Grundoperationen der Verfahrenstechnik. Sedimentation I

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Kirsten Schumacher
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1 Grundoperationen der Verfahrenstechnik 3. Übung, WS 2016/2017 Betreuer: Maik Tepper M.Sc., Morten Logemann M.Sc., Johannes Lohaus M.Sc., Jan-Bernd Vennekötter M.Sc., Sedimentation I 1. Aufgabe In einem Versuch soll die Bewegung von kugelförmigen Polyethylenpartikeln (Durchmesser d P, Dichte ρ P ) in einem ruhenden Fluid (Dichte ρ F Viskosität η F ) untersucht werden. Unter Einfluss der Gravitation g sinken die Partikel mit der stationären Sinkgeschwindigkeit v S ab. a) Stellen Sie alle für das Problem relevanten Einflussgrößen auf und geben Sie die dazugehörigen SI- Einheiten an. b) Bestimmen Sie die Kennzahlen mit Hilfe des Buckingham Theorems und führen Sie ggf. die gefundenen Kennzahlen auf Ihnen bekannte Ähnlichkeitsparameter der Strömungsmechanik zurück. c) Die Ergebnisse des Versuches mit Polyethylenpartikeln (Versuch 1, Index 1) werden für ein Experiment benötigt, in dem zur Strömungsmessung deutlich kleinere Nylon-Partikel (Durchmesser d P,2, Dichte ρ P,2 ) in Luft (Dichte ρ F,2, Viskosität η F,2 ) verwendet werden sollen (Versuch 2, Index 2). Wie müssen Dichte ρ F,1 und Viskosität η F,1 des Fluids in Versuch 1 gewählt werden, damit aus der vorher experimentell bestimmten Sinkgeschwindigkeit v S,1 die Sinkgeschwindigkeit der Nylon-Partikel in Versuch 2 v S,2 bestimmt werden kann? Wie groß ist dann v S,2? 2. Aufgabe Eine Kugel mit dem Durchmesser d und der Dichte ρ S sedimentiert in einer Flüssigkeit der Dichte ρ L und der Viskosität η L, die sich in einem zylindrischen Gefäß mit dem Durchmesser D befindet. Bestimmen Sie die stationäre Sinkgeschwindigkeit der Kugel unter Berücksichtigung der verdrängten Flüssigkeit. Nehmen Sie für die Geschwindigkeit des Fluids am Äquator der Kugel ein Kolbenprofil und die Kugelumströmung als schleichend an. Gegeben: d, ρ S, ρ L, η L, D

2 Musterlösung Lösung zur 1. Aufgabe a) A Ausgehend von Ges.: relevante Einflussgrößen SI-Einheiten Geg.: Parameter Skizze: g ρ P d P ρ F, η F v S Berechnung: Auflisten relevante Einflussgrößen + SI-Einheiten: Partikeldurchmesser d P = [m] Partikeldichte ρ P = [ kg ] m 3 Viskosität Fluid η F = [ kg m s ] Dichte Fluid ρ F = [ kg ] m 3 Sinkgeschwindigkeit v S = [ m s ] Erdbeschleunigung g = [ m s 2 ] b) Ausgehend von Ges.: vollst. Kennzahlensatz Geg.: Parameter 2

3 Berechnung: Methode 1: Kennzahlenermittlung mittels Dimensionsmatrix Mit 6 Einflussgrößen n und 3 Grundgrößen r, folgt nach: dass 3 unabhängige Kennzahlen i das System beschreiben. i = n r = 3 (1) Die Dimensionsmatrix ergibt: ρ F d P η F ρ P v S g [M] [L] [T ] Die Dimensionsmatrix wird nun in 2 Untermatrizen aufgeteilt. Links entsteht die Kernmatrix, rechts die Restmatrix. Als Einflussgrößen für die Kernmatrix werden hier ρ F, d P und η F gewählt. Die Einflussgrößen für die Restmatrix sind somit ρ P, v S und g. Durch Umformen der Kernmatrix zu einer Einheitsmatrix ergibt sich: ρ F d P η F ρ P v S g [M] [L] [T ] Es ergeben sich somit folgende Kennzahlen: Π 1 = ρ P ρ F (2) Π 2 = v S ρ F d P η F (3) Π 3 = g ρ2 F d3 P η 2 F (4) Die hier gefundenen Kennzahlen sind alle dimensionslos, aber sie entsprechen noch nicht bekannten Kennzahlen aus der Strömungsmechanik. Um diese Kennzahlen zu erhalten, kann man die erhaltenen Kennzahlen multiplizieren (Linearkombination). 3

4 Die Kennzahl Π 1 beschreibt ein Verhältnis von 2 Stoffparametern und muss daher nicht weiter bearbeitet werden. Die Kennzahl Π 2 ist in diesem Fall bereits die Reynolds-Zahl und muss auch nicht weiter betrachtet werden. Π 2 = Re (5) Die Kennzahl Π 3 ist die einzige, welche weiter bearbeitet werden muss. Da in dieser die Erdbeschleunigung g vorkommt, wird diese zur bekannten Froude-Zahl umgeformt: Π 4 = Π 3 Π 2 2 = g d P v 2 S = 1 F r 2 (6) Damit erhält man folgende bekannten Kennzahlen: Π 1 = ρ P ρ F (7) Π 2 = v S ρ F d P η F = Re (8) Π 4 = g d P v 2 S = 1 F r 2 (9) Beachte: Die hier bestimmten Kennzahlen Π 1 bis Π 3 sind nur eine Möglichkeit von dimensionslosen Kennzahlen. Diese Kennzahlen hängen von den 3 gewählten Größen in der Kernmatrix ab. Methode 2: Kennzahlenermittlung über Potenzprodukt Der allgemeine Ansatz des Π-Theorems: Π = x α 1 1 xα xαn n (10) lautet hier: Π = d α 1 p ρ α 2 p ρ α 3 p η α 4 F vα 5 S gα 6 (11) Aufstellen der Dimensionsmatrix ergibt: d p ρ P ρ F η F v S g [M] [L] [T ] Da die Kennzahlen dimensionslos sein müssen, folgt: [Π] = 1 (12) Mit Gl. 1 folgt, dass 3 Kenngrößen das System beschreiben. Es ergeben sich somit 3 lineare Beziehungen zur Bestimmung der Exponenten: 4

5 [M] 0 = α 2 + α 3 + α 4 (13) [L] 0 = α 1 3α 2 3α 3 α 4 + α 5 + α 6 (14) [T ] 0 = α 4 α 5 2α 6 (15) Dieses System besitzt 3 Freiheitsgrade, d. h. es müssen 3 Wahlgrößen bestimmt werden. Hier sollen α 1, α 2 und α 5 als solche dienen.bei der Wahl der wiederkehrenden Variablen muss darauf geachtet werden, dass: alle Grunddimensionen enthalten sind die Variablen linear unabhängig sind Umstellen von Gl. 13 nach α 2 liefert: Umstellen von Gl. 15 nach α 5 liefert: α 2 = α 3 α 4 (16) α 5 = α 4 2α 6 (17) Einsetzen von Gl. 16 und Gl. 17 in Gl. 14 und umstellen nach α 1 liefert: Einsetzen von Gl. 16, Gl. 17 und Gl. 18 in Gl. 11 liefert: α 1 = α 4 + α 6 (18) Π = d α 4+α 6 P ρ α 3 α 4 P ρ α 3 F ηα 4 F v α 4 2α 6 S g α 6 (19) Sortieren nach α i und zusammenfassen ergibt: ( ) α3 ( ρf η F Π = ρ P d P ρ P v S ) α4 ( ) g α6 dp vs 2 (20) Aus: Φ(Π 1, Π 2, Π 3 ) = 0 (21) folgen die 3 Fälle α 3 = 1, α 4 = 0, α 6 = 0 (22) α 3 = 0, α 4 = 1, α 6 = 0 (23) α 3 = 0, α 4 = 0, α 6 = 1 (24) und somit: Π 1 = ρ F ρ P (25) η F Π 2 = d P ρ P v S = 1 Re (26) Π 3 = g d P v 2 S = 1 F r 2 (27) 5

6 c) Ausgehend von Ges.: ρ F,1 η F,1 v S,2 Geg.: Kennzahlensatz ρ F,2 d P,1 η F,2 d P,2 g ρ P,1 v S,1 ρ P,2 Berechnung: Damit eine Übertragung möglich ist, muss vollständige Ähnlichkeit des Problems betrachtet werden und somit: Π i idem Π i,h = Π i,m (28) Daraus folgt für die gesuchte Fluiddichte ρ F,1 : Π 1,H = Π 1,M (29) und somit: ρ F,1 ρ P,1 = ρ F,2 ρ P,2 ρ F,1 = ρ F,2 ρp,1 ρ P,2 (30) Für die gesuchte Fluidviskosität η F,1 gilt: Π 2,H = Π 2,M (31) und somit: η F,1 d P1 ρ P1 v S,1 = η F,2 d P2 ρ P2 v S,2 η F,1 = η F,2 dp,1 d P,2 ρp,1 ρ P,2 vs,1 v S,2 (32) Hier ist der Ausdruck v S,1 v S,2 noch unbekannt. Dieser lässt sich über Π 3,H = Π 3,M (33) bestimmen. g d P,1 v 2 S,1 = g d P,2 v 2 S,2 v S,2 = v S,1 d P,2 d P,1 (34) Hier erhält man zudem noch die letzte gesuchte Größe v S,2. Einsetzen von Gl. 34 in Gl. 32 ergibt: η F,1 = η F,2 ρp,1 ρ P,2 ( dp,1 d P,2 ) 3 2 (35) 6

7 Lösung zur 2. Aufgabe Bestimmung der stationären Sinkgeschwindigkeit einer Kugel unter dem Wandeinfluss v,w Ges.: v,w Geg.: D d ρ S ρ L η L Skizze: v L v 8 v 8,w Berechnung: Ausgangspunkt der Berechnung ist ein Kräftegleichgewicht für die Kugel. Die auftretenden Kräfte sind: die Auftriebskraft die Gewichtskraft F A = π 6 d3 ρ L g (36) F G = π 6 d3 ρ S g (37) die Widerstandskraft und die Trägheitskraft F W = ξ ρ L π 4 d2 v2 2 (38) F T = π 6 d3 (ρ S + α ρ L ) dv dt (für Kugel ist α = 0,5) (39) 7

8 Die Kräftebilanz lautet: F G F A F W F T = 0 (40) Die Trägheitseffekte fallen im stationären Zustand weg: mit dv dt = 0 ist F T = 0 (41) Im stationären Zustand ist v = v. Auflösen nach v ergibt: 4 d g (ρ S ρ L ) v = (42) 3 ξ ρ L Die Umströmung der Kugel soll schleichend sein. Daher ist nach Stokes: mit: ξ = 24 Re (43) Re = d v ρ L η L (44) Für die schleichende Strömung (Stokes, Re 0,1) - ohne Wandeinfluss ergibt sich dann: v = d2 g(ρ S ρ L ) 18 η L (45) Die stationäre Sinkgeschwindigkeit der Kugel entspricht bei Berücksichtigung des Wandeinflusses der Umströmgeschwindigkeit der Kugel. Diese setzt sich zusammen aus: v = v,w + v L (46) mit v L als Strömungsgeschwindigkeit der verdrängten Flüssigkeit. Dabei bezeichnet v die absolute Geschwindigkeit des Partikels, mit welcher ein Partikel in einem ruhenden Fluid absinkt. Die Geschwindigkeit v,w bezeichnet hingegen die relative Geschwindigkeit des Partikels, welche es relativ zum aufsteigenden FlÃ 1 4ssigkeitsstrom besitzt. Dabei handelt es sich also um die Differenz zwischen absoluter Geschwindigkeit und Geschwindigkeit des Fluids. Anschaulich ist es die Geschwindigkeit, welche in einem Zylinder-Versuch von einem außen stehenden Beobachter gemessen wird. v L lässt sich unter Annahme eines Kolbenprofils aus dem Wissen berechnen, dass der aufsteigende Flüssigkeitsvolumenstrom gleich dem verdrängten sein muss. Also gilt: V auf = V v (47) oder auch: A d v,w = (A D A d ) v L (48) π ( π 4 d2 v,w = 4 D2 π 4 d2) v L (49) v L = v,w d 2 D 2 d 2 (50) (51) 8

9 Einsetzen in Gl. 46 führt zu: d 2 v,w + v,w D 2 d 2 = v (52) d 2 v,w (1 + D 2 d 2 ) = v (53) v,w = v 1 (1 + d2 D 2 d 2 ) = v 1 = v ( D2 d 2 +d 2 D 2 d 2 (1 d2 D 2 ) = v ) 1 D ( 2 ) = v D 2 d 2 D 2 d 2 D 2 (54) (55) 9

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