Physik 2 ET, SoSe 2013 Aufgaben mit Lösung 4. Übung (KW 22/23) Generator )

Transkript

1 4. Übung (KW 22/2) Aufgabe 1 (E 1. Generator ) Bei einem Generator wird die Drehzahl so erhöht, dass die Stromstärke in der Zeit t 1 von Null auf I 1 nach der Funktion I(t) = kt 2 anwächst (k ist eine Konstante). Wie viele Elektronen (Anzahl N) passieren in dieser Zeit den angeschlossenen Außenwiderstand (d. h. wie viele Elektronen werden vom Generator an einen Verbraucher abgegeben)? I 1 = 6.0 A, Aufgabe 2 t 1 = 8.0 s ( Gleichheit der Elementarladung ) Wenn sich die Ladungen des Elektrons und des Protons im Betrag um 10 9 unterschieden, wenn also q e = (1 ± 10 9 ) q p gälte, wie groß wäre dann die elektrische Ladung von 1 m Sauerstoffgas O 2 bei Normaldruck und einer Temperatur von 0 C? Hinweis: Sauerstoff hat die Ordnungszahl 8, jedes Sauerstoffatom hat also 8 Protonen und 8 Elektronen. Aufgabe ( Elektronengeschwindigkeit beim Stromfluss ) Metallisches Natrium hat eine Atommasse von 2 u und eine Dichte von 0.97 g cm. Pro Atom trägt ein Elektron zur elektrischen Leitung bei. Wie groß ist die mittlere Geschwindigkeit der Elektronen im Natrium-Metall, wenn die Stromdichte j = 10 A cm 2 beträgt? Avogadro-Zahl: N A = mol 1 Aufgabe 4 ( Millikan-Experiment ) 1910 konnte R. A. Millikan erstmals nachweisen, dass elektrische Ladung stets quantisiert auftritt, und es gelang ihm, die Elementarladung des Elektrons zu bestimmen. Das Millikan-Experiment besteht aus zwei horizontalen parallelen Metallplatten, die elektrisch aufgeladen werden können. In der oberen Platte befindet sich eine kleine Öffnung, durch die feine Öltröpfchen (Radius r, Dichte ρ = 100 kg m ) eingestäubt werden, wobei sich einige Tröpfchen negativ aufladen (Ladung q). Die Bewegung der Tröpfchen zwischen den Metallplatten kann durch ein Mikroskop verfolgt werden, insbesondere kann ihre Geschwindigkeit senkrecht zu den Metallplatten bestimmt werden. Jens Patommel <patommel@xray-lens.de> Seite 1 von 10

2 (a) Stellen Sie für den Fall, dass die Metallplatten nicht aufgeladen sind, das Kräftegleichgewicht auf! Hinweis: Auf die Tröpfchen wirken in diesem Fall neben der Gewichtskraft eine nach oben wirkende Auftriebskraft F A = V Tr ρ L g sowie eine der Bewegung der Tröpfchen entgegen wirkende Reibungskraft F R = 6 π η r v 1, wobei η = N s m 2 die Viskosität der Luft ist (Dichte der Luft ρ L = 1.2 kg m ). (b) Berechnen Sie mit Hilfe der Beziehung aus (a), aus der Geschwindigkeit v 1 und anderen bekannten Größen den Radius r der Öltröpfchen! (c) Die beiden Metallplatten werden nun aufgeladen. Auf die Öltröpfchen wirkt dadurch eine zusätzliche, nach oben gerichtete Kraft F E = qe, wobei E = 50 kv m 1 als konstant angenommen werden kann. Stellen Sie erneut das Kräftegleichgewicht auf und berechnen Sie die neue Geschwindigkeit v 2 der Öltröpfchen! (d) Leiten Sie eine Beziehung für die Ladung der einzelnen Öltröpfchen her! (e) Im Experiment werden folgende Geschwindigkeiten v 1 und v 2 für verschiedene Tröpfchen beobachtet (das negative Vorzeichen bei v 1 deutet an, dass die Tröpfchen nach unten sinken.) Öltröpfchen v 1 /µm s 1 v 2 /µm s Schätzen Sie hieraus die Radien der Tröpfchen und ihre jeweilige Ladung ab. Schätzen Sie zudem die Größe der Elementarladung ab! Jens Patommel <patommel@xray-lens.de> Seite 2 von 10

3 Lösung zu Aufgabe 1 Die elektrische Stromstärke I(t) durch einen Leiterquerschnitt ist die Zeitableitung der Ladungsmenge Q(t), die durch den Querschnitt fließt: I(t) = dq(t) = dt Q(t). In der Zeit zwischen t 0 und t 1 passiert somit folgende Ladungsmenge den Leiterquerschnitt: Q = t 1 t 0 dt I(t) = t 1 t 0 dt kt 2 = t 1 1 kt = 1 t 0 k ( t 1 t 0 ) t0 =0 = 1 kt 1. (1.1) Die Konstante k lässt sich berechnen, indem man von der Information Gebrauch macht, dass die Stromstärke zum Zeitpunkt t 1 gerade I 1 beträgt: I 1 = I(t 1 ) = kt 2 1 = k = I 1 t 2 1 Dies wird in die Gleichung (1.1) eingesetzt: (1.2) Q (1.1) = 1 kt (1.2) 1 = 1 I 1 t t 2 1 = 1 1 I 1t 1. (1.) Diese Ladungsmenge entspricht einer bestimmten Anzahl N an Elektronen. Da jedes Elektron die Ladung q e = e trägt, folgt schließlich für die Anzahl der Elektronen, die im Zeitraum t 1 den Querschnitt an einem beliebigen Ort des Stromkreises passieren: N = Q (1.) = I 1t 1 e = 6.0 A 8 s C = 1 A s 1020 A s = q e Dies gilt an jedem beliebigen Ort des Stromkreises, inbsesondere auch am Ausgang des Generators. Während der acht Sekunden Stromfluss verlassen also circa Elektronen den Generator. Lösung zu Aufgabe 2 Wir wollen untersuchen, wie groß die elektrische Ladung von 1 m Sauerstoffgas bei Normaldruck und einer Temperatur von 0 C ist, falls zwischen den Ladungen des Elektrons und des Protons der Zusammenhang q e = ( 1 ± 10 9) q p (2.1) gilt. Das gegebene Sauerstoffvolumen enhält eine bestimme Anzal N e an Elektronen und N p an Protonen. Um diese Anzahlen zu bestimmen, wenden wir die Zustandgleichung des idealen Gases auf den gegebenen Zustand (p, V, T ) an und lösen nach der Stoffmenge ν auf: pv = νrt ν = pv RT. (2.2) Jens Patommel <patommel@xray-lens.de> Seite von 10

4 Aus der Stoffmenge ergibt sich durch Multiplikation mit der Avogadrokonstante die Anzahl der Sauerstoffmoleküle: N O2 = νn A (2.2) = pv N A RT. (2.) Jedes Sauerstoffmolekül besteht aus zwei Sauerstoffatomen, das Volumen enthält somit N O = 2N O2 (2.) = 2 pv N A RT (2.4) Sauerstoffatome. Sauerstoff hat die Kernladungszahl Z = 8, der Kern des Sauerstoffatoms ist also aus 8 Protonen zusammengesetzt, das Sauerstoffvolumen enthält daher Protonen und ebenso vielen Elektronen: N p = 8N O (2.4) = 16 pv N A RT (2.5) N e = N p (2.5) = 16 pv N A RT. (2.6) Daraus berechnen wir die Gesamtladung des Sauerstoffvolumens zu (2.5) Q = Q p + Q e = N p q p + N e q e = 16 pv N A (2.6) RT (q p + q e ) (2.1) = 16 pv N A ( qp ( 1 ± 10 9) ) q p RT = 16 pv N A RT = ± pv N A RT e ( qp q p ± 10 9 q p ) = ± hpa 1 m mol C 8.14 J K 1 mol K = ± Pa m mol 1 C J K 1 mol 1 K = ± N m 2 m C N m = ±70 mc. Die Ladungsmenge des vorliegenden Sauerstoffs betrüge 70 mc und wäre mit einfachen Messgerären sehr leicht feststellbar. Aus der Tatsache, dass die uns umgebende Materie (im Normalfall) elektrisch neutral ist, lässt sich schließen, dass der relative Ladungsunterschied zwischen Elektronen und Protonen betragsmäßig sehr viel kleiner sein muss als Jens Patommel <patommel@xray-lens.de> Seite 4 von 10

5 Lösung zu Aufgabe Wir wollen von der gegebenen Stromdichte j auf die mittlere Geschwindigkeit v der am Ladungstransport beteiligten Elektronen schließen. Dazu betrachten wir die Ladungsmenge Q, welche in einer bestimmten Zeit t durch den Leiterquerschnitt fließt. Wir setzen uns also an eine beliebige Stelle S des Leiters (siehe Abbildung) und fragen uns, welche Elektronen innerhalb der Zeit t an dieser Stelle vorbei kommen werden. Offensichtlich sind es gerade diejenigen Elektronen, die sich innerhalb des in der Zeichnung dunkel markierten Bereichs befinden, d. h. diejenigen, deren Abstand von der Stelle S nicht größer als s = v t ist und die die Stelle S noch nicht passiert haben. Dieser dunkle Bereich entspricht einem Zylinder der Länge s, dessen Grundfläche der Leiterquerschnitt ist. s = v t v 1 2 v R v V = A s S A 4 v Das in der Zeichnung mit 1 gekennzeichnete Elektron liegt außerhalb des dunklen Bereichs und hat deshalb keine Chance, innerhalb der Zeitspanne t den Leiterquerschnitt bei S zu erreichen. Das Elektron 2 hingegen befindet sich bei R, dem Anfang des markierten Bereichs, und wird den Querschnitt bei S gerade noch rechtzeitig zum Ende des Zeitintervalls t erreichen. Elektron schafft es locker, vor Ablauf der Zeitspanne bei S zu sein. Das Elektron 4 ist bereits an S vorbei und wird aufgrund der nach rechts orientierten Geschwindigkeit S nicht passieren. Nachdem wir wissen, dass genau diejenigen Elektronen binnen t den Querschnitt bei S passieren werden, die sich innerhalb des dunkel markierten Zylinders befinden, können wir die Anzahl dieser Elektronen ermitteln, indem wir das Zylindervolumen V mit der Elektronendichte n e multiplizieren. Das Volumen des Zylinders beträgt V = A s, so dass für die Anzahl der Elektronen N e = n e V = n e A s = n e A v t (.1) gilt. Andererseits kennen wir die Stromdichte j, aus der wir ebenfalls die Anzahl der Elektronen berechnen können, die innerhalb von t den Leiterquerschnitt bei S durchlaufen, indem wir die geflossene Ladungsmenge Q durch die Ladung eines einzelnen Elektrons dividieren: N e = Q = Q e = I t e q e = ja t e. (.2) Jens Patommel <patommel@xray-lens.de> Seite 5 von 10

6 Die über die mittlere Elektronengeschwindigkeit v und die über die Stromdichte j ermittelten Elektronenanzahlen N e müssen natürlich gleich sein, so dass sich aus (.1) und (.2) folgender Zusammenhang zwischen j und v ergibt: (.1) (.2) = n e va t = 1 j ja t v = e n e e. (.) Jetzt fehlt noch die Elektronendichte n e. Wir ermitteln diese anhand der Massendichte ϱ und der molaren Masse M m. Man betrachte ein Stück Natrium vom Volumen V. Dieses hat eine Masse von was einer Stoffmenge von m = ϱv, ν = m M m = ϱv M m (.4) entspricht. Daraus lässt sich mittels Avogadro-Konstante sofort die Anzahl an Natrium-Atomen bestimmen: (.4) N Na = νn A = ϱv N A. (.5) M m Jedes Natrium-Atom spendiert genau ein Leitungselektron, so dass die Anzahl an Leitungselektronen im betrachteten Volumen V gerade N e = N Na (.5) = ϱv M m N A beträgt. Die Leitungselektronendichte von Natrium lautet somit n e = N e V = ϱn A M m. (.6) Diese Gleichung (.6) in (.) eingesetzt ergibt eine mittlere Elektronendriftgeschwindigkeit von v (.) = j n e e = (.6) = j ϱn A M m e = jm m eϱn A 10 A cm 2 2 u C 0.97 g cm mol 1 2 = A cm 2 u C g cm mol 1 A u = C g cm 1 mol 1 A g mol 1 = A s g cm 1 mol 1 = cm s 1 = 2.5 mm s 1. Die Driftgeschwindigkeit der Elektronen liegt also bei einigen Millimetern pro Sekunde, was überraschend langsam ist, wenn man bedenkt, dass die ungerichtete thermische Bewegung der Elektronen im Bereich von 10 6 m s 1 liegt. Die gerichtete, zum Stromfluss beitragende Driftgeschwindigkeit der Leitungselektronen ist also um fast neun Größenordnungen niedriger als die thermische Bewegung! Jens Patommel <patommel@xray-lens.de> Seite 6 von 10

7 Lösung zu Aufgabe 4 (a) Auf einen einzelnen Öltropfen wirken die Schwerkraft F g, die Auftriebskraft F A und die Reibungskraft F R, so dass die von außen resultierende Gesamtkraft F ges,1 = F g + F A + F R = m Tr g m L g 6πηr v = m Tr g e z + m L g e z 6πηrv z e z = [ (m Tr m L ) g 6πηrv] e z = [ (ϱ Tr ϱ L ) V Tr g 6πηrv z ] e z beträgt, wobei e z den nach oben orientierten Einheitsvektor bezeichnet. Der Tropfen hat in guter Näherung Kugelgestalt, sein Volumen lautet also V Tr = 4 πr. Zusammen mit der Abkürzung ϱ = ϱ Tr ϱ L schreiben wir F ges,1 = [ 4 πr g ϱ 6πηrv z ] ez. (4.1) Diese Gesamtkraft bewirkt eine Beschleunigung des Öltröpfchens, die laut zweitem Newtonschen Gesetz durch m Tr a = F ges,1 gegeben ist, so dass wir folgende Differentialgleichung für die z-komponente der Geschwindigkeit erhalten: [ m Tr v(t) = 4 πr g ϱ 6πηrv z (t) ] e z m Tr v z (t) e x + m Tr v z (t) e y + m Tr v z (t) e z = [ 4 }{{}}{{} πr g ϱ 6πηrv z (t) ] e z =0 =0 = m Tr v z (t) = [ 4 πr g ϱ 6πηrv z (t) ]. Eine Lösung dieser Differentialgleichung ermittelt man zum Beispiel, indem das Verfahren Trennung der Variablen (auch Separationsmethode genannt) anwendet (Siehe Aufgabe 7 der Nullten Übung im ersten Semester und Aufgabe, T 2.7 der ersten Übung im zweiten Semester). Wenn man die Randbedingung v z (0) = 0 annimmt (der Tropfen ruht zum Zeitpunkt t = 0), so lautet die Lösung ( v z (t) = v 1 [1 exp t )] τ mit der maximalen Endgeschwindigkeit und der Zeitkonstenten v 1 = 2 r 2 g ϱ 9 η τ = 2 r 2 ϱ Tr 9 η Jens Patommel <patommel@xray-lens.de> Seite 7 von 10.

8 Der Geschwindigkeitsbetrag v z des Tropfens wird also bei Null beginnend immer größer und konvergiert für t gegen den Maximalwert v 1, wobei der Abstand zu v 1 mit der Zeit exponentiell abfällt. Rein mathematisch betrachtet wird der Tropfen niemals die Geschwindigkeit v 1 exakt erreichen, aber die Abweichung wird irgendwann kleiner sein als jedwede Messgenauigkeit, so dass es gerechtfertigt ist zu sagen, dass der Tropfen in endlicher Zeit die Geschwindigkeit v 1 haben wird. Setzen wir realistische Werte ein (r = 0.5 µm, ϱ Tr = 100 kg m, η = N s m 2 ), so errechnet man eine Zeitkonstante von τ = 2.0 µs. Demnach beträgt die relative Abweichung von der Maximalgeschwindigkeit nach zwei Mikrosekunden noch ca. exp( 1) = 7 %, nach 10 µs nur noch exp( 5) = 0.7 %, und nach 100 µs (der zehntausendste Teil einer Sekunde) ist die relative Abweichung auf den unvorstellbar kleinen Wert abgefallen! Im Mikroskop wird man also ausschließlich unbeschleunigte Öltröpfchen mit der Geschwindigkeit v 1 beobachten. Alternativ hätte man auch wissen können, dass die Öltröpfchen eine konstante Geschwindigkeit v 1 erreichen, und hätte sie ausrechnen können, ohne die Differentialgleichung zu lösen. Dazu braucht man sich nur zu überlegen, dass der Betrag der Reibungskraft mit der Geschwindigkeit zunimmt, und zwar so lange, bis die resultierende Gesamtkraft und damit die Beschleunigung gerade gleich Null werden: F ges,1 = 0 (4.1) = [ ] 4 πr g ϱ 6πηrv z e z = 0 }{{} =0 = v z = 2 r 2 g ϱ =: v 1. (4.2) 9 η (b) Man löse Gleichung (4.2) nach r auf und erhalte für den Radius der Öltröpfchen v1 η r = 2g ϱ. (4.) (c) Die nun hinzu gekommene elektrische Kraft F E trägt zur Gesamtkraft bei, welche demnach F ges,2 = F g + F A + F R + F E = F ges,1 + F E (4.1) = [ 4 πr g ϱ 6πηrv z ] ez + qe e z = [ 4 πr g ϱ 6πηrv z + qe ] e z (4.4) lautet. In das zweite Newtonsche Gesetzt eingesetzt ergibt sich daraus die Differentialgleichung m Tr v z (t) = [ 4 πr g ϱ + qe 6πηrv z (t) ], deren Lösung für die Anfangsbedingung v(0) = 0 durch ( v z (t) = v 2 [1 exp t )] 4, v 2 = πr g ϱ + qe τ 6πηr, τ = 2 r 2 ϱ Tr 9 η (4.5) Jens Patommel <patommel@xray-lens.de> Seite 8 von 10

9 gegeben ist. Abhängig von der Stärke des elektrischen Feldes E und der Ladungsmenge q sind nun drei Fälle zu unterscheiden, nämlich 4 πr g ϱ + qe < 0, d. h. v 2 > 0: Tropfen bewegt sich nach oben, 4 πr g ϱ + qe = 0, d. h. v 2 = 0: Tropfen verharrt in der Schwebe, 4 πr g ϱ + qe > 0, d. h. v 2 < 0: Tropfen bewegt sich nach unten. Wie bereits in Teilaufgabe (a) gezeigt, ist es auch hier möglich, direkt zu diesem Ergebnis zu gelangen (ohne Differentialgleichung), indem man die Gesamtkraft F ges,2 Null setzt und nach v 2 auflöst. (d) Eine Beziehung für die elektrische Ladungsmenge eines Öltröpfchens erlangt man durch Umformen von Gleichung (4.5) nach q und Einsetzen des in (4.) gefundenen Radius r: q (4.5) = 6πηrv πr g ϱ E = 2π r [ 9ηv2 + 2r 2 g ϱ ] E v1 ηv 2 2g ϱ [ (4.) = 2π 9η + 2 E = 2π ] v1 η [9ηv 2 9ηv 1 E 2g ϱ = 18π η v1 η E 2g ϱ (v 2 v 1 ). ( v1 η 2g ϱ ) 2 g ϱ] (e) In folgender Tabelle sind die gemessenen und berechneten Werte dargestellt: Nr. v 1 /µm s 1 v 2 /µm s 1 r/µm q/10 19 C q /e N = q N /e N Man erkennt, dass die gemessene Ladungsmenge der Öltröpfchen quantisiert ist, d. h. die Ladungsmenge tritt im Rahmen der Messgenauigkeit stets als ganzzahliges Vielfache einer kleinsten Ladungsmenge auf, nämlich als ganzzahltiges Vielfache der Elementarladung e = C. Mit Hilfe seiner Öltröpfchenversuche konnte Millikan die Elementarladung des Elektrons ermitteln und erhielt dafür zusammen mit seinen Arbeiten auf dem Gebiet des Lichtelektrischen Effekts im Jahr 192 den Physik-Nobelpreis. Jens Patommel <patommel@xray-lens.de> Seite 9 von 10

10 Quellen Die Aufgabe 1 ist entnommen aus: Peter Müller, Hilmar Heinemann, Heinz Krämer, Hellmut Zimmer, Übungsbuch Physik, Hanser Fachbuch, ISBN: Die Übungs- und Lösungsblätter gibt es unter Die Homepage zur Vorlesung findet sich unter Jens Patommel <patommel@xray-lens.de> 10