffahren und dami Hubarbei errichen. Die Fähigkei, Arbei zu errichen, d.h. die Energie (Arbeisorra), seck offensichlich in der Bewegung des Wagens, die durch Beschleunigungsarbei herorgerufen wurde. Man nenn diese Energieform daher Bewegungsenergie oder kineische Energie. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 8 E kin m Die Energie wird wie die sie erändernde Arbei in der Maßeinhei J angegeben. Die an einem Massenpunk errichee Beschleunigungsarbei ensprich der Änderung der kineischen Energie des Massenpunkes. W ΔE kin E kin,e m E e kin,a m a m ( ) e a Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 8

92 Poenielle Energie Die poenielle Energie kann als gespeichere Arbei angesehen werden, die gegen eine Kraf, z.b. die Graiaionskraf Federkraf erriche wurde und sich in Form on kineischer Energie (Beschleunigungsarbei) wieder zurückgewinnen läss. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 83 Lageenergie E E m g po mi gil po, E po, und h E po m g h E po h Spannungsenergie E po c wobei sich die Feder bei in ihrer Gleichgewichslage befinde. F G E po, F G Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 84

93 Konseraie Kräfe Definiion: Eine Kraf heiß konserai, wenn die gesame Arbei enlang eines geschlossenen Weges gleich null is. eine gleichwerige Alernaie Definiion laue Definiion: Die Arbei, die eine konseraie Kraf an einem Massenpunk erriche, is unabhängig om Weg, auf dem sich der Massenpunk on einem Or zum anderen beweg. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 85 Beispiel Graiaionsfeld Weg A konseraie Kräfe Graiaionskraf Federkraf Weg B Weg C nichkonseraie Kräfe Reibungskräfe Kräfe die man z.b. beim Ziehen und Schieben einsez. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 86

94 .3.3 Energieerhalung Erhalung der mechanischen Energie Verrichen nur konseraie Kräfe Arbei an einem Massenpunk, dann is die Arbei gleich der Abnahme der poeniellen Energie und dami der Zunahme der kineischen Energie des Massenpunkes W F ds ΔE po ΔE kin d.h. ΔE ΔE kin po Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 87 Die Summe E E kin E po bezeichne man als mechanische Gesamenergie. Wenn also nur konseraie Kräfe wirken, bleib die mechanische Gesamenergie des Massenpunkes wegen ΔE E kin Δ po konsan, d.h. die Erhalung der mechanischen Energie E E E cons. kin po Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 88

95 Anwendung des Energieerhalungssazes Ein Körper der Masse m bewege sich uner dem Einfluss einer konseraien Kraf in -Richung. Mi für die kineische Energie und m E po ( ) für die poenielle Energie laue der Erhalungssaz der Mechanik E m E ( ) Umformen liefer bei bekanner Gesamenergie die Geschwindigkei ( E Epo ( )) m als Funkion on. po Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 89 Beispiel: h Epo () sei zu fesgeleg E po ( h) m g h sowie E ( h) und E m g h kin kin () Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 9

96 In einer beliebigen Höhe is Demzufolge kann die Geschwindigkei durch den Energieerhalungssaz gemäß besimm werden. E ( ) m g m m g E m g h po g ( h ) Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 9 Übungsaufgabe 4: Ein Körper der Masse m werde an eine ungedehne Feder gehäng und dann fallengelassen. Besimmen Sie die maimale Srecke ma, die der Körper nach unen fäll, beor er sich wieder nach oben beweg. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 9

97 Verallgemeinerer Energiesaz der Mechanik Die mechanische Energie bleib nich erhalen, wenn neben konseraien Kräfen auch nichkonseraie Kräfe Arbei errichen. Auf einen Massenpunk wirke, z.b. eine nichkonseraie Kraf F nk und eine konseraie Kraf F k, so dass für die resulierende Kraf gil F F nk F k Die on diesen Kräfen errichee Arbei ensprich der Änderung der kineischen Energie, d.h. W Fnk ds Fk ds Wnk Wk ΔE kin Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 93 Für die on der konseraien Kraf errichee Arbei gil Wk Fk ds ΔE po so dass wir nach Einsezen, den erallgemeineren Energieerhalungssaz der Mechanik erhalen. W nk ΔEpo ΔEkin ΔE wobei E Epo Ekin cons. die mechanische Gesamenergie des Ssems angib. Die on einer nichkonseraien Kraf an einem Massenpunk errichee Arbei ensprich der Änderung der mechanischen Gesamenergie des Ssems. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 94

98 Übungsaufgabe 5: Eine Kise der Masse m 4 kg rusche on einer Höhe h 4 m eine schiefe Ebene heruner, die einen Winkel mi der Horizonalen on ϕ 3 bilde. Die Gleireibungszahl sei μ G,. Wie schnell beweg sich die Kise, wenn sie den Boden, d.h. h m, erreich? Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus Leisung Leisung erbinde die Größe Arbei mi dem Zeiaufwand, der für die Arbei erforderlich is. Leisung sell ein Maß für die Effekiiä des Arbeisorgangs dar. Leisung gib an, wie schnell Energie on einem Ssem auf ein anderes überragen wird. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 96

99 Ein Massenpunk besize die Momenangeschwindigkei. Während eines kurzen Zeiineralls d erschieb der Massenpunk um ds d und eine Kraf F erriche die Arbei dw F ds F d Die pro Zeieinhei errichee Arbei ensprich der Leisung dw P F d Die SI-Einhei der Leisung, Joule pro Sekunde [J/s], heiß Wa [W]. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 97 Übungsaufgabe 6: Ein Wagen der Masse m fahre mi einer konsanen Geschwindigkei on km/h einen Berg mi einer Seigung on % hinauf. Auf den Wagen wirke eine Gesamreibungskraf on 7 N (Rollund Lufwidersand). Welche Leisung muss der Wagen mindesens auf- Bringen? Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 98

100 .4 Massenpunksseme/Impulserhalung.4. Massenmielpunk Massenmielpunk eines Massenpunkssems a) gleiche Masse m m m m S b) ungleiche Masse m m m m S Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 99 Diese anschaulichen Beispiele moiieren die Definiion der Koordinae des Massenmielpunks durch bzw. wobei ges S m S m m m S m die Gesammasse des Massenpunkssems bezeichne. ges m m m m ges Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus

101 Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus Definiion des Massenmielpunks für diskree Sseme Verallgemeinerung des Massenpunkssems einer Dimension auf ein N Massenpunkssem in drei Dimensionen liefer für die Koordinaen on die Beziehung und ( ) S S S z S,, N n n n N N S m m m m m ges N n n n N N S m m m m m ges Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus oder in Vekorschreibweise mi den Orsekoren für die Massenpunke den Ausdruck wobei den Orsekor des Massenmielpunks angib. N n n n N N S z m z m z m z m z m ges ( ) T n n n z n n n n z e z e e r,, N n,,, N n n n N N S r m r m r m r m r m ges ( ) T S S S z S S S S z e z e e r,, ( ) S S S z S,,

102 Übungsaufgabe 7: Die Kugel A, B und C mi den Massen m A 3 g, m B g und m C g sind durch masselose Säbe erbunden und besizen die karesischen Koordinaen P A (,), P B (,) und P c (,). Wo lieg der Massenmielpunk? Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 3 Definiion des Massenmielpunks für koninuierliche Sseme Durch Inegraion über alle dm, d.h. für ein Koninuum geh die Summe in ein Inegral über, ergib sich der Massenmielpunk zu m r S r dm ges Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 4

103 Übungsaufgabe 8: Gegeben sei ein homogener (gleichmäßige Massenereilung) quaderförmiger Sab der Querschnisfläche A und Länge l. Besimmen Sie den Massenmielpunk des Sabes. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 5 Poenielle Energie eines Ssems Es sei n die Höhe des n-en Massenpunks über dem Boden (Bezugshöhe), dann is die poenielle Energie des Massenpunkssems gegeben durch Da E gil auch po N n F N G, n n n N m n n n E po m m n m ges g ges g n S S g N n m n n Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 6

104 Übungsaufgabe 9: Zwei durch eine dünne Sange erbundene Massen m und m befinden sich im Gleichgewich, wenn man die Drehachse in den Massenmielpunk leg. Wo lieg der Massenmielpunk, wenn sich der Drehpunk nich im Massenmielpunk befinde? Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 7 Bewegung des Massenmielpunks Die Bewegung eines Körpers (Massenpunkssems) is allgemein sehr komple, z.b. die ranslaorischen und roaorischen Bewegungen einer in die Höhe geworfenen Münze. Zur Beschreibung der ranslaorischen Bewegung (der Bahn oder Trajekorie) eines Körpers genüg es die Bewegung des Massenmielpunkes zu berachen. Aus der Definiionsgleichung für den Massenmielpunk N m r m r ges S n n n Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 8

105 erhäl man durch differenzieren nach der Zei die Geschwindigkei N N drs drn m oder ges mn mges S mn n d n d n und nach nochmaligem differenzieren die Beschleunigung N m a m a ges S des Massenmielpunkes, wobei Fn mn an die am n-en Massenpunk angreifende resulierende Kraf angib. n n n Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 9 Die auf den n-en Massenpunk wirkende Kraf sez sich aus inneren Kräfen, durch Wechselwirkung mi anderen Massenpunken des Ssems sowie äußeren Kräfen, durch äußere Beeinflussung des Ssems ensprechend N a i F F F n n a zusammen, wobei F i n die resulierende äußere und n die innere om l-en auf den n-en Massenpunk ausgeübe Kraf bezeichne. l, l n n, l F, l Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus

106 Einsezen in die obige Gleichung liefer N N N N a m a F F F ges s n n Wegen des 3en Newonschen Aioms gil i i F n, l Fl, n i d.h., wenn der l-e Massenpunk eine Kraf F n, l auf den n-en Massenpunk ausübe dann üb der n-e Massenpunk eine gleichgroße engegengeseze Kraf i i F l, n Fn, l auf den l-en Massenpunk aus, und demzufolge is N N i F n, l n n l, l n n n l, l n i n, l Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus Das e Newonsche Aiom für ein Massenpunkssem laue schließlich N a a F Fn mges as der Massenmielpunk eines Ssems beweg sich uner dem Einfluss der resulierenden äußeren Kraf wie ein Massenpunk mi der Masse m ges n N m n n Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus

107 .4. Impulserhalung Der Impuls eines Massenpunkes is definier als p m Er kann inerpreier werden als ein Maß für die Schwierigkei einen in Bewegung befindlichen Massenpunk in den Ruhezusand zu ersezen. Beispiel: Für einen LKW und PKW mi m >> LKW PKW folg F >>. LKW F PKW LKW m PKW und Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 3 Das e Newonsche Aiom läss sich auch erallgemeiner als Funkion des Impulses durch dp d( m) dm d F m d d d d bzw. bei Zeiunabhängigkei der Masse durch dp d F m d d darsellen, d.h. die auf einen Massenpunk wirkende resulierende äußere Kraf is gleich der zeilichen Änderung des Impulses dieses Massenpunkes. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 4

108 Gegeben seien nun zwei Massenpunke die ensprechend dem 3en Newonschen Aiom aufeinander gleichgroße aber engegengesez gerichee Kräfe ausüben. Für die Kraf on Massenpunk auf bzw. Massenpunk auf gil dp dp F bzw., F, d d und wegen F über, F, dp dp d( p p F ), F, d d d die Beziehung p p p cons. ges Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 5 Verallgemeinerung dieses Ergebnisses auf ein Ssem on N Massenpunken liefer zusammen mi N m m n n für den Gesamimpuls eines Massenpunkssems N N pges pn mn n mges S n und nach zeilicher Ableiung N N dp N N dpn d ges n mn mn an F d n d n d n n d S a mges mges as F d n n Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 6 ges S a n

109 das Gesez der Impulserhalung p N N ges mges S mn n pn n n cons. wenn die resulierende äußere Kraf null is. Wirk auf ein Ssem keine resulierende Kraf, dann is die Geschwindigkei seines Massenmielpunkes konsan und der Gesamimpuls des Ssems bleib erhalen, d.h. er is zeilich konsan. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 7 Übungsaufgabe : Eine erwachsene Person der Masse m E m und ein Kind der Masse m K m/ sehen zusammen auf einer Eisfläche mi ernachlässigbarer Reibung. Nach Absoßen oneinander beweg sich die erwachsene Person mi einer Geschwindigkei on E,3 m/s relai zur Eisfläche. Wie wei sind die beiden nach 5 Sekunden oneinander enfern? Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 8

110 .4.3 Soßorgänge Grundbegriffe ) Gerader Soß, d.h. die Bahnen beider Schwerpunke liegen auf einer Geraden. (dimensionales Problem) m m Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 9 ) Schiefer Soß, d.h. die Bahnen beider Schwerpunke liegen in einer Ebene und schließen einen Winkel ein. (dimensionales Problem) m m 3) Zenraler Soß, d.h. die Schwerpunke der Soßparner liegen auf der Normalen zur Berührungsebene durch den Berührungspunk. (Soßnormale) m Berührungsebene m Soßnormale m Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus

111 4) Ezenrischer Soß, d.h. die Schwerpunke liegen nich auf der Soßnormalen. Es ri Roaion auf. Soßnormale m m Berührungsebene m 5) Elasischer Soß, d.h. die kineische Gesamenergie or und nach dem Soß is gleich. 6) Inelasischer Soß, d.h. die kineische Gesamenergie or und nach dem Soß is erschieden. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus Gerader, zenraler, elasischer Soß m m, a, a m m, e, e or dem Soß nach dem Soß Aus dem Gesez der Impulserhalung m m m m, a, a, e, e und dem Energieerhalungssaz (elasischer Soß) m, a m, a m, e m, e Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus

112 erhäl man durch Umformen bzw. oder m ( ) m ( ) m, a, e, e, a m ( ) m ( ), a, e, e, a ( )( ) m ( )( ), a, e, a, e, e, a, e sowie nach Diision den Zusammenhang, a, e, e, a bzw. ( ), a, a, e, e, a Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 3 D.h. nach dem Soß enfernen sich die Körper mi der gleichen Relaigeschwindigkei mi der sie sich or dem Soß aufeinander zu beweg haben.,a Um bei gegebenen Anfangsgeschwindigkeien und,a die Endgeschwindigkei,e und, e nach dem Soß berechnen zu können, müssen wir nur noch das Gleichungsssem m m m m, e, e, e, e, a bzw. in Marischreibweise m e m m,, e Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 4, a, a, a, a m, a, a, a

113 nach,e und auflösen. Man erhäl ( m m ), a m, e m und m m, a ( m m ), e m m Spezialfälle: ) m ) d.h. Körper auschen Geschwindigkei, insbesondere is or dem Soß Körper in Ruhe so is nach dem Soß Körper in Ruhe. für,e m, e, a &, e, a, a, m m > m < m sgn sgn ollsändige Refleion Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 5, a, a (, e ) sgn(, e ) ( ) sgn( ), e m << m, e &, e, a, e Übungsaufgabe : Auf einem reibungsfreien Tisch gleie ein Körper der Masse 4 kg und Geschwindigkei 6 m/s einem Körper der Masse kg und Geschwindigkei 3 m/s hinerher. Besimmen Sie die Geschwindigkei beider Körper nach dem als elasisch angenommen Zusammensoß. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 6

114 Gerader, zenraler, inelasischer Soß Bei inelasischen Sößen geh kineische Energie beispielsweise durch Reibungs- und inelasische Verformungsarbei, d.h. Arbei die on nichkonseraien Kräfen erriche wird, erloren. Es muss also der erallgemeinere Energiesaz der Mechanik ΔE ΔE ΔE W nk po kin zur Besimmung der Geschwindigkeien nach dem Soß herangezogen werden, wobei hier ΔE po angenommen werden kann. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 7 Neben m, a m m und dem Impulserhalungssaz, a ΔE is noch eine weiere Besimmungsgleichung nowendig um bei gegebenem,a und, a die Geschwindigkei,e und, e sowie den Energieerlus ΔE besimmen zu können., e m m, a m, a m, e m, e, e Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 8

115 Ohne eine weiere Gleichung läss sich die Aufgabe ( Gleichungen mi 3 Unbekannen) nur noch für solche Fälle lösen, bei denen sich die Körper nach dem Soß mi der gleichen Geschwindigkei, d.h. mi e, e, e bewegen ( Gleichungen mi Unbekannen). Für diesen Spezialfall, des sogenannen unelasischen Soßes (ollsändig inelasischen Soßes), laue der Impulserhalungssaz m m m ( ) e m, a, a Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 9 Hieraus erhalen wir nach Umformen die gesuche Geschwindigkei m, a m, a e m m e und nach Einsezen on in m, a m, a ( m m ) e ΔE den beim ollsändigen inelasischen Soß ensandenen Energieerlus. m m ΔEV,inel, a, a m m ( ) ( ) Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 3

116 Übungsaufgabe : Ein Geschoss der Masse, kg bewege sich horizonal mi einer Geschwindigkei on 4 m/s und dringe in einen Holzkloz der Masse,39 kg ein der sich auf einem reibungsfreien Tisch befinde. Besimmen Sie a) die Endgeschwindigkei des Klozes mi dem Geschoss, b) die mechanische Energie des Ssems aus Geschoss und Kloz or und nach dem Aufprall. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 3 Schiefer, zenraler, elasischer Soß S,a S,a S,e,a m S,a,e m,a S S, e, a S,a S S, e, a S,e,e Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 3

117 Elasische Wechselwirkung finde nur in Richung der Soßnormalen, die Senkrech auf den Berührungsflächen seh und im Fall des zenralen Soßes mi der Verbindungslinie der Massenmielpunke zusammenfäll, sa. Ohne eine nichkonseraie Kraf, d.h. z.b. ohne Reibung, kann senkrech zur Soßnormalen keine Kraf überragen werden. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 33 Nach zerlegen on, a,, e,, a und,e in S S S, a, a, a,, e, e, S S S,, a, a, a, e, e und bezeichnen der Beräge ensprechend S S S S S S, a, a,, a, a,, e, e,, S S S S S S,,,, a, a, a, a, e, e gil für die senkrechen Komponenen S S m m, a, e, m S, a m S, e S e, S, e S e S, e S, e, S, e Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 34

118 sowie für die parallelen Komponenen nach dem a) Impulserhalungssaz S S S S m, a m, a m, e m, e b) Energieerhalungssaz S S S S m ( ) ( ) ( ) ( ), a m, a m, e m, e Lösen des Gleichungsssems liefer analog zum geradensoßfür S S S S S ( m m ), a m, a Körper :, e, a,, e m m Körper : S, e S, a, S, e m ( m m ) Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel ) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 35 S, a m m S, a

119 Übungen zur Technischen Phsik / Kapiel Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus Aufgabe -: Ein Fahrzeug A sare mi der Anfangsgeschwindigkei m/s und einer Beschleunigung a., A Sekunden danach sare om gleichen Punk aus ein zweies Fahrzeug B mi der Anfangsgeschwindigkei m/s und der gleichen Beschleunigung., B a) Wie wei is bei einer Beschleunigung on a,5 m/s A on B schon enfern, wenn B sare? b) Welche Zei benöig B bei der gleichen Beschleunigung um A einzuholen? c) Welche Srecke haben die beiden Fahrzeuge bis dahin zurückgeleg? d) Wie groß darf die Beschleunigung a der beiden Fahrzeuge maimal sein, dami A on B überhaup eingehol werden kann? Aufgabe -: Von einem 5m hohen Turm wird ein Körper in horizonaler Richung mi der Anfangsgeschwindigkei m/s geworfen (g 9,8 m/s ). a) Wie lauen die Bewegungsgleichungen in - und -Richung ((), (), a ( ), (), (), a ())? b) Nach welcher Zei riff der Körper am Boden auf? c) In welcher Enfernung om Fußpunk des Turmes riff er auf? d) Mi welcher Geschwindigkei riff er auf? e) Skizzieren Sie ein Weg-Zei-, Geschwindigkeis-Zei- und Beschleunigungs-Zei-Diagramm sowohl für die - als auch für die -Richung. Aufgabe -3: Von einer Kaimauer wird ein Reungsring aus der Höhe 6 m über der Wasseroberfläche uner dem Winkel α 5 gegen die Horizonale schräg nach oben abgeworfen. Die Wurfweie in horizonaler Richung beräg 5 m (ohne Lufwidersand, g 9,8 m / s ). a) Wie lauen die Bewegungsgleichungen für ( ), ( ), ( ), ( ), a ( ), a ( )? b) Welche Anfangsgeschwindigkei ha der Reungsring? c) Mi welcher Geschwindigkei schläg der Reungsring auf der Wasseroberfläche auf? d) Bis zu welcher maimalen Höhe ma seig der Reungsring? Aufgabe -4: Ein Wassersrahl, der horizonal aus einer Rohrleiung aussröm, riff m unerhalb und 4m enfern on der Ausrisöffnung gegen eine senkreche Wand. a) Wie groß is die Aussrömgeschwindigkei aus der Rohröffnung? b) Mi welcher Geschwindigkei und uner welchem Winkel riff der Srahl auf die Wand? Aufgabe -5: Bei Vernachlässigung der Eigenroaion sei der Berag der Erdbeschleunigung mi s g 9,8m gegeben. Die Erdbeschleunigung is wegen der Eigenroaion der Erde aber orsabhängig (Erdradius r E 637 km, Dauer einer Erdumdrehung T E 3,93 h ). Um welchen Wer g müsse der Berag der Erdbeschleunigung g in der Bundesrepublik Deuschland (milere geographischen Breie ϕ 5 ) korrigier werden?

120 Übungen zur Technischen Phsik / Kapiel Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus Aufgabe -6: Ein Geschoss flieg über ein Gebie 45 nördlicher Breie mi der konsanen Relaigeschwindigkei 5m/s gegenüber der Erde in nördlicher Richung. Besimmen Sie die seiliche Abweichung des Geschosses on der Meridianrichung infolge des Wirkens der Coriolis-Kraf für eine Flugsrecke on s 3km. (Voraussezung: Schuss nahezu parallel zur Erdoberfläche, Vernachlässigung der Erdanziehung und der Lufreibung) Aufgabe -7: Ein Fahrzeug habe die Masse m85kg und fahre mi konsaner Geschwindigkei (reibungsfrei) bergauf. Die Sraße gewinn auf km eine Höhe on 8m. Wie groß is die Geschwindigkei des Fahrzeugs, wenn der Moor eine Leisung on kw enwickel? Aufgabe -8: Eine Bergbahn der Masse m 6kg soll innerhalb on T 4h eine Srecke on s m mi einer Seigung on 6% bewäligen. Welche Anriebsleisung muss der Moor bei Vernachlässigung der Reibung aufbringen? Aufgabe -9: Eine moorberiebene Lore soll innerhalb on,5min auf eine Höhe h 7m beförder werden. Welche Masse m darf die Lore maimal haben, wenn der Anriebsmoor die Leisung P 5,5kW ha und mi einem Wirkungsgrad η, 6 gerechne wird. Aufgabe -: Besimmen Sie die Koordinaen des Massenmielpunkes des dargesellen homogenen Körpers, der sich aus Würfeln der Kanenlänge a cm zusammensez.

121 Übungen zur Technischen Phsik / Kapiel Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus Aufgabe -: Besimmen Sie die Koordinaen des Massenmielpunkes des dargesellen homogenen Körpers, der sich aus Würfeln der Kanenlänge a cm zusammensez. z Aufgabe -: Eine Kugel mi der Masse m 5 g riff auf eine an einem Faden hängende ruhende zweie Masse on m,5 kg. Nach einem ollsändig inelasischen zenralen Soß (beide Massen erbinden sich zu einem Körper) überwinde diese neue Pendelmasse einen Höhenunerschied on,5m. Wie groß war die Geschwindigkei der Kugel or dem Soß? Aufgabe -3: Ein Block der Masse m kg ruhe auf einem ebenen Boden. Ein Klumpen Ki der Masse B m K,5kg werde horizonal gegen den Block geworfen und bleibe an diesem kleben. Beide Körper bewegen sich dann cm wei in horizonaler Richung. Wie groß is bei einer Gleireibungszahl µ,5 die Anfangsgeschwindigkei des Kiklumpens? G Aufgabe -4: Drei elasische Kugeln, mi den Massen m 4m, m m und m 3 m sind an parallelen Fäden nebeneinander so aufgehäng, dass sie sich genau seilich berühren. Die erse Kugel wird so ausgelenk, dass ihr Schwerpunk um h 5 cm angehoben is. Nach dem Freilassen söß sie mi der Geschwindigkei auf die zweie Kugel und diese wiederum mi der Geschwindigkei auf die drie. Um welche Höhe h 3 wird die drie Kugel dabei hochgehoben?

122 3. Schwingungen 3. Harmonische Schwingungen Eperimen: Ruhelage Der an der Feder befesige Gegensand der Masse m gleie reibungsfrei auf einer horizonalen Fläche. m Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 3) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 36 Nach Auslenken aus der Ruhelage erfähr der Gegensand nach dem Hookeschen Gesez durch die Feder die Kraf F c Mi dem en Newonschen Gesez kann F auch durch d d F m a m m m m d d ausgedrück werden. Gleichsezen liefer die homogene Differenialgleichung c c bzw. m m Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 3) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 37

123 Hieraus ennimm man die für harmonische Schwingungen charakerisische Eigenschaf, das die Beschleunigung ) proporional zur Auslenkung und ) dieser engegengesez geriche is. Bedingung für eine harmonische Schwingung Is die Beschleunigung eines Gegensandes proporional zu seiner Auslenkung und dieser engegengesez, dann führ der Gegensand eine einfache harmonische Schwingung aus. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 3) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 38 Der eperimenell gewonnene Kurenerlauf is sinusförmig. A T Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 3) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 39

124 Der Kurenerlauf läss sich durch die Funkion ( ) Acos( ω ϕ) mahemaisch beschreiben, wobei ω π f und f T mi T f ω ϕ ϕ ωϕ - Schwingungsdauer, Periode, Periodendauer (is die Zei die der Gegensand benöig um eine ollsändige Schwingung durchzuführen) - Frequenz (is die Anzahl der Schwingungen pro Sekunde) - Kreisfrequenz - Anfangsphase (Nullphasenwinkel) - Phase (Phasenwinkel, Momenanphase) Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 3) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 4 () Δ Δ T ϕ, ω Δ, ϕ, ω Δ, Δ i - i, i, A cos(ω ϕ, ), A cos(ω ), A cos(ω ϕ, ) Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 3) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 4

125 Lösen der homogenen Differenialgleichung c m Die eperimenellen Unersuchungen moiieren den Lösungsansaz ( ) Acos( ω ϕ) Differenzieren liefer die Geschwindigkei ω Asin( ω ϕ ) Nach nochmaligem Differenzieren erhäl man die Beschleunigung a ω Acos( ω ϕ ) ω ( ) Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 3) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 4 Einsezen on und in die Differenialgleichung ergib c ω ( ) ( ) m Somi lös der Ansaz ( ) Acos( ω ϕ) die homogene Differenialgleichung, wenn die Konsanen der harmonischen Schwingung, d.h. die Masse m und Federkonsane c mi der Kreisfrequenz ω über c ω m erknüpf sind. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 3) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 43

126 () Zur Analse des Zeierhalens der Auslenkung, der Geschwindigkei und der Beschleunigung wählen wir o.b.d.a. ϕ, d.h. 4 T () 4 T T 3 4 T T A ω A () A cos(ω) a() () -ω A sin(ω) ω A a() - ω A cos(ω) Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 3) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 44 Die Geschwindigkei und Auslenkung sind um 9 die Beschleunigung und Auslenkung um 8 zueinander phasenerschoben. : Anfangszusand Auslenkung maimal, d.h. A, Geschwindigkei, Beschleunigung maimal negai, d.h. -ω A T/4: Gleichgewichslage Auslenkung, Geschwindigkei maimal negai, d.h. -ω A, Beschleunigung usw. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 3) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 45

127 Zwei idenische Gegensände, die an gleicharigen Federn befesig sind, werden aus unerschiedlichen Anfangsauslenkungen heraus gleichzeiig losgelassen. Gleichgewichslage Gegensand m A 5cm Gegensand m A cm Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 3) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 46 Troz unerschiedlicher Auslenkungen erreichen beide Gegensände zur selben Zei die Gleichgewichslage, d.h. die Schwingungsdauer häng nich on der Auslenkung ab. cm Gegensand Gegensand 5 s Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 3) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 47

128 Die Schwingungsdauer häng nur on der Masse m und Federkonsanen c ab. Allgemein gil: Die Frequenz/Schwingungsdauer einer harmonischen Schwingung häng nich on deren Ampliude ab. Beispiel: Der auf einem Klaier angeschlagene Ton (Frequenz) häng nich on seiner Lausärke (Ampliude) ab. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 3) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus Energiebilanz bei harmonische Schwingungen Bei harmonischen Schwingungen wandeln sich kineische und poenielle Energie ineinander um. Wenn keine Reibung aufri bleib die Gesamenergie erhalen und sie is die Summe aus poenieller und kineischer Energie E ges Epo Ekin Für ein Feder-Masse-Ssem errechne sich die poenielle Energie zu E mi po c Acos( ω ϕ ) Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 3) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 49

129 Für die kineische Energie gil E kin m mi ω Asin( ω ϕ ) Einsezen on E po und E kin in die Beziehung für liefer Eges A c cos ω ϕ mω sin ω ϕ Nach Ausnuzen on c mω erhäl man wegen cos ( ω ϕ ) sin ( ω ϕ ) den Ausdruck Eges c A mω A cons. E ges ( ( ) ( )) Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 3) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 5 D.h., die Gesamenergie einer harmonischen Schwingungen is zeilich konsan proporional zum Quadra der Ampliude Ausdrücken der poeniellen und kineischen Energie als Funkion der Gesamenergie ergib E ges Epo Eges cos ( ω ϕ ) ( cos( ω ϕ )) und E ges Ekin Eges sin ( ω ϕ ) ( cos( ω ϕ )) Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 3) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 5

130 E ges E E ( cos( ω )) ges cons. po E E kin E ges T ( - cos( ω )) T E E po kin E ges Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 3) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 5 Folgerungen: ) Die Mielwere der poeniellen und kineischen Energie sind wegen E E E ges gegeben durch E po E kin E ges ) Die kineische und poenielle Energie wandeln sich mi der doppelen Ssemfrequenz, d.h. mi ω, periodisch ineinander um. po kin Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 3) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 53

131 Übungsaufgabe 3-: Ein Gegensand der Masse m 3 kg schwing an einer Feder mi einer Ampliude ma 4 cm und einer Schwingungsdauer on T s. a) Wie groß is die Gesamenergie? b) Wie groß is die maimal Geschwindigkei des Gegensandes? Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 3) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus Schwingungssseme 3.3. Masse an senkrech aufgehänger Feder F F m g c F G m g ' Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 3) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 55

132 Wirksame Kräfe sind die Federkraf Gewichskraf Das e Newonsche Gesez liefer die Bewegungsgleichung m c m g Im bewegungslosen Zusand befinde sich die Masse in ihrer Gleichgewichslage und es gil m g c m g oder c Koordinaenransformaion gemäß ' Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 3) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 56 liefer uner Berücksichigung on ' und ' auf die Bewegungsgleichung angewende den Ausdruck m ' c ( ' ) m g c ' c m g Wegen c m g folg m ' c ' mi der bekannen Lösung ' Acos ( ω ϕ ) Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 3) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 57

133 Folgerungen: ) Gewichskraf bewirk eine Verschiebung der Ruhelage on nach ( ) ' ) Bei Auslenkungen um die Ruhelage ' is die rückreibende Federkraf F F c ' wirksam. 3) Die Masse schwing um die Ruhelage ' mi derselben Kreisfrequenz ω c m wie im Fall der horizonalen Schwingung. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 3) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 58 Übungsaufgabe 3-: Ein Gegensand der Masse m 4 kg häng an einer Feder mi der Federkonsanen c N/m. a) Wo befinde sich die neue Gleichgewichslage? b) Wie groß is die Gesamenergie einschließlich der poeniellen Energie des Gegensandes, wenn die Feder um zusäzliche cm gedehn wird? c) Wie groß is die Schwingungsdauer? Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 3) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 59

134 3.3. Mahemaisches Pendel Das mahemaische Pendel beseh aus einer punkförmigen Masse m die an einem masselosen unelasischen Faden der Länge L aufgehäng is. β F Z l Ein mahemaische Pendel is somi eine Idealisierung des rechs abgebildeen Fadenpendels. s m F G sin β F G m g F G cos β Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 3) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 6 Wirksame Kräfe sind die Gewichskraf F G m g Zugkraf FZ F Rückführungskraf F F cos β m g cos β sin β m g sin β Es sei s die om iefsen Punk (on der Ruhelage) aus gemessene Bogenlänge mi s l β Außerdem is s die Rückführungsbeschleunigung (Tangenialkomponene der Beschleunigung) des Massenpunkes. R G G Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 3) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 6

135 Nach dem en Newonschen Gesez ergib sich die nichlineare Differenialgleichung s s m s m g sin oder s g sin l l Für s iel kleiner als l, d.h. s/l sehr klein, gil mi sin( s l) s l approimai die lineare Differenialgleichung g s s l d.h. für kleine Winkel β s/l is die Rückführungsbeschleunigung der Auslenkung s proporional. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 3) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 6 Somi beschreib die Pendelbewegung für kleine Auslenkungen näherungsweise eine harmonische Schwingung. Mi ω g/l sehr klein is die Lösung der linearen Differenialgleichung s ω s gegeben durch s s cos ( ω ϕ ) wobei s die maimale Bogenlänge der Pendelbewegung angib. Die Schwingungsdauer des mahemaischen Pendels laue π l T π ω g Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 3) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 63

136 Folgerungen: ) Die Schwingungsdauer nimm mi der Wurzel der Pendellänge zu. ) Die Schwingungsdauer häng nich on der Masse ab, da die Rückführungskraf proporional zur Masse is. 3) Die Schwingungsdauer is unabhängig on der Ampliude Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 3) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 64 Durch Einsezen on slβ in die nichlineare Differenialgleichung erhäl man mi l β g sin β oder ( ) β g l sin β ω sin β eine Beschreibung der Pendelbewegung durch den Auslenkungswinkel β. Für kleine Winkel β, d.h. sinβ β, läss sich die nichlineare Differenialgleichung durch die lineare Differenialgleichung β ω β approimieren. Die Lösung dieser Gleichung laue β β cos ( ω ϕ ) wobei β s /l den maimalen Auslenkungswinkel bezeichne. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 3) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 65

137 Bei großen Schwingungsampliude, d.h. der Übergang zur linearen Differenialgleichung is unzulässig, beobache man immer noch periodische aber keine harmonischen Bewegungen und eine geringe Abhängigkei der Periodendauer on der Ampliude Für große Ampliuden kann man die Periode als Reihenenwicklung angeben β 3 4 β T T sin sin 4 wobei T π l g der Schwingungsdauer für kleine Ampliuden ensprich. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 3) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 66 Übungsaufgabe 3-3: Eine einfache Pendeluhr is so kalibrier, dass sie für β die Zei eak wiedergib. Um wie iel geh die Uhr or, wenn sich die Winkelampliude sark erringer? Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 3) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 67

138 3.3.3 Flüssigkeispendel Das Flüssigkeispendel beseh aus einem U-Rohr mi konsanem Querschni A, in das eine Flüssigkei der Diche ρ eingefüll wurde. Im Gleichgewichszusand sell sich eine U-förmige Flüssigkeissäule der Länge l ein. l m Fl Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 3) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 68 Wird die Flüssigkeissäule aus der Gleichgewichslage gebrach, so bewirk die übersehende Flüssigkeismasse m Fl und eine rückreibende Gewichskraf F R m Fl g Nach dem en Newonschen Gesez gil m g m Fl ges Die übersehende Flüssigkeismasse ergib sich aus mfl VFl ρ A ρ Einsezen liefer die lineare Differenialgleichung des Flüssigkeispendels A ρ g m ges A ρ g oder ω m ges Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 3) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 69

139 mi der Lösung cos( ω ϕ ) und A ρ g π mges ω bzw. T π mges ω A ρ g wobei die maimale Höhenauslenkung ω angib. Drück man die gesame Masse durch m ges Al ρ aus, dann ereinfach sich die lineare Differenialgleichung zu g ω l Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 3) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 7 mi der Lösung und ω g l bzw. ( ω ) cos ϕ l g Folgerungen: ) Die Schwingungsdauer häng nich on der Diche der Flüssigkei und nich om Querschni des U- Rohres ab. ) Die Schwingungsdauer eines Flüssigkeispendels ensprich der eines mahemaischen Pendels, wenn die Fadenlänge gleich der halben Länge der Flüssigkeissäule is. T π π ω Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 3) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 7

140 3.4 Gedämpfe Schwingungen Bei phsikalischen Schwingungen ri immer in irgendeiner Form Reibung auf, die der Schwingung Energie enzieh, d.h. ein sich selbs überlassenes schwingendes Ssem komm nach einiger Zei zur Ruhe. Auslenkung eines gedämpfen Schwingungsssems Die Bewegung erläuf in Form einer harmonischen Schwingung mi eponeniell abnehmender Ampliude Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 3) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 7 Beispiel eines gedämpfen Schwingungsssems Reale Schwingungssseme können durch ein ideales Feder-Masse-Ssem plus zusäzlicher Dämpfung, die z. B. durch Reibung eines in eine Flüssigkei einauchenden Kolbens enseh, nachgebilde werden. m Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 3) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 73

141 Die Reibungskraf is hierbei in guer Näherung engegengesez proporional zur Geschwindigkei, d.h. (Reibungsgesez für iskose Reibung) Die Konsane b beschreib das Maß der Dämpfung, sie heiß Dämpfungskoeffizien. Die zugehörige lineare Differenialgleichung ergib sich mi dem en Newonschen Gesez F m a b c F R F F zu F R b b m c m Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 3) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 74 Mi der Kreisfrequenz der ungedämpfen Schwingung ω c m, [ s ] sowie nach Definiion des Abklingkoeffizienen δ b ( m), [ s ] laue die lineare Differenialgleichung δ ω Das Verhälnis D δ, ω ( dimensionslos) bezeichne man als Dämpfungsgrad der gedämpfen Schwingung. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 3) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 75

142 Ferner wird b b d D mω mc Verlusfakor und dessen Kehrwer Q mω mc d D b b Güe genann. Mi dem charakerisischen Parameer D laue die lineare Differenialgleichung Dω ω Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 3) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 76 Lösung der Differenialgleichung Man unerscheide drei Fälle a) Schwingungsfall, D < bzw. ω > δ Die Lösung laue wobei ω d ω c m b 4m ω δ D ( ω ) δ ( ) Ae cos ϕ d Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 3) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 77

143 Folgerungen ) Die Kreisfrequenz der gedämpfen Schwingung ω d is kleiner als die Kreisfrequenz der ungedämpfen Schwingung ω. ) Die Ampliude nimm ensprechend der Eponenialfunkion e -δ ab. Für den zeilichen Verlauf der Schwingungsenergie (mechanische Gesamenergie) gil deshalb E sch E sch, δ wobei E sch, die Schwingungsenergie (mecheanische Gesamenergie) zum Zeipunk angib. e Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 3) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 78 Für zwei aufeinanderfolgende Schwingungsmaima gil mi T d π ω d Umformen zu ω π i zeig, dass das Verhälnis zweier aufeinanderfolgender Schwingungsmaima konsan is. i e π ω δ δ D T d i δ Td e k i T D Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 3) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 79

144 Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 3) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 8 Für das Ampliudenerhälnis zweier Schwingungsmaima die einen zeilichen Absand on n-perioden besizen gil Zur Besimmung des Abklingkoeffizienen δ bilde man das logarihmische Dekremen, d.h. Hieraus ergib sich der Abklingkoeffizien durch Umsellen zu n nt n i i k e d δ d i i T k δ Λ ln ln ( ) d d i i T T Λ ln δ Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 3) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 8 b) Kriechfall, D > bzw. ω < δ Als Lösung finde man bzw. mi ω d imaginär. Die Konsanen A und A werden durch die Angabe der Anfangsbedingungen, d.h. durch () und () fesgeleg. e A e A ) ( ω δ δ ω δ δ D D D D e A e A ) ( ω ω

145 Folgerungen ) Es ri keine Schwingung mehr auf. ) Die Ampliude nimm sehr langsam ab. A A T T 3T 4T Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 3) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 8 c) Aperiodischer Grenzfall, D bzw. ω δ Für diesen Fall laue die Lösung bzw. mi ω d. ( ) δ ( A A ) e ω D ( A A ) e ( ) Die Konsanen A und A werden wieder mi Hilfe der Anfangsbedingungen ermiel. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 3) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 83

146 Folgerungen ) Beim aperiodischen Grenzfall ri gerade keine Schwingung mehr auf. ) Der aperiodische Grenzfall spiel eine wichige Rolle, wenn uner Vermeidung on Schwingungen ein möglichs schnelles Einsellerhalen erziel werden soll. A T Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 3) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus Erzwungene Schwingungen In gedämpfen Schwingungsssemen wird Energie abgegeben und die Schwingung kling ab. Dami gedämpfe Schwingungssseme weier schwingen muss Energie hinzugefüg werden. Wird ein Schwingungsssem on außen durch eine periodische Kraf zu einer Schwingung angereg (gezwungen), dann bezeichne man dies als erzwungene Schwingung. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 3) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 85

147 Mi dem Newonschen Bewegungsgesez gil FF FR FE m a Die erregende periodischen Kraf sei gegeben durch F Fˆ cos( ω ) E E wobei den Maimalwer der erregenden FˆE Kraf angib. E F E F F c F m a F R b m Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 3) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 86 Einsezen on FF c, FR b und F ˆ E FE cos( ωe) in die Bewegungsgleichung liefer mi a und m b c Fˆ E cos( ωe) bzw. b c Fˆ E cos( ω E) m m m Nach Berücksichigung on D δ und c m mi δ b m ω ω ( ) ergib sich die lineare Differenialgleichung der erzwungenen Schwingung zu Fˆ E Dω ω cos( ω E) m Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 3) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 87

148 Lineare Differenialgleichung mi konsanen Koeffizienen homogene Differenialgleichung, z.b. Dω ω inhomogene Differenialgleichung, z.b. Fˆ E Dω ω cos( ω E) m d.h. freie Schwingungen (ungedämpf oder gedämpf) gehorchen einer homogenen, erzwungene Schwingungen einer inhomogenen linearen Differenialgleichung mi konsanen Koeffizienen. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 3) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 88 Die allgemeine Lösung einer linearen inhomogenen Differenialgleichung is inh hom par wobei hom die allgemeine Lösung der linearen homogenen Differenialgleichung und par irgendeine die lineare inhomogenen Differenialgleichung befriedigende parikuläre Lösung bezeichne. Die Lösung der linearen homogenen Differenialgleichung mi konsanen Koeffizienen wurde im orangegangenen Kapiel angegeben, sie laue δ hom Ah e cos( ωd ϕ ) Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 3) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 89

149 Da das Schwingungsssem der Erregerschwingung nach einer Einschwingzei folg, wähl man für die parikuläre Lösung den Ansaz A cos par p ( ω E ϑ), wobei ϑ die Phasenerschiebung zwischen der erregenden und der erzwungenen Schwingung angib. Aus { } {( ) } j ω E Re Dω ω Fˆ Re E m e folg jω E Dω ω ( Fˆ E m) e mi dem parikulären Lösungsansaz j( ω E ϑ ) A e par p Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 3) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 9 Ableien jω j E ω E A p A e p j e ( ω ϑ ) j E ( ω ϑ ) j( ω ϑ ) E ω und Einsezen in die lineare inhomogene Differenialgleichung mi konsanen Koeffizienen liefer j( ω ϑ ) Fˆ E E jω E Ap e ( ω E j Dωω E ω ) e m m A p jϑ ( ω ω E j ( Dωω E )) e Fˆ E Durch Vergleich on Berag und Phase erhäl man Dω ω anϑ ω ω E E E A p e E Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 3) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 9

150 und A p m ( ω ω ) ( Dω ω ) E Die Lösung der linearen inhomogenen Differenialgleichung mi konsanen Koeffizienen laue schließlich δ inh Ah e cos ωd ϕ Ap cos ω E ϑ mi η Fˆ E anϑ D und Ap η c η Dη wobei η ω E /ω und m c /ω ausgenuz wurde. Fˆ E ( ) ( ) E ( ) ( ) Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 3) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 9 Einschwingorgang und saionärer Zusand bei einer erzwungenen Schwingung hom A h e δ cos ( ω ) d par ( ω ϑ) Ap cos E ϑ ω E inh hom par Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 3) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 93

151 Frequenzgang der Ampliude (Ampliudengang) A p ( ω) Fˆ ( ω ω ) ( Dω ω ) Frequenzgang der Phase (Phasengang) E m anϑ( ω) ω ω D ω ω Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 3) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 94 Ampliudengang A p, res Fˆ E c Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 3) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 95

152 Phasengang Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 3) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 96 Resonanzfrequenz ω res bezeichne die Frequenz bei der der Ampliudengang sein Maimum annimm, d.h. Fˆ E m Ap, res Ap ( ω res ) ω ω Dω ω ( ) ( ) res Fˆ E c D D ( ) < ω ω ω D D d A p res ( ω) ω Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 3) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 97

153 3.6 Überlagerung on Schwingungen Superposiionsprinzip Die Auslenkung sich überlagernder Schwingungen können addier werden, wenn die Auslenkungen den elasischen (linearen) Bereich des Schwingungsssems nich überseigen. Bei der Überlagerung on Schwingungen unerscheide man zwischen parallelen und senkrech aufeinander sehenden Schwingungsrichungen. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 3) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 98 Die überlageren Schwingungen können sich in ihrer Phase, Ampliude, Frequenz unerscheiden. Frequenzar gleiche Frequenz unerschiedliche Frequenz parallel Schwingungen gleicher Frequenz unerschiedlicher Ampliude und/oder Phase Schwebung Fourier-Snhese Bewegungsrichung senkrech erschiedene Ellipsen je nach Ampliude und Phasenlage Lissajous-Figuren ganzzahlige Frequenzerhälnisse Lissajous-Figuren Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 3) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 99

154 3.6. Überlagerung harmonischer Schwingungen gleicher Raumrichung und gleicher Frequenz Es seien ( ) ( ) A A cos cos { } { } j( ω ϑ ) ( ω ϑ ) Re A e j( ω ϑ ) ( ω ϑ ) Re A e zwei sich überlagernde harmonische Schwingungen. Die resulierende harmonische Schwingung is dann ( ) ( ) ( ) A Re Re cos ( ω ϑ ) A cos( ω ϑ ) j( ω ϑ ) j( ω ϑ ) { A e } Re{ A e } j( ω ϑ ) j( ω ϑ ) { A e A e } Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 3) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 3 jϑ jϑ jω jϑ jω {( A e A e ) e } Re{ Ae e } j( ω ϑ ) { Ae } Acos( ω ϑ) ( ) Re Re wobei sich A und ϑ aus Ae zu A jϑ A e jϑ A e A cosϑ A jϑ cosϑ j ( A sinϑ A sinϑ ) ( A cosϑ A cosϑ ) ( A sinϑ A sinϑ ) A A A A A A A A ( cosϑ cosϑ sinϑ sinϑ ) cos ( ϑ ϑ ) Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 3) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 3

155 und ergib. anϑ A sinϑ A cosϑ A sinϑ A cosϑ Spezialfälle: a) ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ und A A A, d.h. maimale Versärkung b) A A und ϑ ϑ (n-) π mi n A, d.h. Auslöschung Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 3) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 3 Ampliude maimale Versärkung (ϑ ϑ ) Ampliude Ampliude Auslöschung (ϑ, ϑ 8 ) beliebige Überlagerung (ϑ, ϑ 6 ) Zei Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 3) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 33

156 Übungsaufgabe 3-4: Zwei harmonische Schwingungen gleicher Frequenz haben die Ampliuden A 5 cm und A 3 cm und einen Phasenunerschied on ϑ ϑ 6. Welche Ampliude A und welcher Nullphasenwinkel ϑ ha die durch Überlagerung resulierende harmonische Schwingung? Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 3) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus Überlagerung harmonischer Schwingungen gleicher Raumrichung und unerschiedlicher Frequenzen Geringe Frequenzunerschiede Bei der Überlagerung zweier harmonischer Schwingungen mi nur geringfügigem Frequenzunerschied reen Schwebungen auf. Die Ampliude der resulierenden Schwingung schwill langsam an und wieder ab. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 3) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 35

157 Reine Schwebung: Voraussezung A A A o.b.d.a. sei ϑ ϑ Die Überlagerung der Schwingungen ( ) Acos( ω ) und ( ) Acos( ω ) liefer mi Hilfe des Addiionsheorems α β α β cosα cos β cos cos die resulierende Schwingung ( ) ( ) ( ) A [ cos( ω ) cos( ω ) ] ω ω ω ω Acos cos Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 3) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 36 Überlagerung bei kleinen Frequenzunerschieden (Schwebung) Ampliude Ampliude Ampliude Zei Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 3) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 37

158 Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 3) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 38 Die resulierende Schwingung is eine harmonische Schwingung mi der Kreisfrequenz und einer sich mi der Schwebungsfrequenz ändernden Ampliude, d.h. Die Periodendauer der Schwebung ergib sich zu ω ω ω ( ) f f f f f s π ω ω ( ) ( ) f A s ω π cos cos ) ( T T T T T T f f f T s s Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 3) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 39 Die Frequenz der resulierenden Schwingung laue und die Schwingungsdauer errechne sich zu Die Ampliude der resulierenden Schwingung is doppel so groß wie die der Ausgangsschwingung. Unreine Schwebung: A A Bei unreinen Schwebungen wird die Ampliude nie null, sondern lediglich periodisch minimal. T T T T T T f f T 4 4 f f f f f π π π π ω ω π ω

159 Überlagerung bei kleinen Frequenzunerschieden (Schwebung) Ampliude Ampliude Ampliude Zei Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 3) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 3 Große Frequenzunerschiede Es ri keine Schwebung und keine harmonische Schwingung mehr auf. Die Schwingung mi der größeren Frequenz schwing um die periodische Achse, die durch die Schwingung mi der geringen Frequenz gegeben is. Die Ampliude der resulierenden Schwingung is gleich der Summe der Ampliuden der Einzelschwingungen. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 3) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 3

160 Überlagerung bei großen Frequenzunerschieden Ampliude Ampliude Ampliude Zei Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 3) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 3 Übungsaufgabe 3-5: Die Überlagerung zweier Simmgabelschwingungen liefer eine resulierende Schwingung der Frequenz f 44 Hz und Schwebungsfrequenz f s Hz. Welche Frequenzen haben die Simmgabeln? Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 3) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 33

161 3.6.3 Überlagerung harmonischer Schwingungen gleicher Raumrichung mi ganzzahligen Frequenzerhälnissen Bei der Überlagerung on Schwingungen deren Frequenzen ein ganzzahliges Verhälnis besizen enseh wieder ein periodisches Schwingungsmuser. Beispiel: Überlagerung der Schwingungen ( ) A cos( ω ) und ( ) A cos(3ω ) liefer ) ( ) ( ) A cos( ω ) A cos(3ω ) A f ( ( mi f ()f (-T) wobei T/fπ/ω und AA A. ) Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 3) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 34 Überlagerung mi ganzzahligem Frequenzerhälnis Ampliude Ampliude Zei Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 3) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 35

162 Ampliude Zei.5 Ampliude Frequenz Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 3) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 36 Ampliudenspekrum Die Funkion, die die Abhängigkei der Ampliude als Funkion der (Kreis-) Frequenz angib, d.h. zeig welche Frequenzen mi welchen Ampliuden zur resulierenden Schwingung beiragen, bezeichne man als Ampliudenspekrum. Fourier-Snhese Durch Überlagerung on Schwingungen mi ganzzahligen Frequenzerhälnissen und geeigne gewählen Ampliuden kann prinzipiell jede gewünsche periodische Funkion erzeug (snheisier) werden. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 3) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 37

163 Überlagerung mi ganzzahligem Frequenzerhälnis Ampliude Ampliude Ampliude Zei Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 3) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 38 Ampliude Zei Ampliude Frequenz Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 3) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 39

164 Fourier-Analse Die Zerlegung eines periodischen Schwingungsmusers in seine Elemenarschwingungen, d.h. in Schwingungen mi Frequenzen die ganzzahlige Vielfache einer Grundfrequenz sind, wird Fourier- Reihenanalse genann. Fourier konne zeigen, dass sich jedes periodische Schwingungsmuser in eine Fourier-Reihe, d.h. in eine Reihe on elemenaren Cosinus und Sinusschwingungen, gemäß a ( ) ak cos( kω ) bk sin( kω ) k zerlegen läss. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 3) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 3 k : Grundschwingung k : e Oberschwingung k 3: e Oberschwingung k n: (n-)-e Oberschwingung (e Harmonische) (e Harmonische) (3e Harmonische) (n-e Harmonische) a k und b k bezeichne man als Fourier-Koeffizienen. Sie geben an mi welcher Ampliude die korrespondierenden Elemenarschwingungen in der Gesamschwingung enhalen sind. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 3) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 3

165 Sie berechnen sich zu T ak ( )cos( kω) d k,, T und T bk ( )sin( kω) d k,, T Anmerkung: Auch nichperiodsiche Funkionen können spekral, d.h. in ihre harmonischen Aneile, zerleg werden. Die Fourier-Reihe geh dabei in das Fourier-Inegral über. ( A( ω)cos( ω ) B( ω)cos( ω ) ) ( ) dω Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 3) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 3 Übungsaufgabe 3-6: Besimmen Sie die Fourier-Reihe der periodischen Funkion mi n ( ) f ( nt ) für T / < < f ( ) sons für < < T / Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 3) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 33

166 Überlagerung mi ganzzahligem Frequenzerhälnis Ampliude Zei Ampliude Frequenz Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 3) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus Überlagerung harmonischer Schwingungen mi ganzzahligem Frequenzerhälnis, die senkrech zueinander schwingen Gegeben seien zwei senkrech zueinander erlaufende gleichfrequene Schwingungen ( ) A sin( ω ) und ( ) A sin( ω ϑ) Mi dem Addiionsheorem sin( α β ) sinα cos β cosα sin β läss sich () umformen zu ( ) A cosϑ sin( ω ) A sinϑ cos( ω ) Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 3) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 35

167 Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 3) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 36 Einsezen on und in () liefer bzw. ) ( ) ( sin ) cos( A ω ω A ) ( ) sin( ω ) ( sin ) ( cos ) ( A A A A ϑ ϑ ) ( sin cos ) ( ) ( A A A ϑ ϑ Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 3) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 37 sowie nach quadrieren die allgemeine Ellipsengleichung Die Phasenerschiebung ϑ erhäl man aus ϑ ϑ sin cos ) ( ) ( ) ( ) ( A A A A ) ( ) ( ) ( ) ( sin A A ϑ

168 Übungsaufgabe 3-7: Gegeben seien zwei senkrech zueinander erlaufende gleichfrequene Schwingungen ( ) A sin( ω ) und ( ) A sin( ω ϑ) Berechnen und skizzieren Sie die Lissajous-Figuren für die Spezialfälle ϑ, ϑ π/und ϑ π. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 3) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 38 ϑ ϑ45 ϑ9 ϑ35 -Ampl Ampl Ampl Ampl. Frequenzerhälnis f : f : - - -Ampl. ϑ8 ϑ5 ϑ7 ϑ35 -Ampl Ampl Ampl Ampl Ampl. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 3) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 39

169 ϑ ϑ45 ϑ9 ϑ35 -Ampl Ampl Ampl Ampl. Frequenzerhälnis f : f : - - -Ampl. ϑ8 ϑ5 ϑ7 ϑ35 -Ampl Ampl Ampl Ampl Ampl. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 3) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 33 ϑ ϑ45 ϑ9 ϑ35 -Ampl Ampl Ampl Ampl. Frequenzerhälnis f : f : Ampl. ϑ8 ϑ5 ϑ7 ϑ35 -Ampl Ampl Ampl Ampl Ampl. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 3) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 33

170 ϑ ϑ45 ϑ9 ϑ35 -Ampl Ampl Ampl Ampl. Frequenzerhälnis f : f : Ampl. ϑ8 ϑ5 ϑ7 ϑ35 -Ampl Ampl Ampl Ampl Ampl. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 3) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus Gekoppele Schwingungssseme Gegeben seien zwei gleiche horizonal schwingende Feder-Masse-Pendel berache, die durch eine Kopplungsfeder erbunden sind. c c c m m Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 3) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 333

171 Es gib zwei Schwingungszusände, bei denen keine Energieüberragung safinde. Sie werden Fundamenalschwingungen genann. Gleichphasige Schwingung Das Kopplungsglied is unwirksam, da die Kopplungsfeder in ihrer Ausdehnung uneränder bleib. Demzufolge schwingen die Massen mi der Frequenz der ungedämpfen harmonischen (e-fundamenal) Schwingung, d.h. ω ω c, f f m π c m Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 3) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 334 Gegenphasige Schwingung Aus Smmeriegründen bleib die Mie des Kopplungspunkes in Ruhe. Somi kann jedem Körper die Federkonsane der eigenen Feder c und die Federkonsane der halben Kopplungsfeder c zugeordne werden. Reihenschalung: c ges c c /(c c ) Parallelschalung: c ges c c Dami ergib sich die Frequenz der en-fundamenal-schwingung zu ω c c c c, f m π m Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 3) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 335

172 Bei Schwingungen die nich gleich- oder gegenphasig ablaufen, d.h. im allgemeinen Fall, finde eine Überlagerung der Fundamenalschwingungen gemäß ω ω ω ω ( ) Acos cos ω ω ω ω ( ) Asin sin so sa, dass eine Schwebung enseh mi der Schwebungsfrequenz f f f s Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 3) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 336 Auslenkung on Auslenkung on Zei Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 3) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 337

173 Übungen zur Technischen Phsik / Kapiel 3 Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus Aufgabe 3-: An einer Schraubenfeder mi der Federkonsane c 6 N/m häng ein Körper mi der Masse m g. Durch eine erikal nach unen gerichee Kraf wird der Körper zunächs um die Srecke 5 cm aus seiner Gleichgewichslage ausgelenk. Der Körper wird dann freigegeben und führ zunächs eine freie Schwingung aus. a) Wie groß war die Kraf, die den Körper um die Srecke ausgelenk ha? b) Wie lange is die Schwingungsdauer T der freien Schwingung? c) Wie lauen die Bewegungsgleichungen der freien Schwingung (), (), a()? d) Berechnen Sie die Geschwindigkei und die Beschleunigung jeweils für die Gleichgewichslage und für die maimale Auslenkung. Aufgabe 3-: Ein Körper der Masse m 3 g häng an einer Schraubenfeder. Er führ Schwingungen mi einer Schwingungsdauer on T π/ s und einer Ampliude on A cm aus. a) Berechnen Sie die Federkonsane c der Schraubenfeder. b) Geben Sie die Bewegungsgleichungen der freien Schwingung (), (), a() an. c) Berechnen Sie die Geschwindigkei und die Beschleunigung jeweils für die Gleichgewichslage und für die maimale Auslenkung. d) Skizzieren Sie den zeilichen Verlauf der poeniellen, der kineischen und der gesamen Energie. Aufgabe 3-3: δ a) Wie groß is das logarihmische Dekremen einer gedämpfen Schwingung e sin( ω d ), wenn die Schwingungsdauer T d durch die Dämpfung gerade doppel so groß is wie die der ungedämpfen Schwingung T, d.h. T d T? b) Wie groß is bei dieser Schwingung das zweie Schwingungsmaimum, wenn das erse T d cm beräg? c) Es sei T d,9 s. Geben Sie die Größen δ, ω d und ω an. Welcher der drei möglichen Fälle lieg or? Aufgabe 3-4: Auf einer Fernerkehrssraße folgen mehrere Bodenwellen der Höhe h 5 cm im gleichen Absand l m aufeinander. Ein PKW der Masse m 98 kg (Masse der Räder nich enhalen) befahre diese Srecke. Die Gesamfederkonsane seiner Federn sei c,3 5 N/m und die Dämpfungskonsane seiner Soßdämpfer b,8. 3 kg/s. a) Bei welcher Geschwindigkei sind die erikalen Schwingungen des PKW am größen? b) Welchen Maimalwer kann die erikale Schwingungsampliude des PKW annehmen?

174 Übungen zur Technischen Phsik / Kapiel 3 Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus Aufgabe 3-5: Durch Überlagerung der Töne zweier Simmgabeln, on denen die zweie durch Anbringen einer Zusazmasse ein wenig ersimm is, enseh eine Schwebung, deren Dauer gleich dem 5fachen der Schwingungsdauer T der ersimmen Simmgabel is. a) Um wie iel Prozen weich die Schwingungsdauer T on der Schwingungsdauer T der ersen Simmgabel ab? b) Mi welcher Frequenz schwing die zweie Simmgabel, wenn f 44 Hz beräg? Aufgabe 3-6: Eine angezupfe Saie on 87,4 cm Länge erzeug den gleichen Ton wie eine Simmgabel. Verlänger man die Saie bei gleichbleibender Saienspannung um,6cm, so erzeug die Überlagerung der Töne on Saie und Simmgabel eine Schwebung der Frequenz f s 3 Hz. Mi welcher Frequenz schwing die Simmgabel? (Anmerkung: die Frequenz einer Saie is umgekehr proporional zu seiner Länge) Aufgabe 3-7: a) Zwei Schwingungen gleicher Raumrichung, Frequenz und Ampliude überlagern sich derar, dass die resulierende Schwingung wiederum die gleiche Ampliude ha. Wie groß is die Phasenerschiebung ϑ zwischen den beiden Schwingungen und ϕ zwischen einer dieser Schwingungen und der resulierenden Schwingung? b) Welche Phasendifferenz ϕ weisen zwei sich senkrech zueinander überlagernde Schwingungen gleicher Frequenz auf, wenn deren Lissajous-Figur mi der Ampliude A 4 cm die -Achse bei 3,7 cm schneide. Aufgabe 3-8: Ein Punk nimm gleichzeiig an zwei zueinander senkrechen harmonischen Schwingungen (() und ()) on gleicher Frequenz mi den Ampliuden A 3 cm und A 4 cm eil, deren Anfangsphasen sich um a) ϕ, b) ϕ π/, c) ϕ 3π/4 unerscheiden. Welche resulierende Schwingung ollführ der Punk in den drei Fällen?

175 4. Mechanische Wellen 4. Grundlagen der Wellenausbreiung Wellenausbreiung wird bei schwingungsfähigen Ssemen die räumlich mieinander gekoppel sind beobache. Aufgrund der Kopplung überräg sich die Schwingung eines Ssems auf das Nachbarssem. Forschreiende Wellen zwischen gekoppelen Fadenpendeln: a) Gekoppele Fadenpendel, b) Transersalwelle und c) Longiudinalwelle Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 4) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus Transersal- oder Querwelle Schwing das e Pendel in -Richung, d.h. senkrech zur Ausbreiungsrichung, so breie sich dieser Schwingungszusand on Pendel zu Pendel aus. Es enseh eine laufende Welle, bei der Ausbreiungsrichung und Schwingungsrichung senkrech zueinander sind. Derarige Wellen bezeichne man als Transersal- oder Querwellen. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 4) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus

176 Longiudinal- oder Längswelle Schwing das e Pendel in -Richung, d.h. in Ausbreiungsrichung, so breie sich auch dieser Schwingungszusand on Pendel zu Pendel aus. Bei der dadurch herorgerufenen laufenden Welle, liegen jez jedoch Ausbreiungsrichung und Schwingungsrichung parallel zueinander. Derarige Wellen werden Longiudinal- oder Längswellen genann. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 4) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 3 /8 T /8 T 3/8 T 4/8 T 5/8 T 6/8 T 7/8 T 8/8 T Ausbreiungszusände einer Transersalwelle λ Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 4) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 4

177 Ausbreiungszusände einer Longiudinalwelle /8 T /8 T 3/8 T 4/8 T 5/8 T 6/8 T 7/8 T 8/8 T λ Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 4) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 5 Longiudinalwelle dargesell als Transersalwelle Wellen ransporieren keine Maerie, sie überragen lediglich Schwingungszusände und dami Energie. Die Energieüberragung is nowendig, um die einzelnen Schwinger (Oszillaoren) zu Schwingungen anzuregen. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 4) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 6

178 Der Absand zweier gleichariger Schwingungszusände im Wellenfeld wird Wellenlänge λ genann. Da die Welle innerhalb der Periodendauer T den Weg λ zurückleg, ergib sich die Forpflanzungsoder Ausbreiungsgeschwindigkei der Welle zu λ c T Die Ausbreiungsgeschwindigkei einer Welle is das Produk aus Wellenlänge λ und Frequenz f c λ f Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 4) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 7 In Gasen und Flüssigkeien (ohne innere Reibung) sind nur Longiudinalwellen ausbreiungsfähig. An Grenzflächen on Flüssigkeien können sich ransersale Oberflächenwellen, z.b. Wasserwellen, ausbreien. In Feskörpern sind alle Wellenpen, d.h. Longiudinalwellen (Kompressionswelle, Primärwelle, P-Wae) Transersalwellen (Scherungswelle, Sekundärwelle, S-Wae) Oberflächenwellen Biegewellen Dehnwellen Torsionswellen ausbreiungsfähig. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 4) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 8

179 Wellen werden auch nach der geomerischen Form ihrer Wellenfronen oder Phasenflächen, d.h. Flächen konsaner Phase, klassifizier. Phasenflächen Wellenpen Ebenen ebene Welle Zlinder Zlinderwelle Kugeln Kugelwelle Sind auf den Phasenflächen außerdem noch die Ampliuden konsan, so bezeichne man die Wellen als homogene Wellen. Wellen deren Ampliude auf den Phasenflächen nich konsan is, werden inhomogene Wellen genann. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 4) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 9 Wellenfronen/Phasenflächen einer Kreiswelle einer ebenen Welle r Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 4) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus

180 Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 4) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus Wellen werden durch Gleichungen der Form mi beschrieben. Man erhäl diese sogenanne Wellengleichung direk aus dem en Newonschen Gesez, indem man die Kräfe berache, die auf ein einzelnes Massen- bzw. Volumenelemen wirken. 4. Wellengleichung ),,, ( ),,, ( z f c z f Δ ),,, ( ),,, ( ),,, ( ),,, ( z z f z f z f z f Δ Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 4) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus Für den dimensiomalen Fall (ebene Welle) ereinfach sich die Wellengleichung zu Die allgemeine Lösung der Wellengleichung is nach d Alember eine Funkion om Tp Die Größe c besiz die Dimension einer Geschwindigkei. Sie gib die Ausbreiungsgeschwindigkei der Welle an. ), ( ), ( f c f ( ) ± c g f,

181 Für die Ausbreiungsgeschwindigkei unerschiedlicher Wellenpen in erschiedenen Medien finde man Wellenp Longiudinalwelle in Gasen Longiudinalwelle in Flüssigkeien Longiudinalwelle in dünnen Säben Torsionswelle in dünnen Rundsäben Transersalwelle einer gespannen Saie Ausbreiungsgeschwindigkei c c c c c κ p K E G F ρ ρ ρ ρ ( Aρ) κ Adiabaeneponen p Druck ρ Diche K Kompressionsmodul E Elasiziäsmodul G Schubmodul F Spannkraf A Querschni Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 4) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus Harmonische Wellen Von besonderer Bedeuung is die harmonische Anregung. Der e Oszillaor am Or werde gemäß f (, ) Acos( ω ϑ) angereg. Ein Oszillaor an einem beliebigen Or wird gegenüber dem en Oszillaor zeilich um die Laufzei Δ c erspäe, d.h. gemäß f, ) Acos ω Δ ϑ ( Acos ω c harmonisch schwingen. ( ( ) ) ( ( ) ϑ) Acos( ω ( ω c) ϑ) Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 4) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 4

182 Aus ω π f und c λ f folg mi der Konsanen ω π f π k c λ f λ die man Wellenzahl nenn, die Wellenfunkion f ( ( ω k ϑ), ) Acos einer nach rechs (in pos. -Richung) laufenden Welle. Der Ausdruck für eine nach links (in neg. -Richung) laufende Welle ergib sich durch Vorzeichenwechsel on zu f, ) Acos ω k ϑ ( ( ) Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 4) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 5 Durch die Wellenfunkion f (, ) Acos( ω ± k ϑ) wird die Ors- und Zeiabhängigkei der Auslenkung einer Welle zum Ausdruck gebrach. An einem fesen Or a beobache man p( ) f ( a, ) Acos( ω ( ϑ ± ka) ) Acos( ω ϑ ) d.h. eine harmonische Schwingung. Zu einem besimmen Zeipunk τ ergib sich q( ) f (, τ ) Acos ± k ( ϑ ωτ ) Acos ± k ϑ das Momenanbild einer harmonischen Welle. ( ) ( ) Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 4) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 6

183 4.4 Doppler-Effek Bewegen sich Quelle und Empfänger einer Welle relai zueinander, so nimm der Empfänger mi der Frequenz f E eine on der Frequenz f Q der Quelle erschiedene Frequenz wahr. Bei Schallwellen wurde dieser Effek ersmals on C. Doppler im Jahre 84 beschrieben. Zur Berechnung der Empfangsfrequenz sind die folgenden Fälle zu unerscheiden. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 4) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 7 Wellenfelder zum Doppler-Effek a) ruhende Quelle, beweger Empfänger b) bewege Quelle, ruhender Empfänger Q E Q Q λ λ Ε Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 4) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 8

184 4.4. Quelle ruh, Empfänger beweg sich Empfänger beweg sich mi E radial auf die Quelle zu bzw. on der Quelle weg. Wellenberg/Verdichung und Wellenal/Verdünnung wechseln beim Empfänger in rascherer Folge bzw. langsamerer Folge. Der zeiliche Absand zweier aufeinanderfolgender Wellenberge/Verdichungen beräg am Empfänger T E λ c E bzw. T E λ c E Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 4) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 9 Der Empfänger regisrier also die Frequenz f E c λ E bzw. f E c λ E die sich mi c λ f Q zu E bzw. f E fq E f E fq c c ergib. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 4) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus

185 4.4. Empfänger ruh, Quelle beweg sich In Bewegungsrichung eil die Quelle ihren eigenen Wellenzügen hinerher Der Absand der Wellenfronen erringer sich or der Quelle bzw. ergrößer sich hiner der Quelle. Für einen Empfänger auf den sich die Quelle zubeweg bzw. on dem sich die Quelle wegbeweg is die wirksame Wellenlänge durch λ E λ Q T Q bzw. λ E λ Q T Q gegeben. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 4) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus Der Empfänger nimm also wegen c f E und c λ fq λe die Frequenz λ T Q wahr. f E fq fq bzw. f E c c Q Q Empfänger und Quelle bewegen sich Bewegen sich Empfänger und Quelle relai zum Ausbreiungsmedium so unerscheide man 4 Fälle. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 4) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus

186 Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 4) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 3 Empfänger & Quelle bewegen sich aufeinander zu Frequenz einer ruhenden Ersazquelle (or der Quelle) Empfänger & Quelle bewegen sich oneinander weg Frequenz einer ruhenden Ersazquelle (hiner der Quelle) c f f Q Q Q ' Q E Q Q E Q E Q E c c f c c f c f f ' c f f Q Q Q ' Q E Q Q E Q E Q E c c f c c f c f f ' Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 4) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 4 Empfänger folg Quelle Frequenz einer ruhenden Ersazquelle (hiner der Quelle) Quelle folg Empfänger Frequenz einer ruhenden Ersazquelle (or der Quelle) c f f Q Q Q ' Q E Q Q E Q E Q E c c f c c f c f f ' c f f Q Q Q ' Q E Q Q E Q E Q E c c f c c f c f f '

187 Anmerkung Die angegebenen Formeln sind nich anwendbar beim Doppler-Effek on elekromagneischen Wellen. Dor is nich die Geschwindigkei relai zu einem ruhenden Koordinaenssem, sondern nur die Relaigeschwindigkei on Quelle und Empfänger zueinander maßgebend. Es ergib sich bei Annäherung bzw. Enfernung f E f Q c c f E f Q c c Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 4) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus Quelle beweg sich mi Überschallgeschwindigkei Mi Q c rücken die Wellenfronen or der Quelle immer dicher zusammen, bis sie schließlich bei Q c alle durch einen gemeinsamen Punk gehen und die Einhüllende einer ebenen Wand gleich. Bei Q > c, d.h. Überschallgeschwindigkei, durchsöß die Quelle diese Wand (sogenanne Schallmauer) und es sell sich ein Wellenfeld mi einer kegelförmigen Einhüllenden, dem sogenannen Machschen-Kegel, ein. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 4) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 6

188 Die kegelförmige Wellenfron nenn man auch Kopfwelle. Da sich die Wellenfron auf dem Kegelmanel konsrukie addieren, hör ein on der kegelförmigen Wellenfron geroffener Beobacher einen eplosionsarigen Knall. Der halbe Öffnungswinkel des Machschen-Kegels ergib sich zu c c sin α Ma wobei Ma die Machsche-Zahl bezeichne. Q Q Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 4) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 7 c α Q Q Q Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 4) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 8

189 4.5 Überlagerung on Wellen 4.5. Inerferenz Die Überlagerung zweier oder mehrerer Wellen gleicher Frequenz, d.h. die Überlagerung on Wellen mi fesen Phasenbeziehungen, führ je nach den Phasendifferenzen zwischen den Wellen zu räumlichen Erscheinungen die man Inerferenz nenn. Kohärenz Wellen, zwischen denen zeilich fese Phasenbeziehungen besehen werden als kohären bezeichne. Überlagerung kohärener Wellen (beobachbare) Inerferenz Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 4) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 9 Überlagerung zweier kohärener Kreiswellen e-quelle r Empfänger e-quelle r Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 4) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 3

190 Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 4) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 3 Das resulierende Wellenfeld, das sich durch Addiion der beiden Wellen ergib, laue am Empfangsor mi ( ) ( ) cos ), ( cos ), ( ϑ ω ϑ ω k r r A r f k r r A r f ( ) ϑ ω ~ cos ~ ), ( ), ( ), ( A r f r f r f E Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 4) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 3 und wobei und ( ) ~ ~ cos ~ ~ ~ ~ ~ ϑ ϑ A A A A A ~ cos ~ ~ cos ~ ~ sin ~ ~ sin ~ ~ an ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ A A A A ~, ~ r A A r A A ~, ~ k r r k ϑ ϑ ϑ ϑ

191 Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 4) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 33 Überlagerung zweier kohärener ebener Wellen gleicher Ausbreiungsrichung Δ Wellenfronen der en ebenen Welle Wellenfronen der en ebenen Welle Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 4) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 34 Für A A A, d.h. gleiche Ampliuden, folg aus nach Anwenden des Addiionsheorems die Wellenfunkion ( ) Δ k k A f λ π ω ω cos cos ), ( cos cos cos cos β α β α β α Δ Δ k A f λ π ω λ π cos cos ), (

192 Spezialfälle: a) Gangunerschied Δ: Die Ampliude der resulierenden Welle is doppel so groß wie die der Ausgangswellen. Die Nulldurchgänge liegen am selben Or wie bei den Ausgangswellen. b) Gangunerschied Δλ/: Die beiden Ausgangswellen schwingen an jedem Or gegenphasig und löschen sich deshalb überall aus. c) Gangunerschied Δ λ/4: Die Ampliude der resulierenden Welle is -mal größer als die der Ausgangswellen. Die Nulldurchgänge liegen genau miig zwischen denen der Ausgangswellen. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 4) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 35 Konsrukie Inerferenz Bei der Überlagerung zweier Wellen bei der die Ampliude der resulierenden Welle gleich der Summe der Ampliuden der Ausgangswellen is, d.h. Δ n λ mi n, sprich man on konsrukier Inerferenz. f (, ) f (, ) f (, ) Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 4) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 36

193 Desrukie Inerferenz Bei der Überlagerung zweier Wellen bei der die Ampliude der resulierenden Welle zu null auslösch, d.h. Δ (n ) λ/ mi n, sprich man on desrukier Inerferenz. f (, ) f (, ) f (, ) Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 4) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus Sehende Wellen Durch Überlagerung zweier ebener Wellen gleicher Ampliude und Frequenz aber engegengesezer Ausbreiungsrichung, d.h. f(, ) A cos( ω k ) f (, ) A cos ω k ϑ ( ) enseh eine resulierende Welle mi f (, ) f(, ) f(, ) A ( cos( ω k ) cos( ω k ϑ) ) ϑ ϑ A cos k cos ω Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 4) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 38

194 in pos. -Richung laufende Welle in neg. -Richung laufende Welle resulierende sehende Welle /8 T /8 T 3/8 T 4/8 T 5/8 T 6/8 T 7/8 T 8/8 T K B K B K B K B K Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 4) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 39 In äquidisanen Absänden on λ/ reen orsfese Schwingungsknoen und Schwingungsbäuche auf. f (,), 8/8T 4/8T /8T, 7/8T /8T, 6/8T λ/ 3/8T, 5/8T Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 4) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 4

195 Man bezeichne die so ensandenen saionären Schwingungszusände deshalb auch als sehende Wellen. Ein sehendes Wellenfeld ri z.b. bei der Überlagerung einer einfallenden und einer reflekieren Welle auf. Ob sich beim sehenden Wellenfeld an der Refleionsselle ein Schwingungsknoen oder Schwingungsbauch ausbilde, häng on den Refleionseigenschafen der Konakselle / Grenzschich ab. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 4) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 4 Refleion einer Seilwelle am fesen Ende Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 4) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 4

196 Refleion einer Seilwelle am losen Ende Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 4) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 43 Eine Seilwelle erfähr bei der Refleion am fesen Ende einen Phasensprung on π (8 ) Schwingungsknoen losen Ende keinen Phasensprung Schwingungsbauch Eine Schallwelle (Teilchenauslenkung) erfähr bei der Refleion am geschlossenen (gedacken) Pfeifenende einen Phasensprung on π(8 ) (Schwingungsknoen) offenen Pfeifenende keinen Phasensprung (Schwingungsbauch) Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 4) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 44

197 Seilwelle am Übergang om schweren zum leichen Seil Seilwelle am Übergang om leichen zum schweren Seil Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 4) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 45 Saie mi beidseiig fes eingespannen Enden Simmgabel Saie l Reg man eine beidseiig fes eingespanne Saie durch eine harmonische Schwingung an, so beobache man für besimme Frequenzen (Resonanzfrequenzen der Saie) ein sehendes Wellenfeld. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 4) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 46

198 Da sich an den befesigen Enden immer Schwingungsknoen befinden müssen, besiz die Grundschwingung (e Harmonische) einen Schwingungsbauch in der Saienmie, d.h. wobei λ die Wellenlänge der Grundschwingung angib. Mi cλ f ergib sich die Frequenz der Grundschwingung zu wobei f l c λ λ c F Aρ c l Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 4) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 47 Grundschwingung K B K K B e Harmonische K B K 3e Harmonische K B K B K B K 4e Harmonische K B K B K B K B K 5e Harmonische K B K B K B K B K B K l Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 4) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 48

199 Die e, 3e,..., n-e Harmonische (e, e,..., (n-)-e Oberschwingung) besiz zwischen den Befesigungssellen,,..., (n-)-knoen und dami die Frequenz c c f n n f n n λ l Das zu der jeweiligen Frequenz zugehörige Schwingungsmuser wird Schwingungsmode oder kurz Mode genann. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 4) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 49 Saie mi nur einem fes eingespannen Ende Simmgabel Saie l Auch bei Saien mi einem fesen und einem losen Ende können sich bei geeigneer Anregung sehende Wellen ausbilden. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 4) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 5

200 Da sich am fesen Ende ein Schwingungsknoen und am losen Ende ein Schwingungsbauch befinden muss gil für die Wellenlänge der Grundschwingung l λ 4 Für den nächshöheren Schwingungsmode, d.h. für die 3e Harmonische gil l 3 λ 3 4 Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 4) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 5 Grundschwingung K B K B 3e Harmonische K B K B K 5e Harmonische B B K B K B K B 7e Harmonische K B K B K B K B 9e Harmonische B K B K B K B l Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 4) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 5

201 Die Bedingung für sehende Wellen laue demzufolge λ Mi cλ n f n ergeben sich die Resonanzfrequenzen schließlich zu für n, 3, 5,... l n n 4 c c f n n f n n λ 4l Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 4) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus Wellengruppen Eine zeilich begrenze Schwingung ha einen räumlichen begrenzen Wellenzug zur Folge, der als Wellenpake oder Wellengruppe bezeichne wird. Is τ die Zeidauer der Schwingung, so ergib sich uner der Voraussezung, dass alle Teilwellen des Wellenpakes dieselbe Ausbreiungs-(Phasen-) geschwindigkei besizen, die Länge des Wellenzuges zu l cτ Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 4) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 54

202 Dispersion Uner Dispersion erseh man die Frequenzabhängigkei der Phasengeschwindigkei einer harmonischen Welle. Lieg Dispersion or, so besiz jede Teilwelle eine andere Phasengeschwindigkei, was zu einer Formänderung bzw. zum Auseinanderlaufen des Wellenpakes führ. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 4) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 55 Der Einfluss der Dispersion kann am Beispiel der Schwebungsgruppe, die durch Überlagerung zweier ebener Wellen mi geringfügig unerschiedlichen Frequenzen aber gleichen Ampliuden enseh, d.h. f f (, ) (, ) A cos A cos mi ω ω, diskuier werden. ( ω k ) ( ω k ) Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 4) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 56

203 Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 4) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 57 Die Superposiion beider Teilwellen liefer mi eine moduliere Trägerwelle, wobei bezeichne. ( ) ( ) { } ( ) k k A k k A f f f Δ Δ ω ω ω ω cos cos cos cos ), ( ), ( ), ( ( ) ( ) k k k k k k Δ Δ ω ω ω ω ω ω Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 4) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 58 Die Trägerwelle wird dabei durch den en Fakor die Modulaion der Ampliude, durch die sich eine periodische Abfolge on Wellengruppen ausbilde, durch den en Fakor beschrieben. ( ) ω k cos Δ Δ k cos ω l c gr / f f

204 Nach Ausklammern on Δω/ beim en und ω beim en Fakor laue die Wellenfunkion Δω f (, ) A cos mi c ω/k und c gr Δω/Δk. cos ω Hierbei bezeichne c die Phasengeschwindigkei der Trägerwelle und c gr die sogenanne Gruppengeschwindigkei mi der sich die Wellengruppe als Ganzes ausbreie. c gr c Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 4) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 59 Lieg keine Dispersion or, d.h. c(f ) c(f ) c, dann gil c c gr Bei Dispersion, d.h. c(f ) c(f ) gil c c gr Die Bedeuung der Gruppengeschwindigkei beseh darin, dass sie und nich die Phasengeschwindigkei, die Geschwindigkei des Informaions- und Energieranspors bei Wellengruppen besimm. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 4) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 6

205 Allgemein ergib sich die Gruppengeschwindigkei für beliebige durch Fourier-Snhese erzeuge Wellengruppen zu dω c gr d k Ausnuzen on k ω /c(f(ω)) bzw. ω k c(λ(k)) mi ω π f und k π /λ liefer schließlich c( f ) c gr ( f ) f d c ( f ) c df bzw. c gr d c ( λ) c( λ) λ dλ Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 4) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus Refleion, Brechung und Beugung 4.6. Elemenarwellen Hugensches Prinzip Jeder on einer Wellen geroffene Raumpunk kann als Ausgangspunk einer sogenannen Elemenarwelle aufgefass werden. Die on allen Punken einer Wellenfron gleichzeiig ausgesendeen Elemenarwellen ergeben als Einhüllende eine Wellenfron die der Wellenfron des ursprünglichen Erregungszenrums ensprich. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 4) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 6

206 Uner einer Elemenarwelle erseh man bei - bzw. 3dimensionaler Ausbreiung eine Kreis- bzw. Kugelwelle. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 4) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 63 Ebene Welle Kreis- bzw. Kugelwelle Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 4) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 64

207 Hugens-Fresnelches Prinzip Die an einem beliebigen Raumpunk des Wellenfeldes beobachee Schwingung läss sich durch die Überlagerung sämlicher Elemenarwellen, die on einer Wellenfron ausgehen, beschreiben. Die Ausbreiung einer Welle ollzieh sich uner gegenseiiger Inerferenz der on den Wellenfronen ausgehenden Elemenarwellen. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 4) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus Refleion Refleion ebener Wellen an ebenen Grenzflächen Einfallslo ' ' B D F εε r A E C Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 4) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 66

208 Die Laufzei der einfallenden Welle on B nach C ergib sich zu BC τ c Der Radius der on A ausgehenden Elemenarwelle beräg nach der Zei τ Es gil also r A cτ BC AD AD Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 4) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 67 Alle Elemenarwellen die on Punken zwischen A und C ausgehen, z.b. E, haben als Radien Zwischenwere, z.b. τ r E c EF derar, dass sich als gemeinsame Tangene die Wellenfron CD ausbilde. Die beiden Dreiecke ABC und ADC sind rechwinklig (Wellenfron zur Ausbreiungsrichung) haben gemeinsame Basis AC und gleichlange Seien BC AD Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 4) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 68

209 Somi gil für die gegen das Einfallslo gemessenen Winkel ε (Einfallswinkel) und ε r (Ausfalls- bzw. Refleionswinkel) die Beziehung ε ε r. Refleionsgesez Die Ausbreiungsrichung der einfallenden Welle, das Einfallslo und die Ausbreiungsrichung der reflekieren Welle liegen in einer Ebene, d.h. einfallender Srahl, Einfallslo und reflekierer Srahl liegen in einer Ebene. Der Einfallswinkel ε is gleich dem Refleionswinkel ε r. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 4) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 69 Refleion on Kugelwellen an ebenen Grenzflächen Kugelwellen werden an einer ebenen Grenzfläche so reflekier, dass die reflekieren Wellen on einem Zenrum Z' Z' auszugehen scheinen, das bzgl. der Grenzfläche spiegelsmmerisch zum Z wirklichen Zenrum Z lieg. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 4) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 7

210 4.6.3 Brechung Brechung ebener Wellen an ebenen Grenzflächen Einfallslo ε A ε D B E F C Medium Ausbreiungsgeschwindigkei c Medium Ausbreiungsgeschwindigkei c ' ' Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 4) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 7 Die Laufzei der einfallenden Welle on B nach C berechne sich zu BC τ c Der Radius der on A ausgehenden Elemenarwelle beräg nach der Zei τ in Medium c r A, cτ BC c AD Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 4) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 7

211 Alle Elemenarwellen die on Punken zwischen A und C ausgehen, z.b. E, haben als Radien Zwischen-were, z.b. τ r E, c EF derar, dass sich als gemeinsame Tangene die Wellenfron CD ausbilde. Aus den Dreiecken ABC und ADC folg sin ε BC AC Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 4) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 73 und sin ε AD AC c c BC AC Diidier man beide Ausdrücke durcheinander, so erhäl man mi sin ε c cons. sin ε c das bereis on Snellius 6 eperimenell gefundene und deshalb nach ihm benanne Snelliussche Brechungsgesez. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 4) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 74

212 4.6.4 Beugung Eine ebene Welle reffe senkrech auf eine Wand mi Öffnung (Wellenfronen parallel zur Wand) ein Hindernis (Wellenfronen parallel zum Hindernis) Beugung an einer Öffnung d 7λ / Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 4) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 75 Beugung an einer Öffnung d 7λ / 4 d 3λ / 8 Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 4) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 76

213 Beugung an einem Hindernis d 4λ d 7λ Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 4) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 77 Die Erklärung das Wellen in den Schaenraum gelangen, also um die Berandung der Öffnung / des Hindernisses herum in den Schaenraum gebeug werden, liefer wieder das Hugens-Fresnelsche- Prinzip. Jeder Punk des Mediums und somi jeder Punk der Öffnung is Ausgangspunk einer Elemenarwelle. Die Überlagerung aller Elemenarwellen liefer ein Inerferenzmuser, dass im Schaenbereich zwar abgeschwäch is, aber das dor nich erschwinde. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 4) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 78

214 Sreuung an einem Hindernis Is die Ausdehnung des Hindernisses d < λ, so sprich man on Sreuung. Die einfallende ebene Welle passier das Hindernis fas ungesör. Vom Hindernis geh nur eine schwache Kreiswelle aus. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 4) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 79 Beugung am Doppelspal Die Öffnungen seien so klein, dass sich hiner ihnen kreisförmige Elemenarwellen ausbreien. Der Absand der beiden Öffnungen sei d. Wir unerscheiden die folgenden Beriebsaren a) Gleichak, d.h. die Elemenarwellen sind in Phase b) Gegenak, d.h. die Elemenarwellen haben einen Phasenunerschied on ϑ π Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 4) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 8

215 a) d 4λ b) Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 4) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 8 a) d λ b) Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 4) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 8

216 a) d λ b) Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 4) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 83 Im Nahbereich erkenn man noch deulich die konzenrischen Kreiswellen. In größerem Absand bilden sich keilförmige Bereiche aus. An deren Rändern dieser Bereiche is die Auslenkung minimal (desrukie Inerferenz) In deren Zenren dieser Bereiche is die Auslenkung maimal (konsrukie Inerferenz). Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 4) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 84

217 MAX MIN MAX MIN MAX MIN MAX MIN MAX MIN MAX MIN MAX MIN MIN MAX d MAX Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 4) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 85 Die Verbindungslinien der Ore mi konsrukier Inerferenz und (durchgezogene roe Linien) desrukier Inerferenz (punkiere roe Linien) lassen sich durch eine Schar konfokaler Hperbeln beschreiben. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 4) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 86

218 Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 4) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 87 Auf jedem Punk des zugehörigen Hperbelpaares is der Gangunerschied g der Elemenarwellen bei konsrukier Inerferenz ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge λ, d.h. es gil g mλ m,,, und m d / λ bei desrukier Inerferenz ein ungradzahliges Vielfaches der halben Wellenlänge λ/, d.h. es gil λ g ( k ) k,,, und k d / λ / Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 4) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 88

219 In Enfernungen r >> d gil a) Hperbeln Asmpoen b) α m α' m α' m für m,,,... und m d /λ c) Die Srecken r,r und r sind nahezu parallel Inensiäsmaima Inensiäsminima r r r r r r α m mλ α k (k) λ/ α m α k Q Q d Q Q d Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 4) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 89 Hieraus ergeben sich die Richungen α m ( m,,... mi m d /λ ), in denen für r >> d Inensiäsmaima (konsrukie Inerferenz) aufreen zu λ sinα m m d Ensprechend ergeben sich die Richungen α k ( k,,... mi k d /λ ½ ), in denen für r >> d Inensiäsminima (desrukie Inerferenz) aufreen zu λ sin α k (k ) d Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 4) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 9

220 Übungen zur Technischen Phsik / Kapiel 4 Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus Aufgabe 4-: Eine Transersalwelle breie sich in Richung der posiien -Achse ungedämpf mi der Geschwindigkei c m/s aus. Die Ausbreiung beginn zur Zei s im Koordinaenursprung. An diesem Or is die Auslenkung zu diesem Zeipunk Null; sie wächs in der unmielbar folgenden Zei zunächs an. Die Ampliude beräg ma cm, die Frequenz f,5 Hz. a) Wie groß is die Wellenlänge λ? b) Zu welchem Zeipunk beginn ein Teilchen am Or mi der Koordinae m zu schwingen? c) Welche Auslenkung ha dieses Teilchen zur Zei 3 s? Aufgabe 4-: Es breie sich eine harmonische Welle in posiier -Richung aus. Sie habe die Ampliude A, m, die Wellenlänge λ,3m und die Schwingungsdauer T s a) Wie groß sind Frequenz, Kreisfrequenz, Wellenzahl und Ausbreiungsgeschwindigkei? b) Welche Auslenkung beobache man am Or m zur Zei 5 s und s, wenn die Wellen den Or m zur Zei s mi der Auslenkung null erreichen? Aufgabe 4-3: Auf einem Seil breie sich eine Welle mi der Ampliude A 5, cm und der Periodendauer T,5 s in posiier -Richung aus. In der Enfernung λ/ om Or der Erregung der Welle befinde sich zum Zeipunk s gerade ein Wellenal. a) Wie laue die Wellenfunkion? b) Wie groß sind zu den Zeipunken s bzw. T/4 die Auslenkung, Geschwindigkei und Beschleunigung der erregenden Schwingung ( cm)? Aufgabe 4-4: Über ein Seil laufen Wellen in posiier -Richung mi der Phasengeschwindigkei c,8 m/s. Die Periodendauer mi der jeder Seilpunk dabei schwing sei T,5 s und die Ampliude A 8 cm. Zur Zei befinde sich bei 3λ/4 gerade ein Wellenberg. a) Berechnen Sie die Wellenlänge λ. b) Sellen Sie die Funkion f(,) für diese Welle auf. c) Zeichnen Sie die Momenanbilder der Welle f(,) für T/ und 3T/4. d) Sellen Sie die Funkion f(,) an der Selle λ/4 dar. Aufgabe 4-5: Schallwellen die om menschlichen Ohr wahrgenommen werden können, haben Frequenzen im Bereich 6 Hz f khz. Welche Wellenlänge besizen die Schallwellen, wenn der Adiabaeneponen κ,4, die Diche ρ,3 kg/m 3 und der Ruhedruck p,74 5 Pa beräg? Aufgabe 4-6: Ein Sahlsaie ha eine Länge on l 4 cm. (Diche on Sahl ρ 7,8 g/cm 3 ) a) Bei welcher Saienspannung σ F/A erzeug die Saie in ihrer Grundschwingung einen Ton mi der Frequenz Hz? Welcher Zugkraf F ensprich dies bei einem Saiendurchmesser on d,5 mm? b) Welche Grundfrequenz ergäbe sich, wenn die Saie halb so lang und doppel so dick wäre und nur uner einem Vierel der Zugkraf sünde?

221 Übungen zur Technischen Phsik / Kapiel 4 Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus Aufgabe 4-7: Die Sirene eines Polizeifahrzeuges, das mi der Geschwindigkei 75 km/h fähr, erzeug einen Ton der Frequenz f S,5 khz. (Schallgeschwindigkei c 34 m/s) a) Welche Frequenz f F besiz der Ton, den der Fahrer eines Wagens hör, der mi einer Geschwindigkei on 3 km/h dem Polizeifahrzeug folg? b) Wie groß is f F, wenn is? Aufgabe 4-8: Beim Annähern eines Rennwagens nimm ein Beobacher einen um 4/3 höheren Ton als bei dessen Enfernen wahr. Welche Geschwindigkei ha der Rennwagen? (Schallgeschwindigkei c 34m/s ) Aufgabe 4-9: Zwei Züge fahren mi gleicher Geschwindigkei aufeinander zu. Die Frequenz des Pfeifones des einen Zuges wird im anderen Zug um den Fakor 9/8 erhöh wahrgenommen Wie groß is? (Schallgeschwindigkei c 34 m/s) Aufgabe 4-: Ein Lokomoiführer, der mi der Geschwindigkei on 9 km/h auf einen Tunnel zufähr, läss ein Pfeifsignal der Frequenz f 5 Hz erönen. a) Welche Frequenz f B hör ein ruhender Beobacher, an dem der Zug bereis orbeigefahren is? b) Am Tunneleingang wird das Signal reflekier. Welche Frequenz f R hör der Beobacher? c) Wie groß is die Frequenz f L des reflekieren Signals für Lokomoiführer? Aufgabe 4-: Eine Concorde flieg mi doppeler Schallgeschwindigkei 34 m/s in einer Höhe on m über uns hinweg. Zur Zei s befinde sich die Concorde senkrech über uns. Zu welchem Zeipunk hören wir den Überschallknall? Aufgabe 4-: Eine in posiier -Richung forschreiende Seilwelle, die am Or ihrer Erregung m zum Zeipunk s einen Wellenberg ha, riff nach einem Laufweg l senkrech auf eine Wand und wird an ihr reflekier. Wie laue die Wellenfunkion der einfallenden Welle f (,), der reflekieren Welle f (,) und der Überlagerung der einfallenden und reflekieren Welle f(,)?

222 Übungen zur Technischen Phsik / Kapiel 4 Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus Aufgabe 4-3: In einem langen Meallsab breie sich eine ebene Schallwelle aus, die am Or ihrer Erregung m zum Zeipunk s ein Wellenal ha und die bei l an der an Luf grenzenden Sirnfläche des Sabes reflekier wird. Wie laue die Wellenfunkion der einfallenden Welle f (,), der reflekieren Welle f (,) und der Überlagerung der einfallenden und reflekieren Welle f(,)? Aufgabe 4-4: Ein Hörer siz zwischen den Boen seiner Sereoanlage, wobei er 3 m Absand on der einen und 4 m Absand on der anderen Bo ha. Wenn er ale Monoaufnahmen hör, löschen sich Schallwellen besimmer Frequenzen an seinem Or aus. Welche Frequenzen führen zur Auslöschung? Aufgabe 4-5: Die Tiefe E-Saie einer Giarre beseh aus Sahl der Diche ρ 77 kg/m 3. Sie habe eine Länge on 75 cm und einen Durchmesser on,65 mm. Mi welcher Zugkraf muss die Saie eingespann werden, um auf das iefe E, d.h. f 8,5 Hz, gesimm zu sein? Aufgabe 4-6: Zwei ebene Schallwellen gleicher Ausbreiungsrichung mi den Frequenzen f 3 Hz und f 33 Hz überlagern sich. Die Ausbreiungsgeschwindigkei sei für beide c c 33 m/s. a) Wellchen räumlichen Absand haben zwei aufeinanderfolgende Wellengruppen? b) Wie groß is die Schwebungsfrequenz des an einem fesen Or mi einem Mikrofon aufgezeichneen Signal? c) Wie groß is die Gruppengeschwindigkei einer Schwebungsgruppe? Aufgabe 4-7: Uner welchem Winkel ε reen Schallwellen aus, die uner einem Winkel ε bzw. bezogen auf das Einfallslo a) om Wasser b) on der Luf auf die Wasser-Luf-Grenzfläche reffen? (c L 34 m/s, c W 48 m/s) Aufgabe 4-8: Bei einem Doppelspal-Eperimen mi einem Spalabsand d 9,5 cm beobache man das Maimum er Ordnung uner einem Winkel on 5,887. a) Welche Wellenlänge und Frequenz ha die einfallende Schallwelle? (K,46 GPa, ρ 998, kg/m 3 b) Wie iele Maima und Minima können insgesam wahrgenommen werden?

223 5. Thermodnamik Die Thermodnamik befass sich mi der Temperaur Wärme und Umwandlung on Energie. 5. Temperaur Die Temperaur is ein Maß dafür, wie warm oder kal ein Körper is. Sie is genauer ein Maß für die milere kineische Energie der Moleküle des bereffenden Körpers. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus Die Definiion der Temperaur is nich riial, denn es is nich einfach die Temperaur so zu definieren, dass erschiedenarige Thermomeer am selben Objek den gleichen Messwer anzeigen. Beim Erwärmen oder Abkühlen eines Gegensandes ändern sich einige seiner phsikalischen Eigenschafen, z.b. Volumen, Druck (Gase bei konsanem Volumen) und elekrischer Widersand. Eine phsikalische Eigenschaf die man wegen ihrer Temperaurabhängigkei zur Temperaurmessung heranziehen kann nenn man hermomerische Eigenschaf. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus

224 5.. Thermischer Konak und hermisches Gleichgewich Ein warmer Körper A und ein kaler Körper B befinden sich in hermischem Konak, wenn sich deren hermomerischen Eigenschafen ändern, z.b. Längenänderung l A, l B Die Körper befinden sich im hermischen Gleichgewich, wenn sich die hermomerischen Eigenschafen nach einer gewissen Zei nich mehr ändern. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 3 Körper A und B befinden sich in hermischem Konak mi C, haben unereinander aber keinen direken Konak. A C B Befinden sich A mi C und B mi C im hermischen Gleichgewich, so sind A und B auch unereinander im hermischen Gleichgewich. D.h. nach zusammenbringen on A und B (hermischer Konak) ändern sich die hermomerischen Eigenschafen on A und B nich. A B Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 4

225 Nuller Haupsaz der Thermodnamik Befinden sich zwei Körper in hermischem Gleichgewich mi einem Drien, so sehen sie auch unereinander in hermischem Gleichgewich. Mi Hilfe des nullen Haupsazes kann man nun eine Temperaurskala definieren, sofern man daon ausgeh, dass zwei im hermischen Gleichgewich befindliche Körper die gleiche Temperaur besizen. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus Celsius- und Fahrenhei-Skala Thermomeer in Eiswasser einauchen. Waren bis sich hermisches Gleichgewich einsell. Markieren der Höhe der Quecksilbersäule. Markierung gib den Gefrierpunk des Wassers an. l Eiswasser Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 6

226 Thermomeer in siedendes Wasser einauchen. Waren bis sich hermisches Gleichgewich einsell. l Markieren der Höhe der Quecksilbersäule. Markierung gib den Siedepunk des Wassers an. siedendes Wasser Wärme Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 7 Der Gefrier- und Siedepunk des Wassers werden als Temperaur-Fipunke zur Definiion der on Celsius 74 orgeschlagenen Celsius-Skala herangezogen. Gefrierpunk C Siedepunk C unereilen des Ineralls on C bis C in gleiche Teile erweiern der Gradeineilung unerhalb on C und oberhalb on C durch lineare Erapolaion Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 8

227 Mi den Längen l und l für die Quecksilbersäule bei C bzw. C beräg die Temperaur eines Gegensandes l l ϑ C l l wobei l die Länge der Quecksilbersäule nach dem Erreichen des hermischen Gleichgewichs on Thermomeer und Gegensand angib. Die Umrechnungsformel zwischen der Celsius- und der im angelsächsischen gebräuchlichen Fahrenhei- Skala laue ϑ 5 9 ϑ F F 3 C Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 9 Anmerkungen: Die Anzeigen erschiedenariger Thermomeer simmen nur an den Kalibrierungspunken eak überein. Da die ausgenuzen hermomerischen Eigenschafen sich nur nahezu linear mi der Temperaur ändern, weichen die Anzeigen zwischen C und C leich aber ofmals akzepabel oneinander ab. Oberhalb und unerhalb dieses Bereiches nehmen die Unerschiede jedoch mi zunehmendem Absand on den Kalibrierungspunken deulich zu. Außerdem is der Messbereich eines Quecksilberhermomeers beschränk (Quecksilber ersarr/siede bei 39 C/357 C). Neben der Genauigkeisfrage is also auch die Frage nach dem für den ineressierenden Temperaurbereich geeigneen Thermomeerp zu sellen. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus

228 5..3 Gashermomeer und die Kelin-Skala Das Gefäß A is mi einem Gas, die über einen Schlauch erbundenen Gefäße B und C sind mi Quecksilber gefüll. Durch Anheben bzw. Absenken on C wird der Füllsand in B (Nullmarke) und dami das Gasolumen in A konsan gehalen. Der Druck in A wird durch die Höhe h der Quecksilbersäule in C angezeig. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus Sind P und P die Drücke bei C bzw. C und is P der Druck bei der Temperaur des Messobjeks, dann gil ϑ P P P C Messung des Siedepunks on Schwefel mi erschiedenen Gashermomeern konsanen Volumens. P ϑ / C O Luf N H P / mmhg Der Gasdruck P bei C wird durch Änderung der Gasmenge ariier. Bei Verringerung der Gasmenge sreben die Messwere für alle Gase gegen 444,6 C. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus

229 Da die Temperaurmessung mi Gashermomeern geringer Gasdiche nahezu unabhängig om erwendeen Gas is, kann mi Hilfe on Gashermomeern eine Temperaurskala definier werden. Druck-Temperaur-Diagramm für ein Gashermomeer konsanen Volumens P -73,5 C ϑ Die erapoliere Gerade schneide die Temperaurachse unabhängig on der Gasar bei 73,5 C Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 3 Es is schwierig den Gefrier- und Siedepunk des Wassers an erschiedenen Oren zu reproduzieren. (der Siedepunk z.b. änder sich mi dem äußeren Lufdruck) Ein besser zu reproduzierender Bezugspunk is der Tripelpunk des Wassers bei dem Wasserdampf flüssiges Wasser und Eis mieinander im Gleichgewich sehen. P Eis P Tr 6,5 hpa flüssiges Wasser Dampf ϑ Tr, C Tripelpunk kriischer Punk ϑ Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 4

230 Die Temperaurskala is so definier worden, dass die Temperaur des Tripelpunkes T Tr 73,6 K (ϑ Tr, C) beräg und der Skalennullpunk, d.h. K, beim absoluen Nullpunk on ϑ -73,5 C lieg. Die so definiere Kelin-Skala ha dieselbe Skaleneineilung wie die Celsius-Skala, d.h. Temperaurdifferenzen in der Celsius- und Kelin-Skala sind gleich und die Umrechnung zwischen beiden Skalen beseh in einer einfachen Addiion. T ϑ 73,5 K C Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 5 5. Thermische Ausdehnung 5.. Feskörper Feskörper dehnen sich mi wenigen Ausnahmen bei seigender Temperaur aus. Die Ausdehnung häng on der Temperaurerhöhung und on der Ar des Soffes ab. In besimmen Temperaurbereichen is die relaie Längenänderung Δl/l der Temperauränderung ΔT proporional, d.h. Δl α ΔT l wobei der soffabhängige Proporionaliäsfakor α den linearen Längenausdehnungskoeffizienen bezeichne. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 6

231 Mi l l(t ) folg für l l(t ) aus Δl l l l α ΔT l die Beziehung l ( T ) α T ( α ΔT ) l ( ( T T )) l α oder wegen ΔT (T T ) (ϑ ϑ ) Δϑ l ( α Δϑ) ( α ( ϑ ϑ )) l l Der lineare Längenausdehnungskoeffizien is selber Temperaurabhängig. Für erschiedene Temperaurbereiche erwende man daher unerschiedliche milere lineare Längenausdehnungskoeffizienen α. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 7 Soff Temperaurbereich C ϑ C C ϑ 5 C Aluminium Kupfer Sahl C6 gewöhnliches Glas Quarzglas 3,8-6 /K 6,4-6 /K, -6 /K 9-6 /K,5-6 /K 7,4-6 /K 7,9-6 /K 3,9-6 /K, -6 /K,6-6 /K Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 8

232 Bei großen Temperaurbereichen erweis sich die lineare Beziehung ofmals als nich mehr hinreichend genau. Sa α cons. (Näherung er Ordnung) approimier man α dann durch eine linear on der Temperaur abhängige Funkion (Näherung er Ordnung) α α β Δϑ wobei α den Längenausdehnungskoeffizienen bei ϑ angib. Einsezen on α liefer l ( α Δϑ β ( Δ ) ) l ϑ Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 9 Die Längenausdehnung ha bei jedem Körper auch eine Volumenänderung zur Folge. Is l bzw. l die Kanenlänge desselben Würfels bei den Temperauren ϑ bzw. ϑ, so gil für die korrespondierenden Volumina V und V die Beziehung V l 3 3 ( l( α( ϑ ϑ ))) 3 3 l ( α( ϑ ϑ )) 3 V 3α( ϑ ϑ ) 3α ( ϑ ϑ ) α ( ϑ ϑ ) ( ) 3 Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus

233 Wegen α<< können die Terme mi α und α 3 ernächlässig werden. Man erhäl somi in guer Näherung V V ( γ ( ϑ ϑ )) und für die relaie Volumenänderung ΔV γ Δϑ γ ΔT V wobei γ den Raumausdehnungskoeffizienen mi γ 3 α bezeichne und Δϑ ϑ ϑ T T ΔT ausgenuz wurde. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus Die Diche ρ m/v eines Körpers is umgekehr proporional zum Volumen. Is V das Volumen und dami ρ m/v die Diche bei ϑ C, dann is die Diche bei der Temperaur ϑ durch m ρ( ϑ) V γ ϑ ϑ gegeben ρ ( ( )) m V γ ϑ ( γ ϑ) ρ γ ϑ Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus

234 5.. Flüssigkeien Flüssigkeien besizen keine Eigengesal. Bei Flüssigkeien sind somi nur dievolumen- und die dami erbundenen Dicheänderungen on Ineresse. Analog zu Feskörper gelen die Beziehungen ΔV γ Δϑ γ ΔT und V V V γ ϑ ϑ ( ( )) sowie für die Diche ρ ρ( ϑ) ρ γ ϑ ( γ ϑ) Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 3 wobei der Raumausdehnungskoeffizien γ größer is, gl. hierzu die orherige und die folgende Tabelle. Soff Wasser Quecksilber Penan Ehlalkohol Heizöl γ bei ϑ C 8-6 /K 8-6 /K 58-6 /K -6 /K 95-6 /K Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 4

235 Anomalie des Wassers Die Diche des Wassers besiz bei ϑ 4 C ihr Maimum on kg ρma, dm d.h. Gewässer frieren on oben zu es finde keine Wärmekonekion sa Wärmeleiung is nich sehr effeki iefe Seen frieren nich bis zum Grund durch ρ in kg/dm kg ρma, dm ϑ in C Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus Gase Bei Gasen häng das Volumen om Druck und der Temperaur ab. Gesez on Ga-Lussac bei konsanem Druck Eperimenelle Unersuchungen ergaben, dass das Gasolumen bei konsanem Druck gemäß V ( ϑ ) V ( γ ϑ ) linear mi der Temperaur ariier, wobei der Raumausdehnungskoeffizien für alle Gase nahezu gleiche Were annimm und V das Volumen bei ϑ C angib. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 6

236 Soff Luf Wassersoff Helium Kohlensoffdioid γ bei p (Normdruck),3674 /K,3663 /K,366 /K,376 /K Die Unerschiede zwischen den Raumausdehnungskoeffizienen einzelner Gase erringer sich bei abnehmendem Druck. Bei erschwindendem Druck, d.h. p, ergib sich für alle Gase mi γ,366 73,5 K K der gleiche Raumausdehnungskoeffizien. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 7 Auf diesen Grenzzusand süz sich das Modell des idealen Gases. Graphische Darsellung des Ga-Lussacschen Gesezes bei pcons. V V ( γϑ) p V V -73,5 C C ϑ K 73,5 K Τ Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 8

237 Das Ga-Lussacsche Gesez gil bei sehr iefen Temperauren nich mehr, da reale Gase beim abkühlen kondensieren das Volumen am absoluen Nullpunk wegen des Eigenolumens der Aome nich null wird. Als Funkion der absoluen Temperaur (Kelin- Skala) laue das Ga-Lussacsche Gesez T V V ( T ) V bzw. cons. T T mi T 73,5 K. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 9 Gesez on Ga-Lussac bei konsanem Volumen Bei konsan gehalenem Volumen kann der Druck p als Funkion der eränderlichen Temperaur durch p ϑ ) p γ ϑ ( ( ) beschrieben werden. Hierbei gib p den Gasdruck bei ϑ C an. Ausdrücken des Ga-Lussacschen Gesezes als Funkion der absoluen Temperaur (Kelin-Skala) liefer T p p ( T ) p bzw. cons. T T Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 3

238 und dami die Grundlage für die Temperaurmessung miels Gashermomeer, z.b. mi p Tr, T Tr am Tripelpunk folg p( T ) T TTr p Graphische Darsellung des Ga-Lussacschen Gesezes bei Vcons. Tr P P ( γϑ) V cons. P P -73,5 C C ϑ K 73,5 K Τ Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus Zusandsgleichung idealer Gase Komprimier bzw. epandier man ein Gas bei konsaner Temperaur, dann seig bzw. sink der Druck während das Volumen ab- bzw. zunimm. Der Druck änder sich umgekehr proporional zum Volumen. Bei konsaner Temperaur gil somi für das Produk aus Druck und Volumen die als Gesez on Bole-Marioe bekanne Beziehung pv cons. Die Geseze on Bole-Marioe und Ga-Lussac lassen sich zu einer Gleichung, der sogenannen Zusandsgleichung idealer Gase erknüpfen. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 3

239 Zusandsgleichung idealer Gase T, V, P T, V, P T, V, P Wärme a) Anfangszusand b) Erwärmung bei c) Kompression bei konsanem Druck konsaner Temperaur Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 33. Schri (Zusandsänderung on a) nach b)) Das Ga-Lussacsche Gesez liefer V V T. Schri (Zusandsänderung on b) nach c)) Aus dem Bole-Marioeschen Gesez folg V V Durch Einsezen on V' ergib sich die Zusandsgleichung idealer Gase zu pv T p bzw. cons. T V Anmerkung: Sie gil für konkree Were on p, V und T unabhängig daon wie sie erreich wurden, d.h. in welcher Reihenfolge (auch gleichzeiig) sich die Zusandsgrößen p, V und T ändern. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 34 T p p pv T

240 Gedankeneperimen Es seien zwei idenische Behäler mi gleichen Mengen desselben Gases bei gleicher Temperaur gefüll, d.h. es gil für beide Sseme die Zusandsgleichung p V C T wobei C die Proporionaliäskonsane angib. Füg man nun beide Behäler zusammen, so erhäl man das doppele Gasolumen V'V bei uneränderem Druck P und gleicher Temperaur T. Aus p V C T folg wegen V'V, dass C'C sein muss. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 35 Also is C proporional zur Gasmenge und man schreib C kb N Hierbei gib N die Anzahl der Gasmoleküle an während k B die sogenanne Bolzmann-Konsane bezeichne. Eperimenell finde man, dass die Bolzmann-Konsane für alle Gase denselben Wer annimm. 3 J k B,38 K Of is es günsiger, die Menge eines Gases durch die Soffmenge n, d.h. durch die Anzahl der Mole anzugeben. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 36

241 Ein Mol einer Subsanz enhäl 6, N A mol Teilchen, wobei die Aogadro-Zahl N A der Anzahl der Aome in g des Kohlensoffisoops C ensprich. Lieg on einer Subsanz die Soffmenge n or, dann enhäl diese N n N A Teilchen. Einsezen on N über C k B N in die Zusandsgleichung liefer pv k B N T n k B N A T n RT wobei J R k B N A 8,34 mol K die allgemeine (molare) Gaskonsane bezeichne. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 37 3 Die allgemeine Gaskonsane R is unabhängig on der Gasar. 8.8 pv/(nt) [J / (mol K)] H N CO O p [hpa] Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 38

242 Für reale Gase is der Wer on pv/nt über einen relai weien Druckbereich einigermaßen konsan. Im Bereich on 5 hpa is die maimale Abweichung <,% (,8 J/(mol K)). Man sprich on einem idealen Gas, wenn pv/nt für alle Drücke konsan is und somi die Zusandsgleichung für ideale Gase pv n R T gil. Die Masse eines Mols nenn man molare Masse. Für das Kohlensoff-Isoop C is sie durch g M mol gegeben. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 39 Die molare Masse einer Verbindung is gleich der Summe der molaren Massen der Komponenen, z.b. gil für CO C: M g/mol O : M 6 g/mol CO : M g/mol 3 g/mol 44 g/mol Die Masse m eines Gases der Soffmenge n is m n M Für die Diche ρ eines idealen Gases gil ρ m V n M V Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 4

243 und mi n/v p/rt schließlich M ρ p RT Also is die Diche ρ eines idealen Gases bei konsaner Temperaur T proporional zum Druck p. Drück man in der Zusandsgleichung für ideale Gase pv n R T die Soffmenge n durch m/m aus, so erhäl man R pv m T m RST M wobei die Größe R s R/M eine für jede Gasar eigene Konsane, die sogenanne spezielle (indiiduelle) Gaskonsane bezeichne. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus Kineische Gasheorie Bisher haben wir das Verhalen der Gase durch die makroskopischen Zusandsänderungen p, V und T beschrieben. Nach der kineischen Gasheorie rühr der Druck eines Gases on den Sößen seiner Teilchen auf die Gefäßwände her. Dieser Druck errechne sich nach dem en Newonschen Gesez aus der Kraf, d.h. der zeiliche Änderung des Impulses, dp d( m) F d d die die Wand auf die Teilchen ausüb, da diese wegen des 3en Newonschen Gesezes gleich der Kraf is, die die Teilchen auf die Wand ausüben. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 4

244 Es gelen nun im folgenden die Annahmen: ) Das Gas beseh aus einer großen Anzahl on Teilchen, den Molekülen. ) Die räumliche Ausdehnung der Teilchen is so klein, dass ihr Eigenolumen gegenüber dem Gefäßolumen ernachlässigbar is. 3) Zwischen den Teilchen besehen keine Wechselwirkungskräfe, ausgenommen bei einem Zusammensoß. 4) Die Zusammensöße der Teilchen unereinander und mi den Gefäßwänden erlaufen öllig elasisch. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 43 N Gasmoleküle befinden sich in einem quaderförmigen Behäler. Im Zeiinerall Δ reffen die Moleküle gegen eine Wand in der z-ebene der Fläche A deren Geschwindigkei > und deren Absand zur Wand höchsens Δ is. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 44

245 Die Anzahl ergib sich somi zu ~ N N Δ A V Volumen gil nur für die Teilchen Diche der > Hälfe der Moleküle Die Impulskomponene des i-en Moleküls in -Richung beräg m or dem Aufreffen und - m nach dem Aufreffen auf die Wand. Die Impulsänderung des i-en Moleküls is durch den Soß daher Δp m i Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 45 Die gesame Impulsänderung der N ~ dann schließlich Δp ~ N i Δp N V Die Kraf ergib sich zu Δp F Δ N V i m ~ N i m Δ A m A Gasmoleküle is m AΔ Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 46 ~ N m N V Impulsänderung Zeispanne der Änderung

246 Für den Druck, der definier is als Kraf pro Fläche, erhäl man F N p m A V Auflösen nach pv liefer pv N m Die Moleküle besizen i.a. unerschiedliche Geschwindigkeien. Die obigen Beziehungen bleiben jedoch im Miel gülig, wenn man durch den Mielwer ersez. N N i i Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 47 Bring man diesen Sacherhal über die milere kineische Energie in -Richung N N Ekin, m m E i kin, i N i N i in die obige Gleichung ein, so folg pv N m N m N Ekin, und nach einem Vergleich mi pv N k BT die Ideniä. Ekin, m k BT Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 48

247 Also is die milere kineische Energie in -Richung gleich ½ k B T. Da alle Richungen gleichberechig sind gil im Miel z und z 3 Hieraus folg wegen 3 für die milere kineische Energie der Moleküle eines idealen Gases die Beziehung 3 E kin m m3 k BT Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 49 Die milere kineische Energie is proporional zur absoluen Temperaur, d.h. die absolue Temperaur is ein Maß für die Translaionsbewegung der Moleküle. (Moleküle können auch Roaions- und Schwingungsenergie besizen, die jedoch für die Druckberechnung irrelean is.) Die Translaionsenergie on n mol eines Gases mi N Molekülen is E N E N 3 3 m kin, g kin N k BT n RT Die Translaionsenergie eines Gases beräg 3 3 k B T pro Moleküle bzw. RT pro Mol. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 5

248 Die Molekülgeschwindigkei kann mi dem Mielwer on, d.h. 3k B T 3 N A k B T 3 RT m N A m M durch 3k B T 3 RT RMS m M die quadraisch gemielen Geschwindigkeien (engl. Roo-Mean-Square (RMS)) abgeschäz werden. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 5 Geschwindigkeisereilung on Molekülen Die Molekülgeschwindigkeien eines Gases werden durch eine Vereilungsdichefunkion f () beschrieben. f () f ( ) f RMS ( ) d f ( ) d f ( ) d d w _ RMS Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 5

249 Diese Vereilung wird Mawell-Bolzmann-Geschwindigkeisereilung genann. Es sei N die Gesamzahl aller Molekühle, dann gib dn N f ( ) d die Anzahl der Moleküle an, die eine Geschwindigkei zwischen und d besizen. Die wahrscheinlichse Geschwindigkei w is die Geschwindigkei bei der die Vereilungsdichefunkion ihr Maimum annimm. Die Mawell-Bolzmann-Geschwindigkeisereilung kann mi Mehoden der saisischen Mechanik ermiel werden. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 53 Die Vereilungsdichefunkion der Geschwindigkeisereilung laue 3 / 4 m m f ( ) ep π k BT k BT Sie nimm ihr Maimum bei der wahrscheinlichsen Geschwindigkei k BT w m an. Ein Vergleich on w mi RMS 3k B m T Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 54

250 liefer 3 RMS w d.h. die quadraisch gemiele Geschwindigkei is um den Fakor 3/ größer als die wahrscheinlichse Geschwindigkei w. Man kann die Mawell-Bolzmann-Vereilung auch durch die Vereilung der kineischen Energie E kin ausdrücken. Mi der Energieereilungsdichefunkion f E (E kin ) ergib sich die Anzahl der Moleküle mi einer kineischen Energie zwischen E kin und E kin de kin zu dn N f ( E ) de E kin kin Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 55 Wegen folg aus und f ( ) d E kin C C C m und N f ( ) d N f ( E ) de m ep E m d k BT de kin m d kin m ep m d k BT Ekin Ekin ep de 3 m k BT kin kin f E ( E kin ) de kin Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 56

251 mi 3 / 4 m C π k BT die Energieereilungsdichefunkion f E ( E kin ) 4 π π m k B T k BT 3 / 3 / E ep k ep der Mawell-Bolzmann-Energieereilung. E m kin 3 E kin B T kin E k B kin T Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus Zusandsänderung realer Gase 5.5. Van-der-Waalssche Zusandsgleichung Bei Normdruck zeigen die meisen Gase ideales Verhalen. Mi seigendem Druck oder sinkender Temperaur weichen reale Gase aber immer särker om idealen Verhalen ab, da die Gasdiche zu- und der Teilchenabsand abnimm. D.h. die Anziehungskräfe zwischen den Molekülen und das Eigenolumen der Gase dürfen nich mehr ernachlässig werden. Die Van-der-Waalssche Zusandsgleichung räg diesem Sacherhal Rechnung. Sie beschreib das erhalen realer Gase über weie Druckbereiche besser als die Zusandsgleichung idealer Gase. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 58

252 Die Van-der-Waalssche Zusandsgleichung laue für n mol eines Gases a n p ( V b n) n RT V wobei über b das Eigenolumen der Gasmoleküle eines Mols und über den Term a n / die Anziehung der Gasmoleküle berücksichig werden. Die für die Parameer a und b einzusezenden Were hängen on der beracheen Gasar ab. Sie werden eperimenell besimm. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus Verlauf der Isohermen realer Gase pv-diagramm Oberhalb der sogenannen kriischen Temperaur gehorchen die Isohermen rech gu der an-der- Waalsschen Zusandsgleichung. Unerhalb der kriischen Temperaur beschreib die an-der-waalssche Zusandsgleichung die Isohermen nur noch außerhalb des schraffieren Bereichs hinreichend korrek. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 6 D C K B Koeisenzgebie Gebie des idealen Gases A

253 Zusand A Die Gasmenge nimm bei T < T kri bzw. ϑ < ϑ kri und niedrigem Druck ein großes Volumen ein. Komprimieren on Zusand A nach B bei Tcons. der Druck nimm zu Komprimieren on Zusand B nach C bei Tcons. der Druck seig nich mehr weier an, sondern das Gas beginn sich bei konsanem Druck zunehmend on B nach C zu erflüssigen. (Enlang der horizonalen Srecke BC sehen Gas und Flüssigkei im Gleichgewich.) Zusand C Die Gasmenge is ollsändig erflüssig. Komprimieren on Zusand C nach D bei Tcons. kleine Volumenänderungen erfordern erem hohe Druckzunahmen, da Flüssigkeien nahezu inkompressibel sind. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 6 Dampfdruck Der konsane Druck, bei dem Gas und Flüssigkei bei einer besimmen Temperaur im Gleichgewich sehen wird Dampfdruck genann. Dampfdruck on Wasser in C P in hpa 6, 3,4 4 73, ,5 985 Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 6

254 Kriischer Punk Der maimale Dampfdruckpunk wird als kriischer Punk bezeichne (Gipfel des Koeisenzgebiees). kriische Temperaur ) einiger Soffe Soff T kri in K Helium 5,3 Kohlendioid 34, Neon 44,4 Sauersoff 54,8 Schwefeldioid 43,9 Wassersoff 33,3 Wasser 647,4 ) Oberhalb seiner kriischen Temperaur kann ein Gas nich mehr erflüssig werden. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus Phasendiagramm Die graphische Darsellung des Drucks eines Soffes als Funkion der Temperaur bei konsangehalenem Volumen bezeichne man als Phasendiagramm. Die erschiedenen Zusände fes, flüssig und gasförmig werden Phasen genann. P Eis P Tr 6,5 hpa B C flüssiges Wasser A Tripelpunk Dampf T Tr 73,6 K kriischer Punk T Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 64

255 Die drei Phasengrenzlinien sind die A: Dampfdruckkure Phasegrenzlinie zwischen flüssigem und gasförmigem Zusand B: Schmelzkure Phasegrenzlinie zwischen fesem und flüssigem Zusand C: Sublimaionskure ) Phasegrenzlinie zwischen fesem und gasförmigem Zusand ) Den direken Übergang om fesen in den gasförmigen Zusand nenn man Sublimaion. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus Wärme 5.6. Wärmekapaziä Führ man einer Subsanz Wärmeenergie zu, dann seig in aller Regel die Temperaur (Phasenübergänge wie Schmelzen oder Verdampfen ausgenommen). Die für eine Temperauränderung nöige Wärmemenge Q is proporional zu T und zur Masse m der beracheen Subsanz, d.h. Q C ΔT m c ΔT Hierbei bezeichne C die Wärmekapaziä, d.h. die zur Erwärmung der Subsanzmenge um K ( C) erforderliche Wärmemenge c die spezifische Wärmekapaziä, d.h. die Wärmekapaziä pro Masseneinhei der Subsanz c C/m Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 66

256 Die Einhei der Wärmemenge war früher die Kalorie. Sie wurde definier als die zur Erwärmung on g Wasser um C nowendige Wärmemenge. Heue is die SI-Einhei Joule gebräuchlich mi cal 4,84 J Die spezifische Wärmekapaziä des Wassers ergib sich somi zu c wasser cal/(g C) kcal/(kg C) kcal/(kg K) 4,84 kj/(kg K) Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 67 Messung zeigen eine geringe Temperaurabhängigkei on c wasser. Zwischen C und C sind die Abweichungen kleiner %. Das Produk aus spezifischer Wärmekapaziä c und molarer Masse M gib die molare Wärmekapaziä, d.h. die Wärmekapaziä pro Mol, C m Mc an. Die Wärmekapaziä on n mol eines Soffes is C n C m Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 68

257 Spezifische Wärmekapaziä c und molare Wärmekapaziä C m einiger Flüssigkeien und Feskörper bei C Subsanz Aluminium Blei Gold Kupfer Quecksilber Silber Wolfram Zink Ehanol Wasser c in kj/(kg K),9,8,6,386,4,33,34,387,4 4,8 C in J/(mol K) 4,3 6,4 5,6 4,5 8,3 4,9 4,8 5, 75, Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 69 Die spezifische bzw. molare Wärmekapaziä on Gasen häng on den Versuchsbedingungen, z.b. on der Volumenänderung des Gases und der dafür aufzuwendenden Volumenänderungsarbei, ab. Für die Prais on Bedeuung sind a) Temperauränderungen bei konsanem Volumen, die isochore Wärmekapaziä wird mi dem Inde V gekennzeichne, d.h. C V, c V, C V,m b) Temperauränderungen bei konsanem Druck, die isobare Wärmekapaziä wird mi dem Inde p gekennzeichne, d.h. C p, c p, C p,m (Bei Flüssigkeien und Feskörpern is wegen der meis geringen Volumenänderung / Volumenänderungsarbei keine Unerscheidung nowendig, d.h. C C p C V ) Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 7

258 5.6. Kalorimerie m, c m, c m B, c B Mischungskalorimeer m Masse und c spez. Wärmekapaziä der Flüssigkei m Masse und c spez. Wärmekapaziä des Feskörpers m B Masse und c B spez. Wärmekapaziä des Behälers Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 7 Wärmekapaziäen werden mi Kalorimeern gemessen. Die Flüssigkeisfüllung (meis Wasser) des Kalorimeers habe die Masse m und die Anfangsemperaur T. Nach Einauchen eines Körpers der m mi der Temperaur T sell sich nach einiger Zei die Mischemperaur T m ein. Der Körper gib die Wärmemenge QK, ab mc ( T Tm ) ab. Die Flüssigkei und der Behäler des Kalorimeers nehmen die Wärmemenge QF, auf mc ( Tm T ) und QB, auf mbcb ( Tm T ) CB ( Tm T ) auf. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 7

259 Hier bezeichne m B und c B die Masse und die spezifische Wärmekapaziä bzw. C B die Wärmekapaziä des Kalorimeerbehälers. Da Q ab Q auf is, gil die Energiebilanzgleichung Q K, ab QF, auf QB, auf und dami mc ( T Tm ) ( mc CB )( Tm T ) Umsellen liefer für die zu messende spezifische Wärmekapaziä des Körpers den Ausdruck c ( mc CB )( Tm T ) m ( T T ) m Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus Phasenumwandlung Wird einer Subsanz bei konsanem Druck Wärme zugeführ dann seig i.a. ihre Temperaur. Wenn sich die Temperaur roz Wärmezufuhr nich erhöh, so finde i.d.r. ein Phasenübergang sa. Wichigse Phasenübergänge sind bei a) Wärmezufuhr schmelzen (fes flüssig) erdampfen (flüssig gasförmig) sublimieren (fes gasförmig) b) Wärmeabfuhr kondensieren (gasförmig flüssig) ersarren (flüssig fes) desublimieren (gasförmig fes) Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 74

260 Laene Wärme Bei allen Phasenübergängen wird Wärme zu- bzw. abgeführ ohne dass sich die Temperaur änder. Diese Wärme bezeichne man deshalb als laene (erborgene) Wärme. Die Phasenübergänge lassen sich mi Hilfe der Theorie des molekularen Aufbaus der Subsanzen erklären. Wird z.b. der Phasenübergang on flüssig nach gasförmig berache, dann dien die zugeführe Wärme zur Überwindung der Anziehungskräfe zwischen den Molekülen, d.h. die Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 75 kineische Energie bleib konsan (also auch Tcons.) poenielle Energie der Moleküle erhöh sich Bei jeder Subsanz finden die Phasenübergänge bei besimmen Temperauren der Verdampfungsemperaur / auch Siedepunk genann, (flüssig gasförmig) Schmelzemperaur / auch Schmelzpunk genann, (fes flüssig) sa. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 76

261 Zur Phasenumwandlung der Masse m einer besimmen Subsanz werden die folgenden Wärmemengen benöig. on fes nach flüssig fes Ersarrungswärme Q - m q S Desublimaionswärme Q - m (q S q V ) flüssig Schmelzwärme Q m q S Kondensaionswärme Q - m q V gasförmig gasförmig Sublimaionswärme Q m (q S q V ) ) Verdampfungswärme Q m q V ) q S und q V bezeichnen die spezifische Schmelz- bzw. Verdampfungswärme der bereffenden Subsanz. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 77 Temperaurerlauf on Wasser bei Wärmezufuhr ϑ [ C] p 3,5 hpa spez. Schmelzwärme q s 344 kj kg c,5 kj kg K 375 Siedepunk Schmelzpunk 793 spezifische Wärmekapaziä c 4,84 kj kg K spez. Verdampfungswärme q 57 kj kg Q [kj/kg] Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 78

262 Schmelz- und Siedepunk sowie spez. Schmelz- und Verdampfungswärme einiger Subsanzen bei 3,5 hpa. Subsanz Schmelzpunk in K q S in kj/kg Siedepunk in K q V in kj/kg Blei 6 4, Gold 336 6, Kupfer Quecksilber 34, Silber Zink Ehanol Sauersoff 54,4 3,8 9, 3 Sicksoff 63 5,7 77,35 99 Wasser 73, ,5 57 Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus Wärmeüberragung Wärmeranspormechanismen Wärmeleiung - Energieüberragung durch Molekülsöße bzw. gekoppele Gierschwingungen (Phononenranspor) Konekion / Wärmemiführung - Wärmeüberragung durch frei oder erzwungene Srömung on Maerie (Massenranspor) Wärmesrahlung - Wärmeüberragung durch elekromagneische Wellen (Phoonenranspor) Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 8

263 5.7. Wärmeleiung Die Enden eines zlindrischen wärmeleienden Sabes werden, z.b. durch Wasserdampf und Eisbad, auf unerschiedlichen Temperauren gehalen. Wasserdampf IΔQ / Δ wärmeleiender Sab Eisbad Nach einiger Zei sell sich ein saionärer gleichmässig om warmen zum kalen Ende abnehmender Temperaurerlauf ein. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 8 Aus der Temperauränderung ΔT enlang eines kleinen Sabsückes der Länge Δ berechne sich der Temperaurgradien zu ΔT/Δ. T 373,5 K 73,5 K ΔT Δ In der Zei Δ fließ die Wärmemenge ΔQ durch den Sab. Der Wärmesrom der dem Temperaurgradienen ses proporional is ergib sich dann zu ΔQ ΔT I λ A Δ Δ Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 8

264 wobei A den Querschni des Sabes angib und W λ in m K eine maerialspezifische Proporionaliäskonsane, die sogenanne Wärmeleifähigkei, bezeichne. Auflösen nach ΔT liefer Δ ΔT I RL I λ A mi dem Wärmewidersand Δ K R L in λ A W Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 83 Wärmesrom durch unerschiedlich wärmeleiende Schichen Es seien T > T > T 3. T T T 3 Nach dem sich ein saionärer Zusand eingesell ha muss der nun konsane I I Wärmesrom durch beide Schichen derselbe sein und es gil L, R R L, T T RL, I und T T3 RL, I wobei R L, und R L, die Wärmeleiungswidersände der beiden Schichen bezeichne. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 84

265 Addieren der beiden Gleichungen liefer schließlich ΔT ( R R ) I R I T T3,, L L L, ges Hierbei gib R L,ges R L, R L, den Wärmeleiungswidersand der gesamen Schichanordnung, d.h. die Reihenschalung der Wärmewidersände der einzelnen Schichen, an. Dieses Prinzip der Reihenschalung kann auf beliebig iele Schichen erallgemeiner werden, z.b. für n-schichen gil n R L R, ges i L, i Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 85 Wärmeleifähigkei λ einiger Maerialien Subsanz λ in W/(m K) Subsanz λ in W/(m K) Aluminium 37 Beon,9,3 Eisen 8,4 Glas,7,9 Gold 38 Holz,,5 Kupfer 4 Mineralfaser,4 Silber 49 Wasser,69 Sahl 46 Luf,6 Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 86

266 5.7. Wärmeübergang Grenzen zwei Medien unmielbar aneinander, z.b. Luf an Wand, so wird beim Wärmeranspor an der Übergangsselle eine Temperaurdifferenz beobache. Diese Erscheinung bezeichne man als Wärmeübergang. T Medium Medium T T d Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 87 Am Wärmeübergang können je nach Aggregaszusand der Medien und Beschaffenhei der Grenzflächen Wärmeleiung Wärmesrahlung Konekion beeilig sein. ) Für den Wärmesrom I gil I α AΔT ΔT R Ü wobei α den für die jeweilige Übergangsselle charakerisischen Wärmeübergangskoeffizienen bezeichne. ) Die Annahme des Temperaursprungs ΔT im Bereich erschwindend kleiner Dicken Δ sell nur eine näherungsweise Beschreibung der kompleen Zusammenhänge dar. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 88

267 Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus Wärmedurchgang Den Wärmeranspor durch mehrschichige Wände beschreib man allgemein durch die Beziehung Der Proporionaliäsfakor k wird dabei Wärmedurchgangskoeffizien genann. Er läss sich durch die Wärmeleifähigkeien λ i und die Wärmeübergangskoeffizienen α i ausdrücken. Es gil bzw. R D T T A k I Δ Δ Δ n i i n i i i k α λ Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 9 Δ,, n i i Ü n i i L n i i n i i i D R R A A A k R α λ T T T λ λ λ 3 α α α 3 α 4 Δ Δ Δ 3

268 5.7.4 Konekion Freie Konekion Die in Flüssigkeien und Gasen durch ungleichmäßige Erwärmung ensehenden Dicheunerschiede führen zur Ausbildung on Flüssigkeis- bzw. Gassrömungen, der sogenannen freien Konekion. Die Moleküle des srömenden Mediums führen dabei hermische Energie mi sich. Erzwungene Konekion Wird die Bewegung des zum Transpor hermischer Energie dienenden Soffes orwiegend durch äußere Kräfe, z.b. durch Pumpen oder Venilaoren, bewirk, so sprich man on erzwungener Konekion. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus Wärmesrahlung Im hermischen Gleichgewich, d.h. T T, gil Abgesrahle Leisung Empfangene Leisung Bei Temperaurdifferenz gil Neo-Wärmesrom Differenz aus abgesrahler und empfangener Leisung Die Srahlungsleisung einer Oberfläche häng on der Temperaur (nichlineare Abhängigkei, heiße Körper srahlen überproporional särker) Beschaffenhei der Oberfläche ab. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 9

269 Absorpionsgrad absorbiere Srahlung α einfallende Srahlung Transmissionsgrad P P Refleionsgrad reflekiere Srahlung Pr ρ einfallende Srahlung P τ ransmiiere Srahlung einfallende Srahlung a e e P P e P e P P r P a α ρ τ, da P P P P e r a Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 93 Für nichransparene Soffe, d.h. τ, gil ρ α Im allgemeinen sind α, ρ und τ Funkionen der Frequenz f bzw. Wellenlänge λ ( f c/λ ). Ein Körper, der die gesame auf ihn einfallende Srahlung absorbier, d.h. es gil α für alle Frequenzen bzw. Wellenlängen und Temperauren, heiß schwarzer Srahler. Körper, die die einfallende Srahlung nich ollsändig absorbier heißen graue Srahler, sofern über dem gesame Frequenz- bzw. Wellenlängenbereich α cons. < gil. Einen Körper mi ρ nenn man einen weißen oder ideal spiegelnden, einen Körper mi τ einen absolu durchlässigen oder absolu ransparenen Körper. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 94

270 Schemaischer Aufbau eines Hohlraumsrahlers (schwarzen Körpers) Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 95 Kirchhoffsches Gesez Spiegel T T Plae Spiegel Plae P, α P, α P i Srahlungsleisung, α i Absorpionsgrad Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 96

271 Die auf die Plae bzw. Plae einfallende Srahlungsleisung ergib sich zu P ρ P P ( α ) P bzw. P ρ P P ( α ) P Für die einfallenden Srahlungsleisungen muss P ( α ) P P ( α ) P gelen, da sons roz anfänglich gleicher Temperaur ein koninuierlicher Energiesrom on einer zur anderen Plae flösse und somi on selbs ein Temperaurunerschied ensünde. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 97 Umformen liefer über P P α P P P αp schließlich P P cons. P α, P α α α Nun sei Plae ein schwarzer Körper, d.h. α α s und P P s Daraus folg mi P αp s Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 98

272 das Kirchhoffsche-Srahlungsgesez α ε wobei ε den Emissionsgrad der Plae bezeichne. Folgerungen je besser eine Fläche absorbier deso besser srahl sie ab schwarze Flächen absorbieren nich nur am besen, sie srahlen auch am meisen die Srahlungsleisung P einer Fläche kann auf die eines schwarzen Körpers gleicher Fläche bezogen werden, d.h. ε P/P s Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 99 Sefan-Bolzmann Gesez Nach dem Sefan-Bolzmann Gesez ergib sich die Srahlungsleisung eines schwarzen Körpers der Fläche A zu 4 P s σ AT mi der Konsanen 5 4 π k 8 W σ B 5, c h m K wobei k B die Bolzmann-Konsane, c die Vakuumlichgeschwindigkei und h das Plancksche Wirkungsquaum bezeichne. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus

273 Für einen grauen Körper der Fläche A erhäl man wegen des Kirchhoffschen Gesezes P α P s ε P s Ein grauer Körper der Temperaur T emiier die Leisung 4 P e ε σ AT und absorbier gleichzeiig die on der Umgebung mi der Temperaur T eingesrahle Leisung 4 4 P a α σ AT ε σ AT Die Neosrahlungsleisung eines grauen Srahlers mi der Temperaur T is bei der Umgebungsemperaur T 4 4 ε σ A T T P neo ( ) Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus Newonsches Abkühlungsgesez Weich die absolue Temperaur eines Körpers nur wenig on der absoluen Umgebungsemperaur ab, so ergib sich aus 4 4 T T ( T T )( T T ) ( T T )( T T )( T T ) wenn man wegen T T in den Summen T durch T ersez T T ( T T )( T T )( T T ) 4T ΔT die Neoleisung näherungsweise zu ε σ A( T T ) 4ε σ AT ( T T ) P neo D.h., die Abkühlungsgeschwindigkei eines Körpers is näherungsweise proporional zur Temperaurdifferenz on Körper und Umgebung. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus

274 5.8 Erser Haupsaz der Thermodnamik Der erse Haupsaz der Thermodnamik mach eine Aussage über die Energieerhalung. Er besag, dass die Summe aus zu- und abgeführer Wärmemenge Q und erricheer oder zugeführer Arbei W gleich der Änderung der inneren Energie ) ΔU is, d.h. Vorzeichenkonenion Wärme bzw. Arbei in das Ssem wird posii gezähl, d.h. Q bzw. W > ΔU Q W Ssem ΔU Wärme bzw. Arbei aus dem Ssem wird negai gezähl, d.h. Q bzw. W < Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 3 In differenieller Form gil für die Änderung der inneren Energie du dq dw Die innere Energie is eine Zusandsgröße, d.h. sie beschreib den jeweiligen Zusand des Ssems unabhängig daon auf welchem Weg dieser erreich wurde. Die ausgeausche Wärme Q und die am oder om Ssem errichee Arbei W sind Prozessgrößen, sie werden om konkreen Prozesserlauf besimm. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 4

275 Allgemeine Formulierung des en Haupsazes In einem abgeschlossenen Ssem bleib die Summe aller Energien konsan. Es gib keine Maschine die sändig Arbei abgib, ohne gleichzeiig ensprechende Energie aufzunehmen, d.h. es gib kein Perpeuum Mobile er Ar. Innere Energie idealer Gase Aus der kineischen Gasheorie folg für die milere kineische Translaionsenergie der Moleküle 3 3 E kin n RT N k BT wobei n und N die Soffmenge bzw. die Anzahl der Molekül des Gases bezeichne. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 5 Die Translaionsbewegung besiz 3 Freiheisgrade (-, - und z-richung). Auf jeden Freiheisgrad enfäll je Molekül die milere kineische Energie E kin k BT Neben den ranslaorischen Freiheisgraden können die Molekül Freiheisgrade der Roaion und Schwingung besizen. Gleichereilungssaz Befinde sich eine Subsanz im Gleichgewich, so enfäll auf jeden einzelnen Freiheisgrad eine milere kineische Energie on k B T/ pro Teilchen. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 6

276 Dieser Gleichereilungssaz liefer für die milere kineische Energie eines Moleküls mi f Freiheisgraden f E kin k BT Üben die Gasmolekühle keine Wechselwirkungen aufeinander aus, so is die innere Energie durch die kineische Energie der Moleküle, die nur on der Temperaur abhäng, gegeben. f f U n RT N k BT Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 7 Freiheisgrade der unerschiedlichen Molekülformen Molkülform Smbol der Translaion Freiheisgrade der Roaion der Schwingung gesam punkförmig 3 3 sarre Hanel 3 5 schwingende Hanel 3 7 sarr, mehraomig Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 8

277 5.9 Berechnung der Wärmekapaziä Wird einem Gas bei V cons. Wärme zugeführ, so ri keine Volumenänderungsarbei auf, d.h. dw. Mi der zugeführen Wärmemenge dqv CV dt folg aus dem en Haupsaz der Thermodnamik dq V du dw du der Zusammenhang du C V dt und C V du dt Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 9 Wird einem Gas bei p cons. Wärme zugeführ, dann erriche das Gas beim Ausdehnen die Volumenänderungsarbei dw p dv Mi der zugeführen Wärmemenge dq p C p dt und dem en Haupsaz der Thermodnamik dq ) p du p dv dh ergib sich die innere Energie zu ) Den Term dh du p dv bezeichne man auch als die Änderrung der Enhalpie H. Diese is definier als H U p V. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus

278 du C p dt p dv Durch Gleichsezen on du C erhäl man C V V dt und du C p dt p dv dt C dt p dv Umsellen liefer die Differenz der Wärmekapaziäen dv C p CV p dt Aus der Zusandsgleichung idealer Gase p V n RT folg mi dv/dt n R/p schließlich p Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus C p CV n R Die isochore Wärmekapaziä ergib sich wegen C V du dt und der inneren Energie f f U n RT zu C V n R Für die isobare Wärmekapaziä folg f C p CV n R n R Der Quoien aus isobarer und isochorer Wärmekapaziä wird Adiabaeneponen genann. C p C p, m c p κ C C c f V V, m Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus V

279 Gas C p,m C V,m κ He,79,5,66 einaomig Ne Ar Kr,79,79,79,68,45,45,64,67,67 Xe,79,5,66 N 9,,8,4 zweiaomig H O CO 8,8 9,37 9,4,44,98,74,4,4,4 mehraomig CO N O H O 36,6 36,9 36, 8,7 8,39 7,36,3,3,3 Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 3 5. Spezielle Zusandsänderungen idealer Gase 5.. Isoherme Zusandsänderung isoherme Kompression isoherme Epansion Wärmebad Wärmebad p(v) Q p(v) Q T cons. T cons. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 4

280 Für die isoherme Zusandsänderung gil pv n RT cons. Im p,v-diagramm is die Isoherme eine Hperbel. p p T <T <T 3. p W T 3 cons. T cons. T cons. V V V Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 5 Wird das Gas om Anfangszusand auf den Endzusand komprimier, so muss dem Ssem Volumenänderungsarbei zugeführ werden. Wegen dt und dami du laue der e Haupsaz hier dq dw p dv Die bei der Volumenänderung errichee Arbei errechne sich zu V V dv V W p dv n RT n RT ln V V V V Die Volumenänderungsarbei ensprich der Fläche uner der Kure im p,v-diagramm. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 6

281 5.. Isochore Zusandsänderung Für die isochore Zusandsänderung gil p n R cons. T V Im p,v-diagramm is die Isochore eine erikale Gerade. p p p V V T cons. T cons. V Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 7 Wird das Gas om Anfangszusand auf den Endzusand isochor erwärm, so muss dem Ssem Wärme zugeführ werden. Wegen dv erriche das Gas keine Volumenänderungsarbei. Der e Haupsaz nimm daher die Form du dq an. D.h. die ganze dem Gas zugeführe Wärme dien ausschließlich der Erhöhung der inneren Energie ΔU U ( T ) U ΔQ CV ΔT CV T Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 8

282 5..3 Isobare Zusandsänderung isobare Epansion Q p cons. V(T) isobare Kompression Q p cons. V(T) Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 9 Für die isobare Zusandsänderung gil V n R cons. T p Im p,v-diagramm is die Isobare eine horizonale Gerade. p p p T cons. V V T cons. V Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus

283 Aus der Zusandsgleichung des idealen Gases p V n RT folg für konsanen Druck durch Differeniaion dv d n RT n R p dv n R dt dt dt p p Der e Haupsaz laue dann du dq p dv dq n R dt Einsezen on du C dt und C C n R liefer schließlich C dt dq V p V ( C C ) dt dq C dt V p V p Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus Es is also du C C V V f < da dq C C p κ f p Von der einem Gas zugeführen Wärmemenge dq geh der Brucheil du C V /C p dq in die innere Energie des Gases über. Die Differenz dq du ( C V /C p ) dq enfäll auf die Volumenänderungsarbei. Die bei der Volumenänderung on V auf V isobar errichee Arbei is V W p dv p( V V ) n R( T T ) V Die Volumenänderungsarbei ensprich der Fläche uner der Isobaren. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus

284 5..4 Adiabaische Zusandsänderung adiabaische Epansion ΔQ Wärmeisolaion p(v,t) p, V, T adiabaische Kompression ΔQ p(v,t) p, V, T Wärmeisolaion Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 3 Für die adiabaische Zusandsänderung gil dq. Dami laue der e Haupsaz du dw p dv Adiabaische Epansion, dabei erriche das Gas Arbei auf Kosen seiner inneren Energie. Adiabaische Kompression, dabei erhöh sich die innere Energie des Gases um den Berag der aufgewendeen Kompressionsarbei. Um den Zusammenhang zwischen den Zusandsgrößen herzuleien differenzier man pv n R T und erhäl d d dp dv ( pv ) ( n RT ) V p n R dt dt dt dt Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 4

285 bzw. nach Umformen p dv V dp dt n R Einsezen in du C V dt liefer für den en Haupsaz CV du ( p dv V dp) p dv n R Berücksichig man ferner den Zusammenhang n R C p - C V, so folg CV ( p dv V dp) p dv C C p C p V C V C V p dv C C V dp Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 5 p C V V und schließlich C p dv dp CV V p Mi dem Adiabaeneponenen κ C V /C p ergib sich nach Inegraion κ κ κ ln V ln p cons. lnv ln p ln( pv ) cons. die Poissonsche Adiabaengleichung κ pv cons. ) Mi Hilfe des allgemeinen Gasgesezes pv/t cons. läss sich die Adiabaengleichung auf andere Zusandsgrößenpaare umrechnen. ) Der ln is eine sreng monoon wachsende Funkion. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 6

286 Man erhäl T V κ cons. und κ κ κ κ T p cons. bzw. T p cons. Im p,v-diagramm is eine adiabaische Epansion dargesell. p p p W T cons. T cons. V V V Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 7 Adiabaen erlaufen im p,v-diagramm seiler als Isohermen, da der Druck wegen cons. p, κ > κ V särker sink bzw. seig als bei der isohermen Epansion bzw. Kompression. Deshalb nimm die Temperaur des Ssems bei adiabaischer Epansion bzw. Kompression ab bzw. zu. Die Volumenänderungsarbei ergib sich wegen κ κ κ κ pv pv cons. p p V V durch Inegraion zu W V V p( V ) dv p V V κ V dv V κ Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 8

287 W κ p V V κ κ V Die Volumenänderungsarbei ensprich auch hier der Fläche uner der Kure im p,v-diagramm. Eine einfachere Berechnung der Volumenänderungsarbei ermöglich der e Haupsaz. Wegen dq folg aus dw du C V dt nach Inegraion W p V κ CV κ T T V dt V C κ V V ( T T ) nc ( T T ) p V κ κ V κ V, m V κ Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus Polrope Zusandsänderung Vollkommen adiabaische oder isoherme Zusandsänderungen lassen sich in der Prais nich erwirklichen. Technische Vorgänge weisen Zusandsänderungen auf die zwischen denen on Adiabaen und Isohermen liegen. Diese sogenannen polropen Zusandsänderungen gehorchen der Zusandsgleichung k pv cons. wobei k den Polropeneponenen mi < k < κ angib. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 3

288 Formal lassen sich alle behandelen Zusandsänderungen als Sonderfälle der polropen Zusandsänderung mi k κ dq C dt und C k k CV k auffassen, wobei k Were im Bereich k < annimm. Polrope Epansion bei unerschiedlichen Polropeneponenen k. k : isobare k : isoherme k κ : adiabaische k : isochore Zusandsänderung Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 3 p p V V k< k <k<κ kκ k>κ V 5. Kreisprozesse Bei den sogenannen Kreisprozessen, bei denen das Ssem nach Durchlauf einer Reihe on p Zusandsänderungen p in seinen Ausgangszusand zurückkehr, Nuzarbei is die Volumenänderungsarbei berags- p mäßig gleich der on der p,v-kure umschlossenen Fläche. V V V abgegebene Volumenänderungsarbei zugeführe Volumenänderungsarbei Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 3

289 5.. Carnoscher Kreisprozess Beim Carnoschen Kreisprozess werden ier erschiedene Zusandänderungen durchlaufen. p Rechsläufiger Prozess p A A Q p B B p D p C D C T T Q V A V D V B V C V Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 33 A B: Uner Zufuhr der Wärmemenge Q aus dem Speicher mi der höheren Temperaur T erfolg eine isoherme Epansion on V A auf V B bei T. gewonnene Ausdehnungsarbei W AB VA n RT ln < VB Q W, W Q AB AB isoherme Epansion T Q Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 34

290 B C: Adiabaische Epansion, wobei sich das Gas auf die Temperaur des käleren Speichers T abkühl. Wegen des Wärmeabschlusses finde kein Wärmeausausch zwischen dem Gas und den Wärmespeichern sa. gewonnene Ausdehnungsarbei W BC CV nc ( T T ) ( T T ) < V, m adiabaische Epansion Wärmeisolaion T T Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 35 C D: Isoherme Kompression on V C auf V D bei T, wobei die Wärmemenge Q an den käleren Speicher der Temperaur T abgeführ wird. aufgewendee Arbei W W CD VC n RT ln > VD Q, W Q CD CD isoherme Kompression T (<T ) Q Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 36

291 D A: Adiabaische Kompression, wobei sich das Gas auf die Temperaur des wärmeren Speichers T erwärm. Wegen des Wärmeabschlusses finde kein Wärmeausausch zwischen dem Gas und den Wärmespeichern sa. aufgewendee Arbei W DA > C nc V ( T T ) ( T T ) V, m adiabaische Kompression Wärmeisolaion T T Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 37 Die gesame Arbei nach einem Umlauf errechne sich zu W W W W W AB Mi W BC -W DA erhäl man V A VC W W AB WCD n R T ln T ln VB VD Ausnuzen der Poissonschen Adiabaengleichungen T V κ κ A TVD, BC liefer dann schließlich wegen V A V V V B T V D C CD κ B DA T V κ C Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 38

292 Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 39 den Ausdruck Die Nuzarbei, d.h. W, kann auch als Differenz der zu- und abgeführen Wärmemenge gemäß berechne werden. Der hermische Wirkungsgrad is definier als Quoien aus Nuzarbei und zugeführer Wärmeenergie ( ) B A A B B A V V T n R T V V T V V T n R W ln ln ln Q Q Q Q W Q Q Q Q Q Q Q Q Q W η Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 4 woraus für den Carno-Prozess mi und folg Der hermische Wirkungsgrad des Carno-Prozesses wird allein durch die Temperauren der beiden Wärmespeicher besimm und is ses kleiner als. B A V V n RT Q ln ( ) ( ) ( ) ln ln T T T V V n RT V V T n R T A B A B C η C D B A V V n RT V V n RT Q ln ln

293 Energieflussdiagramm der Wärmekrafmaschine Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 4 Nur ein Teil der dem oberen Wärmespeicher ennommenen Wärmemenge Q wird durch die Wärmekrafmaschine in Nuzarbei umgesez. Der andere Teil, d.h. T Q ( ηc ) Q Q T wird om Ssem an den uneren Wärmespeicher als Abwärme abgegeben. Um einen hohen Wirkungsgrad zu erzielen, muss die Wärme bei möglichs hoher Temperaur zugeführ und niedriger Temperaur abgeführ werden. Ein Wirkungsgrad η C nahe T nahe absoluem Nullpunk. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 4

294 Linksläufiger Prozess p Durchläuf man den Kreisprozess im Gegenuhrzeigersinn, d.h. A-D-C-B-A, so kehren sich die Vorzeichen der Wärmemengen Q und Arbeien W um. p A p B p D p C A D Q B Q V A V D V B V C C T T V Der Carno-Prozess arbeie dann als Kälemaschine Wärmepumpe Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 43 Kälemaschine Bei einer Kälemaschine wird durch Zuführung mechanischer Arbei eine besimme Wärmemenge Q aus dem käleren Speicher, z.b. das innere eines Haushalskühlschranks, aufgenommen und dem wärmeren Speicher, d.h. dem Raum in dem sich der Kühlschrank befinde, die Wärmemenge Q W Q zugeführ. Bei einer Kälemaschine is die Leisungszahl ε K W Q aus Kühlraum enzogene Wärme dafür aufgewendee Arbei Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 44

295 maßgebend für den mi der aufgewendeen Arbei W aus einem Kühlraum erreichbare Wärmeenzug Q. Für den linksläufigen Carno-Prozess erhäl man mi VC VB Q n RT ln n RT ln VD VA und VB W n R ( T T ) ln VA die Leisungszahl VB n RT ln Q VA T ε K, C W VB T ( ) T n R T T ln V A Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 45 Energieflussdiagramm der Kälemaschine Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 46

296 Wärmepumpe Bei einer Wärmepumpe wird durch Zuführung mechanischer Arbei einem wärmeren Speicher, z.b. der Heizungsanlage eines Hauses, eine besimme Wärmemenge Q zugeführ, und dafür einem käleren Speicher, d.h. einem Fluss, See ec., die Wärmemenge Q Q W enzogen. Bei einer Wärmepumpe is die Leisungszahl ε P W Q an Heizungsanlage abgegebene Wärme dafür aufgewendee Arbei Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 47 maßgebend für die mi der aufgewendeen Arbei W an eine Heizungsanlage abgebbare Wärmemenge Q. Für den linksläufigen Carno-Prozess erhäl man mi VC VB Q n RT ln n RT ln VD VA und VB W n R ( T T ) ln VA die Leisungszahl VB n RT ln Q VA T ε P, C W VB T T n R ( T T ) ln V A Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 48

297 Energieflussdiagramm der Wärmepumpe Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus Technische Kreisprozesse Sirling-Prozess (Heißgasmaschine) p Q Isohermen Isochoren Q 4 4 W T Q 3 Q 34 T 3 V Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 5

298 V Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 5 : Arbeis- und Verdrängerkolben bewegen sich beide nach unen, die auf T erwärme Luf epandier und erriche dabei Ausdehnungsarbei. 3: Der Arbeiskolben beweg sich im Bereich des uneren Umkehrpunks nur wenig, d.h. V cons., der Verdrängerkolben beweg sich dagegen nach oben und läss dadurch die heiße Luf on oben in das kälere Wärmereseroir unen srömen. Dabei nimm die Kupferwolle die Wärmemenge Q 3 auf und speicher sie. Hochschule Bremen Technische Phsik (Kapiel 5) / Prof. Dr.-Ing. Dieer Kraus 5