Technische Mechanik III (Dynamik)

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1 Institut fü Mechanische Vefahenstechnik und Mechanik Beeich Angewandte Mechanik Vopüfung Technische Mechanik III (Dynamik) Mittwoch, , 9:00 :00 Uh Beabeitungszeit: h Aufgabe ( Punkte) Übequeung eines stömenden Flusses Ein Fluss de Beite 0 hat eine konstante Stömungsgeschwindigkeit w. Ein Schwimme möchte von A nach B gelangen und schwimmt deshalb mit konstante Relativgeschwindigkeit v gegenübe dem Fluss imme genau in Richtung auf B zu, obwohl die Stömung ihn abteibt. gegeben: w, v, 0 a) Beechnen Sie die Bahnkuve des Schwimmes ( ϕ ) b) π Wie goß ist ϕ =, d. h. wenn de Schwimme am linken Ufe angekommen ist. Untescheiden Sie dei Fälle: i) v > w ii) v = w iii) v < w c) Skizzieen Sie den Velauf de Bahnkuve fü die dei in b) genannten Fälle d) Stellen Sie fü den Fall v = w die Bahnkuve in katesischen Koodinaten als y(x) da. Hinweis: dϕ = ln tanϕ cosϕ + cosϕ tan ϕ dϕ = lncosϕ

2 Lösung: a) Vewende Polakoodinaten e ϕ ϕ v w e B ϕ A ves = e + ϕ e = + v w ϕ (Koeffizientenvegleich) = v + wsinϕ () ϕ= wcosϕ () () und () nach dt auflösen und gleichsetzen egibt ϕ d v = ln = tanϕ dϕ w cosϕ v + sinϕ dϕ = ln( cosϕ) ln Hinweis: = ln + tanϕ w cosϕ cosϕ cosϕ Anwenden de e-funktion egibt = 0 v w ( cosϕ) ( + sinϕ) v w π b) fü ϕ= egibt sich π i) v >> w = 0 π 0 ii) v = w = π iii) v << w = 0 v w = 0 v w TM III

3 c) y B A B A B ϕ x A v >> w v = w v << w d) 0 0 y + ϕ y x = = = + y = sin 0 Paabel TM III

4 Aufgabe a (4 Punkte) Rutschen ode Rollen auf glattem Boden gegeben: α, R, M Rutscht ode ollt ein homogene Zylinde (auf glattem Boden) schnelle eine schiefe Ebene hinunte? Aufgabe b (4 Punkte) Eine goße Walze ollt auf eine hoizontalen Ebene und zieht übe eine exzentisch angebachte Stange eine kleinee Walze nach. Bestimmen Sie fü den in de Skizze dagestellten Bewegungszustand den Momentanpol de Bewegung de Vebindungsstange (schaffiet dagestellt). Sie können die Lösung diekt in das Aufgabenblatt einzeichnen. TM III

5 Aufgabe c (4 Punkte) Das skizziete Planetengetiebe wid so betieben, dass das Gehäuse (3) feststeht. Die Winkelgeschwindigkeit ω4 des Stegs (4) ist vogegeben. ω, ω = 0,, Gegeben: 4 3 Wie hoch ist die Winkelgeschwindigkeit ω des Sonnenades ()? TM III

6 Lösung: a) Enegiesatz i) Rollen v =ω R ohne Rutschen E = E + E = Mv + Jω kin tans ot mit J = MR E 3 4 Roll kin = Mv ii) eines Rutschen bzw. Gleiten E Gleit kin = Mvgl bei de Abwätsbewegung steht jeweils die gleiche potentielle Enegie zu Vefügung Roll Gleit 3 3 in jede Höhe Ekin = Ekin Mvgl = Mv vgl = v 4 Gleitgeschwindigkeit in jede Höhe göße als Rollgeschwindigkeit b) Gleiteibung > Rolleibung bei stake Reibung können sich Vehältnisse umkehen x M TM III

7 Lösung: c) Winkelgeschwindigkeit Steg ω 4 Geschwindigkeit des Planetenades () v =ω + ( ) 4 Planetenad () füht Rollbewegung auf dem feststehenden Gehäuse (3) aus, Kontaktpunkt ist Momentanpol π ( ) ω + 4 ( ) ω + 4 Sonnenad () ollt auf () ab Geschwindigkeit am Kontaktpunkt ist gleich ( + ) ω4 ω = TM III

8 Aufgabe 3 (8 Punkte) Kippende Scheibe φ = 0 = 0 ) in Eine homogene Scheibe (Masse m, Radius ) beginnt aus de Ruhe ( ( t ) de Lage φ ( t 0) φ0 = = übe eine Kante zu kippen. De Hafteibungskoeffizient zwischen Kante und Scheibe sei µ 0. a) Beechnen Sie φ als Funktion von φ. b) Wie goß sind die Nomalkaft N( φ ) und die Hafteibungskaft H ( φ )? c) Bei welchem Winkel φ beginnt die Scheibe auf de Kante abzugleiten? (Es genügt, die Bestimmungsgleichung fü φ aufzustellen.) TM III

9 Lösung: a) φ A Beechne Enegiesatz E E φ als Funktion von φ ( φ ) +ψ( φ ) = E ( φ ) +ψ( φ ) k k 0 0 k ( ) φ A =θ ψ= mg cosφ A ( ) θ = + 3 m m = m Steine ( S) θ ( A) θ φ + mg cosφ= mg cosφ 4 g φ = φ φ = φ φ θ 3 ( ) ( cos ) ( ) A 0 cos mg cos 0 cos b) Beechne N ( φ ) und H ( φ ) Impulssatz P = F= ma hie: Bewegung des Schwepunkts auf Keisbahn 0 Nomalbeschleunigung: Tangentialbeschleunigung: φ φ Zelegung de Schwekaft in Nomal-+Tangentialkomponente mg N H TM III

10 Nomal: mφ = mgcosφ N mit φ aus a) 7 4 N= mg cosφ cosφ 3 3 Tangential: m φ= H + mgsinφ φ egibt sich aus Ableitung de Funktion φ ( φ ) 4g g φφ= sinφφ φ= sinφ 3 3 g H= mgsinφ m sinφ= mgsinφ 3 3 c) Gleitbedingung, kitische Winkel φ 7 4 H =µ N mgsinφ =µ mg cos cos 3 φ φ TM III

11 Aufgabe 4 (0 Punkte) Deifaden-Pendel Eine Keisscheibe (Radius R, Masse m) ist an dei Fäden (Länge l ) aufgehängt, so dass sie um die Achse duch ihen Mittelpunkt Dehschwingungen ausfühen kann. Die Fäden sind im Abstand vom Mittelpunkt de Scheibe befestigt. De Auslenkwinkel ϕ de Scheibe sei klein. Gegeben: R, m,, l a) Geben Sie die kinematische Beziehung zwischen dem kleinen Dehwinkel ϕ de Scheibe und dem Auslenkwinkel α de Fäden an. b) Bestimmen Sie den Tanslationsanteil E k, tans und den Rotationsanteil, E k, ot an de kinetischen Enegie E k. Hinweis: ϕ cosϕ c) Was gilt fü das Vehältnis E k, tans / E k, ot im Fall kleine Dehwinkel ϕ? d) Bestimmen Sie fü diesen Fall die Bewegungsgleichung fü ϕ () t und lesen Sie hieaus die Schwingungsfequenz ω des Systems ab. TM III

12 Lösung: a) kinematische Beziehung α ϕ l b) E k,ot = θω = mr ϕ 4 E k,tans = mv z v z dz = dt l ( α ) d = dt =αα= l ϕϕ l 4 m Ek,tans = ϕ ϕ l α l z ( ) z = l cosϕ α l l α c) Ek,tans << Ek,ot d) vewende Enegiesatz E +ψ= const E +ψ k k,ot l l ψ= mgz = mgl( cosα ) = mg α = mg l ϕ de ( k +ψ ) = 0 dt m R ϕ ϕ+ 4 mg l ϕϕ = 0 R g ϕ+ ϕ= 0 l g ϕ+ ϕ= 0 l R ω= g l R TM III

13 Aufgabe 5 nu VT (8 Punkte) Eine Seilscheibe (Masse m, Radius,Tägheitsmoment θ ) ist eibungsfei dehba gelaget. Von diese Seilscheibe spult sich ein masseloses Seil ab, dessen Ende auf eine weiteen Rolle (Masse m, Radius,Tägheitsmoment θ ) aufgewickelt ist, welche fei am Seilende hängt. Gegeben: m,, θ, m,, θ a) Fühen Sie die Dehwinkel und de beiden Rollen als veallgemeinete Koodinaten ein und stellen Sie die Lagange Gleichungen. At fü das System auf. b) Beechnen Sie die Winkelbeschleunigungen ϕ und ϕ de beiden Rollen. TM III

14 Lösung: Fü Lagange-Gleichungen.At weden die kin. und pot. Enegie benötigt. Veallgemeinete Koodinaten ϕ, ϕ Scheibe bewegt sich um die Stecke x nach unten Kinematik: x = ϕ + ϕ E = E + E = θϕ + θ ϕ + m v ψ= mgx k ot tans S L = E ψ L = m ( ϕ + ϕ ) +θϕ ϕ d L = m( ϕ + ϕ ) +θϕ dt ϕ L = mg ϕ d L L = 0 fü i=, dt q i ϕi Bewegungsgleichungen k ( ) ( ) m ϕ + ϕ +θϕ = mg m ϕ + ϕ +θ ϕ = Gleichungen fü Unbekannte θ ϕ = ϕ θ mg ϕ = θ m + m +θ θ TM III

15 Aufgabe 5 nu CIW (8 Punkte) Eine Seilscheibe (Masse m, Radius,Tägheitsmoment θ ) ist eibungsfei dehba gelaget. Von diese Seilscheibe spult sich ein masseloses Seil ab, dessen Ende auf eine weiteen Rolle (Masse m, Radius,Tägheitsmoment θ ) aufgewickelt ist, welche fei am Seilende hängt. Gegeben: m,, θ, m,, θ a) Beechnen Sie die Beschleunigung a s, mit de sich de Schwepunkt de feien Seilscheibe nach unten bewegt. b) Bestimmen Sie die Zugkaft F im Seil? TM III

16 Lösung: Feischneiden ω F F ω x S mg Dehimpulssatz Scheibe θω =F () Dehimpulssatz Scheibe θω =F () Impulssatz Scheibe ma = mg F (3) S Kinematik dxs vs = =ω +ω dt dxs (4) as = =ω +ω dt 4 Gleichungen fü 4 Unbekannte F, ω, ω,as Gl.() θ und Gl.() θ ( ) F( ) θθ ω +ω = θ + θ as θθ F= a S (5) θ + θ einsetzen in (3) a S mg = θθ m + θ + θ TM III

17 einsetzen in (5) egibt F Veeinfachung mg 4 m = m = m as = = g 5 = = θ m + θ =θ =θ= m m 4 F= g= mg 5 5 TM III