Physik 1 Hydrologen/VNT, WS 2014/15 Lösungen Aufgabenblatt 10/11. Rakete 1 )

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1 Physik 1 Hydrologen/VNT, WS 14/15 Lösungen Aufgabenblatt 1/11 Aufgabenblatt 1/11 Aufgabe 1 M 5.1 Rakete 1 ) Eine Rakete hat die Startmasse m und hebt mit der Anfangsbeschleunigung a senkrecht vom Boden ab. Die Ausströmgeschwindigkeit der Gase ist u. Der Massenausstoß je Sekunde ist zeitlich konstant. Die Leermasse der Rakete hat den Wert m l. a) Berechnen Sie die Brenndauer t B des Triebwerkes! b) Stellen Sie die Beschleunigungs-Zeit-Funktion, c) die Geschwindigkeits-Zeit-Funktion für diese Rakete auf, wobei nur der Zeitbereich t t B in Betracht kommen soll! m =. 1 5 kg, m l = kg, a = 6. m s, u = 5 m s 1 Aufgabe M 8.8 Zwei Zylinder ) Ein dünnwandiger Hohlzylinder und ein Vollzylinder aus verschiedenem Material und von verschiedenen Abmessungen rollen mit der Geschwindigkeit v auf einer horizontalen Ebene. Anschließend rollen sie einen Hang hinauf. In welchen Höhen h 1 und h kommen sie zur Ruhe? v =. m s 1 Aufgabe 3 M 8.4 Schwungrad ) Bei einem Schwungrad Radius r, Drehfrequenz f, Masse m) befindet sich die Masse im Wesentlichen auf dem Radkranz. a) Welches konstante Bremsmoment M A muss aufgebracht werden, um das Schwungrad bis zur Zeit t 1 zum Stillstand zu bringen? b) Berechnen Sie die Anzahl N der Umdrehungen, die das Rad während des Bremsvorgangs macht! r = 1. m, f = 6 min 1, t 1 = 6 s, m = 1. t Jens Patommel <patommel@xray-lens.de> Seite 1 von 1

2 Physik 1 Hydrologen/VNT, WS 14/15 Lösungen Aufgabenblatt 1/11 Aufgabe 4 M 8.14 Bauaufzug ) Der beladene Förderkorb eines Bauaufzugs hat die Masse m, die am Korb befestigte Rolle hat die Masse m 1, das Trägheitsmoment J S1 und den Radius. Die Seiltrommel hat das Trägheitsmoment J S und den Radius. Der Antriebsmotor überträgt auf die Trommel das Drehmoment M A. Berechnen Sie die Beschleunigung a, mit der der Korb aufwärts bewegt wird! m 1 m J S1 J S Jens Patommel <patommel@xray-lens.de> Seite von 1

3 Physik 1 Hydrologen/VNT, WS 14/15 Lösungen Aufgabenblatt 1/11 Lösung zu Aufgabe 1 a) Auf die Rakete wirken die Schubkraft F S t) und die Gravitationskraft F g t). Die Schubkraft berechnet sich aus der pro Zeitintervall ausgestoßenen Treibstoffmasse qt) = ṁt) und der Geschwindigkeit ut) der ausgestoßenen Treibstoffgase gemessen im Bezugssystem der Rakete): F S t) = qt) ut) = q u = q u e z, 1.1) wobei q und u als zeitlich konstant angenommen werden. Die Gewichtskraft ist wegen der abnehmenden Raketenmasse zeitabhängig und lautet F g t) = mt) g = mt)g e z. Laut Zweitem Newtonschen Gesetz gilt dann für die Beschleunigung at) der Rakete mt) at) = F S t) + F g t) = [q u mt)g] e z [ ] q u at) = mt) g e z. 1.) Die Gesamtmasse mt) der Rakete ergibt sich aus der Anfangsmasse m und der bis zum Zeitpunkt t ausgestoßenen Masse des Treibstoffs zu mt) = m = m mt) m dm = m dτ dmτ) dτ = m dτqτ) dτq = m q t, 1.3) was wir in Gleichung 1.) einsetzen: [ ] q u 1.) 1.3) = at) = m q t g e z [ ] q u a x t) e x + a y t) e y + a z t) e z = m q t g e z a x t) = a y t) = a z t) = q u m q t g 1.4) Die Anfangsbeschleunigung soll a = a) = a e z betragen, somit folgt a = a z ) = q u m g q = m a + g) u 1.5) Jens Patommel <patommel@xray-lens.de> Seite 3 von 1

4 Physik 1 Hydrologen/VNT, WS 14/15 Lösungen Aufgabenblatt 1/11 Aus den Gleichungen 1.3) und 1.5) lässt sich sich nun unter Verwendung der Abkürzung t m = u a die zeitabhängige Masse der Rakete berechnen: +g mt) = m m a + g) t u = m 1 a ) + g t u = m 1 t ). 1.6) t m Wenn nach der Brenndauer t E der Treibstoff aufgebraucht ist, hat die Rakete die Leermasse m l : m l = mt E ) 1.6) = m 1 t ) E t m = t E = 1 m ) l t m 1.7) m = 1 3. ) 14 kg 5 m s kg 6. m s m s = s. b) Die Beschleunigungs-Zeit-Funktion erhält man durch Einsetzen von 1.5) in 1.4): 1.4) 1.5) = a z t) = q u m q t g = u u t g = u a t +g m t g. 1.8) c) Die Geschwindigkeits-Zeit-Funktion berechnet man durch Integration von at) über die Zeit: v zt) v z t) = v }{{} z + dv = = v z dτ v zτ) dτ = = [ u log t m τ gτ] t = u {log t m t log t m } gt t t m = u {log t m t) log t m } gt = u log 1 t ) gt. t m dτ a z τ) 1.8) = dτ ) u t m τ g Lösung zu Aufgabe Man kann die Bewegung eines auf einer Unterlage rollenden Zylinders als eine Überlagerung zweier Bewegungen zusammengesetzt denken, einer linearen Bewegung des Jens Patommel <patommel@xray-lens.de> Seite 4 von 1

5 Physik 1 Hydrologen/VNT, WS 14/15 Lösungen Aufgabenblatt 1/11 Schwerpunktes parallel zur Unterlage mit der Geschwindigkeit v und einer Rotation des Zylinders um eine Achse, die parallel zur Unterlage und durch den Schwerpunkt hindurch verläuft mit der Winkelgeschwindigkeit ω siehe Abbilgung). Wenn vorausgesetzt wird, dass der Zylinder nicht rutscht, so sind die beiden Größen v und ω nicht unabhängig voneinander, sondern durch die sogenannte Rollbedingung miteinander verknüpft: v = ω r..1) Das sieht man sofort ein, wenn man bedenkt, dass der Schwerpunkt während der Zeit T einer vollständigen Umdrehung diejenige Strecke zurückgelegt haben muss, die dem Umfang des Zylinders entspricht, also v T = πr und somit v = πr T = ω r. r ~v! Wenn die beiden Zylinder die schräge Ebene hinaufrollen, so wird mit zunehmender Höhe kinetische Energie in potentielle Energie umgewandelt, und zwar so lange, bis die komplette kinetische Energie aufgebraucht ist. Die kinetische Energie hat zwei Beiträge, einen Rotationsbeitrag E rot durch die Rotation des Zylinders um seine Schwerpunktachse mit der Winkelgeschwindigkeit ω und einen Translationsbeitrag E trans durch die Translationsbewegung des Schwerpunktes mit der Geschwindigkeit v. Der Energieerhaltungssatz lautet also E pot = E rot + E trans = mgh = 1 Jω + 1 mv h = J mg ω + v.1) = J v g mg r + v g ) J v = mr + 1 g.) Die Trägheitsmomente J V und J H des Voll- und des Hohlzylinders bezüglich ihrer Symmetrieachse lauten siehe Formelsammlung) J V = 1 m V V, J H = m H H, Jens Patommel <patommel@xray-lens.de> Seite 5 von 1

6 Physik 1 Hydrologen/VNT, WS 14/15 Lösungen Aufgabenblatt 1/11 so dass für die erreichten Höhen h V = h H = JV m V V JH m H H ) v g = m VrV ) v + 1 m V rv g = 3 v 4 g ) ) v + 1 g = mh rh v + 1 m H rh g = v g = 31 cm, = 41 cm gilt. Lösung zu Aufgabe 3 a) Das Schwungrad hat die Massenverteilung eines dünnwandigen Hohlzylinders bzw. eines Zylindermantels, dessen Massenträgheitsmoment laut Formelsammlung zu J = m gegeben ist. Das konstante Drehmoment M A führt zu einer konstanten Winkelbeschleunigung αt) = α = M A J und somit zu einer Winkelgeschwindigkeit-Zeit-Funktion von ωt) = ω + dτ ατ) = ω + α t. Am Ende des Bremsvorganges soll das Schwungrad ruhen, somit folgt für die Winkelbeschleunigung = ωt 1 ) = ω + α t 1 = α = ω t 1 = π f t 1, woraus sich das notwendige Drehmoment M A = Jα = πm f t 1 = π kg 1 m) 1 s 1 6 s = 15 kg m s = 15 N m ergibt. b) Die Anzahl an Umdrehungen ergibt sich aus dem Winkel, den das Schwungrad während der Zeit t 1 zurücklegt, indem man diesen durch den Winkel einer vollen Jens Patommel <patommel@xray-lens.de> Seite 6 von 1

7 Physik 1 Hydrologen/VNT, WS 14/15 Lösungen Aufgabenblatt 1/11 Umdrehung, also durch π, dividiert: N = 1 [ϕt π 1) ϕt )] = [ 1 ϕ + ω π t 1 1α ) t 1 ϕ + ω t 1α t)] = 1 π = 1 = π 1 π [ ω t 1 t ) 1α t 1 t)] [ ω t 1 1α t1] [ ] πf t 1 1π f t 1 t 1 = 1 f t 1 = 1 6 min 1 1 min = 3. Lösung zu Aufgabe 4 Es soll die Beschleunigung a berechnet werden, mit der die Rolle mit dem an ihr befestigten Förderkorb nach oben bewegt wird. Dazu ermitteln wir die von außen auf die Rolle einwirkende Gesamtkraft F ges und setzen diese in die Gleichung des Zweiten Newtonschen Gesetzes F ges = m ges a ein, F ges = F ges e z ZNG = m ges a e z = m ges a z = F ges = m + m 1 )a, 4.1) wobei die zu beschleunigende Gesamtmasse durch m ges = m + m 1 gegeben ist. ~e z ~e y ~ ~e x J S ~F Sb = F ~e z ~F Sa =+F ~e z ~F S1 = F 1 ~e z m 1 J S1 ~ ~ m ~F g = m + m 1 )g ~e z Die Gesamtkraft setzt sich aus drei Kräften zusammen, und zwar aus der Kraft F S1, welche das linke Seil auf die Rolle ausübt, aus der Kraft F Sa, die das rechte Seil bewirkt und der Schwerkraft F g, mit welcher Förderkorb und Rolle von der Erde angezogen werden siehe Zeichnung): F ges = F S1 + F Sa + F g = F 1 e z + F e z e z = [F 1 + F ] e z = F ges = F 1 + F 4.1) = m + m 1 )a = F 1 + F 4.) Jens Patommel <patommel@xray-lens.de> Seite 7 von 1

8 Physik 1 Hydrologen/VNT, WS 14/15 Lösungen Aufgabenblatt 1/11 Wir müssen nun die beiden unbekannten Kraftkomponenten F 1 und F der Kräfte F S1 und F Sa ermitteln. Beide Kräfte greifen außerhalb des Schwerpunktes der Rolle an und bewirken daher ein Drehmoment M 1, M 1 = ) F S1 + F Sa = e x ) F 1 e z ) + e x ) F e z ) = F 1 e y F e y = F 1 F ) e y, 4.3) welches eine Winkelbeschleunigung α 1 der Rolle um die Rotationsachse bewirkt: M 1 = J S1 α 1 4.3) = F 1 F ) e y = J S1 α 1 = F 1 F ) = F 1 = F + J S1α ) Falls F 1 > F, so ist die Winkelbeschleunigung in positver y-achse orientiert und die Winkelbeschleunigung erfolgt gegen den Uhrzeigersinn Einheitsvektoren e x, e y, e z bilden rechthändiges Dreibein, so dass e y in die Zeichenebene hineinzeigt). Wenn F 1 < F, dann erfolgt die Winkelbeschleunigung im Uhrzeigersinn und im Falle F 1 = F bleibt die Rotation der Rolle unbeschleunigt. Wenn das rechte Seil eine Kraft F Sa auf die Rolle ausübt, so muss nach dem Prinzip Actio et Reactio auch die Rolle eine Kraft F Sb auf das rechte Seil ausüben, und zwar so, dass beide Kräfte gleichen Betrag haben aber entgegengesetzte Orientierung: F Sb = F S1a = F e z. Diese Kraft F Sb bewirkt ein Drehmoment auf die Seiltrommel, so dass dieses Drehmoment zusammen mit dem Antriebsdrehmoment M A ein Gesamtdrehmoment M = F Sb + M A = e x ) F e z ) + M A e y = F e y + M A e y = M A F ) e y 4.5) verursacht. Dieses Gesamtdrehmoment bewirkt eine Winkelbeschleunigung der Seiltrommel: M = J S α 4.5) = M A F ) e y = J S α = M A F Nun setzen wir 4.4) und 4.6) in Gleichung 4.) ein: 4.) m + m 1 )a = F 1 + F 4.4) = m + m 1 )a = F + J S1α 1 = F = M A J S α. 4.6) 4.6) = m + m 1 )a = M A J Sα + J S1α ) Die Rolle und die Seiltrommel rotieren nicht unabhängig voneinander, denn sie sind über das Seil miteinander verknüpft, von dem wir annehmen, dass es sich nicht dehnt Jens Patommel <patommel@xray-lens.de> Seite 8 von 1

9 Physik 1 Hydrologen/VNT, WS 14/15 Lösungen Aufgabenblatt 1/11 und dass es an der Rolle nicht durchrutscht. Dann gilt für die Rolle die Rollbedingung v = ω 1 negatives Vorzeichen, da y-komponente der Winkelgeschwindigkeit negativ ist, wenn z-komponente der Geschwindigkeit postiv ist; Rolle bewegt sich nach oben, wenn sie gegen Uhrzeigersinn rotiert). Weil die Beschleunigung die Zeitableitung der Geschwindigkeits-Zeit-Funktion und die Winkelbeschleunigung die Zeitableitung der Winkelgeschwindigkeits-Zeit-Funktion ist, gilt für Beschleunigung und Winkelbeschleunigung der Gleichung α 1 = a. 4.8) Jetzt überlegen wir uns noch einen Zusammenhang zwischen den beiden Winkelbeschleunigungen α 1 und α. Angenommen, die Rolle habe sich um den Winkel ϕ 1 gegen den Uhrzeigersinn gedreht. Dann hat sie die Seillänge s 1 = ϕ 1 abgerollt. Da das linke Seilende an der Hallendecke fixiert ist und die Rolle entlang des Seiles frei beweglich ist, bewegt sich derweil die Rolle um die Strecke h = s 1 nach oben. Auf der linken Seite der Rolle wird also Seil der Länge l = s 1 + h = s 1 dazugegeben, welches die Seiltrommel aufwickeln muss. Folglich muss die Seiltrommel um den Winkel ϕ = s = s 1 = ϕ 1 im Uhrzeigersinn rotieren, wenn sich die Rolle um den Winkel ϕ 1 gegen den Uhrzeigersinn gedreht hat. Da die Winkelbeschleunigung die zweifache Zeitableitung der Winkel-Zeit-Funktion ist, gilt somit für die Winkelbeschleunigungen der Zusammenhang α = α 1 4.8) = a, 4.9) wobei das Minuszeichen dem entgegengesetzten Drehsinn von Rolle und Seiltrommel geschuldet ist. Wir setzen jetzt 4.8) und 4.9) in Gleichung 4.7) ein und lösen nach a auf, 4.7) m + m 1 )a = M A J Sα + J S1α 1 4.8) = m + m 1 )a = M A [ m + m 1 ) + 4 J S + J S1 r r1 4 J Sa J S1a 1 ] a = M A a = M A r + m + m 1 ), 4 J S + J S1 1 was auf die gesuchte Beschleunigung a = 4 J S M A r + J S1 1 + m + m 1 ) e z führt. Jens Patommel <patommel@xray-lens.de> Seite 9 von 1

10 Physik 1 Hydrologen/VNT, WS 14/15 Lösungen Aufgabenblatt 1/11 Quellen Die Aufgaben sind entnommen aus: Peter Müller, Hilmar Heinemann, Heinz Krämer, Hellmut Zimmer, Übungsbuch Physik, Hanser Fachbuch, ISBN: Die Übungsblätter gibt es unter Die Homepage zur Vorlesung findet sich unter Jens Patommel <patommel@xray-lens.de> 1