Materialien WS 2014/15 Dozent: Dr. Andreas Will.

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1 Master Umweltingenieur, 1. Semester, Modul 42439, Strömungsmechanik, , VL, Do. 11:30-13:00, R , UE, Do. 13:45-15:15, R Materialien WS 2014/15 Dozent: Dr. Andreas Will

2 Vorlesung 7: Impulsgleichung in Euler bzw.lokaler Form: d t v -> t v Volumen V [m 3 ] Impulsdichte v [kg /(m 2 s)] Impulserhaltung P= dv( v) Impulsbilanzgleichung : 1. Betrachte einen Ballon, der sich in Luft bewegt. Seine Geschwindigkeit und Größe können sich räumlich und zeitlich ändern. Es muß sowohl dessen räumlicher Transport als auch die zeitliche Entwicklung des Volumens berücksichtigt werden. Die Gesamtänderung des Impulses ist gegeben durch die totale zeitliche Änderung des Impulses: d t P x = d t ( (x,y,z,t)v x (x,y,z,t) dv ) = d t [ v x x 3 ] = d t [ v x ] x 3 + v x d t [ x 3 ] = d t [ v x ] x 3 + v x v x 3 = [d t [ v x ] + v x v] x 3 Produktregel Kommutativität von d t / F/ F=1 ( / x 1, / x 2 )= h with: d t [ x 2 ] = x 1 d t x 2 + x 2 d t x 1 = x 1 v 2 + x 2 v 1 = ( F) ( v 2 / x 2 + v 1 / x 1 ) = ( F)( v) h

3 Vorlesung 7: Impulsgleichung in Euler bzw.lokaler Form: d t v -> t v d t P = d t ( (x,y,z,t)v(x,y,z,t) dv ) = [d t [ v] + v v] d 3 x 2. Definition der totalen (materiellen) Ableitung : da= xa dx + ya dy + za dz + ta dt 1/dt da/dt= xa dx/dt + ya dy/dt + za dz/dt + ta -> d t a= ta + v a 3. Produktregel für die Divergenz des Impulsflusses: ( v v)= v v + v v Anwendung von 1-3 ergibt: d t P = d t v = {d t [ v] + v v} d 3 x = { t v + v v + v v } d 3 x = { t v + ( v v)}

4 Vorlesung 7: Impulsgleichung in Erhaltungs- und Standardform Impulsgleichung (instationäre): 1. Erhaltungsform: der Transportterm hat die form der Flußdivergenz. Seine analytische und diskrete Berechnung erhält die transportierte Größe, hier den Impuls. t v + ( v v) = - p 2 v - g - ( μ v) (1) 2. Standardform: ist vielfach einfacher als die Erhaltungsform hinsichtlich der Behandlung der Dichte LHS of (1): t v + ( v v) = tv + v t + ( v v) Einsetzen der Kontinuitätsgl. = tv - v ( v) + ( v v) = tv + v v tv - v (v) = - p/ 2 v g 1/ ( μ v) kompressibel tv - v (v) = - p/ 2 v g ( ν v) inkompressibel

5 Vorlesung 7: Impulsgleichung: statische und stationäre Lösungen Impulsgleichung (standard form für kompressible Flüssigkeiten): tv - v (v) = - p/ 2 v g 1/ ( μ v) Näherungen 1. Statische Fluß: v=0 tv - v (v) = - p/ 2 v g 1/ ( μ v) Impulsgleichung für statische Bewegungen : p = - g Sie beschreibt die Balance zwischen dem Druckgradienten und der Gravitationskraft. Für instationäre Probleme können der konstante Druckgradient und die Gravitation aus der Gleichung entfernt werden. Man löst die Gleichung für die Druckabweichung p (z)=p(z)- zp(z): -> Gl. für p : tv - v (v) = - p / 2 v 1/ ( μ v) 2. Stationäre Strömungen: t v=0 Impulsgleichung : - v (v) = - p / 2 v 1/ ( μ v) Sie beschreibt die Balance der Kräfte und des Transports!

6 Vorlesung 7: Impulsgleichung: Beispiel einer statischen Lösung 1. Statische Löung: v=0 Impulsgleichung reduziert sich zu: - p = g Sie beschreibt die Balance der Druckgradient- und der Erdanziehungskraft. Beide müssen sich ausgleichen, wenn die Bedingung v=0 erfüllt sein soll. Mithilfe der Gleichung kann der Druckgradient in Richtung der Erdanziehungskraft berechnet werden durch Integration. Beipiel 1: Wasserbecken Wir betrachten ein Wasserbecken, welches mit Wasser gefüllt ist bei konstanter Termperatur. In diesem Fall ist die Dichte konstant und der vertikale Druckgradient kann durch Integration direkt berechnet werden: dp = - g dz -> p(z) =p(0) - gz

7 Vorlesung 7: Impulsgleichung: stationäre Lösung im Kanal 2. Stationäre Lösung in einem Kanal: t v=0 Impulsbilanzgleichung: v (v) = - p / 2 v 1/ ( μ v) (eq. 1) Beispiel 2: Kanalströmung Annahmen: 1. Keine Korioliskraft 2. u(x,h,z)=u(x,-h,z)=0 (Randbedingungen) 3. v=w=0 and xu= z u=0 (Stationäre Bewegung) Setze Annahme (1) und (3) in (eq. 1) ein: x p = y μ yu (eq. 2) Ansatz: u(y)= a (1-by 2 ) Setze Annahme (2) und den Ansatz in Gleichung (eq. 2) ein: Lösung: u(y)= h 2 X p/(2μ) (1- y 2 / h 2 ) Die Amplitude der laminaren (parabolischen) Strömung ist bestimmt durch den Druckgradienten..

8 Vorlesung 7: Impulsgleichung: instationäre Lösungen und stationäre Statistik 2. Stationäre Statistik: v = 1/T v dt und t v =0 für alle Perioden T 2 -T 1 =T Die Momente der Variablen instationärer Strömungen sind zeitunbhängig für hinreichend lange Zeiten. Setzt man das Geschwindigkeitsfeld v= v + v, in die Gleichung ein, so erhält man für v dt =0 wobei v v v + v v = - p/ 2 v g 1/ ( μ v) v nicht notwendigerweise Null ist. Die geeignete Zeitskala der Mittelung hängt vom untersuchten Strömungsfall ab und beträgt typischerweise 100 x L/v 0. Ein Zeitmittel kann immer berechnet werden. Ist die Periode T nicht hinreichend lang oder der Antrieb nicht stationär ist die Statistik ebenfalls nicht stationär.

9 Vorlesung 7: Impulsgleichung: Stationäre Statistik Beispiel 3: Regionales Klimamittel: Die Abbildungen zeigen Differenzen mittlerer Niederschläge für unterschiedliche Mittelungsintervalle zweier Simulationen die sich durch eine kleine Störung der Randbedingungen zu Beginn der Simulation unterscheiden. Die Mittelungsintervalle sind : (oben), (unten links), 1980 (unten mitte) und (unten rechts). Die Ergebnisse zeigen die sensible Abhängigkeit von den Anfangsbedingungen sowie die Konvergenz der Statistik mit zunehmender Länge des Mittelungsintervalls.

10 Exercise 8: Impulsgleichung: analytische Lösung der N-S Gleichung: Exercise : A. Leite die stationäre, laminare Lösung für einen oben offenen Kanal ab. Wende hierbei das Lösungsverfahren für die Kanalströmung an mit anderen Randbedingungen. B. Leite die stationäre, laminare Lösung für einen Plattenkanal ab, dessen Wände sich gleichmäßig in entgegengesetzte Richtungen mit u=+/- u0 bewegen.