2. Navier- Stokes- Gleichung

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1 2. Navier- Stokes- Gleichung Viskosität KonCnuumsbeschreibung eines Fluids 2. Newtonsches Gesetz für Fluide Navier- Stokes- Gleichung Beispiel: Fluss durch eine zylindrische Röhre 1

2 2. Navier- Stokes- Gleichung Wie kann man diese Phänomene beschreiben? 2

3 2.1 Viskosität Das Pech- Tropfen- Experiment: Start 1927 (Australien) ein Tropfen etwa alle 9 Jahre so etwa erscheint Wasser auf der Mikrometer- Skala! 3

4 The first Cme observing a falling drop 4

5 unfortunately not in Australia (University of Queensland) John Mainstone ( ) 5

6 Viskosität eines Newtonsches Fluids Micro- and nanofluidics: F A v DefiniCon: d F A =η v d 6

7 Viskosität eines Newtonsches Fluids Micro- and nanofluidics: Analog der DiffusionsrelaCon Impulstransfer: J( x - Komponente des Impulses) = η dv x dz η Viskositätskoeffizient [η] = kg/(ms) oder Poise (P) 1P = 10-1 kg/(ms) 7

8 2.2. Von Newton zu Navier- Stokes KonCnuumsbeschreibung eines Fluids Micro- and nanofluidics: ρ v(r,t) Das Fluid (Gas, Flüssigkeit) stellt ein koncnuierliches Medium dar Volumenelement hat die Dichte ρ Bewegung der Volumenelement wird durch ein Geschwindigkeitsfeld v(r,t) beschrieben (r PosiConsvektor) Tafel! 8

9 F = ma für Fluide r = (x,y,z) v(x,t) = v(x,t)e x Geschwindigkeit am Punkt v(x + Δx, t + Δt) (Taylor- Entwicklung 1. Ordnung): Daraus ergibt sich und für die Beschleunigung v( x + Δx,t + Δt) = v( x,t) + v v Δx + x t Δt ( ) = & v Δv x,t a( x,t) = $ t + v v ' ) % x ( Δt v( x,t) + v( x,t) t v( x,t) x konvek(ver Term Für ein beliebiges Geschwindigkeitsfeld kann geschrieben werden a = Dv/Dt. In allgemeiner Form gilt: D Dt = t + v 9

10 p(x,y,z,t) - Druckfeld Krap aufgrund von Druckunterschieden im Fluid: Gesamte Krap aufgrund von Druckunterschieden in posicver x- Richtung: δf p x = p( x,y,z,t)δyδz p( x + Δx,y,z,t)ΔyΔz Mit der Taylorentwicklung erhält: δf x p = p x ΔxΔyΔz Die y- und z- Komponenten können analog bescmmt werden und man erhält für die Krap: δf p = pδxδyδz 10

11 v = (0,0,v z (x)) Krap aufgrund viskoser Reibung durch Gradienten in der Flussgeschwindigkeit: ( x) ( x + Δx) δf v z = η v z ΔyΔze z +η v z ΔyΔze z x x Mit der Taylorentwicklung des zweiten Terms (1. Ordnung) erhält man: δf v z = η 2 v z x 2 ( x) ΔxΔyΔze z Für ein isotropes Fluid sind die beiden unabhängigen KombinaConen von v und zweier - Operatoren 2 v und ( v) Man erhält in der allgemeinen Form für die viskose Krap: ( ) ΔxΔyΔz 11 δf v = η 2 v +η' ( v)

12 Inkompressibilität des Fluids: Das Volumenelement ändert durch Streckung oder Verzerrung sein Volumen nicht! Da sich das Volumen nicht ändert, ist der zweite Term Null bzw. v = 0 δf v = η 2 vδxδyδz 12

13 Navier- Stokes Gleichung für ein Newtonsches Fluid Δma = δf p +δf v (2. Newtonsches Gesetz) mit Δm = ρδxδyδz und Dichte ρ. v t + v ( )v = 1 ρ p +ν 2 v mit der kinemacschen Viskosität ν = η/ρ. Eigentlich drei separate Gleichungen für jede einzelne Geschwindigkeitskomponente (v x,v y,v z ). Selbst die komplexesten Eigenschapen von Fluiden, die in der Natur vorkommen, können mit Hilfe dieser Gleichung beschrieben werden. Leider kann die Gleichung nur für die einfachsten Flüsse analycsch gelöst werden. 13

14 2.3. Beispiel: Fluss durch eine zylindrische Röhre Blutgefäss An der Wand ist die Geschwindigkeit Null ( no slip - Randbedingung). Wir nehmen einen staconären Zustand an, Der nichtlineare Term verschwindet, da keine Änderung des Geschwindigkeitsfelds in Fluss- (z)- Richtung aupriw. Die Navier- Stokes- Gleichung beschreibt in dieser SituaCon für jedes Fluidelement die Balance zwischen der Krap aufgrund des herrschenden Drucks und der Krap aufgrund der viskosen Reibung. Wird in Zylinderkoordinaten ausgedrückt. v t = 0 14

15 Druckkräpe: δf p z = [ p( z) p( z + Δz) ]2πrΔr = dp dz 2πrΔrΔz Reibungskräpe: ( ) dv r + Δr δf v z = η dr ( ) 2π ( r + Δr)Δz η dv r dr 2πrΔz = η dv dr 2πΔrΔz +η d2 v dr 2 2πrΔrΔz 15

16 Mit δf p z +δf v z = 0 ergibt sich: 1 dp η dz = 1 r dv dr + d 2 v dr = 1 2 r d # dr r dv & % ( $ dr ' Durch IntegraCon über z erhält man folgende DifferenCalgleichung 1 η Δp = 1 r d % dr r dv ( ' * l mit Δp = p 0 & dr ) ( ) p( l) Lösung der DifferenCal- Gleichung durch zweimaliges Integrieren: v( r) = Δp % r 2 ηl 4 C ( ' 1 ln r +C 2 * & ) 16

17 Die IntegraConskonstante C 1 = 0, da die Flussgeschwindigkeit finit bei r = 0 ist und C 2 = - d 2 /16 aufgrund der no- slip - Randbedingung, v(d/2) = 0. v( r) = Δp 4ηl % ' & 4 r ( 2 * ) d 2 Damit ergibt sich für die miwlere Flussgeschwindigkeit v = d 2 0 v( r)2πrdr π d 2 4 = Δpd 2 32ηl und für die Flussrate: Q = v πd 2 4 = πδpd 4 128ηl Jean Louis Poiseuille 17