Thomas Eissfeller, Peter Greck, Tillmann Kubis, Christoph Schindler

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1 TU München Reinhard Scholz Physik Department, T33 Thomas Eissfeller, Peter Greck, Tillmann Kubis, Christoph Schindler Übung in Theoretischer Physik B (Thermodynamik) Blatt 0, Lösungen (Abgabe Do 3. Juli 008 in orlesung). Kreisprozess für ideales Gas [3 Punkte] Ein einatomiges ideales Gas durchläuft einen Kreisprozess a b c a, wobeia b eine Isobare mit b a ist, b c eine Isochore, und c a eine Isotherme. Die auftretende olumenarbeit soll durch eine Wärmekraftmaschine genutzt werden. Berechnen Sie den Wirkungsgrad für diesen Kreisprozess und vergleichen Sie ihn mit dem Wirkungsgrad einer Carnot-Maschine, die zwischen der höchsten und der niedrigsten in diesem Kreisprozess auftretenden Temperatur arbeitet. Im idealen Gas gilt für alle Teilprozesse die Zustandsgleichung P Nk B T. Auf der Isobaren a b gilt P a P b,aufderisochorenb c gilt b c und auf der Isothermen c a gilt T c T a. Zusammen mit b a ergibt sich für die auftretenden olumina c b a,fürdendruckbeic folgt aus der Zustandsgleichung P c Nk BT c c Nk BT a a Pa bzw. für alle 3 Drücke P a P b P c, sowie T b P b b Nk B Paa Nk B T a, vgl. Skizze. P P a a b P/ a c a a Die Wärmezufuhr Q a b und die Abgabe von Wärme Q b c und Q c a betragen Q a b C P (T b T a )C P T a Nk BT a > 0 () Q b c C (T c T b )C (T a T b ) C T a 3 Nk BT a < 0 () Q c a U c a W c a W c a ( U c a 0weil T const) (3) Z a Z a Nk B T a + Pd + d +Nk B T a ln a (4) c c c Nk B T a ln Nk BT a ln < 0 ()

2 Pd (7) In einem Umlauf wird die folgende Arbeit geleistet: I W Pd (6) Z b Z c Z a Pd Pd a b c Z a Nk B T a P a ( b a ) 0 d (8) c P a a Nk B T a ln a P a a P a a ln c P a a ( ln ) (9) Nk B T a ( ln ) (0) oder wegen U 0nach einem vollen Umlauf auch ausdrückbar als W Q mit den oben angegebenenwertenfür Q a b, Q b c und Q c a. Damit ist der Wirkungsgrad η W () Q a b ( ln ) Nk BT a Nk ( ln ) 0.7 () BT a Für ein erhältnis zwischen der höchsten und der niedrigsten auftretenden Temperatur von T b /T a beträgt der Carnot-Wirkungsgrad η Carnot T a T b d.h. bei der obigen Prozessführung sinkt der Wirkungsgrad auf etwa ein iertel des maximal möglichen.. Kreisprozess im P -Diagramm [ Punkte] Für ein zweiatomiges ideales Gas wird ein quasistatischer Kreisprozess durchgeführt, der aus den folgenden vier Wegen besteht, für T >T und > : - isotherme Kompression von auf,beidertemperaturt - isochore Erwärmung von T auf T,für const - isotherme Expansion von auf,beidertemperaturt - isochore Abkühlung von T auf T,für const (a) Skizzieren Sie den Prozess im P -Diagramm (b) Geben Sie die Arbeits- und Wärmemengen für die 4 Teilprozesse an. (c) Bestimmen Sie den Wirkungsgrad für den Fall, dass der Prozess als Wärmekraftmaschine aufgefasst wird. Zeigen Sie, dass η<η Carnot ist. (a) P -Diagramm: (b) Für das ideale Gas gilt P Nk B T sowie U f Nk BT Nk BT, unabhängig vom olumen. - Weg bei T const: Weil die Temperatur konstant ist, gilt U 0. Die Wärmemenge ergibt sich aus dem ersten Hauptsatz und der am System geleisteten Arbeit: Q W Z Pd Z Nk B T d.h. es wird Wärme aus dem System abgeführt. -Weg,bei const: Es wird keine Arbeit geleistet. Damit gilt d Nk B T ln Nk B T ln < 0 Q U U(T ) U(T ) > 0, Wärmezufuhr

3 P T T -Weg3,T const: Weil die Temperatur konstant ist, gilt U 3 0. Wärmemenge und Arbeit werden wie beim Weg ermittelt: Z Z Nk B T Q 3 W 3 Pd d Nk B T ln > 0, -Weg4,bei const: Es wird keine Arbeit geleistet. Damit gilt Wärmezufuhr Q 4 U 4 U(T ) U(T ) [U(T ) U(T )] < 0, Wärmeabgabe (c) Bei der Berechnung des Wirkungsgrades muss berücksichtigt werden, dass auf den Wegen und 3 Wärme zugeführt wird. Auf dem Weg geschieht dies z.b. durch einen erbrennungsprozess im Arbeitsgas, wobei etwaige Änderungen der Teilchenzahl nicht berücksichtigt werden. Auf Weg 3 wird die Wärmemenge aus einem Reservoir auf der höheren Temperatur T entnommen. Die gesamte Arbeitsmenge ist W W + W + W 3 + W 4 Nk B T ln +0 Nk B T ln +0 Nk B (T T )ln < 0 Die Wärmezufuhr auf den Wegen und 3 beträgt Damit lautet der Wirkungsgrad Q Q + Q 3 [U(T ) U(T )] + Nk B T ln Nk B (T T )+Nk B T ln η W Q W Q a (T T )ln (T T )+T ln < (T T )ln T T T ln T η Carnot 3. Otto-Kreisprozess [6 Punkte] Ein Ottomotor mit erdichtung r arbeitet mit einem niedrigsten Druck von 00 kpa (d.h. etwa doppelter Atmosphärendruck) und einem höchsten Druck von 0 MPa (d.h. etwa hundertfachem Atmosphärendruck). Das Arbeitsgas wird als zweiatomig angenommen, mit dem entsprechenden Adiabetenexponenten γ C P /C. (a) Skizzieren Sie den Prozess im P -Diagramm, mit der Konvention, dass der höchste Druck den Punkt definiert. (b) Berechnen Sie das erhältnis von Totvolumen und Hubraum. (c) Berechnen Sie die Drücke an den Enden der adiabatischen Prozessteile. 3

4 (d) Berechnen Sie für einen Hubraum von Liter die pro Umlauf geleistete Arbeit. (e) Ermitteln Sie den effektiven mittleren DruckP eff,definiert als äquivalenter Rechteckprozess zwischen P 0und P P eff, aus dem sich die gleiche Arbeit pro Umlauf ergibt. (f) Berechnen Sie die Leistung des Motors für 3000 Umdrehungen pro Minute. Beachten Sie dabei, dass bei einem iertaktmotor nur jeder zweite Zyklus Arbeit liefert. (g) Berechnen Sie mit Hilfe des in der orlesung angegebenen idealisierten Wirkungsgrades die zugeführte Wärmeleistung. (a) P -Diagramm: P Q 4 dq/dt0 Q dq/dt0 3 (b) Das Totvolumen entspricht dem kleinsten auftretenden olumen, das größte olumen ist durch die erdichtung gegeben, r. Der Hubraum ist 0,d.h. das erhältnis des Totvolumens zum Hubraum ist / 0.. (c) Für die adiabatischen Prozessteile gilt P γ const mit γ C P /C.4für das zweiatomige Arbeitsgas. Der größte Druck P 0MPa beim Totvolumen führt auf den Druck P am Ende des adiabatischen Prozessschrittes: µ γ P γ P γ P P P r γ P kpa 8.7 Auf dem anderen adiabatischen Zweig ergibt sich das gleiche erhältnis, d.h. aus P 3 00 kpa folgt µ γ P 4 P 3 P 3 r γ 8.7P MPa (d) Aus dem Hubraum von Liter ergibt sich ein Totvolumen von 0. Liter und ein größtes olumen von. Liter. Auf den isochoren Zweigen wird keine Arbeit geleistet. Die Arbeit am System auf dem oberen Zweig (adiabatische Expansion) beträgt Z W P γ (γ ) kj γ P γ Ã d P γ! γ γ kj Z d γ P γ (γ ) γ " µ γ # P (γ ) kj < 0 P (γ ) r γ 4

5 d.h. auf diesem Zweig gibt das System Arbeit an die Umgebung ab. Entsprechend gilt Z γ Z P 3 W 3 4 γ d P 3 γ d γ P 3 γ (γ ) γ Ã! " P 3 γ P µ γ 3 # (γ ) (γ ) 0 J γ γ 0 J [.609 ] 0.88 kj > 0 P 3 r γ (γ ) d.h. das System nimmt Arbeit aus Umgebung auf. Das erhältnis W / W 3 4 entspricht gerade dem erhältnis der Drücke auf dem oberen und unteren adiabatischen Zweig, W P P.74 P 4 P 3 Die Arbeit pro Umlauf beträgt W 3 4 W W + W kj kj 0.67 kj (e) Der mittlere effektive Druck ergibt sich als P eff W 0.67 kj 67 kpa Liter (f) 3000 Umdrehungen pro Minute entsprechen 0 Umdrehungen pro Sekunde, davon leistet die Hälfte Arbeit, d.h. Arbeitszyklen pro Sekunde. Damit ist die Motorleistung P W s W 6.4 kw (g) Der idealisierte Wirkungsgrad des Ottomotors lautet η 0.67 rγ Damit ergibt sich eine zugeführte Wärmeleistung von P Q P W η 6.6 kw Für reale Ottomotoren ist der Wirkungsgrad nur etwa halb so hoch, d.h. die zugeführte Wärmeleistung muss ungefähr doppelt so hoch sein.