Physik 2 Hydrologen et al., SoSe 2013 Lösungen 4. Übung (KW 22/23)

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1 4. Übung (KW 22/23) Aufgabe 1 (T 5.1 Eisenstück ) Ein Stück Eisen der Masse m und der Temperatur wird in ein sehr großes Wasserbad der Temperatur T 2 < gebracht. Das Eisen nimmt die Temperatur des Wassers an. Die Temperatur des Bades ändert sich dabei nicht merklich. Wie groß ist die Entropieänderung S des gesamten Systems? m 1.0 kg, 573 K, T K, c E 473 J kg 1 K 1 Aufgabe 2 (E 1.1 Glühlampe ) Eine Glühlampe für die Spannung U nimmt bei der Glühtemperatur die Leistung P 1 auf. Der Glühdraht hat den Durchmesser d. Der spezifische Widerstand ϱ ist proportional zur Temperatur T und hat bei der Temperatur den Wert ϱ 0. (a) Gesucht ist die Drahtlänge l. (b) Welche Stromstärke 0 tritt unmittelbar nach dem Einschalten auf? U 230 V, 291 K, 2500 K, P 1 60 W, d 25 µm, ϱ Ω m Aufgabe 3 (E 1.5 PKW-Anlasser ) Beim Anlassen eines PKW-Motors sinkt die Klemmspannung der Batterie auf den Wert U 1. Durch den Anlasser fließt dabei der Strom. Ohne Belastung hat die Batterie die Spannung. (a) Welchen nnenwiderstand R i hat die Batterie? (b) Welchen Widerstand R A hat der Anlasser? (c) Bei starker Abkühlung der Batterie (Frost) erhöht sich der nnenwiderstand, so dass R i R A werden kann. Wie groß ist dann noch die Klemmspannung U 2 beim Anlassen? 12.8 V, U V, 170 A Jens Patommel <patommel@xray-lens.de> Seite 1 von 8

2 Aufgabe 4 (E 1.7 Vorwiderstand ) Eine Glühlampe (Spannung U L, Leistung P L ) soll mit Hilfe eines Vorwiderstandes an eine Netzspannung U N > U L angeschlossen werden. (a) Man bestimme die zulässige Stromstärke! (b) Welcher Widerstand R V muss vorgeschaltet werden? (c) Welche Leistung P V wird im Vorwiderstand verbraucht? (d) Wie groß ist die im Vorwiderstand pro Sekunde entstehende Wärmemenge Q V? (e) Der Strom soll mit einem Strommesser (Vollausschlag A <, nnenwiderstand R A ) gemessen werden. Wie groß darf der dem Messstrom parallel zu schaltende Widerstand R p höchstens sein? U L 24 V, U N 230 V, P L 30 W, A 100 ma, R A 5.00 Ω Jens Patommel <patommel@xray-lens.de> Seite 2 von 8

3 Lösung zu Aufgabe 1 Die Entropieänderung des Gesamtsystems setzt sich aus der Entropieänderung des Eisenstücks und der Entropieänderung des Wassers zusammen: S ges S E + S W. (1.1) Wir berechnen zuerst die Entropieänderung des Eisens, welches sich von der Temperatur auf die Temperatur T 2 abkühlt und dabei die Wärmemenge Q E an das Wasser abgibt: S E Q E dq T 1 0 T 2 [ ] m E c E log T 2 log m E c E dt T 1 m E c E T 2 dt T 1 m E c E [ ] T2 log T m E c E log T 2 m E c E log T 2. (1.2) Dabei haben wir von der Gleichung dq m E c E dt Gebrauch gemacht. Bei der Berechnung der Entropieänderung des Wassers nutzen wir aus, dass keine Wärme an die Umgebung abgegeben und auch keine Wärme von der Umgebung aufgenommen wird und somit die vom Eisen abgegebene Wärme vollständig vom Wasser aufgenommen wird, Q E Q W. Außerdem soll die Masse des Wassers sehr viel größer als die des Eisens sein, so dass die Temperaturänderung des Wassers vernachlässigbar klein ist und das T 1 als Konstante vor das ntegral geschrieben werden kann: S W Q W 0 dq T 1 T 1 2 Q E 0 dq Q E T 2 m Ec E (T 2 ) T 2 Die Entropieänderung des Gesamtsystems beträgt somit [ (1.1) (1.2) S ges S E + S W m T1 Ec E 1 log T ] 1 (1.3) T 2 T 2 m E c E 143 J K 1. ( ) T1 1 T 2 (1.3) Lösung zu Aufgabe 2 (a) Wir leiten zuerst eine Funktion her, die den spezifischen Widerstand in Abhängigkeit der Temperatur beschreibt. Da der spezifische Widerstande proportional zur Temperatur ist, muss die Funktion eine Gerade beschreiben, die durch den Nullpunkt geht, die Funktion muss also die Form ϱ(t ) αt (2.1) Jens Patommel <patommel@xray-lens.de> Seite 3 von 8

4 aufweisen. Die Proportionalitätskonstante α lässt sich anhand der nformation ermitteln, dass bei der Temperatur der spezifische Widerstand ϱ 0 auftritt: ϱ 0 ϱ( ) (2.1) α α ϱ 0. (2.2) Die gesuchte Widerstands-Temperatur-Funktion ergibt sich durch Einsetzen von (2.2) in (2.1): (2.1) (2.2) ϱ(t ) ϱ 0 T. (2.3) Bei einer Drahtlänge l und einer Drahtquerschnittsfläche A erhält man daraus den temperaturabhängigen elektrischen Widerstand R(T), indem der spezifische Widerstand ϱ(t ) mit l multipliziert und durch A dividiert wird: R(T ) l (2.3) ϱ(t ) l A A ϱ 0 T. (2.4) Weil in der Aufgrabe nach der Länge des Drahtes gefragt wird, lösen wir nach l auf: (2.4) l AR(T ) ϱ 0 T. (2.5) Andererseits wissen wir aber auch, dass die Glühlampe bei der Spannung U betrieben wird und dass bei der Betriebstemperatur die Leistung P 1 umgesetzt wird (Umwandlung von elektrischer Energie in Wärme und Licht). Der Zusammenhang zwischen Stromstärke, Spannung und Leistung an einem Ohmschen Widerstand ist durch die Beziehung P U gegeben. Aus der Spannung U und der Leistung P 1 können wir also die Stromstärke 1 berechnen, die bei der Temperatur fließt: 1 P 1 U, (2.6) so dass für den Widerstand des Glühdrahtes bei der Betriebstemperatur R( ) U 1 (2.6) U P 1 U U 2 P 1 (2.7) folgt. Wir setzen T und (2.7) in Gleichung (2.5) ein und erhalten l (2.5) AR(T ) ϱ 0 T (T ) AR( ) (2.7) A U 2 P 1 AU 2. (2.8) ϱ 0 ϱ 0 ϱ 0 P 1 Die Querschnittsfläche des Drahtet ist in der Aufgabenstellung nicht gegeben, wohl aber der Drahtdurchmesser d. Es liegt nahe, einen zylinderförmigen Draht anzunehmen, dessen Querschnittsfläche einem Kreis vom Durchmesser d entspricht. Mit dieser Annahme errechnen wir einen Querschnittsflächeninhalt von A πr πd2 (2.9) Jens Patommel <patommel@xray-lens.de> Seite 4 von 8

5 was sogleich in (2.8) eingesetzt wird: l (2.8) AU 2 ϱ 0 P 1 (2.9) 1 4 π d2 U 2 ϱ 0 P π (25 µm)2 (230 V) Ω m 60 W µm2 V 2 Ω m W m2 V 2 Ω m W m V2 Ω W m V 2 V A 1 J s A s V m J C J C 1 m J mm. Der Glühdrat ist demnach fast ein Meter lang! 291 K 2500 K (b) Unmittelbar nach dem Einschalten hat der Draht noch Raumtemperatur, sein Widerstand beträgt also laut Gleichung (2.4) ϱ 0 R 0 R( ) (2.4) l l A A ϱ 0. (2.10) n dem Augenblick, zu dem an diesem Widerstand die Spannung U anliegt, fließt der Strom 0 U (2.10) U R l 0 ϱ AU (2.8) AU A 0 lϱ AU 2 T [ 1 P1 T ] ϱ 0 P 1 ϱ 0 U 2500 K 291 K 60 W ma 2.24 A. 230 V Unmittelbar nach Einschalten des Lichts (d. h. nach Anlegen der Spannung U an die Enden des Glühdrates) ist die Stromstärke mit 2.2 A fast neun mal höher als im laufenden Betrieb! Lösung zu Aufgabe 3 (a) Von außen Betrachtet liegt an den Klemmen der Batterie die Klemmenspannung U K an. Diese ist zu unterscheiden von der Quellspannung (die auch Urspannung oder elektromotorische Kraft EMK genannt wird). Die Quellspannung ist durch die elektrochemische Potentialdifferenz zwischen den beiden Elektroden Jens Patommel <patommel@xray-lens.de> Seite 5 von 8

6 U K U i Batterie R i R A U A der Batterie festgelegt und ändert sich auch dann nicht, wenn die Batterie durch Entladen schwächer wird. Die Klemmenspannung ergibt sich aus der Quellspannung durch Subtraktion der über dem nnenwiderstand der Batterie abfallenden Spannung U i R i, d. h. es gilt der Zusammenhang U K U i R i. (3.1) Die Klemmenspannung hängt also von der (konstanten) Urspannung, dem nnenwiderstand der Batterie und der Stromstärke ab und wird kleiner, je größer nnenwiderstand und Stromstärke werden. Die Gleichung (3.1) gestattet es, aus den in der Aufgabe gegebenen Größen den nnenwiderstand der Batterie zu berechnen: (3.1) R i U K U V 9.8 V 170 A 17.6 mω. (b) Bei geschlossenem Stromkreis fällt die Klemmenspannung vollständig über dem Widerstand des Anlassers ab, so dass dann U A U K U 1 (3.2) gilt. Da nun der Strom fließt, errechnen wir den Widerstand des Anlassers zu R A U A (3.2) U V 170 A 57.6 m Ω. (3.3) (c) Aufgrund des frostbedingten veränderten nnenwiderstands der Batterie fließt nun eine neue Stromstärke 2 durch den Stromkreis: 2 R ges R i, 2 + R A R A + R A 1 2 (3.3) R A 1 2 U 1 1. (3.4) 2 U 1 Jens Patommel <patommel@xray-lens.de> Seite 6 von 8

7 nsbesondere fließt diese Stromstärke durch den Widerstand des Anlassers, so an diesem die Spannung (3.4) U A R A R A (3.3) U U 1 U (3.5) abfällt. Der Zeichnung entnimmt man, dass die Klemmenspannung und die am Anlasser anliegende Spannung gleich groß sind, so dass wir für die bei Frost vorliegende Klemmenspannung den Wert (3.5) U K U A V 6.4 V 2 errechnen. Dass die neue Klemmenspannung der halben Urspannung entspricht, hätte man auch sofort aus der vorliegenden Symmetrie schließen können: Die Urspannung fällt über zwei gleichgroße in Reihe geschaltete Widerstände ab (nnenund Anlasserwiderstand), an jedem Widerstand muss also die gleiche Spannung abfallen. Da die Summe dieser beiden gleich großen Teilwiderstände gleich der Urspannung sein muss, fällt sowohl über den nnen- als auch über den Anlasserwiderstand jeweils die Spannung 1 2 ab, was auch gleichzeitig der Klemmenspannung entspricht. Lösung zu Aufgabe 4 (a) Wenn an der Glühlampe die volle Leistung P L bei der maximal zulässigen Spannung U L umgesetzt wird, dann fließt ein elektrischer Strom der Stärke P L 30 W U L 24 V 1.25 J s 1 J C C s A. (4.1) (b) Die Netzspannung U N soll derart über den Widerstand der Lampe und dem Vorwiderstand abfallen, dass an der Lampe die Spannung U L anliegt. Dazu muss am Vorwiderstand die Spannung U V U N U L (4.2) anliegen, woraus sich die Größe des Vorwiderstandes berechnen lässt: R V U V (4.2) (4.1) U N U L 230 V 24 V 1.25 A 165 V A Ω. (c) m Vorwiderstand wird die Leistung P V U V (4.2) (U N U L ) P ( ) L UN 1 P L (4.3) (4.1) U L U ( ) L 230 V 24 V 1 30 W W 258 W (4.4) Jens Patommel <patommel@xray-lens.de> Seite 7 von 8

8 verbraucht. (d) Wenn im Vorwiderstand die Leistung P V verbraucht wird, so entsteht in der Zeit t die Wärmemenge Q P V t, pro Sekunde wird also die Wärme ( ) Q P V t (4.3) UN 1 P L t U L erzeugt. (4.4) 258 W 1 s 258 W s 258 J (e) Die zu messende Stromstärke wird durch die Parallelschaltung in die Stromstärken A (Strom druch das Strommessgerät) und rmp (Strom durch den Parallelwiderstand) aufgeteilt, wobei entsprechend der Kirchhoffschen Knotenregel P A (4.5) gilt. Am Parallelwiderstand liegt die gleiche Spannung wie am Strommessgeraät an (Maschenregel), es ist also U P U A R A A. (4.6) Aus den Beziehungen (4.5) und (4.6) schließen wir, dass ein Widerstand von R P U P (4.6) P (4.5) R A A (4.1) A 5.00 Ω 100 ma 1.25 A 100 ma 500 Ω mω parallel geschaltet werden muss, damit das Strommessgerät gerade Vollausschlag anzeigt. Damit der Messbereich des Amperemeters ausreicht, darf der Parallelwiderstand also nicht größer als 435 Ω sein. Quellen Die Aufgaben sind entnommen aus: Peter Müller, Hilmar Heinemann, Heinz Krämer, Hellmut Zimmer, Übungsbuch Physik, Hanser Fachbuch, SBN: Die Übungs- und Lösungsblätter gibt es unter Die Homepage zur Vorlesung findet sich unter Jens Patommel <patommel@xray-lens.de> 8