Physik 2 ET, SoSe 2013 Aufgaben mit Lösung 3. Übung (KW 19/20) Temperaturen ) Dampfmaschine )

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1 3. Übung (KW 19/20) Aufgabe 1 (T 4.1 Temperaturen ) Zwischen den beiden Wärmespeichern einer Carnot-Maschine (Wirkungsgrad η) besteht eine Temperaturdifferenz T. Welche Temperaturen und T t haben die beiden Wärmespeicher? η 30 %, T 140 K Aufgabe 2 (T 4.3 Dampfmaschine ) Eine Dampfmaschine arbeitet zwischen den Temperaturen ϑ 2 und ϑ 1. Dem Wärmebehälter mit der Temperatur ϑ 1 entzieht sie je Minute die Wärme Q 1. Welche Wärme Q 2 liefert sie stündlich mindestens an den anderen Wärmebehälter ab? ϑ 2 50 C, ϑ C, Q MJ Aufgabe 3 (T 4.6 Stadtheizung ) Mit einer nach dem Carnot-Prozess laufenden Wärmepumpe soll eine Stadtheizungsanlage auf der Temperatur ϑ 1 gehalten werden. Zur Verfügung stehen die elektrische Antriebsleistung P und ein Fluss, durch dessen Profil Wasser der Stromstärke I und der Temperatur ϑ 2 fließt. (a) Welche Wärme Q 1 wird je Sekunde an die Stadtheizung abgegeben? (b) Um welche Temperaturdifferenz T wird der Fluss abgekühlt? ϑ 1 80 C, ϑ C, P 30 MW, I 400 m 3 s 1, c W 4.19 kj kg 1 K 1 Aufgabe 4 (T 5.1 Eisenstück ) Ein Stück Eisen der Masse m und der Temperatur wird in ein sehr großes Wasserbad der Temperatur < gebracht. Das Eisen nimmt die Temperatur des Wassers an. Die Temperatur des Bades ändert sich dabei nicht merklich. Wie groß ist die Entropieänderung S des gesamten Systems? m 1.0 kg, 573 K, 288 K, c E 473 J kg 1 K 1 Jens Patommel <patommel@xray-lens.de> Seite 1 von 10

2 Aufgabe 5 (T 5.3 Dachziegel ) Ein Dachziegel (Masse m) fällt aus der Höhe h in einen Sandhaufen. Sandhaufen, Dachziegel und Umgebung haben die Temperatur T, die sich auch während des Vorganges nicht merklich ändert. Wie groß ist die Entropieänderung S bei diesem irreversiblen Prozess? m 1.35 kg, h 15 m, T 279 K Aufgabe 6 (T 5.4 Mischvorgang ) Wasser der Masse m 1 und der Temperatur ϑ 1 wird mit Wasser der Masse m 2 und der Temperatur ϑ 2 < ϑ 1 vermischt. Der Mischvorgang verläuft wärmeisoliert gegenüber der Umgebung. Berechnen Sie die Entropieänderung S, die bis zum Erreichen des Temperaturausgleichs entsteht! m 1 35 kg, ϑ 1 80 C, ϑ C, m 2 25 kg, c W 4.19 kj kg 1 K 1 Aufgabe 7 (T 4.4 Nutzeffekt ) Einer Maschine, die nach dem Carnot-Prozess arbeitet, wird bei tiefer Temperatur ϑ 2 eine Wärme Q 2 zugeführt. Bei hoher Temperatur ϑ 1 wird Q 1 abgeführt. (a) Zu welchem Zweck kann die Maschine eingesetzt werden? (b) Man berechne die Arbeit W für eine Periode! Wie wird sie im p(v )-Diagramm veranschaulicht? (c) Durch welche Beziehungen wird der Nutzeffekt der Maschine beschrieben, und wie groß ist er? (d) Wie errechnet sich ϑ 1, wenn ϑ 2, Q 1 und Q 1 gegeben sind? ϑ 2 20 C, Q kj, Q kj Aufgabe 8 (T 5.10 Mischentropie ) In einem abgeschlossenen Raum vom Volumen V 0 ist ein Teilvolumen V 1 durch eine feste Wand abgegrenzt. In diesem Teilvolumen befindet sich O 2 bei einem Druck p 1 und der Temperatur ϑ 1, im übrigen Raum befindet sich N 2 bei einem Druck p 2 und der gleichen Temperatur. Wie groß ist die Entropieänderung des Systems, wenn man die Trennwand entfernt? (Man betrachte beide Gase als ideal und rechne für jede Gasart so, als sei die andere Gasart nicht vorhanden.) V m 3, V m 3, p kpa, p kpa, ϑ 1 20 C Jens Patommel <patommel@xray-lens.de> Seite 2 von 10

3 Lösung zu Aufgabe 1 Die Temperaturen der beiden Wärmespeicher erhält man aus der Formel für den Wirkungsgrad einer Carnot-Maschine: η T T 140 K η 30 % 140 K K ( ) 1 T t T η 1 T 327 K. Lösung zu Aufgabe 2 Die Wärmemengen Q 1 und Q 2 und die von der Maschine verrichtete Arbeit W sind über den ersten Hauptsatz der Thermodynamik miteinander verknüpft: U (Q 1 + Q 2 ) W. }{{} Q netto Da die Maschine zyklisch arbeitet, ändert sich die Innere Energie im Mittel nicht, es ist also U 0 und es folgt ( ) W Q 1 + Q 2 W Q 2 W Q 1 Q 1 1 Q 1 (η D 1). (2.1) Q 1 Der Wikungsgrad η D der Dampfmaschine ist höchstens so groß wie der Wirkungsgrad η C einer Carnot-Maschine zwischen denselben Temperaturen und, d. h. es gilt wobei η D η C, (2.2) η C T t. (2.3) Insgesamt folgt somit ( ) (2.1) Q 2 Q 1 (η D 1) (2.2) Q 1 (η C 1) (2.3) Th T t Q 1 1 das heißt Q 1 T t, Q 2 Q 1 T t 2.07 GJ bzw. Q 2 Q 1 T t GJ. Die Dampfmaschine gibt also mindestens 2.07 GJ Wärme an das untere Wärmereservoir ab, d. h. sie wandelt höchstens 4.19 GJ 2.07 GJ 2.12 GJ der vom oberen Wärmebad aufgenommen Wärme in nutzbare Arbeit um. Jens Patommel <patommel@xray-lens.de> Seite 3 von 10

4 Lösung zu Aufgabe 3 (a) Die während der Zeit t an die Stadtheizung abgegebene Wärme errechnet man anhand der Leistungszahl einer Wärmepumpe zu Q 1 ε W W, (3.1) wobei W die während der Zeit t von außen zugeführte Arbeit angibt. Die Leistungszahl der nach dem Carnot-Prinzip arbeitenden Wärmepumpe beträgt ε W (3.2) und die in der Zeit t verrichtete Arbeit ergibt sich aus der Leistung P : Einsetzen führt auf Q 1 (3.1) ε W W (3.2) W P t. (3.3) W (3.3) P t }{{} MJ. 1 s Der Heizungsanlage wird also pro Sekunde die Wärmemenge MJ zugeführt. (b) Die Abkühlung des Flusses ergibt sich aus der Wärmemenge Q 2, die dem Fluss in der Zeit t entzogen wird. Bei einer Wärmepumpe wird dem unteren Temperaturbad (dem Fluss) die Wärmemenge Q 2 entnommen und dem oberen Temperaturbad (der Stadtheizung) die Wärmemenge Q 1 zugeführt, wobei diese Wärmemenge aufgrund der von außen zugeführten Arbeit W um W größer ist als die dem Fluss entnommene Wärme, Q 1 Q 2 + W. In der Zeit t wird dem Fluss also die Wärme Q 2 Q 1 W (3.1) ε W W W (ε W 1) W (3.2) W (3.3) ( ) T1 1 W P t. (3.4) entzogen, wodurch sich das Wasser des Flusses um T abkühlt. Der Zusammenhang zwischen Wärmemenge und Temperaturänderung ist durch die spezifische Wärmekapazität des Wassers gegeben: Q 2 m W c W T. (3.5) Q 2 ist die in der Zeit t abgeführte Wärmemenge und m w bezeichnet die in derselben Zeit durch den Flussquerschnitt vorbeifließende Wassermasse. Q 2 haben wir bereits mit (3.4) gegeben; m w berechnen wir aus dem bekannten Volumenstrom I V, t m w ρ w V w ρ w I t, (3.6) Jens Patommel <patommel@xray-lens.de> Seite 4 von 10

5 wobei ρ w die Massendichte von Wasser ist. Die Gleichungen (3.4) und (3.6) werden in (3.5) eingesetzt und nach T umgestellt: P t ρ w I tc W T T P Iρ w c w K. Durch das Betreiben der Stadtheizung wird der Fluss um 0.07 K abgekühlt. Lösung zu Aufgabe 4 Die Entropieänderung des Gesamtsystems setzt sich aus der Entropieänderung des Eisenstücks und der Entropieänderung des Wassers zusammen: S ges S E + S W. (4.1) Wir berechnen zuerst die Entropieänderung des Eisens, welches sich von der Temperatur auf die Temperatur abkühlt und dabei die Wärmemenge Q E an das Wasser abgibt: S E Q E dq T 1 0 [ ] m E c E log log m E c E dt T 1 m E c E dt T 1 m E c E [ ] T2 log T m E c E log m E c E log. (4.2) Dabei haben wir von der Gleichung dq m E c E dt Gebrauch gemacht. Bei der Berechnung der Entropieänderung des Wassers nutzen wir aus, dass keine Wärme an die Umgebung abgegeben und auch keine Wärme von der Umgebung aufgenommen wird und somit die vom Eisen abgegebene Wärme vollständig vom Wasser aufgenommen wird, Q E Q W. Außerdem soll die Masse des Wassers sehr viel größer als die des Eisens sein, so dass die Temperaturänderung des Wassers vernachlässigbar klein ist und das T 1 als Konstante vor das Integral geschrieben werden kann: S W Q W 0 dq T 1 T 1 2 Q E 0 dq Q E m Ec E ( ) Die Entropieänderung des Gesamtsystems beträgt somit [ (4.1) (4.2) S ges S E + S W m T1 Ec E 1 log T ] 1 (4.3) m E c E 143 J K 1. ( ) T1 1 (4.3) Jens Patommel <patommel@xray-lens.de> Seite 5 von 10

6 Lösung zu Aufgabe 5 Der Dachziegel hat am Anfang im Schwerefeld der Erde die potentielle Energie W pot mgh. Nachdem er die Fallhöhe h zurückgelegt, er aber noch keinen Kontakt mit dem Sandboden hat, ist die potentielle Energie vollständig in kinetische Energie W kin 1 2 mv2 umgewandelt worden, d. h. seine kinetische Energie beträgt dann W kin W pot. Anschließend wird der Dachziegel im Sand gebremst und kommt zur Ruhe; die kinetische Energie wird dabei vollständig in Wärme Q umgewandelt, und zwar gilt Q W kin W pot mgh. Die Wärmemenge Q wird dazu verwendet, die Temperatur des Sandes und des Dachziegels zu erhöhen, allerdings fällt dieser Temperaturanstieg sehr gering aus, wie man anhand folgender Rechnung erkennt. Angenommen, die Wärme Q erhöhte lediglich die Temperatur des Ziegelsteins aber nicht die des Sandes. Dann betrüge die Temperaturerhöhung lediglich T Q mgh mc Z mc Z gh c Z 9.81 m s 2 15 m 1000 J K 1 kg 0.15 K. Es wird aber zusätzlich der Sand erwärmt, so dass die Temperaturerhöhung sogar noch niedriger ausfällt. Im Vergleich zur Umgebungstemperatur von 279 K ist eine Temperaturerhöhung von weniger als 0.15 K vernachlässigbar, so dass wir die Temperatur als näherungsweise konstant ansehen können. Es folgt dann S dq T 1 T 1 dq Q T mgh T Lösung zu Aufgabe kg 9.81 m s 2 15 m 279 K 0.71 J K 1. Zwei Wassermengen mit unterschiedlichen Temperaturen und sollen vermischt werden. Wir berechnen zuerst die gemeinsame Mischtemperatur T M, die sich nach dem Mischen einstellen wird, indem wir die Wärmemengen betrachten, die zwischen den Wassermassen ausgetauscht werden. Da der Mischvorgang zur Umgebung wärmeisoliert verlaufen soll, entspricht die Wärmemenge Q 1, die das anfangs warme Wasser abgibt, betragsmäßig genau derjenigen Wärmemenge Q 2, die das anfangs kalte Wasser aufnimmt. Unter Berücksichtigung der Vorzeichenkonvention (positives Vorzeichen heißt Wärmeaufnahme, negatives hingegen Wärmeabgabe) bedeutet dies Q 1 + Q 2 0 und es folgt m 1 c W (T M ) + m 2 c W (T M ) 0 T M m 1 + m 2 m 1 + m 2. (6.1) Jens Patommel <patommel@xray-lens.de> Seite 6 von 10

7 Die Entropieänderung der gesamten Wassermasse ist die Summe aus den Entropieänderungen der Einzelmassen, somit folgt S S 1 + S 2 m 1 c W (6.1) c W ( dq T 1 + dt T 1 + m 2 c W m 1 log m 1 + m 2 dq T 1 m 1 c W dt T 1 + m 1 c W dt T 1 ( dt T 1 c W m 1 log T M + m 2 log T ) M + m 2 log m 1 + m 2 m 1 + m 2 m 1 + m 2 ) 1.56 kj K 1. Lösung zu Aufgabe 7 (a) Die Maschine arbeitet gegen den Temperaturgradienten, d. h. sie transportiert einen Nettowärmestrom vom tieferen Wärmereservoir ins hohe Wärmereservoir und kann somit als Wärmepumpe (Heizung) oder als Kältemaschine (Kühlschrank) eingesetzt werden, je nachdem, ob man sich für das obere Wärmereservoir (Heizung) oder für das untere Wärmereservoir (Kühlschrank) interessiert. Rein physikalisch gesehen ist eine Wärmepumpe immer auch gleichzeitig eine Kältemaschine und umgekehrt; in der Praxis unterscheiden sich die beiden Anwendungen jedoch in der technischen Ausführung. (b) Nach einer vollständigen Periode hat man denselben Zustand wie vor dem Zyklus erreicht, die Innere Energie hat sich also nicht geändert und somit gilt U 0. Aus dem ersten Hauptsatz der Thermodynamik folgt somit W Q Q }{{} 2 + Q 1 Q }{{} 2 Q kj 921 kj 84 kj. >0 <0 Hierbei habe ich das Vorzeichen so gewählt, dass Wärme positiv gezählt wird, wenn sie von der Maschine aufgenommen und negativ, wenn Wärme von der Maschine abgegeben wird. Die Maschine verrichtet pro Periode die negative Arbeit W 84 kj, d. h. die Umwelt verrichtet an der Maschine die positive Arbeit W +84 kj. Im p(v )-Diagramm entspricht die Arbeit dem von der Kurve eingeschlossenen Flächeninhalt, denn es gilt W 2 dv p(v ). 1 (c) Je nachdem, ob man die Maschine als Wärmepumpe oder als Kältemaschine betreibt, wird der Nutzeffekt durch die Leistungszahlen ε W bzw. ε K mit ε W Q 1 W Q 1 Q 2 + Q ε K Q 2 W Q 2 Q 2 + Q beschrieben. Je höher der Nutzeffekt ist, desto mehr Wärme wird pro aufgebrachter Arbeit in das obere Reservoir transportiert (Wärmemaschine) bzw. aus dem unteren Jens Patommel <patommel@xray-lens.de> Seite 7 von 10

8 Reservoir abgeführt (Kältemaschine). Im vorliegenden Beispielt bedeutet dies, dass man für jedes Joule Arbeit, das man in die Maschine hineinsteckt (z. B. in Form von elektrischem Strom), 10 Joule Wärme aus dem unteren Temperaturreservoir abführt und 11 Joule Wärme in das obere Reservoir hineintransportiert; die hineingesteckte Arbeit von einem Joule wird in Wärme umgewandelt und zusammen mit den 10 Joule aus dem unteren Reservoir in das obere Reservoir gebracht. (d) Da wir es mit einem Carnot-Prozess zu tun haben, lauten die Nutzwerte wie folgt: ε W (7.1) ε K. (7.2) Beide Gleichungen können nun benutzt werden, um die gesuchte Temperatur zu berechnen. Ich wähle die zweite Gleichung, da dort das nur einmal vorkommt und diese deshalb einfacher nach aufzulösen ist: (7.1) + ε K T 0 + ϑ 1 (T 0 + ϑ 2 ) ϑ 1 ( K + 20 C) 49.3 C. ( ) ε K ( ) K 11.0 (e) Wie erlangen wir Kenntnis über die Masse des verwendeten Wasserstoffs? Indem wir ausnutzen, dass die von der Maschine (d. h. vom Gas) verrichtete Arbeit von der Stoffmenge und somit von der Masse des Gases abhängt. Betrachten wir die Arbeit, die das Gas während der isothermen Expansion (bei der tiefen Temperatur) verrichtet: W 2 V B dv p(v ) V B dv νr V νr ln V B (7.3) Andererseits wissen wir, dass bei einem isotherm geführten Prozess die Innere Energie unverändert bleibt, U 2 0, demzufolge die vom Gas verrichtete Arbeit zu hundert Prozent aus der vom unteren Temperaturbad entnommenen Wärmemenge stammt: 0 U 2 Q 2 W 2, d. h. W 2 Q 2. (7.4) Die Stoffmenge des Wasserstoffs ergibt sich aus (7.3) und (7.4) zu ν Q 2 R ln V B VA, Jens Patommel <patommel@xray-lens.de> Seite 8 von 10

9 so dass sich die gesuchte Wasserstoffmasse zu berechnet. Q 2 m M m (H 2 )ν M m (H 2 ) Q 2M r (H 2 ) g mol 1 R ln V B VA R ln V B VA 837 kj 2 g mol kg J mol 1 K K ln 200 l 100 l Lösung zu Aufgabe 8 Nach Entfernen der Trennwand verteilen sich die Sauerstoff- und die Stickstoffmoleküle im gesamten Volumen V 0. Um auszurechnen, wie groß die dabei auftretende Entropieänderung S ist, machen wir zunächst von der Annahme Gebrauch, dass sich die beiden Gassorten gegenseitig nicht beeinflussen. Wir stellen uns also vor, wir hätten zwei gleiche Behälter vom Volumen V 0 mit je einer Trennwand, die das Volumen in die beiden Teilvolumina V 1 und V 2 aufteilt. Im ersten Behälter befinde sich im Teilvolumen V 1 Sauerstoff vom Druck p 1 und im Teilvolumen V 2 Vakuum, während sich im zweiten Behälter im Teilvolumen V 1 Vakuum und im Teilvolumen V 2 Stickstoff vom Druck p 2 befinde. Werden die beiden Trennwände entfernt, so verteilt sich der Sauerstoff im ersten Behälter auf das komplette Volumen V 0, ebenso der Stickstoff im zweiten Behälter. Die Summe der jeweils auftretenden Entropieänderungen S 1 + S 2 muss denselben Wert haben wie die Entropieänderung S im Originalexperiment, denn das Ausbreiten der Gassorten soll ja unabhängig voneinander geschehen, so als sei die jeweils andere Gassorte gar nicht vorhanden: S S 1 + S 2. (8.1) Nun müssen S 1 und S 2 berechnet werden. Dazu denken wir uns Anfangs- und Endzustand durch folgenden Ersatzprozess verbunden. Anstatt die Trennwand zu entfernen und die Gasmoleküle sich frei im Raum ausbreiten zu lassen, ziehen wir die Trennwand wie einen Kolben aus einem Zylinder heraus, und zwar so langsam, dass das System jederzeit im Gleichgewichtszustand ist. Dies ist der Fall, wenn die Bewegung der Trennwand (bzw. des Kolbens) viel langsamer vonstatten geht, als die Geschwindigkeit, mit der sich die Gasmoleküle thermisch bewegen. In diesem Fall üben die Gasmoleküle einen Druck p(v ) auf die Trennwand aus und verrichten somit die Arbeit δw pdv. Um ein Abkühlen des Gases zu verhindern, führen wir ständig Wärme hinzu, und zwar so, dass du δq δw 0 erfüllt ist. Am Ende, d. h. wenn die Trennwand das komplette Volumen V 0 freigegeben hat, muss also die Wärmemenge Q W V E dv p(v ) isotherme Expansion V E dv p A V p A log V E von außen hinzugefügt worden sein, damit die innere Energie und somit die Temperatur des Gases konstant bleiben. Für die beiden Behälter mit dem Sauer- und Jens Patommel <patommel@xray-lens.de> Seite 9 von 10

10 dem Stickstoff bedeutet dies, dass die vom Gas an der sich bewegenden Trennwand verrichtete Arbeit durch die Wärmemengen Q 1 p 1 V 1 log V 0 V 1 (8.2) Q 2 p 2 V 2 log V 0 V 2 (8.3) kompensiert werden müssen, um konstante Temperatur zu halten. Somit können wir für diesen Ersatzprozess die Teilentropien bestimmen: S 1 Q 1 (8.2) p 1V 1 log V 0 V 1 (8.4) S 2 Q 2 (8.3) p 2V 2 log V 0 V 2 (8.5) Am Ende haben wir im Innern der beiden Behälter denselben Zustand erreicht wie bei der freien Expansion. Da nun die Entropie S eine thermodynamische Zustandsgröße ist, muss die Entropieänderung somit in beiden Fällen der freien Expansion und der geführten Expansion denslben Wert haben. Daraus folgt, dass wir die Gleichungen (8.4) und (8.5) in die Gleichung (8.1) einsetzen dürfen, woraufhin für die Entropieänderung des Originalexperiments folgendes Ergebnis herausspringt: S S 1 + S 2 p 1V 1 log V 0 V 1 + p 2V 2 log V 0 1 [ p 1 V 1 log V 0 V 1 + p 2 (V 0 V 1 ) log 8.02 kj K 1. V 0 V 2 V 0 V 1 ] Quellen Die Aufgaben sind entnommen aus: Peter Müller, Hilmar Heinemann, Heinz Krämer, Hellmut Zimmer, Übungsbuch Physik, Hanser Fachbuch, ISBN: Die Übungs- und Lösungsblätter gibt es unter Die Homepage zur Vorlesung findet sich unter Jens Patommel <patommel@xray-lens.de> 10