Rechenaufgaben zur Mechanik, Rotationen und Schwingungen, Elektrodynamik und Optik

Transkript

1 Rechenaufgaben zur Mechanik, Rotationen und Schwingungen, Elektrodynamik und Optik 21. Aufgabe: Tenniskatapult [ =20 Punkte] Tim möchte seinem Spielkameraden Carlo eine Freude machen und diesem einen Tennisball der Masse m = 100 g zuwerfen. Leider hat er sich gestern den Arm gestaucht, weshalb er die unten dargestellte Konstruktion gebaut hat. Diese besteht aus einer Feder mit der Federkonstanten k = 400 N/m, deren Gleichgewichtsposition sich in Punkt 1 befindet, und einer insgesamt l = 150cm langen Rampe mit dem Neigungswinkel Θ = 45. Um den Tennisball abzuschießen wird die Feder um l 1 = 20cm gestaucht (Punkt 0). 3 Tim l1 l Carlo 4 l 3 (a) Punkt 1 Punkt 0 Wie groß ist die Kraft vom Betrag her, die benötigt wird, um die Feder um l 1 = 20cm zu stauchen? (b) Punkt 0 Punkt 1 Nun wird die Feder losgelassen. Zeigen Sie unter Vernachlässigung von Reibungseffekten, dass sich der Tennisball mit der Geschwindigkeit v 1 = 45,1km/h durch die Gleichgewichtslage der Feder im Punkt 1 bewegt. (Hinweis: Energieerhaltung) (c) Punkt 1 Punkt 2 Auf dem restlichen Weg über die Rampe (l 2 = 100cm) verliert der Ball durch Gleitreibung und durch Umwandlung in potentielle Energie an kinetischer Energie, wobei für den Gleitreibungskoeffizienten gilt: µ G = 0,5. Zeigen Sie, dass der Ball die Rampe im Punkt 2 mit der Geschwindigkeit v 2 = 42,1km/h verlässt. Bestimmen Sie zudem die x und y Komponente von v 2. (d) Punkt 2 Punkt 3 Wie hoch darf der Zaun im Punkt 3 maximal sein, damit der Ball im Garten landen kann? Reibungseffekte während des Fluges sowie der Höhenunterschied zwischen der Position 0 und dem Boden können vernachlässigt werden. (e) Punkt 2 Punkt 4 Wie lange ist der Ball insgesamt in der Luft? Bestimmen Sie zudem l 3, wobei Sie wieder sämtliche Reibungseffekte während des Fluges sowie den Höhenunterschied zwischen der Position 0 und dem Boden vernachlässigen können. 8

2 Name, Vorname Matrikelnummer 22. Aufgabe: Fadenpendel [ =10 Punkte] Ein einfaches Pendel besteht aus einer punktförmigen Masse m = 100 g, welche an einem masselosen Faden der Länge l = 1 m befestigt ist. Der Massepunkt wird ohne einen zusätzlichen Anstoß bei gespanntem Faden in der Position losgelassen, bei der der Faden den Winkel Θ = Θ 0 = 10 mit der Vertikalen einschließt. (a) In welchem Punkt oder welchen Punkten der Pendelbewegung sind die potentielle beziehungsweise die kinetische Energie jeweils maximal und in welchen minimal? (b) Wie groß ist die maximale Geschwindigkeit v max des Pendels? An welcher Position wird diese Geschwindigkeit erreicht? (c) Beschreiben Sie die Geschwindigkeit des Pendels allgemein als Funktion des momentanen Auslenkungswinkels Θ. (d) Berechnen Sie die Periodendauer der Schwingung. 23. Aufgabe: Looping [ =10 Punkte] Ein Körper der Masse m = 1kg gleitet reibungsfrei aus einer Höhe h (Punkt 1) herab. Auf seinem Weg liegt ein Looping mit dem Radius r = 2m. Am Ende der Strecke (Punkt 4) befindet sich eine Feder mit der Federkonstanten k = 500 N/m. (a) Welche Kräfte müssen sich ausgleichen, damit der Körper den Looping durchqueren kann? (Tipp: Rotation) (b) Berechnen Sie die Geschwindigkeit, über die der Körper im Scheitelpunkt (Punkt 3) des Loopings mindestens verfügen muss, um ihn zu durchqueren. (c) Berechnen Sie nun die Höhe, von der der Körper mindestens abgleiten muss, um den Looping zu durchqueren. Welche Geschwindigkeit hat der Körper jetzt am Einstiegspunkt (Punkt 2) des Loopings? (d) Wie tief wird die Feder am Ende (Punkt 4) eingedrückt? 9

3 Gegeben: k = 400 N m, m = 100 g, Θ = 45, l = 150 cm, l 1 = 20 cm, l 2 = 100 cm, µ = 0, 5 a) F = k l 1 = 400 N 0, 2 m = 80 N m b) 1 2 kl2 1 = 1 2 mv2 1 + mgl 1 sinθ kl1 v 1 = 2 2gl m 1sinΘ = 12, 54 m s = 45, 14 km h c) 1 2 mv2 1 mgl 2 sinθ µmgl 2 cosθ = 1 2 mv2 2 v 2 = v 2 1 2gl 2 sinθ 2µgl 2 cosθ = 11, 68 m s = 42, 05 km h v 2x = v 2y = v 2 cosθ = v 2 sinθ = 8, 26 m s = 29, 74 km h d) (i)v 3y 0 = v 2y gt 1 t 1 = v 2y g = 0, 84 s (ii)r 3y = r 2y + v 2y t gt2 1 = lsinθ + v 2y t gt2 1 = 4, 54 m e) (i) r 4x = r 2x + v 2x t 2 (ii) r 4y = r 2y + v 2y t gt2 2 Zeit aus (ii) : 0 = lsinθ + v 2y t gt gt2 2 v 2y t 2 = lsinθ t v 2y g t 2 = 2 l g sinθ (t 2 v 2y g )2 = 2 l sinθ + ( v 2y g g )2 t 2 = v 2y g ± t 2 = t 1 + l 3 aus (i): 2 l g sinθ + ( v 2y g )2 l 3 = 0 + v 2x t 2 = 14, 89 m 2 l g sinθ + ( v 2y g )2 = 1, 8 s

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