Physik 2 ET, SoSe 2013 Aufgaben mit Lösung 2. Übung (KW 17/18)

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1 2. Übung (KW 17/18) Aufgabe 1 (T 3.1 Sauerstoffflasche ) Eine Sauerstoffflasche, die das Volumen hat, enthält ab Werk eine Füllung O 2, die bei Atmosphärendruck p 1 das Volumen V 1 einnähme. Die bis auf Atmosphärendruck entleerte Flasche wird bei der Temperatur ϑ 1 neu gefüllt. (a) Wie groß ist die Massenzunahme m der Flasche beim Füllen? (b) Welche mechanische Arbeit W müsste dem Gas zugeführt werden, wenn es isotherm vom Atmosphärendruck auf den Fülldruck komprimiert werden soll? (c) Wo verbleibt die Energie? V 1 = 6.00 m 3, = 40 l, ϑ 1 = 18 C, A r = 16 (relative Atommasse von O 2 ), p 1 = 101 kpa Aufgabe 2 (T 3.4 Luftpumpe ) Eine Luftpumpe hat das Maximalvolumen V 1, das sich beim Ansaugen von Luft vom Druck p 1 und der Temperatur ϑ 1 füllt. Beim anschließenden Komprimieren öffnet sich das Ventil, wenn in der Pumpe der Druck den Wert p 2 erreicht hat (keine Wärmeabgabe an die Umgebung). (a) Welches Volumen hat in diesem Augenblick die eingeschlossene Luft? (b) Wie groß ist dann die Temperatur ϑ 2? (c) Welche Arbeit W wird an dem Gas bis zum Öffnen des Ventils verrichtet? (d) Wie groß ist die Masse m des Gases, das bei N Pumpstößen in den Schlauch befördert wird? (e) Was geschieht mit der von außen zugeführten Energie? V 1 = 250 cm 3, p 1 = 101 kpa, p 2 = 405 kpa, ϑ 1 = 20 C, M r = 29, κ = 1.40, N = 50 Aufgabe 3 (T 3.10 Zylinder ) Einem Gas (Masse m G ) wird in einem aufrecht stehenden Zylinder mit reibungsfrei beweglichem Kolben (Masse m K, Querschnittsfläche A) die Wärme Q zugeführt. Dadurch wird der Kolben um die Höhe h gehoben. Um welchen Betrag T steigt die Temperatur des Gases? m G = 2.5 g, m K = 0.40 kg, A = 40 cm 2, Q = 126 J, h = 8.8 cm, c V = 740 J kg 1 K 1, Außendruck: p A = 101 kpa Jens Patommel <patommel@xray-lens.de> Seite 1 von 9

2 Aufgabe 4 (T 3.7 Kreisprozess ) Mit einem idealen Gas wird ein Kreisprozess ausgeführt, der sich aus folgenden Zustandsänderungen zusammensetzt, die in der angegebenen Reihenfolge durchlaufen werden. 1. isobare Ausdehnung, 2. isotherme Zustandsänderung, 3. isochore Zustandsänderung. Stellen Sie den Prozess im p(v )-Diagramm und im p(t )-Diagramm dar! Welches Vorzeichen hat die vom Gas verrichtete Arbeit? Jens Patommel <patommel@xray-lens.de> Seite 2 von 9

3 Lösung zu Aufgabe 1 (a) Wenn man die Zustandsgleichung eines idealen Gases nach der Stoffmenge auflöst, dann kann man daraus die Masse des Gases berechnen, indem man die Stoffmenge mit der molaren Masse multipliziert: pv = νrt ν = pv RT = m = νm m = pv RT M m = m = pv RT M r g mol 1 (1.1) Wir wenden diese Gleichung an, um die Masse des Restsauerstoffs in der leeren Flasche und die Masse des Sauerstoffs der vollen Flasche zu ermitteln. Flasche leer bedeutet in diesem Zusammenhang, dass der Flaschendruck auf Umgebungsdruck p 1 abgesunken ist; die leere Flasche enthält dann noch eine Restmenge Sauerstoff der Stoffmenge ν l und der Masse m l. Die Masse dieses Restsauerstoffs ergibt sich aus (1.1), indem man dort das Volumen der leeren Flasche, den Umgebungsdruck p 1 und die Umgebungstemperatur T 1 einsetzt: m l = ν l M m = p 1 M r g mol 1. (1.2) Die Masse m v des Sauerstoffs der vollen Flasche kriegen wir heraus, wenn wir in (1.1) das Volumen V 1 des bei Umgebungsdruck expandierten Sauerstoffs, den Umgebungsdruck p 1 und die Umgebungstemperatur T 1 einsetzen: m v = ν v M m = p 1V 1 M r g mol 1. (1.3) (Genauso gut erhielte man dieselbe Masse m l, indem man in (1.1) das Flaschenvolumen V 1 und den Druck p 2 der vollen Flasche einsetzte, allerdings ist p 2 nicht gegeben.) Die Massenzunahme m beim Füllen der Flasche ist die Differenz von m v und m l : m = m v m l (1.2),(1.3) = (V 1 ) p 1 M r g mol 1. Unter Beachtung, dass molekularer Sauerstoff aus zwei Sauerstoffatomen mit relativer Atommasse A r besteht, erhalten wir folgende Massenzunahme: m = (V 1 ) p 1 2A r g mol 1 = 7.96 kg. (b) Beim isothermen Kompressionsvorgang bleibt die Temperatur konstant, aus dem Idealgasgesetz folgt daher für den Druck während des Zusammenpressens des Sauerstoffs die Beziehung pv = p 1 V 1 p(v ) = p 1V 1 V. (1.4) Jens Patommel <patommel@xray-lens.de> Seite 3 von 9

4 Die dabei an dem Sauerstoff verrichtete Arbeit W errechnet sich über das folgende Integral: V 1 V 1 V W (1.4) p 1 V 1 = W = dv p(v ) = dv p(v ) = dv V = p 1 1V 1 ln V V 1 = p 1 V 1 [ln ln V 1 ] = p 1 V 1 ln V 1 = 3.0 MJ. (c) Im Allgemeinen wird ein Teil der an dem Gas verrichteten Arbeit in Wärme und der restliche Teil in Innere Energie umgewandelt, U = Q + W. Da wir es aber mit einem isothermen Prozess zu tun haben, bei dem die Temperatur konstant bleibt, muss auch die Innere Energie konstant bleiben (man beachte die kalorische Zustandsgleichung U = mc V T, also auch U = mc V T ). Mit U = 0 folgt nun aber W = Q, d. h. die an dem Gas verrichtete Arbeit wird vollständig in Wärme umgewandelt und an die Umgebung abgeführt. Lösung zu Aufgabe 2 Es soll das Komprimieren von Luft in einer Luftpumpe untersucht werden. Als Randbedingung wird angenommen, dass die Stoffmenge des Gases konstant bleibt (Ventil bleibt geschlossen) und während des Vorganges keine Wärme an die Umgebung abgeführt wird. Die zweite Annahme ist in der Praxis nur näherungsweise erfüllt, denn eine Luftpumpe ist selten wärmeisoliert. Wenn jedoch der Kompressionsvorgang schnell genug erfolgt, so hat die Wärme keine Zeit, aus dem Gas durch die Zylinderwand nach außen zu gelangen, d. h. bei hinreichend schnellem Pumpem ist die Annahme einer adiabatischen Zustamdsänderung in guter Näherung gerechtfertigt. (a) Wir gehen von der Adiabatengleichung aus und formen ( nach dem Volumen um: )1 p 1 V1 κ = p 2 V2 κ p1 κ = V1 (2.1) = = p 2 ( )1 101 kpa κ 250 cm 3 = 92.7 cm kpa (b) Wir wenden die Idealgasgleichung auf die Zustände 1 und 2 an, p 1 V 1 = ν (2.2) p 2 = νrt 2 (2.3) und eliminieren durch Division die unbekannte Stoffmenge ν: T 2 = p 2. T 1 p 1 V 1 Nach der Temperatur T 2 auflösen und das in (a) berechnete Volumen einsetzen führt zum gesuchten Ergebnis: T 2 = p 2 (2.1) T 1 = p ( )1 ( ) 2 p1 κ 1 ( )1 ( )1 p1 p1 κ p1 κ 1 T1 = T1 = T 1 = K p 1 V 1 p 1 p 2 p 2 p 2 p 2 = ϑ 2 = C. Jens Patommel <patommel@xray-lens.de> Seite 4 von 9

5 (c) Die an dem Gas verrichtete Arbeit ergibt sich aus folgendem Integral: V 1 W = W = dv p(v ) = V 1 dv p(v ). (2.4) Zum Lösen dieses Integrals benötigen wir die Funktion p(v ). Diese ergibt sich aus der Adiabatengleichung, indem man diese auf den Anfangszustand (p 1, V 1, T 1 ) und einen beliebigen Zwischenzustand (p, V, T ) anwendet und nach p auflöst: pv κ = p 1 V1 κ p = p 1 V1 κ V κ. (2.5) Gleichung (2.5) wird in (2.4) eingesetz und das Integral gelöst: V 1 W = p 1 V1 κ dv V κ = p 1 V κ 1 V1 1 V κ+1 = p κ 1V1 κ+1 = p 1V1 1 V1 κ 1 [ ] V 1 κ 1 V 1 κ p 1 V 1 2 = (2.1) = p 1V 1 = 30.7 J. 1 { (p1 p 2 ) 1 κ } 1 κ [ 1 = p 1V 1 [ { V2 V 1 1 [ ] V 1 κ 1 V2 1 κ } 1 κ ] ( p1 p 2 ) 1 κ ] κ (d) Die Masse m N der Luft, welche nach N Pumpstößen in den Reifen befördert wird, ergibt sich aus der Masse m 1 für einen einzelnen Pumpstoß, indem man diese mit N multipliziert: m N = Nm 1. (2.6) Die Masse m 1 für einen einzelnen Pumpzyklus berechnen wir aus der Stoffmenge ν, die sich vor dem Öffnen des Ventils in der Pumpe befindet und der molaren Masse M m (Masse pro Stoffmenge): m 1 = νm m. (2.7) Die Stoffmenge ν erhält man durch Auflösen der Gleichung (2.2): (2.2) = ν = p 1V 1. (2.8) Nun benötigen wir noch die molare Masse. Diese hängt mit der relativen Molekülmasse M r über folgende Gleichung zusammen 1 : M m = M r g mol 1. (2.9) Schließlich setzen wir die Gleichungen (2.6), (2.7), (2.8) und (2.9) ineinander ein: m N (2.6) = Nm 1 (2.7) = NνM m (2.8) = N p 1V 1 M m (2.9) = N p 1V 1 M r g mol 1, 1 Dieser Zusammenhang ist kein Zufall, sondern die Konsequenz aus der Definition der Stoffmengeneinheit: Die Einheit mol wird gerade so definiert, dass die in ihr enthaltene Teilchenzahl eine Masse ergibt, deren Maßzahl in Gramm der relativen Teilchenmasse entspricht. Jens Patommel <patommel@xray-lens.de> Seite 5 von 9

6 was auf das Ergebnis führt. 101 kpa 250 cm 3 m 50 = J mol 1 K 1 29 g mol K = Pa (10 2 m) 3 J mol 1 g mol 1 = = 15.0 N m 2 m 3 N m g = 15.0 g Pa m3 J (e) In Teilaufgabe (c) wurde die von außen an dem Gas verrichtete Arbeit zu 30.7 J berechnet. Da keine Wärme abgeführt wird (adiabatischer Prozess), wird die gesamte Arbeit dazu verwendet, die Innere Energie des Gases zu erhöhen, was zu einem Anstieg der Temperatur von 20 C auf 163 C führt: U = Q W = Q + W = W > 0 = T = U m 1 c V > 0. Lösung zu Aufgabe 3 g m K m K Q W p A p K p A p K h V = Ah Querschnitt A p G T 1 m G T U Querschnitt A p G T 2 m G Um die gesuchte Temperaturdifferenz zu berechnen, betrachten wir als erstes die Änderung der Inneren Energie U. Einerseits gilt der erste Hauptsatz der Thermodynamik, U = Q + W = Q W, andererseits kennen wir die kalorische Zustandsgleichung U = mc V T, aus der sofort U = m G c V T Jens Patommel <patommel@xray-lens.de> Seite 6 von 9

7 folgt. Gleichsetzen und nach T auflösen ergibt T = Q W m G c V. (3.1) Q ist die von außen zugeführte Wärmemenge und W die vom Gas verrichtete Volumenarbeit, die wir wie folgt berechnen: ( W = dv p G (V ) = dv (p A + p K ) = p A + m ) Kg ( dv = p A + m ) Kg A A }{{} V V 1 V 1 V 1 Ah = W = (Ap A + m K g) h. (3.2) Hierbei habe ich ausgenutzt, dass der innere Gasdruck p G im Gleichgewichtsfall genauso groß ist wie der von außen wirkende Gesamtdruck p A + p K, wobei sich der von außen anliegende Gesamtdruck aus dem äußeren Luftdruck p A und der auf die Querschnittsfläche A wirkenden Gewichtskraft des Kolbens F K zusammensetzt. Nun noch (3.2) in (3.1) einsetzen und man bekommt die gesuchte Temperaturerhöhung heraus: T = Q (Ap A + m K g) h m G c V = 126 J (40 cm2 101 kpa kg 9.81 m s 2 ) 8.8 cm 2.5 g 740 J kg 1 K 1 = 126 J ( m Pa kg 9.81 m s 2 ) m kg 740 J kg 1 K 1 = 126 J (404 N N) m 1.85 J K J 35.9 N m = K = 48.7 K J Anmerkung Ich möchte an dieser Stelle noch einmal ausdrücklich auf den Unterschied zwischen c V und c p eingehen, weil hierbei immer wieder Missverständnisse auftreten. Im Zusammenhang mit den thermodynamischen Potentialen Innere Energie U und Enthalpie H gilt du = mc V dt (3.3) dh = mc p dt, (3.4) und zwar unabhängig davon, wie der Prozess geführt wird. Insbesondere gelten beide Gleichungen sowohl für isobare als auch für isochore Zustandsänderungen. In der vorliegenden Aufgabe erfolgt die Zustandsänderung isobar (p G = p A + p K = const), nichtsdestotrotz wird in Gleichung (3.3) das c V eingesetzt! Das liegt einfach daran, dass U eine Zustandsfunktion ist, welche von der Art der Prozessführung unabhängig ist. Egal wie ich vom Zustand 1 zum Zustand 2 gelange, die Differenz du ist immer dieselbe und wird durch (3.3) beschrieben. Jens Patommel <patommel@xray-lens.de> Seite 7 von 9

8 Anders verhält es sich mit der transportierten Wärmemenge Q und der verrichteten Arbeit W. Dies sind sogenannte Prozessgrößen, d. h. deren Werte hängen davon ab, welchen Weg ich von 1 nach 2 einschlage. Wenn ich zum Beispiel eine isochore und eine isobare Zustandsänderung habe, berechnet sich zum Beispiel die Wärmemenge gemäß { mc V dt, V = const (isochor) Q = mc p dt, p = const (isobar), d. h. je nachdem, wie der Prozess vonstatten geht, muss man entweder c V oder c p einsetzen. In der vorliegenden Aufgabe ist der Prozess isobar und das Volumen ändert sich. Dadurch trägt nicht nur der Wärmetransport Q zur Änderung der Inneren Energie bei, sondern zusätzlich auch die Volumenarbeit W. Lösung zu Aufgabe 4 p(v ) p(t ) Isotherme T = T1 p2 C Isochore V = V A Isotherme T = T 3 >T 2 p2 C Isochore V = VA Isotherme T = T 2 >T p1 A W<0 1. B Isobare p = p 1 Isotherme T = T 1 p1 A 1. B Isobare p = p1 VA VB V TA T1 T Der Kreisprozess setzt sich aus drei Teilprozessen zusammen, die wir im einzelnen diskutieren wollen. 1. Isobare Ausdehnung Das Gas dehnt sich bei konstantem Druck p = p 1 vom Volumen V A auf das Volumen V B > V A aus. Da in beiden Diagrammen der Druck als Ordinate aufgetragen ist, wird die isobare Zustandsänderung in beiden Diagrammen als horizontal verlaufende Linie dargestellt. Im p(v )-Diagramm ist sofort ersichtlich, dass der isobare Teilprozess von links nach rechts verläuft, schließlich vergrößert sich das Volumen bei der Ausdehnung. Um die Richtung im p(t )-Diagramm zu ermitteln, muss man herausfinden, wie sich die Temperatur in Abhängigkeit des Volumens bei einer isobaren Ausdehnung verhält. Dabei hilft die Idealgasgleichung pv = νrt. Wenn Druck p und Stoffmenge ν konstant bleiben, verhalten sich Volumen und Temperatur proportional zueinander, d. h. die Temperatur erhöht sich bei Expansion des Gases und erniedrigt sich bei Kompression. Weil sich unser Gas im ersten Teilprozess ausdehnt, muss sich dessen Temperatur erhöhen, die horizontale Isobare verläuft also auch im p(t )-Diagramm von links nach rechts. 1. Isotherme Zustandsänderung Die Temperatur bleibt konstant. Aus der Idealgasgleichung folgt, dass sich in diesem Jens Patommel <patommel@xray-lens.de> Seite 8 von 9

9 Fall Druck und Volumen umgekehrt proportional zueinander verhalten, p V 1, d. h. im p(v )-Diagramm entspricht die Isotherme einer Hyperbel. Folgen wir nun der Hyperpel nach links oben oder nach rechts unten? Die Antwort ergibt sich aus dem dritten Teilprozess, dort müssen wir per isochorer Zustandsänderung zum Ausgangspunkt zurückkehren, was nur dann funktioniert, wenn wir der Isothermen nach links oben folgen (Isochoren verlaufen im p(v )-Diagramm senkrecht, siehe nächsten Abschnitt). Im p(t )-Diagramm wird die Isotherme als senkrechte Gerade dargestellt, denn die Temperatur wird entlang der Abszissenachse aufgetragen. Ob man der senkrechten Isothermen nach unten oder nach oben folgen muss, ergibt sich aus der Forderung, dass man im dritten Teilprozess per isochorer Zustandsänderung zum Ausgangspunkt zuückkehren muss. Im Falle eines idealen Gases sind Isochoren im p(t )-Diagram stets Geraden durch den Nullpunkt (siehe nächsten Abschnitt). Um auf solch einer Isochoren zum Ausgangspunkt zurückkehren zu können, bleibt nichts anderes übrig, als der Isothermen im zweiten Teilprozess nach oben zu folen. 3. Isochore Zustandsänderung Bei diesem letzten Teilprozess kehren wir bei konstant gehaltenem Volumen zum Ausgangspunkt zurück. Im p(v )-Diagramm werden Isochoren als senkrechte Geraden dargestellt, während sie sich im p(t )-Diagramm als durch den Nullpunkt verlaufende Geraden manifestieren. Letzteres erkennen wir anhand des Idealgasgesetzes, aus welchem bei konstanter Stoffmenge und konstantem Volumen die Proportionalität zwischen Druck und Temperatur folgt, p T. Mechanische Arbeit Die im p(v )-Diagramm vom Kreisprozess eingeschlossene Fläche entspricht der umgesetzten Arbeit. Je nachdem, in welchem Umlaufsinn die Fläche umlaufen wird, verrichtet das Gas positive Arbeit (Uhrzeigersinn) oder negative Arbeit (Gegenuhrzeigersinn). Man beachte, dass die von der Umgebung an dem Gas verrichtete Arbeit W den gleichen Betrag hat wie die Arbeit W, die das Gas verrichtet, aber entgegengesetztes Vorzeichen besitzt, W = W. Im konkreten Fall wird der Kreisprozess im p(v )-Diagramm gegen den Uhrzeigersinn durchlaufen, das Gas verrichtet also während eines Umlaufes insgesamt negative und die Umgebung verrichtet an dem Gas positive Arbeit. Quellen Die Aufgaben sind entnommen aus: Peter Müller, Hilmar Heinemann, Heinz Krämer, Hellmut Zimmer, Übungsbuch Physik, Hanser Fachbuch, ISBN: Die Übungs- und Lösungsblätter gibt es unter Die Homepage zur Vorlesung findet sich unter Jens Patommel <patommel@xray-lens.de> 9