Rotation starrer Körper

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1 Rotation tae Köpe De tae Köpe Eine Menge von Maepunkten, die fet iteinande vebunden ind, wid al tae Köpe bezeichnet. Diee Modell wid vewendet, wenn die Becheibung de Dehbewegung it de Modell de Maepunkte chlecht ode unöglich it. Dehbewegung eine taen Köpe: dϕ it b ϕ = ϕ... Dehwinkel... Abtand vo Dehpunkt t... Zeit b... Bogenlänge ω... Winkelgechwindigkeit gleichföige Dehbewegung: ϕ t ϕ und ω ind fü alle Punkte de taen Köpe gleich. Die Winkelgechwindigkeit it die ete Ableitung de Dehwinkel nach de Zeit. bechleunigte Dehbewegung: dω d ϕ α = α = Die Winkelbechleunigung it die ete Ableitung de Gechwindigkeit nach de Zeit. Die Winkelbechleunigung it die zweite Ableitung de Dehwinkel nach de Zeit. gleichäßig bechleunigte Dehbewegung ω α = ω 0, t 0 = 0 t Syteatiieung: Tanlation Rotation Zuaenhang d v = dv a = = d ϕ dϕ dω d ϕ α = = ϕ = v a α =

2 Rotationenegie Schwungadauto, Jo-Jo, Maxwell che Rad Wo teckt die Enegie i tieften Punkt? Egebni in de Dehbewegung- Rotationenegie 1 = ω Rotationenegie 443 Kinetiche Enegie eine Maepunkte E kin = v = ω Rotationenegie von i Maepunkten 1 1 E kin = ω i i = ω i i i i Rotationenegie eine Köpe it unendlich vielen Maepunkten V dv E kin it 1 = ω it de Mae d d = J d J... Tägheitoent de Köpe, analoge Göße zu Mae bei de Tanlation Analogie: 1 1 Etan = v Eot = Jω Zwei Foen de kinetichen Enegie: Tanlationenegie-Rotationenegie Übung Eine Kugel ollt eine geneigte Ebene hinab. Becheibe die Enegieuwandlungen!

3 Tägheitoente augewählte Köpe Maepunkt J = Vollzylinde 1 J = Hohlzylinde 1 J = ( a + i ) dünnwandige Hohlzylinde ( a = i ) J = Kugel J = 5

4 Übungen zu Tägheitoent 1. Eine Kugel it de Radiu und de Mae ollt au de Höhe h eine geneigte Ebene hinab. Beechne die Tanlationgechwindigkeit i tieften Punkt! E A = E B = J v gh v + ω J = v gh = v + 5 v v gh = gh = v 10 v = 10 gh 7 5 Die Gechwindigkeit it unabhängig von de Mae und vo Radiu.. Maxwellche Rad (Idealiieung al dünnwandige Hohlzylinde) J v gh = v + ω J = R gh = v v R gh = + R + v v R gh = (1+ ) v = gh R 1+ Beechnung de Gechwindigkeit fü h = 40 c, R = 5,65 c, = 3 Egebni: v = 0,15-1 v

5 Übung Vollzylinde und Hohlzylinde ollen eine geneigte Ebene hinunte. Wau kot de Vollzylinde chnelle unten an? Übung Eine Kugel und ein Vollzylinde ollen eine geneigte Ebene de Länge,0 hinunte. De Neigungwinkel betägt 30. Beechne die zeitliche Diffeenz, it de beide unten ankoen! Kugel: gh = v gl inα = v v = J + ω J + ω 10gl inα 7 = 3,74 v J = 5 v J = 5 h = l inα Vollzylinde: 4glin30 v = = 3 3,6 au a = t folgt t = v t Kugel = 1,105 t Hohlz = 1,070 v = at t = 0,035 De Satz von Steine J = J + d Da Tägheitoent eine Köpe de Mae bezüglich eine Ache, die i Abtand d paallel zu eine Schwepunktache veläuft, it gleich de Sue au de Tägheitoent bezüglich de Schwepunktache und de Tägheitoent de i Schwepunkt S veeinigt gedachten punktföigen Köpeae, die u die Dehache läuft. z.b. otieende Scheibe S... Schwepunktache D... Dehache... Mae de Scheibe... Radiu de Scheibe d... Abtand de Schwepunkte von de Dehache 1 J = + d ZF Da Tägheitoent eine Köpe it abhängig von de Dehache, de Fo und von de Maeveteilung de Köpe.

6 Übung zu Satz von Steine 1. Gegeben ind vie kleine Kugeln it je ein Kiloga Mae, die duch aeloe Stäbe iteinande vebunden ind und die Eckpunkte eine Rechteck it den Seitenlängen a und b bilden. E gilt: a =,0 b = 4,0 d = 5,0 Beechne da Tägheitoent bei Dehung u die Achen I bi IV! I: II: b J = 4 ( ) = 16kg a J = 4 ( ) = 4kg III: J = 4 ( ab ) = 6,5kg a + b Begündung de Länge de Seite x: ABC~ ABF x b = AC = a + b a AC x b = a a + b ab x = a + b IV: a J = 4 ( ) + d = 104kg. Beechne da Tägheitoent de Monde bei eine gebundenen Rotation u die Ede! J = J + d = MM + MdE M = kg

7 Bewegunggeetze de Rotation 1. Zuaenhang zwichen Dehwinkel und Zeit bei de Keibewegung Heleitung de ϕ - t - Geetze de Rotation dϕ dϕ = ω dϕ = dϕ = ω ω ϕ = ωt + ϕ 0 (gleichföige Rotation) Zuaenhang zwichen Dehwinkel bzw. Winkelgechwindigkeit und Zeit bei gleichäßig bechleunigte Keibewegung α ϕ = t α = cont., ϕ 0 = 0, ω 0 = 0 ω-t-geetz dω α = dω = α α α t + ω 0 ϕ-t-geetz ϕ = ω ϕ = α ϕ = t ( αt + ω) + ωt + ϕ 0

8 Da Dehoent Die Scheibe it i Gleichgewicht, wenn gilt: F 1 = F wenn F (Hebelgeetz) 1 Die Scheibe it i Gleichgewicht, wenn gilt: F 1 1 = F x F 1 1 = F inϕ F inϕ becheibt da Vehalten de Scheibe und wid Dehoent genannt. Definition: M = F inϕ (Betag de Dehoente) M = F (Dehoent-Vekto) Da Dehoent bei de Rotation entpicht de Kaft bei de Tanlation. { 1 F b = Jω 1 F ϕ = J( αt) M Gundgeetz de Rotation Bechleuni gungabeit = Rotationenegie 1 M ϕ = J( αt) 1 1 M αt = J( αt) M = J α (Analogie zu F = a bei de Tanlation)

9 De Dehipul Tanlation: p = v Kafttoß al zeitliche Ändeung de Ipule: Rotation: [ L] kg = vektoiell: L = J ω dp F = Dehoent al zeitliche Ändeung de Dehipule: dl M = = L J ω Dehipulehaltungatz: Stae Köpe: Wikt auf einen taen Köpe kein äußee Dehoent, o it de Dehipul bezüglich eine feten Ache kontant. L = J cont. (Tägheitgeetz de Rotation) allgeein: De Geatdehipul eine abgechloenen Syte it kontant. Abgechloen it ein Syte, wenn kein äußee Dehoent wikt. Beipiele fü da Wiken de Dehipulehaltungatze: - Planetenbewegung u die Sonne - Hula-Hup-Reifen - Telle jonglieen - Fahadfahen - Diku - Piouette bei Eikuntlaufen - Salto bei Tunen - fallende Katze

10 Dehcheelveuche 1. - Peon bechleunigt da Rad - Peon und Rad dehen ich it entgegengeetzte Dehipul L ge = 0. - dehende Rad wid de uhende Peon übegeben - Peon bet Rad ab - Peon deht ich it gleiche Dehipul wie da Rad vohe 3. - dehende Rad wid de uhende Peon übegeben - Peon deht die Ache u 90 nach von - Peon deht ich it de gleichen Dehipul wie da Rad vohe 4. - Peon deht da Rad nach unten - Peon deht ich it doppelte Dehipul wie da Rad vohe 5. - Radache bei Übegeben hoizontal - Anfangkoponente in Achenichtung = dehende Peon it nach außen geteckten Hanteln zieht die Ae an den Köpe - ω nit zu, weil J abnit 7. - dehende Peon it Hanteln a Köpe teckt die Ae vo Köpe weg - ω nit ab, weil J zunit

11 De Keiel Wau kippen die Keiel nicht u? Wie funktioniet ein Keielkopa? dl dp M = ana log F = (Kafttoß) dliegt L in Richtung von M. M = F M teht enkecht auf de von undf aufgepannten Ebene. De Keiel weicht eitlich au, die Dehache vollfüht eine Dehbewegung (Päzeion). außede titt noch eine Nickbewegung wähend de Päzeion auf (Nutation).

12 Dehchwingungen Hoizontalfedechwinge Dehchwinge ückteibende Kaft: ückteibende Moent: F = - D D Fedekontante M = - D ϕ D... Winkelichtgöße Schwingungdaue: T = π k T = π J D