Physik 1 Hydrologen/VNT, WS 2014/15 Lösungen Aufgabenblatt 7. Erde und Mond ) (b) Welche Gewichtskraft hat die Mondlandeeinheit auf dem Mond?

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1 Aufgabenblatt 7 Aufgabe 7.2 Erde und ond ) Die Landeeinheit einer ondsonde habe auf der Erde eine Gewichtskraft von N. Der Radius der Erde beträgt r E = 6370 km, einen Faktor 3.6 größer als derjenige des ondes; die Erde ist mit m E = kg etwa 8 mal massereicher als der ond. Die ittelpunkte von Erde und ond haben eine Abstand von d = km. a) Erwarten Sie, dass die ondbeschleunigung g größer oder kleiner ist als die Erdbeschleunigung? Berechnen Sie den Wert von g. b) Welche Gewichtskraft hat die ondlandeeinheit auf dem ond? c) Auf der Verbindungslinie zwischen Erde und ond existiert ein Punkt, an dem sich die Gravitationsfelder von Erde und ond gerade kompensieren. In welchem Abstand vom ondmittelpunkt liegt dieser Punkt? Aufgabe Hubarbeit ) In der Vorlesung haben Sie kennengelernt, dass man die mechanische Arbeit berechnen kann, indem man das Integral der Kraftwirkung entlang der Bewegungsrichtung bildet: r2 F r) d r Für die Hubarbeit, die man verrichtet, wenn man ein Objekt der asse m in der Nähe der Erdoberfläche um die Höhendifferanz h anhebt, benutzt man häufig die Näherung einer konstanten Erdbeschleunigung g: mgh, Bis zu welcher Höhe ist der Fehler, den man mit dieser Näherung macht, nur 3 % oder kleiner, verglichen mit dem korrekten Ansatz über das Newtonsche Gravitationsgesetz F = Gmr 2? Jens Patommel <patommel@xray-lens.de> Seite von 5

2 Lösung zu Aufgabe a) Die Gravitationskraft F, die ein Objekt der asse m erfährt, wenn es sich im Abstand r vom ittelpunkt eines Himmelskörpers Planet, ond, Komet, usw.) der asse H befindet, lautet nach dem Newtonschen Gravitationsgesetz F = G m H r 2 r..) Hierbei bezeichnet G die Gravitationskonstante, und r ist der Einheitsvektor, der parallel zur Verbindungslinie zwischen dem Objekt und dem ittelpunkt des Himmelskörpers verläuft und der so orientiert ist, dass er vom Objekt zum Himmelskörper zeigt Gravitationskraft wirkt immer anziehend). Befindet sich das Objekt auf der Oberfläche eines kugelförmigen Himmelskörpers vom Radius R H, so ergibt sich die Gravitationskraft F H, mit der der Himmelskörper auf das Objekt einwirkt, indem man für den Abstand r den Radius R H einsetzt: F H = G m H R 2 H Die Größen G, H und R H sind Naturkonstanten bzw. Eigenschaften des Himmelskörpers und vom Objekt unabhängig, weshalb man die Größe g H := G H R 2 H r. definiert. Damit ergibt sich für die Gravitationskraft F H = G m H RH 2 r = mg H r. Befindet sich das Objekt im freien Fall, so ist die Gravitationskraft gleichzeitig die resultierende Gesamtkraft auf das Objekt, so dass das Objekt nach dem 2. Newtonschen Gesetz die Beschleunigung a = F H m = g H r erfährt. Die Konstante g H entspricht also dem Betrag der Beschleunigung eines Objektes an der Oberfläche des Himmelskörpers, verursacht durch die Gravitationskraft. Im Falle der Erde handelt es sich dabei um die Erdbeschleunigung und beim ond um die ondbeschleunigung g : Berechnet man den Quotienten = G E R 2 E, g = G R 2..2) g = G E R 2 E G R 2 = E R ) 2 = = 6.25, Jens Patommel <patommel@xray-lens.de> Seite 2 von 5

3 so erkennt man, dass die ondbeschleunigung um den Faktor 6.25 kleiner als die Erdbeschleunigung ist. b) Um die Gewichtskraft der ondlandeeinheit zu bestimmen, benötigen wir deren asse, welche sich aus der Gewichtskraft der Landeeinheit auf der Erde errechnen lässt: Damit folgt m L = F E. F = m L g = F E g = N 6.25 = 3200 N. c) Ein Objekt der asse m > 0, das sich im Gravitationsfeld von Erde und ond befindet, wird von der Erde in Richtunrde und vom ond in Richung ond angezogen, so dass sich die Gesamtkraft als Summe der Einzelgravitaionskräfte ergibt: F = G m E re 2 E + G m E r 2 = Gm re 2 E + ) r 2. Befindet sich das Objekt auf der Verbindungslinie zwischen den ittelpunkten von Erde und ond, so gilt = E sowie r E + r = d. Es folgt dann also E F = Gm d r ) 2 ) r 2 E. Wir suchen den Abstand vom ond r 0 auf der Verbindungslinie, an dem die resultierende Gravitationskraft Null ist, d. h. E Gm d r 0 ) 2 ) r0 2 E = 0. Da G und m ungleich Null sind und der Einheitsvektor nicht der Nullvektor ist, muss der Klammerausdruck gleich Null sein, es folgt also E d r 0 ) 2 = r 2 0 E r 2 0 = d r 0 ) 2 E r 0 = d r 0 E r 0 = d r 0 ) E r 0 = d r 0 ) r 0 = + d r 0 = E d E r 0 = d d r 0 =. + E E Jens Patommel <patommel@xray-lens.de> Seite 3 von 5

4 Da der Wurzelausdruck positiv ist, liegt die linke Lösung immer zwischen 0 und d, während die rechte Lösung entweder kleiner als 0 oder größer als d ist. Bei der Herleitung haben wir jedoch vorausgesetzt, dass sich das Objekt zwischen Erde und ond befinden soll ansonsten wäre = E falsch), muss 0 < r 0 < d gelten, so dass nur die linke Gleichung eine korrekte Lösung ist. Der gesuchte Abstand vom ond, bei dem sich die Gravitationsfelder von Erde und ond kompensieren, beträgt somit r 0 = + d d = E + 8 = d 0 = km und der Abstand dieses Punktes von der Erde beträgt 0.9d = km. Lösung zu Aufgabe 2 Es soll ein Objekt im Gravitationsfeld der Erde um die Strecke h angehoben werden. it Heben um die Strecke h meinen wir, dass sich der Abstand des Objekts vom Erdmittelpunkt um die Distanz h erhöht. it Hilfe des Newtonschen Gravitatiosgesetzes.) berechnen wir die Arbeit, die man dafür verrichten muss: F r) d r. In dieser Gleichung bezeichnet F r) die Kraft, die derjenige, der die Arbeit verrichtet, aufbringen muss, damit das Objekt am Ort r unbeschleunigt ist. Im Gravitationsfeld der Erde bedeutet dies, dass die Kraft F die Gravitationskraft F G kompensieren muss, also F = F G. Damit folgt für die zu verrichtende Arbeit F G r) d r = G m E r 2 E r d r. Hierbei ist r E der Abstand des Objekts vom Erdmittelpunkt und r der Einheitsvektor, der vom Objekt aus in Richtung ittelpunkt der Erde zeigt. Wenn wir den Referenzpunkt für die Ortsvektoren in den Ermittelpunkt legen, dann gilt r E = r = r, und wir können schreiben: G m E r 2 r d r = Gm E r 2 r d r. Als nächstes nutzen wir aus, dass das Gravitationsfeld konservativ ist, die Arbeit also nur von Start- und Zielpunkt abhängt, nicht jedoch vom genauen Wegverlauf. Wir wählen also einen besonders einfachen Wegverlauf, und zwar bewegen wir das Objekt radial vom Erdmittelpunkt weg. In diesem Fall sind der Einheitsvektor r Jens Patommel <patommel@xray-lens.de> Seite 4 von 5

5 und das Wegelement d r parallel zueinander und entgegengesetzt orientiert, so dass sich das Skalarprodukt zu Gm E r 2 r 2 r d r cosπ) = Gm E r 2 r r 2 dr vereinfacht und wir ein Integral erhalten, das sich elementar lösen lässt: [ Gm E ] r2 = Gm E ) ) = Gm E r r r 2 r r r2. Durch das Anheben erhöht sich der Abstand des Objekts vom Erdmittelpunkt um h = r 2 r, es folgt somit Gm E ) = Gm Eh r r + h r r + h). Für r setzen wir den Erdradius ein und erhalten folgenden Zusammenhang: Gm Eh + h) = G E RE 2 + h mh Ein Blick auf.2) verrät, dass sich hinter dem ersten Bruch die Erdbeschleunigung g = verbirgt. Die Arbeit im Gravitationsfeld der Erde wird somit zu g + h mh = + h mgh, was bis auf den Faktor mit der Nähereung W = mgh übereinstimmt. Wir +h erkennen, dass für hinreichend kleine h klein im Vergleich zum Erdradius) der zusätzliche Faktor immer belangloser wird. Der relative Fehler berechnet sich zu W W = W W W = W W = mgh mgh = + h R +h E = h. Wir können nun ausrechnen, bis zu welcher Höhe der relative Fehler kleiner oder gleich 3 % beträgt: h 3 % h 3 % = km = 9 km. Quellen Die Aufgaben sind entnommen aus: Peter üller, Hilmar Heinemann, Heinz Krämer, Hellmut Zimmer, Übungsbuch Physik, Hanser Fachbuch, ISBN: Die Übungsblätter gibt es unter Die Homepage zur Vorlesung findet sich unter Jens Patommel <patommel@xray-lens.de> 5