Zykloiden und Epizykloiden DEMO. Text Nummer Mai 2016 FRIEDRICH W. BUCKEL INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK.

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1 Zykloiden und Epizykloiden Tex Numme Mai 06 FRIEDRICH W. BUCKEL INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK

2 540 Zykloiden Vowo Die Zykloiden sind beühme und seh of vewendee Beispiele fü Kuven. Vo allem is die A ihe Ensehung geadezu spekakulä, es sind nämlich sogenanne Rollkuven. Man kann seh viele Aufgaben an ih üben, wenn auch die Inegaionsechnungen schwieig sind. Die Theoie fü die Beechnungsfomeln seh im Tex 540 Diffeenialgeomeie. Lieau: Wikipedia (hps://de.wikipedia.og/wiki/zykloide): Inhal Voschau 3 Zykloiden und Tochoiden Gewöhnliche Zykloiden 4 3 Veküze Zykloiden 5 4 Schleifenzykloide (velängee Zykloide) 6 5 Tangenen an Zykloiden 8 6 Kümmungskeis an eine Zykloide 0 7 Bogenlänge eine Zykloide 8 Aufgaben zu Schleifenzykloide Epizykloiden 9 Einfühung zu Epizykloide 3 0 Heleiung de Bahnkuvengleichungen fü eine Epizykloide 4 Weiee Epizykloiden 5 Hypozykloiden = Aseoiden 7 Lösungen 8 Fiedich Buckel

3 540 Zykloiden 3 Voschau Zykloiden sind Rollkuven, die beim Abollen eines Keises auf eine Geaden daduch ensehen, dass man die Bahn eines migedehen Punkes als Kuve feshäl. Lieg de Kuvenpunk auf dem Keisand, dann enseh die gewöhnliche Zykloide, lieg de Punk weie innen im Keis, enseh die veküze Zykloide, lieg e ga außehalb de Keisfläche, enseh eine Schleifenzykloide (velängee Zykloide). Die veküzen ode velängeen Zykloiden nenn man auch Tochoiden. Paameegleichung de Zykloide: x sin y cos Paameegleichung de Tochoide: x a sin y a cos Dabei is a de Absand des Keispunkes vom Mielpunk de Keisscheibe. Is a <, lieg eine veküze Zykloide vo, fü a > enseh eine Schleifenzykloide. is de Abollwinkel de Keisscheibe im Bogenmaß. Epizykloiden und Hypozykloiden Roll de Keis ansa auf eine Geade auf einem andeen Keis ab, enseh eine Epizykloide, oll sie im Innen des Keises ab, spich man von eine Hypozykloide ode auch Aseoide (meh dazu siehe Tex 545). x qcos cosq Paameedasellung fü eine Epizykloide: y qsin sinq Paameedasellung fü eine Hypozykloide: x q cos cos q y q sin sin q De Basiskeis ha den Radius R, de abollende Keis ha den Radius, ih Quoien is R q. Fiedich Buckel

4 540 Zykloiden 4 Zykloiden und Tochoiden Gewöhnliche Zykloiden Eine Zykloide is eine Kuve, die so dagesell weden kann: x sin bzw. in Vekofom: y cos x sin ( cos Eine gewöhnliche Zykloide enseh, wenn ein Keis auf eine Geaden aboll. Anschaulich gespochen beweg sich ein Punk auf einem Reifen eines fahenden Rades auf eine gewöhnlichen Zykloide. Beispiel: x sin und y cos. Die 5 Keise zeigen die Bahn des anfänglich im Uspung befindlichen Kuvenpunkes, de beim Abollen des Keises nach echs die Bahn eine Zykloide bescheib. De Mielpunk des Rollkeises beweg auf y =. Ode in andeem Maßsab: Heleiung de oben angegebenen Gleichungen: Gesuch sind die Koodinaen von P in Abhängigkei vom Radius und dem Rollwinkel (de oben heiß).. De Bogen AP ha die Länge b. Die Secke OA is gleich lang. AC PD sin. Fene gil Dahe gil (auf de x-achse): x sin sin. Es is DM cos. Dahe folg: y AD AMDM cos cos Fiedich Buckel

5 540 Zykloiden 5 3 Veküze Zykloiden Eine veküze Zykloide enseh, wenn die Bahn eines Punkes aus dem Inneen de Keisscheibe beache wid, anschaulich ewa de Seiensahle beim Fahad. Allgemeine Paameegleichung: x a sin y a cos Fü a < enseh eine veküze Zykloide, z. B.: x 0,5 sin, y ( 0,5 cos ) Ode in andeem Maßsab: Heleiung de oben angegebenen Gleichungen: Gesuch sind die Koodinaen von P in Abhängigkei vom Radius und dem Rollwinkel (de oben heiß). d is de Absand des Punkes P vom Mielpunk, also de innee Radius. d is ein Bucheil von, sagen wi da. De Bogen AQ ha die Länge b. OA AQ Fene gil AC PD dsin a sin. Dahe gil (auf de x-achse): x PD asin x asin. Es is DM dcos a cos. Dahe folg: y AD AMDM acos y( ) a cos Hinweise: In de goßen Abbildung wa a = 0,5, also d = 0,5. Fü eine solche Abbildung gib man z. B M5 vo, beechne aus x M b xm 5,5, und ehäl dann x,5,50,5sin,5 4,4 und y,5 0,5cos,5,8 (dunkelblaue Keis oben). Fiedich Buckel

6 540 Zykloiden 6 4 Velängee Zykloide (Schleifenzykloide) Eine Schleifenzykloide (velängee Zykloide) is die Bahn eines Punkes, de außehalb des abollenden Keises lieg und sich mi dem Keis mibeweg. Man kann sich das am Rad eine Lokomoive vosellen: Dieses lieg auf de Schiene auf, abe daneben seh ein Teil des Rades übe, quasi an de Schiene vobei, um dem Fahzeug Hal zu veschaffen. Gleichungen: x a sin ode x d sin y a cos y d cos Achse Fü d >, d. h. a > enseh eine Schleifenzykloide: z. B.: Aufgabe: Lösung: x,5 sin, y (,5 cos ) Eselle mi einem geeigneen Rechne eine Weeafel fü x(), y() und x m () und zeichne die Zykloide sam einigen Keisen. Ich definiee mi meinem CAS-Rechne TI Nspie eine Vekofunkion (also eigenlich 3 Funkionen auf einmal): Die ese Koodinae is x(), die zweie y(). Mi diesen beiden kann ich die Kuvenpunke P() fü = 0,,, 6 zeichnen. Die 3. Koodinae egib die x-koodinae des nach echs ollenden Keises: M. Schiene Mi MaheGafix eselle ich aus diesen Ween diese Abbildung: =, d = 3, a =,5. Sie zeig den außehalb des Keises liegenden Punk P0 0 und seine Weieenwicklung P x y zusammen mi den Radien d M P, die ses die Länge 3 LE haben. Fiedich Buckel

7 540 Zykloiden 7 Hie zeige ich dieselbe velängee Zykloide in einem Maßsab, de 5 Peiodeninevalle zeig. Die Vekogleichung dazu laue:,5 sin x (,5 cos Andee Kuven: a = 4, =, d = 8: 4 sin x ( 4 cos Ode diese Kuve: EM 8 sin x ( 8 cos O a = 8, =, d = 8: Die Fom eine gewöhnlichen Zykloide gleich eine Aneinandeeihung weiee Bögen, die velängee Zykloide weis an den Spizen zwischen den Bögen noch Schleifen auf, wähend bei den veküzen Zykloiden die Spizen abgeunde sind. Die veküzen und die Schleifenzykloiden D (velängee Zykloiden) heißen auch Tochoiden (giechisch τροχός ochos»rad«). Fiedich Buckel

8 540 Zykloiden 8 5. Tangenen an Zykloiden Beispielkuve: Ableiungen: Tangenenseigungen: sin, cos cos x sin und x y' x x 0; y sin sin sin cos x cos cos Kuvenpunke und Tangenen: 0sin0 0 Fü 0 ehäl man x0 A0 0 cos0 0 y0 sin0 0 0 Die Tangenenseigung in A: y' 0 " " x0 cos0 liefe einen 0 unbesimmen Ausduck, denn Zähle und Nenne weden 0. 4 Mi dem Saz von de L Hospial (Zähle und Nenne geenn ableien) läss sich diese sin cos We besimmen: lim lim lim " " : 0 cos 0 sin 0 an Die Zykloide ha also im Punk A eine senkeche Tangene, die y-achse. Kuvenpunk: sin 0,6 x B0,6 0,58 0,58 Tangenenseigung in B: cos y sin y' 0,6,4 x cos De Buch wude mi eweie. Tangene in B: : Kuvenpunk: cos Tangenenseigung in C: Tangene in C: y0,58,4 x0, 6 y,4x 0,9 sin x C,4 y sin y' x cos y x,4 y x0, Kuvenpunk: Tangenenseigung in D: Tangene in D: : Kuvenpunk: cos Tangenenseigung in E: Tangene in E: y 4 sin 3,30 x D3,30 3,4 cos y sin 4 4 y ' 3,30 0,4 3 3 x cos 4 4 y3,4 0,4 x3, 3 y 0,4x,06 sin x E 4 6,8 4 4 y sin 0 y' 0 x cos 4 Fiedich Buckel

9 540 Zykloiden 9 Schaubild diese Zykloide mi den beechneen Tangenen: Günsige is es vielleich, auf de x-achse die Einhei 3 zu vewenden: Fiedich Buckel

10 540 Zykloiden 0 6. Kümmungskeis an eine Zykloide yx xy Fü die Kümmungsfomel benöig man: Dami folg: x y 3/ sin cos sin x x x cos sin cos cos sin cos cos sin sin 3/ cos cos sin cos cos sin cos cos sin 3/ 3/ cos cos cos sin cos cos cos cos cos 3/ 3/ 3/ cos cos 3 / De Kümmungskeisadius is davon de Beag des Kehwes: ( is de giech. Buchsabe Rho) cos In de Bogenmie, also fü füh dies zu: cos 4 Die folgende Abbildung zeig diesen Kümmungskeis (o), de die Zykloide im Hochpunk H 4 von außen beüh. Wegen = is de Radius des Kümmungskeises 8(LE). Fiedich Buckel

11 540 Zykloiden 7. Bogenlänge eine Zykloide Die Abbildung gehö zu x sin cos fü 0; Allgemeine Beechnung de Bogenlänge eine Zykloide, nachdem sich de ezeugende Keis um den Winkel gedeh ha. x sin cos cos cos x sin sin s 0, x y d cos sin d cos cos sin d cos d cos d 0 0 Zu Veeinfachung benöig man eine igonomeische Fomel: Fü den doppelen Winkel gil: cos( ) sin (*) Esez man duch, dann laue sie cos( ) sin Duch Umsellen folg: cos sin Die Anwendung diese Fomel egib: cos sin os s0, d sin d 4 c s c 4 cos cos 0 4 co 4 os Hie is eine weiee Umsellung möglich. Esez man in (*) duch 4, dann enseh die Fomel: cos( ) sin cos sin 4 4 Dami kann man die Fomel fü die Bogenlänge auch so dasellen: s0, 8 sin 4 Wi wenden diese Fomel an und beechnen die Länge des oben dagesellen Bogens. Fü den ganzen Bogen benöig man : s0, 8sin 8 Und speziell fü = egib das die Bogenlänge 6. Fiedich Buckel

12 540 Zykloiden 8. Aufgaben zu Schleifen-Zykloide Gundlagen: asin dsin x bzw. x acos dcos Fü d >, d. h. a > ehäl man eine Schleifenzykloide, wobei d a is. 8 sin () Gegeben sei x fü ;3 8cos a) Beechne einige Punke und skizziee die Kuve. b) Besimme die Koodinaen des Doppelpunkes D auf de y-achse. c) Welche Gleichungen haben die Tangenen in D? d) Une welchem Winkel schneiden sich die Tangenen in D? e) Beechne die Nullsellen im Beeich ;3. f) Besimme fü das Inevall ;3 Hochpunke, Tiefpunke, Rechspunke, Linkspunke. g) Beechne die Bogenlänge eine Schlinge. h) Beechne den Flächeninhal eine Schlinge. i) Roie die den Uspung beinhalende Schleife um die y-achse, dann enseh ein opfenfömige Köpe. Beechne dessen Volumen mi () Zeige fü die allgemeine Schleifenzykloide: Alle Links- und Rechspunke liegen auf de x-achse. V y x d (3) Zeige fü die allgemeine Schleifenzykloide: a) Ein Doppelpunk lieg auf de y-achse, wenn is. b) Fü welche Wee von d liegen bei gegebenem die Doppelpunke auf Höhe des Mielpunkes des abollenden Keises? c) Fü welches d beühen sich die Schlingen, wenn gegeben is? Fiedich Buckel

13 540 Zykloiden 3 Epizykloiden 9 Einfühung zu Epizykloide Jez lassen wi einen (kleinen) Keis nich auf eine Geaden, sonden außen auf einem (goßen) Keis abollen und ehalen eine Kuve namens Epizykloide. Die folgende Abbildung zeig den Basiskeis mi R = 4 cm, den bewegen Keis mi = cm, so dass gil: R q 4 Abb. 33 Die Paameegleichung fü die Epizykloide laue in Vekoscheibweise cos cos ( q) OP OM MP q sin sin ( q) 5 cos() cos 5 d. h. hie: x fü 0; 5 sin sin5 Die Heleiung seh auf de nächsen Seie: Fiedich Buckel

14 540 Zykloiden 4 0 Heleiung de Paameegleichungen fü eine Epizykloide. P x y is de wandende Punk, dessen Koodinaen gesuch sind. P ha sich beim Abollen des kleinen Keises um den Winkel nach P beweg. De Absand MP sei a. Is a =, dann lieg eine (nomale) Epizykloide vo. Duch das Abollen sind diese Bögen sind gleich lang: b z AOA auf dem zenalen Keis und AZ auf dem abollenden Keis: A A AZ. ba WISSEN: Fü die Bogenlänge gil ( im Bogenmaß) die Fomel: b b b U Mi A OA R und AZ folg daaus R R Beechnung von x: x OD OCCD OCBP R cos asin (*) PB a mi sin PB a sin und OC R cos O. Beechnung von : Im Deieck OCM is de Winkel bei M: OMC (Winkelsumme ) R R R Dahe folg: Nebenechnung: R R R sin sin sin cos, und () sin x cosx. R x R cos acos wobei vewende wude () sin x sinx Aus (*) folg dami: Beechnung von y: y PD MC MB Nebenechnung: mi MC R sin und MB a cos 3 4 R R R cos cos cos sin R Also gil: y Rsinasin R Of vewende man q, dann folg: cos cos (q ) OP R a sin sin (q ) wobei vewende wude (3) cosx cosx und () cos x sinx. Fiedich Buckel

15 540 Zykloiden 5. Weiee Epizykloiden In Abb. 34 umläuf de kleine Keis mi = einen goßen mi R = 3, also is q = 3. Die Gleichung laue: Abb. 34 4cos() cos 4 x fü 0; 4 sin sin 4 Man ekenn, dass de kleine Keis deimal aboll. De Gund: Sein Umfang is U LE kl Umfang des goßen Keises: Ug R 6 3 Ukl. O O Dahe beäg de Winkel POP O 3 P ha die Koodinaen P,5 3 3,5 4,33 Und es folg P,5 3 3,5,6 Ausfühliche Beechnung: Zusazaufgabe: x x cos( ) cos 4,5,5 3 4, sin sin cos( ) sin 3 4cos( ) cos 3, 5 4 sin sin 3 3, Beechne den Hochpunk, de unmielba links von P lieg. Do muss die y-koodinae ein Maximum haben. y 4cos 4cos 4. Aus y() 4 sin sin4 folg Bedingung: y 0 cos cos4 0 bzw. cos cos4 Ich übegebe diese Gleichung meinen CAS-Rechne CASIO ClassPad und ehale eine lange Lise von Lösungen: Die ese Lösung is k In P gib es eine waageche Tangene Dann k,6 Fü k = 0 also =,6 Dann 3 k3,5 Fü k 3 = 0 also 3 =,5 De Winkel 7 O füh uns zum gesuchen Hochpunk: o O 80 7 O 3 44 usw. 4 cos(,6) cos 4,6 0,9 x,6 H 0,9 4,76 4 sin, 6 sin 4, 6 4,76 Enspechend finde man die andeen Punke mi waageche Tangene. Übe die Bedingung x 0 4sin 4sin4 0 finde man die Punke mi senkeche Tangene, also die Rechs- bzw. Linkspunke, falls de Rechne da noch mihalen kann. Fiedich Buckel

16 540 Zykloiden 6 Eine Besondehei soll noch ewähn weden: Im Tex 54 wid die Kadioide bespochen. Rechs eine Abbildung dazu. Man ekenn, dass hie auch eine Epizykloide volieg. Und zwa gil speziell fü Kadioiden: R =, also is q =. De wandende Punk lieg also auf dem Keisand, also is a = und hie =. cos cos ( q) Aus OP q folg dami sin sin ( q) Abb. 35 cos cos x sin sin Jez ha die Kuve alledings eine andee Lage als im angegebenen Tex. Es is kla, dass man alle diese Gleichungen angeben kann. O Kuven in veschiedenen Lagen und dann duch andee EM Naülich gib es auch hie veküze und velängee Epizykloiden. cos cos ( q) Dazu is dann a : OP q a sin sin ( q) Abb. 36 Fü R = 4, = also q = 4 und a = 0,5 ehäl man diese veküze Epizykloide: 5 cos cos 5 x 5 sin sin 5 (Abb. 37) Fü R = 6, =, also q = 6 und a = 3 ehäl man diese velängee Epizykloide: D 7 cos 3cos 7 x 7 sin 3 sin 7 Abb. 37 Fiedich Buckel (Abb. 38) Abb. 38

17 540 Zykloiden 7 Hypozykloiden Läss man einen Keis im Innen des Basiskeises abollen, dann ehäl man eine Kuve namens Hypozykloide. Diese Kuven heißen auch Aseoiden. Beispiel: Fü sie gib es einen eigenen Tex (545). Diese Hypozykloide (Aseoide) kann man duch diese Gleichungen ezeugen: Die allgemeine Fom fü die Hypozykloide is 3 cos() cos 3 x fü 0; 3 sin sin 3 cos cos (q ) x q sin sin (q ) Fiedich Buckel

18 540 Zykloiden 8 Fiedich Buckel

19 540 Zykloiden 9 Gegeben is die Schleifenzykloide duch 8 sin x fü ;3 8cos Lösung () a) Beechnung einige Punke mi CASIO ClassPad: Ich habe die Wee als Zahlenfolge beechnen lassen und fü n 4 eingegeben. Die Abb. ha MaheGafix esell. mi b) Koodinaen des Doppelpunkes D auf de y-achse: x x 0 8sin 0 sin CAS: 4 Man ekenn, dass de Doppelpunk näheungsweise zu,,47 gehö: D0 8,6 c) Welche Gleichungen haben die Tangenen in D? Aus x,47 8 cos,47 8,6 y,47 8sin,47 5 und die Seigungen: y 5 mt x 0 0,605 x 8,6 Tangene T : 8cos 8 sin y 8,6 0,605 x 0 y 0,605 x 8,6 Tangene T : Vekoielle Lösung: Tangenen: y8,6 0,605 x0 y 0,605x 8,6 8,6 Richungsveko: u 5 0 8,6 x 8,6 5 d) Une welchem Winkel schneiden sich die Tangenen in D? m m 0,605 0,605 0,605 0,605 an acan 6,3, 80 7,7 O O O mm 0,605 0,605 Vekoiell: 8,6 8, ,6 5 8,6 5 O cos accos 6,4... 8,6 5 8,6 5 8,6 5 8,6 5 Fiedich Buckel

20 540 Zykloiden 0 e) Beechne die Nullsellen im Beeich ;3 : Bedingung: y 0 8cos 0 cos 4,,3z Davon sind im Beeich ;3 : x-koodinaen: x 8 sin Beechnung mi CAS: f) Besimme fü das Inevall ;3 Rechspunke und Linkspunke. x 8 sin 8cos mi Bedingung fü Hoch- und Tiefpunke: Hochpunke, Tiefpunke, 8 cos x 8 sin und x 8 sin 8 cos y() 0 8 sin 0 sin 0 ; 0 ; ; ; 3 y( ) 8 cos 8 0 Hochpunk: H 0, denn x 8sin 6,8 y(0) 8 cos0 8 0 Tiefpunk: T 0 6, denn x0 08sin0 0 y0 8cos0 8 6 y( ) 8 cos 8 0 Hochpunk: H 0, denn x 8sin 6,8 y( ) 8 cos 8 0 Tiefpunk: T 4 6, denn x 8sin 4 y(3 ) 8 cos3 8 0 Hochpunk: H3 6 0, denn x3 38sin3 6 8,85 : 0: : : 3 : Bedingung fü Rechs- und Linkspunke:,3: 4 y 8cos 8 0 y 8 cos 8 0 y 8 cos 8 6 y 3 8cos x 0 8cos 0 cos,3z, z Das sind genau die Nullsellen (x-koodinaen siehe Tabelle oben). x,3 8sin,3 7,7 0 Rechspunk: R 5, 0 x,3 8sin,3 7,7 0 Linkspunk: L 5, 0 x,3 8sin,3 7,70 Rechspunk: R 7,68 0 x,3 8sin,3 7,7 0 Linkspunk: L 7,46 0,3:,3 :,3:, Hie eine Abbildung mi den eingeagenen Exempunken. Fiedich Buckel

21 540 Zykloiden g) Beechne die Bogenlänge eine Schlinge. Fomel: b x y d,47,47 8 cos 8 sin d NR.: 8 cos 8 sin 4 3 cos 64 cos 64 sin 68 3 cos 64,47,47 b 683cos d 37,78 Die Beechnung mi CASIO ClassPad geschah auf zwei Aen: In de. Zeile habe ich mein veeinfaches Inegal ausechnen lassen. Von de. bis 4. Zeile wude die Bogenlängenfomel vewende. h) Beechne den Flächeninhal eine Schlinge. Fomel: A yx d 8cos d 43 cos,47,47 0 0,47,47 A 4 3 sin 8 cos d 0 0 NR.: cos d cos cos d wid paiell inegie: u' Fomel: u' v d uv uv' d v mi cos 64 d u' cos u sin v cos v' sin cos d sin cos sin d sin cos cos d cos d sin cos cos d cos d als Gleichung! cos cos d in c cos d sin s,47, A 4 3 sin 8 sin cos 64sin c,47 0 os A 7 64 sin os 06,84 (Im Bogenmaß echnen!) i) Volumen des opfenfömigen Roaionsköpes: Fomel:,47 V y() x d 8 sin 8 sin d 76,66 VE (CAS) 9,47 0 Fiedich Buckel

22 540 Zykloiden Lösung () Zeige fü die allgemeine Schleifenzykloide: Alle Links- und Rechspunke liegen auf de x-achse. Gegeben is x dsin dcos mi d > Nowendige Bedingung fü Links- und Rechspunke: (Die hineichende Bedingung is dann noch Das heiß abe zugleich: y 0. Also liegen die Punke auf de x-achse. x 0. Lösung (3) x Zeige fü die allgemeine Schleifenzykloide: a) Ein Doppelpunk lieg auf de y-achse, wenn is. x 0 dsin 0 sin (*) d dcos d sin x 0 dcos 0 Die Abbildung zeig die Sinuskuve und die Geade g: y. d g schneide die Sinuskuve echs von x = 0, wenn ihe Seigung kleine als is, denn die Tangene in O ha die Seigung, also fü d d. Die Gleichung (*) ha also Lösungen und im Inevall ;, das egib den Doppelpunk. Wegen de Punksymmeie de ganzen Anodnung gil. b) Fü welche Wee von d liegen bei gegebenem die Doppelpunke auf Höhe des Mielpunkes des abollenden Keises? Wenn de Doppelpunk mi M0 zusammenfäll, dann is esens y =, d. h. dcos d cos 0 Eine Lösung is. Und zweiens is x = 0, d. h. dsin 0 dsin 0 Daaus folg: d. Fiedich Buckel

23 540 Zykloiden 3 c) Fü welches d beühen sich die Schlingen, wenn gegeben is? Ekennen: Die Beühpunke müssen Links- bzw. Rechspunke sein, und nach Aufgabe () liegen diese ses auf de x-achse. Bedingung also: y 0 dcos 0 d. h. cos d Diese Gleichung ha zwei Lösungen und. Wenn bei ein Rechspunk lieg, dann is bei ein Linkspunk. Weiee Lösungen egeben sich duch die Peiodiziä bei 3 (Linkspunk) usw. Beühung finde also sa fü x x Das heiß abe dsin dsin WISSEN: sin sin und sin sin Also: dsin d sin d sin sin Esez man d d cos, d dann ehäl man sin cos Ich übegebe diese Gleichung meinem CAS-Rechne. Um die Anzahl de Lösungen einzuschänken, gebe ich hine dem Bedingungssich das Inevall ein: Aus cos folg dann d d 4,603 cos Fiedich Buckel