Analytische Geometrie Übungsaufgaben 1 gesamtes Stoffgebiet

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Erwin Fromm
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1 Analyiche Geomeie Übungaufgaben geame Soffgebie Pflicheil (ohne GTR und ohne Fomelammlung): P: Zeichne die folgenden Ebenen mi Hilfe ihe Spugeaden in ein kaeiche Koodinaenyem ein: a) E: b) E: 8 c) E: P: Beimme eine Koodinaengleichung de Ebene E. E ind enwede Punke, ein Punk und eine Geade ode zwei Geaden, die die Ebene aufpannen, gegeben. a) A(//), B(//), C(8//) b) A(//), g: c) g:, h: d) g:, h: e) Die Ebene E i Spiegelebene zwichen A(//) und A*(//). f) Die Ebene E enhäl die Geade und i ohogonal zu Ebene F: P: Beimme eine Gleichung de Schnigeaden de Ebenen E: und F:. P: Beechne den Aband de Punke R(/9/) von de Ebene E:. P: a) Gegeben eien die Geade g und die Ebene E duch g: a ; R E: n b

E ind enwede Punke, ein Punk und eine Geade ode zwei Geaden, die die Ebene aufpannen, gegeben.

2 ) Welche geomeiche Bedeuung haben die Vekoen,b,, n b? ) Welche Beziehung mu zwichen den Vekoen gelen, dami gil I) g i paallel zu E II) g i ohogonal zu E III) g lieg in E a und b) Wie kann man nachweien, da eine Geade in eine Ebene enhalen i? P: Spiegele den Punk A(//) a) an de Ebene E: b) am Punk B(/-/9) Wahleil (mi GTR und Fomelammlung): Ein Tum ha die Fom eine enkechen quadaichen Säule, de eine enkeche Pyamide aufgeez i (iehe Skizze). Die Geamhöhe de Tum beäg m, die hoizonalen Kanen ind 8 m, die veikalen Kanen ind 8 m lang. De Punk D lieg im Upung eine kaeichen Koodinaenyem mi de Längeneinhei m. a) Gib die Koodinaen alle Punke an und beechne den Neigungwinkel de Dache (Winkel zwichen Pyamidengundfläche und Seienfläche) owie die Göße de Dachfläche. b) Im Punk P(8//) eh ein 8 m hohe Fahnenma. Beechne die Länge de Schaen auf Boden und Tumwand, wenn da einfallende Sonnenlich die Richung ha. c) Ein Kind mi Augenhöhe m läuf vom Punk B au in Richung DB vom Tum weg. In welche Enfenung von de Tumkane BF kann da Kind die Tumpize S emal ehen?

P: Spiegele den Punk A(//) a) an de Ebene E: b) am Punk B(/-/9) Wahleil (mi GTR und Fomelammlung): Ein Tum ha die Fom eine enkechen quadaichen Säule, de eine enkeche Pyamide aufgeez i (iehe Skizze).

3 Analyiche Geomeie Übungaufgaben geame Soffgebie Muelöungen P: a) b) c) P: a) A(//), B(//), C(8//) E: Nomalenveko n n E E Koodinaengleichung: E: b) E: (Da g in E lieg, wid de Richungveko von g übenommen. De andee Richungveko egib ich al Vebindungveko de Punke A und de Punke P(//), de auf g lieg). Koodinaengleichung: E: 8

in E lieg, wid de Richungveko von g übenommen.

4 c) Zunäch mu die Lage de beiden Geaden gepüf weden. Ihe Richungvekoen ind keine Vielfachen zueinande, alo können ie ich nu chneiden ode windchief ein. Gleichezen: egib al Löung = - und =. Folglich chneiden ich die Geaden in S(//). (Wenn ie windchief geween wäen, wüde man au den beiden Geaden ga keine Ebene bilden können) Ebenengleichung: E: (Al Süzveko mu nich zwangläufig de Schnipunk de Geaden genommen weden; die Richungvekoen de beiden Geaden pannen auch die Ebene auf) Koodinaengleichung: E: d) Zunäch mu die Lage de beiden Geaden gepüf weden. Ihe Richungvekoen ind Vielfache zueinande, alo ind die Geaden enwede ech paallel ode idenich. Zu Konolle wid gepüf, ob de Punk P(//) von g auch auf h lieg. Die i nich de Fall, alo ind die Geaden ech paallel. (Wäen ie idenich, könne man keine Ebene au eine Geaden bilden). Ebenengleichung: E: (De Süzveko enpich einem de beiden Süzvekoen de Geaden; ein Richungveko von den Geaden übenommen weden; de Richungveko de andeen Geaden kann nich benuz weden, da diee paallel zum een wäe und omi keine Ebene aufgepann weden wüde; de zweie Richungveko egib ich au dem Veko PQ de Geadenpunke P(//) und Q(//)) e) De Veko * AA eh enkech auf de Ebene E und enpich omi dem Nomalenveko von E. Ein Punk von E i de Mielpunk M(//) de Secke * AA. Ebenengleichung: E: f) Paameegleichung: E: (De Nomalenveko de Ebene F wid zum Richungveko von E). Koodinaengleichung von E:

(Wenn ie windchief geween wäen, wüde man au den beiden Geaden ga keine Ebene bilden können) Ebenengleichung: E: (Al Süzveko mu nich zwangläufig de Schnipunk de Geaden genommen weden; die

5 P: Beimme eine Gleichung de Schnigeaden de Ebenen E: und F:. Die Ebenen E und F ind nich paallel, da ihe Nomalenvekoen keine Vielfachen voneinande ind. Folglich chneiden ich die Ebenen in eine Schnigeade. Die Gleichung de Schnigeade ehäl man duch Löung de folgenden Gleichungyem: () () () () + () Da Gleichungyem beiz unendlich viele Löungen. Seze mi R in () Au de allgemeinen Löung kann nun die Gleichung de Schnigeade emiel weden: g: P: Umfomung von E in die Koodinaengleichung:. Hee che Nomalenfom von E: 8 Einezen von R in die HNF egib den Aband: d(r,e) 8 P: a) g: a ; R E: b n ) a = Süzveko/Oveko de Geade; enpich anchaulich einem Pfeil, de vom Upung de Koodinaenyem auf einen beliebigen Punk de Geade zeig. b = Süzveko/Oveko de Ebene; enpich anchaulich einem Pfeil, de vom Upung de Koodinaenyem auf einen beliebigen Punk B die Ebene zeig. = Richungveko von de Geaden; de Veko lieg auf de Geaden n = Nomalenveko von de Ebene; de Veko eh ohogonal zu Ebene b = Vebindungveko eine beliebigen Ebenenpunke X und de Punke B; diee Veko lieg auf de Ebene (da da Skalapoduk mi dem Nomalenveko egib) und kann al Richungveko inepeie weden

Seze mi R in () Au de allgemeinen Löung kann nun die Gleichung de Schnigeade emiel weden: g: P: Umfomung von E in die Koodinaengleichung:.

6 ) I) E mu gelen n. Dann i noch nachzuweien, da die Geade g nich in de Ebene E liegen kann. E mu echneich gepüf weden, da de Punk de Süzveko a nich in de Ebene E lieg. II) Die Vekoen und n müen zueinande paallel ein. Rein echneich i zu püfen, ob die Vekoen Vielfache zueinande ind. III) E mu gelen n. Dann i noch nachzuweien, da die Geade g nich ech paallel zu Ebene E i. E mu echneich gepüf weden, da de Punk de Süzveko a in de Ebene E lieg. b) Rein echneich kann man die daduch nachweien, da die Ebenengleichung zunäch in die Koodinaengleichung umgechieben wid. Dann chneide man die Geade mi de Ebene, indem man die einzelnen Zeilen de Paameefom de Geaden in die Koodinaengleichung einez. Man ehäl dabei eine Gleichung mi eine Unbekannen. Fäll bei de Löung de Gleichung die Vaiable heau und egib ich eine wahe Auage (z.b. = ), dann lieg g in E. Wüde ich eine falche Auage (z.b. = ) egeben, wäe g ech paallel zu E. P: a) Zunäch wid eine Hilfgeade g benöig, die A enhäl und enkech zu E veläuf: g:. Nun chneide man g mi E: ( ) ( ) ( ) Alo Schnipunk S(//). Den Spiegelpunk A* ehäl man nun mi Hilfe eine Vekozuge: OA * OA AS und omi A*(//). b) Spiegelpunk A* duch Spiegelung an B egib ich mi OA * OA AB und omi A*(/-/)

Dann i noch nachzuweien, da die Geade g nich ech paallel zu Ebene E i. E mu echneich gepüf weden, da de Punk de Süzveko a in de Ebene E lieg.

7 Wahleil: a) A(8//), B(8/8/), C(/8/), D(//), E(8//8), F(8/8/8), G(/8/8), H(//8), M(//8), S(//) De Neigungwinkel enpich dem Schniwinkel zweie Ebenen: Ebenengleichung de Pyamidengundfläche: E : 8 8 Ebenengleichung de Seienfläche GFS: E : 8 8 Ebenengleichung E in Koodinaenfom: Schniwinkel: co, Die Dachfläche beeh au den Seienflächendeiecken de Pyamide. A Seienfläche g h 8 h S h M M FG h mi Saz de Pyhagoa: h A Seienfläche 8, m² = Dachfläche b) De Endpunk de Fahnenmae ha die Koodinaen S (8//8).

Ebenengleichung E in Koodinaenfom: Schniwinkel: co, Die Dachfläche beeh au den Seienflächendeiecken de Pyamide.

Von dieem Endpunk S au wid nun eine Geade mi dem angegebenen 8 Richungveko aufgeell: g: 8 Schnipunk von g mi de Tumebene ABEF: Koodinaengleichung de Tumebene: 8 Schnipunk Geade mi Ebene: 8 8 alo

8 Von dieem Endpunk S au wid nun eine Geade mi dem angegebenen 8 Richungveko aufgeell: g: 8 Schnipunk von g mi de Tumebene ABEF: Koodinaengleichung de Tumebene: 8 Schnipunk Geade mi Ebene: 8 8 alo Schnipunk Z (8//). Geh man vom Punk Z au enkech nach unen, ehäl man einen Schaenpunk Z am Übegang zwichen Boden und Wand: Z(8//). Die Schaenlänge egib ich au de Summe de Secken Z' Z Z' Z und PZ PZ Geame Schaenlänge =, m Z' Z PZ c) Auf de geichelen Geaden duch D (//) und B (8/8/) beweg ich da Auge de Kinde. Sobald ich da Auge im Punk K befinde, kann da Kind die Tumpize S ehen. De Punk K i lau Skizze de Schnipunk de Geaden D B und SF. 8 g D 'B' : 8 und h SF : Schnipunk de Geaden egib ich duch Gleichezen: 8 und 9 Schnipunk 8 8 K ( / / ) De Aband de Punke K von de Tumkane BF enpich de Secke (da de Veko B ' K ohogonal auf de Tumkane BF eh). E gil: B'K B'K, m Die Enfenung de Kinde von de Tumkane BF beäg, m. 8 B ' K

Die Schaenlänge egib ich au de Summe de Secken Z' Z Z' Z und PZ PZ Geame Schaenlänge =, m Z' Z PZ c) Auf de geichelen Geaden duch D (//) und B (8/8/) beweg ich da Auge de Kinde.

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