Lösung VII Veröffentlicht:

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1 1 Konzeptionelle Fragen (a) Kann Haftreibung Arbeit verrichten? Wenn Haftreibung intern ist, ist sie eine verlustfreie Kraft und leistet keine Arbeit am gewählten System. Als externe Kraft kann Haftreibung allerdings Arbeit verrichten. Dies erscheint verwunderlich, da Haft prinzipiell keine Bewegung impliziert. Wichtig hierbei ist, dass hier die Bewegung relativ zur Berührungsfläche gemeint ist. Die Haftreibung hält ein Kid also auf dem Schlitten, auch wenn sich der Schlitten selber bewegt! Wählt man als System nur das Kind, verrichtet die Haftreibung des Schlittens positive Arbeit am Kind. Weiteres Beispiel: Angenommen zwei Blöcke liegen aufeinander und der untere liegt auf einer reibungsfreien Fläche. Nun wirkt eine Kraft auf den oberen der beiden Blöcke. Aufgrund von Haftreibung wird sich der untere auch bewegen. Man könnte auch sagen, dass die Kraft einfach vom oberen auf den unteren Block übertragen wird. Das wäre dann nicht wirklich verschieden von einem soliden Block und man würde nicht von verrichteter Arbeit reden. Allerdings kann man wenn man will Übertragung von Kraft als Arbeit bezeichnen, da es in die Definition von Arbeit passt. Haftreibung kann also als interne Kraft keine Arbeit verrichten, und wenn sie als externe Kraft wirkt kann sie Arbeit verrichten. (b) Zwei Blöcke werden zum gleichen Zeitpunkt mit gleicher Geschwindigkeit auf zwei Bahnen mit unterschiedlichem Anstieg losgeschossen. Welcher wird die Ziellinie zuerst erreichen? Angenommen die Blöcke A und B starten an Punkt O und A nimmt den weg mit größerem Anstieg während B den mit geringerem Anstieg nimmt (sagen wir den Boden). Bei A verrichtet die Gravitation negative Arbeit auf den Block. Dadurch sinkt seine kinetische Energie und damit seine Geschwindigkeit. Bei B verrichtet die Gravitation keine Arbeit (wenn der Weg am Boden verläuft) und somit wird sich seine kinetische Energie und Geschwindigkeit nicht verändern. Die Zeit bis die Blöcke die Ziellinie erreichen hängt von der Geschwindigkeit ab. B ist also zuerst da. 2 Arbeit durch konservative Kraft (a) Ein Ball der Masse 1kg wird mit einem Winkel zum Boden los geworfen und erreicht eine maximale Höhe von h = 20 m. Prinzipiell kann man die entlang des Weges verrichtete Arbeit berechnen. Das ist aber kompliziert, da der Winkel zwischen Bewegung und Gravitationskraft entlang der Trajektorie variiert. Man kann das kinetische Energie-Arbeit Theorem benutzen um die Anfangs- und Endgeschwindigkeit zu berechnen. Man kann aber auch einfach den Fakt verwenden, dass es sich bei der Gravitationskraft um eine konservative Kraft handelt und dann die Arbeit schreiben als 1 / 6

2 W = W (horizontal) + W (vertical) = 0 mgh. Also ist die verrichtete Arbeit W = 196 J. Abbildung 1: Ein Ball, der unter einem Winkel zum Boden los geworfen wurde und seine Maximalhöhe. 3 Energieerhaltung (a) Ein Pendel der Länge l, an dem ein Ball der Masse m hängt wird unter einem Winkel θ im Punkt A aus der Ruhe losgelassen, wie in Abbildung 2 (a) zu sehen ist. Die Gesamte mechanische Energie ist E A = K A + U A = 0 + mgl(1 cos θ), Da es im System keine Verluste gibt, ist die mechanische Energie erhalten. Die mechanische Energie im Punkt O ist E o = K o + U o = 1 2 mv2 o + 0, Benutzt man, dass E A = E o erhält man für die Geschwindigkeit des Balls im Punkt O v o = 2gl(1 cos θ). (b) Ein Block rutsch eine reibungsfreie Rampe der Höhe h = 5 m hinunter (bei Punkt A) (vgl. Abb.2 (b)). Die Anfangsgeschwindigkeit beträgt 2 m/ s. Gravitation ist hier die Einzige Kraft, die Arbeit am Block verrichtet, die mechanische Energie bleibt also erhalten. Das bedeutet E A = E B = E C. Offensichtlich ist 2 / 6

3 E A = K A + U A = 1 2 mv2 A + mgh und Da E A = E B sieht man, dass v B = Das gleiche gilt für E C : E B = K B + U B = 1 2 mv2 B + mg(0). v 2 A + 2gh. Und somit v B 10 m/ s. Mit E B = E C sieht man, dass v C = E C = K C + U C = 1 2 mv2 C + mg ( h). 3 v 2 B 2/3gh. Und somit v c 8.2 m/ s. Achtung: Wirkt eine nicht konservative Kraft (z.b Reibung), ist die mechanische Energie nicht erhalten. Die Arbeit durch die nicht konservative Kraft verändert die mechanische Energie nach E = W non conservative. Abbildung 2: Ein Pendel der Länge l. (b) Ein Block rutsch eine reibungsfreie Rampe der Höhe h hinunter. 4 Energieverlust durch Reibung Ein 2kg Block startet auf einer Höhe von 2 m auf einer reibungsfreien Rampe mit Steigungswinkel 30 aus der Ruhe, wie in Abbildung 3 (a) dargestellt ist. Auf der horizontalen Fläche befindet sich ein 0.5 m langes raues Stück mit einem Gleitreibungskoeffizienten von 0,2. Nach dem rauen Stück ist die Fläche wieder reibungsfrei und am Ende befindet sich eine Feder mit Federkonstante 500 N/ m. 3 / 6

4 Um die Distanz um welche die Feder eingedrückt wird auszurechnen brauch man die kinetische Energie des Blocks kurz bevor er auf die Feder trifft und die mechanische Energie, die durch die Reibung verloren geht. Am Anfang hat der Block folgende mechanische Energie E 0 = K 0 + U 0 = mgl sin θ. Das ist die gesamte mechanische Energie bevor de Block über das raue Stück rutscht. Nach der Fläche mit Reibung ist ein Teil der mechanischen Energie verloren. Benutzt an, dass E = W friction, erhält man für die Veränderung der mechanischen Arbeit aufgrund von Reibung E f E 0 = W friction = f k d, wobei f k = µnd = µmgd. Dann ist die mechanische Energie am Ende E f = E 0 µmgd, Also E f = mg(l sin θ µd). Das ist die gesamte mechanische Arbeit vor dem Aufprall auf die Feder. Jetzt benutzt man wieder, dass die mechanische Arbeit erhalten bleibt: E f = 1 2 κx2. dabei ist x die Distanz um welche die Feder zusammengedrückt wird. Auflösen nach x: x = Einsetzen der Werte ergibt x = 0.27 m. 2mg(l sin θ µd) κ Abbildung 3: ((a) Ein Block startet aus der Ruhe auf einer schiefen Ebene und trifft dann auf ein raues Stück Strecke und eine Feder. (b) Ein Ball wird gegen eine Feder gedrückt und dann losgelassen. Er bewegt sich dann auf einem reibungsfreiem Looping mit Radius r 4 / 6

5 5 Feder-Ball Looping Ein kleiner Ball der Masse m wird gegen eine Feder mit Federkonstante κ gedrückt und dort gehalten. Die Feder wird dabei um eine unbekannte Distanz x eingedrückt (vgl. Abb. 3 (b)). Wenn der Ball losgelassen wird rutscht er einen reibungsfreien Looping mit Radius r entlang. Wenn der Ball den höchsten Punkt im Looping erreicht, ist die Kraft vom Looping auf dem Ball (die Normalkraft) zwei mal so groß wie die Gravitationskraft, die auf die Masse wirkt. (a) Die anfangs kinetische Energie ist K 0 = 0 und die anfangs potentielle Energie ist U 0 = 1/2 κx 2. Also ist die gesamte mechanische Energie E 0 = K 0 + U 0 = 1 2 κx2, Im höchsten Punkt des Loopings ist die kinetische Energie des Blocks K f = 1/2mv 2 top und sein potentielle Energie ist U f = mg(2r). Somit ist die mechanische Energie am Ende E f = K f + U f = 2mgr mv2 top, diese ist gleich der mechanischen Energie am Anfang (d.h. E 0 = E f ). Daraus erhält man die kinetische Energie um höchsten Punkt K f = 1 2 mv2 top = 1 2 κx2 2mgr. (b) Am obersten Punkt im Looping wirkt die Gravitationskraft (mg) nach unten und die Normalkraft (N = 2mg) nach unten. Newtons II Axiom liefert: beziehungsweise N + mg = mv2 top r 3mg = mv2 top. r Mit dieser Gleichung kann man die kinetische Energie schreiben als 1/2mv 2 top = 3/2mgr. somit ist die Geschwindigkeit 5 / 6

6 v top = 3mgr. (c) Aus Teilaufgabe (a) findet man K f = 1 2 κx2 2mgr, und aus Teilaufgabe (b) ist bekannt, dass K f = 1 2 mv2 top = 3 2 mgr, Nun setzt man K f in die Gleichung ein und erhält 3 2 mgr = 1 2 κx2 2mgr, Auflösen nach x ergibt die Distanz um die die Feder eingedrückt wurde x = 7mgr κ. 6 / 6