Physik 1 ET, WS 2012 Aufgaben mit Lösung 6. Übung (KW 49) Zwei Kugeln )

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1 Physik ET, WS 0 Aufgaben mit Lösung 6. Übung KW 49) 6. Übung KW 49) Aufgabe M 5. Zwei Kugeln ) Zwei Kugeln mit den Massen m = m und m = m bewegen sich mit gleichem Geschwindigkeitsbetrag v aufeinander zu. Welche Geschwindigkeiten v und v ergeben sich nach dem Zusammenstoß, wenn dieser a) vollkommen elastisch, b) vollkommen inelastisch erfolgt? c) Wie groß ist im Fall b) der Energieverlust E? Aufgabe M 5.4 Stoßpendel ) Ein Stoßpendel besteht aus einer dünnen Stange der Länge l, die am unteren Ende einen Holzklotz mit der Masse m H trägt. Wird eine Kugel der Masse m K in den Holzklotz geschossen, so schlägt das vorher ruhende Pendel um die Strecke x m aus. Wie groß war die Geschwindigkeit v des Geschosses? l l mk v mh 0 xm x l =.0 m, m H = 0.80 kg, m K = 5.0 g, x m = 0 cm Jens Patommel <patommel@xray-lens.de> Seite von 9

2 Physik ET, WS 0 Aufgaben mit Lösung 6. Übung KW 49) Aufgabe 3 M 5.7 Zwei Fahrzeuge ) Zwei aneinander gekoppelte Fahrzeuge mit den Massen m und m bewegen sich mit konstanter Geschwindigkeit v 0 auf gerader Bahn. Zwischen beiden Fahrzeugen befindet sich eine nicht befestigte) um die Länge x zusammengedrückte Feder der Federkonstanten k. Nach Lösen der Kopplung entspannt sich die Feder. v0 k m m a) Welche Geschwindigkeiten v und v besitzen danach die beiden Fahrzeuge? Man betrachte Energie und Impuls in einem System, das sich mit dem Schwerpunkt bewegt.) b) Es sei m = m sowie v = 0. Wie groß ist dann v, und um welche Länge x war die Feder gespannt? Wo ist die Energie des zur Ruhe gekommenen Fahrzeuges beblieben? v 0 =.00 m s, m = m = 500 kg, k = 40 kn m Aufgabe 4 M 5.9 Billardstoß ) Eine nicht rotierende) Kugel mit dem Radius r bewegt sich geradlinig mit der Geschwindigkeit v 0 so auf eine gleichartige ruhende Kugel zu, dass ein schiefer, vollkommen elastischer Stoß stattfindet. Die Gerade, auf der sich die erste Kugel der zweiten Kugel nähert, führt im Abstad d sog. Stoßparameter) an deren Zentrum vorbei. v d v0 v Jens Patommel <patommel@xray-lens.de> Seite von 9

3 Physik ET, WS 0 Aufgaben mit Lösung 6. Übung KW 49) a) Unter welchem Winkel α wird die zweite Kugel gestoßen? b) Stellen Sie die Aussage des Impulserhaltungssatzes in vektorieller Form zeichnerisch dar! c) Wie groß ist der Winkel α, unter dem sich die erste Kugel nach dem Stoß weiterbewegt? d) Wie groß sind die Geschwindigkeiten v und v der Kugeln nach dem Stoß? d = mm, r = 0 mm, v 0 = 0 cm s Aufgabe 5 M 5.6 Schmiedehammer ) Beim Schmieden sollen 95 % f = 0.95) der Energie des Hammers m H ) zur plastischen Verformung eines Werkstücks m W m H ) verwendet werden. Der Amboss hat die Masse m A = 95 kg. Welche Masse m H muss der verwendete Hammer haben? Die Wechselwirkung mit der Unterlage des Ambosses braucht nicht berücksichtigt zu werden.) Jens Patommel <patommel@xray-lens.de> Seite 3 von 9

4 Physik ET, WS 0 Aufgaben mit Lösung 6. Übung KW 49) Lösung zu Aufgabe a) Beim vollkommen elastischen Stoß bleiben Energie und Impult erhalten, wodurch man im Falle des zentralen Stoßes zwei Gleichungen für die zwei Geschwindigkeiten nach dem Stoß erhält. Energieerhaltung: Impulserhaltung: v + m v = m v + m v ) ) m v v = m v v m v v ) v + v ) = m v v ) v + v ).) m v + m v = m v + m v m v v ) = m v v ).) Unter der Voraussetzung, dass v v und v v gilt ansonsten würden sich die Kugeln ungestört durchdringen), folgt aus.) und.) Dies in.) eingesetzt ergibt v + v = v + v v = v + v v..3) m v v ) = m v + v v v ) m v m v = m v + m v m v v = m m )v + m v m + m. Jetzt noch in.3) einsetzen liefert die symmetrische Lösung v = m m )v + m v m + m. Mit m = m = m und v = v = v folgt v = 5 3 v, v = 3 v. b) Nach dem vollkommen inelastischen Stoß bewegen sich die beiden Kugeln mit gemeinsamer Geschwindigkeit weiter. Diese Geschwindigkeit ist bereits durch die Impulserhaltung festgelegt: m v + m v = m + m )v v = m v + m v m + m. Jens Patommel <patommel@xray-lens.de> Seite 4 von 9

5 Physik ET, WS 0 Aufgaben mit Lösung 6. Übung KW 49) Einsetzen von m = m = m und v = v = v ergibt v = 3 v..4) c) Der absolute Energieverlust lautet E kin = E kin E kin = m v + m v m + m )v = mv + v 3v ).4) = m3v 3 3 v) ) = 4 3 v. Um eine bessere Vorstellung zu bekommen, berechnen wir noch schnell den relativen Energieverlust: f = E 4 E = 3 v 3 = 8 mv 9 = 89 %. Rund 89 % der kinetischen Energie wird in Innere Energie Wärme, Verformung) umgewandelt! Lösung zu Aufgabe Die Impulserhaltung liefert einen Zusammenhang zwischen der gesuchten Geschwindigkeit der Kugel vor dem Einschlag und der Geschwindigkeit des Holzklotzes mit feststeckender Kugel) unmittelbar nach dem Einschlag: m K v = m K + m H v v = + m ) H v..) m K Die Energieerhaltung gestattet die Berechnung der Geschwindigkeit v aus der Kenntnis der Höhe h: m K + m H ) v = m K + m H ) gh v = gh..) Schließlich wird noch ein Zusammenhang zwischen der Höhe h und dem horizontalen Abstand x benötigt, den uns der Satz des Pythagoras liefert: h<l l = l h) + x m [ xm h = l l ) ]..3) Jens Patommel <patommel@xray-lens.de> Seite 5 von 9

6 Physik ET, WS 0 Aufgaben mit Lösung 6. Übung KW 49) Jetzt braucht nur noch.3),.) und.) ineinander eingesetzt zu werden, um das Ergebnis v = + m ) [ ] H gl xm ) m K l zu erhalten. = g ) 9.8 m s m 5 g = 7.4 m s = 57 km h ) ) 0. m m Lösung zu Aufgabe 3 a) Im Laborsystem Σ Inertialsystem, welches mit der Erde fest verbunden ist) haben die aneinandergekoppelten Waggons die gemeinsame Geschwindigkeit v 0. Um die Rechnung zu vereinfachen, begeben wir uns in das Schwerpunktsystem Σ, welches mit dem Schwerpunkt der beiden Waggons fest verbunden ist. Im Schwerpunktsystem haben die Waggons die Geschwindigkeit Null, d. h. der Gesamptimpult ist in Σ ebenfalls Null. Die kinetische Energie ist in Σ ebenfalls Null, die Gesamtenergie entspricht also der in der gestauchten Feder gespeicherten Energie kx. Nach der Entkopplung haben die beiden Waggons in Σ die Geschwindigkeiten v und v, während sie in Σ die Geschwindigkeiten v und v besitzen. Der Gesamtimpuls im Schwerpunktsystem beträgt nach der Entkopplung m v + m v und dieser muss dann Null sein, genau wie vor dem Stoß: m v + m v = 0 v = m m v 3.) Die Gesamtenergie bleibt während des Abkoppelns konstant, wird aber von Federenergie in kinetische Energie umgewandelt: kx = m v + m v kx = m v + m v 3.) = kx = m v + m m v m v k = ± x m + m m k m + m m k m + m m v <0 = v = x 3.) = v = + x ) Jens Patommel <patommel@xray-lens.de> Seite 6 von 9

7 Physik ET, WS 0 Aufgaben mit Lösung 6. Übung KW 49) Nun transformieren wir noch zurück ins Laborsystem: v = v k + v 0 = v 0 x m + m 3.) m v = v k + v 0 = v 0 + x m + m 3.3) m b) Die Massen sind gleich groß m = m = m) und der erste Waggon ruht nach dem Abkoppeln im Laborsystem v = 0). Dies setzen wir in 3.) und 3.3) ein: k 0 = v 0 x 3.4) m k v = v 0 + x 3.5) m Die Geschwindigkeit v des zweiten Waggons nach dem Stoß im Laborsystem erhält man durch Addition der beiden Gleichungen 3.4) und 3.5): 3.4) + 3.5) = v = v 0 = m s. Schlie lich berechnet man x aus Gleichung 3.4) zu x = v 0 m k 500 kg = m s = 5.6 cm. 40 kn m Lösung zu Aufgabe 4 a) Der Winkel α ergibt sich aus der Stoßgeometrie, indem man das rechtwinklige Dreieck ABC betrachtet. Die Länge der Hypothenuse entspricht dem doppelten Radius der Kugeln und die Länge der Gegenkathete ist gleich dem Stoßparameter d. Dann folgt sin α = d r = α = arcsin d r = ) zu a) ~v zu b) B D ~p 0 F d r C r A ~p E ~p ~v b) Wenn wir die Impulsvektoren durch Pfeile veranschlaulichen, deren Länge dem Betrag des Impulses entsprechen, so besagt der Impulserhaltungssatz, dass die drei Impulse ein geschlossenes Dreieck ergeben müssen siehe Zeichnung). Jens Patommel <patommel@xray-lens.de> Seite 7 von 9

8 Physik ET, WS 0 Aufgaben mit Lösung 6. Übung KW 49) c) Es handelt sich um einen vollkommen elastischen Stoß, so dass die kinetische Gesamtenergie vor dem Stoß gleich derjenigen nach dem Stoß sein muss: mv 0 = mv + mv m v0 = m v + m v mv 0 ) = mv ) + mv ) = p 0 = p + p. 4.) Der Satz des Pythagoras besagt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck die Summe der Quadrate der Kathetenlängen gleich dem Quadrat der Hypothensenlänge ist. Die Umkehrung dieses Satz gilt ebenfalls, d. h. wenn die Summe zweier Dreieckseiten gleich dem dem Quadrat der dritten Seite ist, so handelt es sich um ein rechtwinkliges Dreieck. Aufgrund der Gleichung??) ist das Dreieck DEF aus b) ein rechtwinkliges Dreieck, d. h. γ = 90. Aus dem Innenwinkelsummensatz für Dreiecke folgt nun für den gesuchten Winkel α : α = 80 γ α = 90 arcsin d r = 53.. d) Anhand des Dreiecks DEF aus b) erkennen wir, dass p = p 0 sin α, p = p 0 cos α = p 0 sin α gilt. Mit p 0 = mv 0, p = mv und p = mv ergibt sich daraus v = v 0 sin α 4.) = d r v 0 = 6 m s, v = v 0 sin 4.) d α = v 0 r = v = v = 5 Lösung zu Aufgabe 5 ) = v 0 ) 0 5 = 4 5 v 0 = 0.8 m s. Ausgehend von einem vollkommen inelastischen Stoß gilt die folgende Impulsbilanz: Die kinetische Energie vor und nach dem Stoß lautet m H v = m H + m A ) v v m H = v. m H + m A 5.) E = m Hv, E = m H + m A )v. 5.) Jens Patommel <patommel@xray-lens.de> Seite 8 von 9

9 Physik ET, WS 0 Aufgaben mit Lösung 6. Übung KW 49) Der Wirkungsgrad f ist definiert als relativer Energieverlust E bezogen auf die anfangs zur Verfügung stehende kinetische Energie: f = E E = E E E 5.) = 5.) = = E E m H + m A )v m Hv m H + m A ) ) m H m H +m A v m Hv m H m A = = m H + m A m H + m A ) m H = f m A ) = kg = 5 kg. Quellen Die Aufgaben sind entnommen aus: Peter Müller, Hilmar Heinemann, Heinz Krämer, Hellmut Zimmer, Übungsbuch Physik, Hanser Fachbuch, ISBN: Die Übungs- und Lösungsblätter gibt es unter ET Die Homepage zur Vorlesung findet sich unter Jens Patommel <patommel@xray-lens.de> 9