Entropie und die Richtung der Zeit

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1 und die Richtung der Zeit 8. Juli 25

2 Eine Dimension: Zwei Dimensionen: v(x, y)ds = Rand v(1) v() = = = v(x, )dx + Volumen In drei Dimensionen: v( x)dσ = Rand V d v(x) dx dx 1 1 v(1, y)dy v(, y)dy x v x(x, y)dydx ( x v x(x, y) y v y (x, y) V ( vx x + v y y + v ) z d 3 x z v(x, 1)dx y v y (x, y)dxdy ) dxdy

3 ϱ(z): Dichte der Luft in der Höhe z Luftdruck entsteht durch Gewicht der Luft (Erdanziehung) Volumen einer dünnen Schicht: A dz Masse der Luft darin: ϱ(z)a dz Druckunterschied zwischen den Schichten z und z + dz: dp(z) = ϱ(z)dvg A = ϱ(z)gdz dp(z) dz = ϱg. Das Gasgesetz besagt: PV = RT, also gilt V = RT /P. ϱ(z) = m V = mp(z) RT. Man erhält die Differentialgleichung: Die Lösung lautet: dϱ(z) dz = mg RT ϱ(z). ϱ(z) = ϱ e mgz RT.

4 Geschwindigkeitsfeld einer strömenden Flüssigkeit: v( x, t). Angenommen diese fließt nur in z-richtung Welches Volumen dv fließt in der Zeit dt durch die Fläche A? dv = dt v( x, t)dydx Die Masse dm in diesem Volumen ist dm = dt ϱ( x)v( x, t)dy dx. Wir definieren deswegen den Strom als A A j( x, t) := v( x, t)ϱ( x, t). verlaufen von Gebieten hoher Dichte zu denen niederer Dichte D heißt skonstante. j = D ϱ z.

5 Ein kleines Volumen: V. Die Masse im Volumen ist V ϱdxdydz Die Massenänderung ist einerseits bestimmt durch den Fluß j = ϱv, der über den Rand des Volumens verläuft. Rand V jdσ = V ( j x + j y + j z ) d 3 x = V j z d3 x. Andererseits könnten wir auch direkt die Änderung der Masse berechnen: d ϱ ϱdxdydz = dt V V t dxdydz. Da dies für alle V gilt, schließt man ϱ t = j z.

6 Aus folgt Die Lösung lautet: j = D ϱ z und ϱ t = D 2 ϱ z 2. ϱ t = j z ϱ(z, t) = ϱ 4πDt e z2 4Dt. Angenommen, ein Teilchen befinde sich zu t = in z =, dann ist die Wahrscheinlichkeit P(z, t), das Teilchen zu t in z zu finden P(z, t) = ϱ(z, t)/ϱ

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8 Es gilt z 2 e a2 z 2 dz = π 2a 3. Damit kann die mittlere quadratische Abweichung eines diffundierenden Teilchens beschrieben werden z 2 (t) := z 2 P(z, t)dz 1 1 = π(4dt) 3 4πDt 2 = 2Dt.

9 Eine gelöste Substanz verhält sich wie ein ideales Gas. Sie übt demnach einen Druck aus, den sogenannten osmotischen Druck PV = RT Zusammen mit der Atomhypothese gilt R = k B L, wobei L die Loschmidt- bzw Avogadrozahl ist L = Der osmotische Druck ist ein Phänomen der Thermodynamik. Wenn er mikroskopische Ursachen hat, dann müssen auch makroskopische Teilchen, die in einer Flüssigkeit suspendiert sind, diesen Druck verursachen.

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11 Einsteins Idee: Es gibt und einen Strom fallender Teilchen. Beide müssen im gleichgroß sein. Fallende Teilchen erreichen eine Geschwindigkeit, so daß Reibungskraft und Schwerkraft gleichgroß sind: F reib = F grav mvζ = mg v = g ζ. Strom fallender Teilchen: j fall = ϱ g ζ strom: Also j diff = D ϱ z D ϱ z = ϱg ζ.

12 Lösung: ϱ(z) = ϱ e gz Dζ. Andererseits war die ϱ(z) = ϱ e mgz k B T. Ein Vergleich führt zur D = k BT mζ Damit ist die mittlere Auslenkung gegeben durch x 2 = 2Dt = t 2k BT mζ.

13 1827 beschreibt Robert Brown die nach ihm benannte Bewegung von suspendierten Teilchen in Flüssigkeit. Diese mittlere Auslenkung ist mit Mikroskop beobachtbar. Sie tritt auf als die sogenannte. Die im Mikroskop sichtbaren großen Teilchen werden durch die Atome unregelmäßig gestoßen und führen so eine Zitterbewegung aus.