Klassische und relativistische Mechanik

Größe: px

Ab Seite anzeigen:

Download "Klassische und relativistische Mechanik"

Kora Jaeger
vor 5 Jahren
Abrufe

1 Klassische und relativistische Mechanik Othmar Marti Institut für Experimentelle Physik Physik, Wirtschaftsphysik und Lehramt Physik

2 Seite 2 Physik Klassische und relativistische Mechanik Anmeldezahlen Modulprüfung Online-Anmeldung Physik: 26 Wirtschaftsphysik: 17 Im Studiensekretariat Alle Lehramtsstudierenden, die die Klausur als Orientierungsprüfung benötigen (also alle)

3 Seite 3 Physik Klassische und relativistische Mechanik Lösen von Aufgaben nächster Termin: Freitag, den

4 Seite 4 Physik Klassische und relativistische Mechanik Dreiphasengrenze σ 12 cos θ + σ 23 = σ 13 σ 12 cos θ = σ 13 σ 23 Kräftegleichgewicht an der Grenzfläche

5 Seite 5 Physik Klassische und relativistische Mechanik Adhäsions- und Kohäsionskräfte Kohäsion und Adhäsion bei Benetzung und ohne Benetzung

6 Seite 6 Physik Klassische und relativistische Mechanik Adhäsions- und Kohäsionskräfte Bei benetzenden Oberflächen ist an der Grenzlinie F ko < F adh. Bei nicht benetzenden Oberflächen ist an der Grenzlinie F ko > F adh. Der Grenzwinkel θ zwischen der Flüssigkeit und der Wand (in der Flüssigkeit!) kann mit dem folgenden Ansatz ausgerechnet werden. Wir legen die x-achse horizontal nach rechts, die y-achse nach oben. Die auf ein Teilchen an der Grenzlinie im Winkel θ wirkende Kohäsionskraft kann mit der Kohäsionskraft im Inneren (in einer Ebene) als F ko (θ) = F ko, innen θ 2π = F ko θ geschrieben werden. Dabei haben wir angenommen, dass die Randlinie nur wenig gekrümmt ist.

7 Seite 7 Physik Klassische und relativistische Mechanik Adhäsions- und Kohäsionskräfte ( sin F ko = F ko θ θ 2 cos θ 2 ( ) 1 = F adh 0 F adh F res = F res ( cos θ sin θ Wir können mit dem Kräftegleichgewicht, das heisst der resultierenden Kraft 0, für die x-und y-richtung zwei Gleichungen aufstellen ) ) F ko, x + F adh, x F ko, y = F res, x = F res, y

8 Seite 8 Physik Klassische und relativistische Mechanik Adhäsions- und Kohäsionskräfte Eingesetzt erhalten wir F ko θ sin θ 2 F adh F ko θ cos θ 2 = F res cos θ = F res sin θ Aus der zweiten Gleichung in die erste bekommen wir mit sin θ = 2 sin θ 2 cos θ 2 F res = F ko θ 2 sin θ 2

9 Seite 9 Physik Klassische und relativistische Mechanik Adhäsions- und Kohäsionskräfte Wir multiplizieren das Resultat aus der zweiten Gleichung mit 2 sin θ 2 in die erste Gleichung ein und erhalten 2 sin 2 θ 2 F res F adh = F res cos θ 2 sin 2 θ 2 F res F adh = F res [cos 2 θ 2 sin2 θ 2 [ F res cos 2 θ 2 + θ ] sin2 = F adh 2 ] F res = F adh Dies ist ein bemerkenswertes Resultat: Der Betrag der resultierenden Kraft hängt nur von der Adhäsionskraft ab, nicht aber von der Kohäsionskraft.

10 Seite 10 Physik Klassische und relativistische Mechanik Adhäsions- und Kohäsionskräfte Wir setzen das Resultat zurück in die zweite Gleichung ein und erhalten die transzendente Gleichung 2 sin θ 2 F adh = F ko θ Wenn wir annehmen, dass θ = π 2 + dθ ist mit dθ 1, so erhalten wir 2Fadh π 2 dθ = F ko F ko 1 2 F adh Diese Gleichung gilt nur da wo F ko 1.11F adh ist

11 Seite 11 Physik Klassische und relativistische Mechanik Strömungen Vektorfeld der Strömung

12 Seite 12 Physik Klassische und relativistische Mechanik Fluss Der Fluss ist definiert als dφ = ρv cos αda Fluss oder Integralform φ = dφ = ρ v da A ρvd A = A jda wobei A beliebige Fläche (auch gekrümmt) und j = ρv die Stromdichte ist

13 Seite 13 Physik Klassische und relativistische Mechanik Divergenz Berechnung der Divergenz

14 Seite 14 Physik Klassische und relativistische Mechanik Divergenz div (v) = v x x + v y y + v z z Die Divergenz beschreibt die Quellen und Senken in einem Fluss. Wenn div (v) 0 ist, so muss sich die Dichte an dieser Stelle ändern dφ = ρ divvdv = ρdv oder (wenn ρ = const) div (ρv) = ρ divv = ρ

15 Seite 15 Physik Klassische und relativistische Mechanik Divergenz Eine quellenfreie inkompressible Strömung hat überall divv = 0. Es gilt: φ = ρvda = ρdv = ρ divvdv A }{{} Fluss durch A ( Materialmenge ) V }{{} Änderung der Dichte V Der Satz von Gauss besagt vda = A V divvdv

16 Seite 16 Physik Klassische und relativistische Mechanik Rotation Geschwindigkeitsgradient und Rotation

17 Seite 17 Physik Klassische und relativistische Mechanik Rotation ( vz ω = y v y z, v x z v x y, v y x v ) x y ( ) mit rot = x, y, z wird rot v = rotv die Rotation des Strömungsfeldes. Es gilt dann vds = rot vda }{{}}{{} Bahnkurve s von s berandete Fläche

18 Seite 18 Physik Klassische und relativistische Mechanik Rotation Falls rotv = 0 ist kann v aus dem Geschwindigkeitspotential U abgeleitet werden. v = gradu Dann gilt rot v = 0 Für inkompressible Flüssigkeiten gilt divv = div gradu = U = 0 Wir haben also drei unterschiedliche physikalische Phänomene, die durch die gleiche Mathematik beschrieben werden: Strömung Graviation Elektrostatik

19 Seite 19 Physik Klassische und relativistische Mechanik Kontinuitätsgleichung Grund Massenerhaltung Beweis: Ortsfests Volumen ρ t + div (ρv) = ρ t + ρ div v = 0 V = x y z δ ( m) = x y z (z t ρ + 12 ) z δt δ ( m) t ρ (z) t = ρ (z + z) v z (z + z) δt x y + ρ (z) v z (z) δt x y = x y z (ρ (z) vz (z)) ρ (z) = z x y t z = (ρ (z) vz (z)) usw. t

20 Seite 20 Physik Klassische und relativistische Mechanik Kontinuitätsgleichung Stromlinien in einer inkompressiblen Flüssigkeit Die Stromlinien durch A definieren einen Schlauch, die Stromröhre, die keinen Austausch mit der Umgebung hat. Also ist in einer inkompressiblen Flüssigkeit A 1 v 1 = A 2 v 2 Dies ist die makroskopische Kontinuitätsgleichung.

21 Seite 21 Physik Klassische und relativistische Mechanik Stationäre Strömung dp Sei t=0. Dann ist die Dichte dt = ( grad ρ) v und die Kontinuitätsgleichung div (ρv) = 0. a = dv ( ) 1 = grad dt 2 v 2 v rotv Im Stromfaden gilt Inkompressible Flüssigkeiten A 1 ρ 1 v 1 = A 2 ρ 2 v 2 = const dρ dt = ρ t = 0 div v = 0 dann gilt : A 1 v 1 = A 2 v 2 = const.

22 Seite 22 Physik Klassische und relativistische Mechanik Innere Reibung Innere Reibung in einer Flüssigkeit

23 Seite 23 Physik Klassische und relativistische Mechanik Innere Reibung Moleküle haben am Rand im Mittel die Geschwindigkeit der Wand. v (z) ist parallel zur Wand. Für die Kraft gilt F = ηa v z η : [ Ns m 2 ] heisst Viskosität (Scherviskosität) Beispiel Wasser: Ns m 2 Glyzerin 1 Ns m 2 Allgemein: wobei A klein sein soll. F = ηa dv dz

24 Seite 24 Physik Klassische und relativistische Mechanik Temperaturabhängigkeit der inneren Reibung Moleküle müssen ihren Platz wechseln ( Bolzmannstatistik) η = η e b T

25 Seite 25 Physik Klassische und relativistische Mechanik Laminare Strömung Volumenkräfte

26 Seite 26 Physik Klassische und relativistische Mechanik Rohrströmung Rohrströmung

27 Seite 27 Physik Klassische und relativistische Mechanik Strömung um Kugel Strömung um eine Kugel

28 Seite 28 Physik Klassische und relativistische Mechanik manometer Manometer

29 Seite 29 Physik Klassische und relativistische Mechanik Prandtlsches Staurohr Prandtlsches Staurohr

30 Seite 30 Physik Klassische und relativistische Mechanik Harmonische Schwingung Masse-Feder-System als Modell eines schwingungsfähigen Systems

Ähnliche Dokumente

1 = z = y + e. Nabla ist ein Vektor, der als Komponenten keine Zahlen sondern Differentiationsbefehle

1 = z = y + e. Nabla ist ein Vektor, der als Komponenten keine Zahlen sondern Differentiationsbefehle Anmerkung zur Notation Im folgenden werden folgende Ausdrücke äquivalent benutzt: r = x y = x 1 x 2 z x 3 1 Der Vektoroperator Definition: := e x x + e y y + e z z = x y z. Nabla ist ein Vektor, der als