Aufgabe 15 Kurbeltrieb eines Motorradmotors

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1 Zentale chiftliche Abituüfungen im Fach Mathematik Analyi Leitungku Aufgabe 15 Kubeltieb eine Motoadmoto TG In Abbildung 1 it de Kubeltieb eine Motoadmoto dagetellt. De Pleuel übetägt die Kaft de Kolben auf die Kubelwelle und wandelt die geadlinige Bewegung de Kolben in die Dehbewegung de Kubelwelle um. Fü die Unteuchung de Kubeltiebe wid die Anodnung um 90 gedeht und auf die weentlichen Zuammenhänge eduziet dagetellt (iehe Abb. ). Schwungad De Radiu de Kubelwelle ei, die Länge de Pleueltange ei. Die Kubelwelle dehe ich gleichfömig im Uhzeigeinn mit de Winkelgechwindigkeit. Bei dem Dehwinkel = 0 liegen Pleueltange und Kubel auf eine gemeinamen Geaden. De Kolbenbolzen K befinde ich an de Stelle = 0. Abb. 1 0 K Abb. a) Zeigen Sie, da de Ot duch die Funktion mit de Gleichung bechieben wid. ( ) (1co ) 1 1 in f Bei dem abgebildeten Motoadmoto betägt da o genannte Schubtangenvehältni 0,. De Kolbenbolzen K bewegt ich zwichen einen beiden Totunkten auf eine Geaden hin und he. b) Betimmen Sie den Kubelwinkel o, da ich de Kolbenbolzen K genau zwichen den beiden Totunkten befindet. c) Beechnen Sie den Kubelwinkel o, da die Pleueltange da Schwungad tangiet. 19

2 Analyi Leitungku Zentale chiftliche Abituüfungen im Fach Mathematik Benutzen Sie im Folgenden die Näheungfunktion * al Otfunktion fü den Kolbenbolzen: * (1 co ) in d) Becheiben Sie den Bewegungablauf de Kolben. Betimmen Sie die Gleichung de Funktion de Kolbengechwindigkeit in Abhängigkeit vom Dehwinkel. e) Betimmen Sie den Kubelwinkel, bei dem ich de Kolben mit maximale Gechwindigkeit v max bewegt. Die Übeüfung de Maximum mit Hilfe de. Ableitung it nicht efodelich! Allgemeine Hinweie: (1) () (3) in co 1 in in co( ) co 1 (Sinuatz) d d d (4) Kolbengechwindigkeit: v d d mit (kontante Winkelgechwindigkeit!) 130

3 Zentale chiftliche Abituüfungen im Fach Mathematik Analyi Leitungku Ewatunghoizont Löungkizze a) E gibt zwei Möglichkeiten dafü, da Kubel und Pleueltange auf eine Geaden liegen: Totunkte. Zuodnung, Bewetung Bei = 0 it de Abtand zwichen Kubellage und Kolbenbolzen K maximal. P + Au de Skizze it abzuleen: ( co co ). Sinuatz und tigonometiche Pythagoa eliminieen den Winkel : in in in in ; co 1in ; f( ) (1co ) 1 1 in 10 0 b) Die Totunkte ind duch = 0 und = betimmt, de Mitte zwichen den beiden Totunkten enticht demnach =. (1 co ) 1 1 in (1 co ) 1 1 in co 1 1 in 1 co 1 in (1 co ) 1 in mit in 1co 131

4 Analyi Leitungku Zentale chiftliche Abituüfungen im Fach Mathematik Löungkizze Zuodnung, Bewetung (1 co ) 1 in mit in 1co 1 co co 1 co co acco Fü = / = 0, befindet ich de Kolbenbolzen K bei = 84,6 und = 75,74 genau zwichen den beiden Totunkten. 0 c) Die Pleueltange tangiet da Schwungad genau dann, wenn Kubel und Pleueltange aufeinande enkecht tehen. Die füht auf die Bedingung: cot und daau: ac cot Fü 0, tangiet die Pleueltange da Schwungad bei = 78,69 und = 81, d) De Kolben bewegt ich zwichen den beiden Totunkten hin und he. Seine Gechwindigkeit it in den beiden Totunkten v = 0 und eeicht zwichen ihnen ih Maximum. * * v d d d in d inco d d etzt man d, o wid v * in in( ) (in in( )). 10 e) Bei de maximalen Kolbengechwindigkeit mu die Bechleunigung de Kolben den Wet a = 0 haben. E genügt hie auch, mit de 1. Ableitung v () zu agumentieen! dv d a v (co co( )) = 0 d co co( ) 0 mit co( ) co 1 co (co 1) 0 13

5 Zentale chiftliche Abituüfungen im Fach Mathematik Analyi Leitungku co co 0 1 co co 0 Löungkizze 1 co 4 16 mit 0, co co 1 0,18615 co,6815 entfällt, da co 1! Zuodnung, Bewetung acco0, ,7 fü den Hinweg 36079, 780,73 fü den Rückweg 10 0 Ingeamt 100 BWE