V1 - Dichtebestimmung

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1 Aufgabenstellung: Überprüfen Sie die Proportionalität zwischen Belastung und Verlängerung einer Feder. Bestimmen Sie die Federkonstante. Bestimmen Sie die Federkonstante mit Hilfe der dynamischen Methode. Bestimmen Sie die Dichte eines geometrisch einfach gestalteten Körpers mittels Federwaage sowie durch Wägung und Bestimmung der Abmessungen. Stichworte zur Vorbereitung: NEWTONsche Axiome, HOOKsches Gesetz, Dichte, Auftrieb, Federschwingung Literatur: W. Schenk, F. Kremer (Hrsg.), Physikalisches Praktikum, Kap. 1, 13. Auflage, Vieweg + Teubner 2011 H. J. Eichler, H.-D. Kronfeldt, J. Sahm, Das Neue Physikalische Grundpraktikum, Kap. 5, 2. Auflage, Springer Verlag 2006 H. J. Paus, Physik in Experimenten und Beispielen, Kap. 3.4, Kap. 45.2, 3. Auflage, Hanser Verlag München /04/2015 1/6

2 1. Theoretische Grundlagen 1.1 Feder und Federschwingung Belastet man eine einseitig eingespannte Schraubenfeder durch eine äußere Kraft F a in Längsrichtung, so wird diese um eine Länge x gedehnt. Bei nicht zu großen Kräften ist der Zusammenhang zwischen Zugkraft und Dehnung durch das HOOKsche Gesetz gegeben: Beide Größen sind zueinander proportional. Der Proportionalitätsfaktor D wird als Federkonstante bezeichnet und hängt von Material und Gestalt der Feder ab. Es gilt somit F a = D x. (1) Mit dem Auftreten von F a wird in den Windungen der Feder eine gleichgroße aber entgegengesetzt wirkende rücktreibende Kraft, die Federkraft F F, hervorgerufen. Ändert sich die Dehnung bei konstanter Krafteinwirkung nicht mehr, so halten sich äußere Kraft und Federkraft im Gleichgewicht: F F = F a = D x. (2) Analoge Überlegungen gelten auch, wenn die Feder zu Beginn des Experimentes durch ein angehängtes Gewichtsstück bereits um x vorgedehnt ist. Die durch das Gewichtsstück ausgeübte Kraft und die Vordehnung gehen dann in die Betrachtungen nicht ein. Wird die Feder durch die Gewichtskraft F a = mg eines Gewichtsstückes gedehnt und zusätzlich durch eine weitere Kraft nach unten ausgelenkt, so ruft diese weitere Verlängerung nach Gleichung (2) ebenso eine Gegenkraft hervor. Diese Federkraft versetzt das Gewichtsstück nach dem Verschwinden der zusätzlichen Kraft (d.h. beim Loslassen) in Bewegung, wobei das Gewichtsstück die Gleichgewichtslage passiert und die Feder zunächst gestaucht wird, usw. Die resultierende Bewegung ist eine harmonische Schwingung. Mit Gleichung (2) und dem 2. NEWTONschen Axiom folgt unter Vernachlässigung der Reibung die Bewegungsgleichung F = D x = m a = mx x + x = 0. (3) Diese lineare homogene Differentialgleichung 2. Ordnung wird durch Orts-Zeit-Gesetze der Form gelöst. Es bedeuten: x t = x cos(ωt) (4) x(t) - Elongation x - Amplitude 17/04/2015 2/6

3 ω = = - Kreisfrequenz der Schwingung T - Periodendauer bzw. Schwingungsdauer. Bestimmt man also experimentell die Schwingungsdauer bei bekannter angehängter Masse, so kann die Federkonstante der eingesetzten Feder dynamisch ermittelt werden: D =. (5) 1.2. Dichte Die Dichte ρ eines homogenen Körpers ist der Quotient aus seiner Masse m und seinem Volumen V: ρ =. (6) Die SI-Einheit der Dichte ist ρ = 1 kg m, wobei im Alltagsgebrauch auch ρ = 1 g cm weite Verbreitung findet. Für einen inhomogenen Körper ist die Dichte vom Ort im Körper abhängig. Es ist dann erforderlich, die Dichte für infinitesimal kleine Volumenelemente dv am Ort r, die die Masse dm haben, anzugeben: ρ r = d d. (7) Nutzt man für einen inhomogenen Körper Gleichung (6), so erhält man aus Wägung und Vermessung des Volumens lediglich die mittlere Dichte. 1.3 Dichtemessung mittels Federwaage Soll die Dichte eines (als homogen angenommenen) Körpers ermittelt werden, so kann die Masse m durch Wägung einfach bestimmt werden. Im Falle eines geometrisch einfach gestalteten Körpers kann das Volumen aus den Abmessungen erhalten werden. Ein indirektes Verfahren, dass auch für beliebig geformte Körper angewendet werden kann, beruht auf dem Gesetz des ARCHIMEDES. Ein Körper, der in eine Flüssigkeit der Dichte ρ Fl getaucht wird, erfährt eine Auftriebskraft F A, die seiner Gewichtskraft F G = mg entgegengerichtet ist und gleich der Gewichtskraft der verdrängten Flüssigkeitsmenge ist: F A = ρ Fl Vg. (8) Eine zu Gleichung (8) analoge Beziehung gilt auch in Gasen - die Auftriebskraft ist beispielsweise bei hochpräzisen Wägungen zu berücksichtigen. Die bei einer Wägung tatsächlich gemessene Kraft ist also die Differenz aus Gewichtsgraft und Auftriebskraft 17/04/2015 3/6

4 F = F G F A = m ρ Fl V g (9) Praktisch kann die Auftriebskraft mittels Federwaage bestimmt werden. Dazu ist der Probekörper einmal in Luft (Index L in folgenden Rechnungen) und einmal in der Flüssigkeit (hier: Wasser, Index W ) zu wägen. Gemessen wird die gemäß Gl. (1) der Kraftwirkung proportionale Längenänderung x L bzw. x W einer Feder. Vollständig ist die so genannte JOLLYsche Federwaage aus zwei übereinander angeordneten Waagschalen aufgebaut, wobei sich die obere ausschließlich in Luft befindet, während die untere stets vollständig in die Versuchsflüssigkeit eintaucht. Für die Messung wird der Probekörper nun einmal auf die obere, einmal auf die untere Schale positioniert. Die Auftriebskraft auf die Waagschalen selbst ist in beiden Teilversuchen gleich und muss für die Auswertung nicht berücksichtigt werden. Kann der Körper direkt an die Feder gehängt werden, und wird die Aufhängung möglichst klein und massearm gestaltet, so kann auf die Waagschalen verzichtet werden. Dies soll in diesem Versuch geschehen. x 0 x W x L Abb. 1: Federwaage Aus den in Abbildung 1 illustrierten Federlängen ohne Probekörper bzw. mit Probekörper in Luft und Wasser und der Beziehung (1) erhält man für die auf die Feder Kräfte F W = D (x W x ) und F L = D x L x. Die Differenz beider Kräfte muss aus die unterschiedlich starken Auftriebskräfte in Wasser F A,W bzw. Luft F A,L resultieren. Unter Verwendung von Gleichungen (6), (8) und (9) kann man für beide Fälle schreiben: F = F F, = ρvg ρ L Vg = D (x L x ) F = F F, = ρvg ρ W Vg = D(x W x ). Separiert man nun in beiden Gleichungen Vg, setzt die resultierenden Ausdrücke gleich und formt weiter um, so erhält man für die gesuchte Dichte des Probekörpers 17/04/2015 4/6

5 ρ = ρ L L W ρ W L W. (10) Wird ein Körper bekannter Dichte genutzt, kann auf analoge Weise auch die Dichte einer unbekannten Flüssigkeit bestimmt werden. 2. Versuchsdurchführung Hauptaugenmerk soll bei diesem experimentell und theoretisch einfachen Versuch auf der korrekten und vollständigen Dokumentation des Experimentes, einer methodisch korrekten Auswertung und Größtfehlerberechnung sowie der physikalisch sinnvollen Diskussion der erzielten Resultate liegen. 2.1 Statische Belastung der Feder Durch Anhängen von Gewichtsstücken bekannter Masse werden zunächst unterschiedliche Längenänderungen der Schraubenfeder realisiert. Günstigerweise misst man x dabei als Differenz zur Ausgangslänge bei durch ein geringes Zusatzgewicht leicht vorgespannter Feder. Nehmen Sie zunächst vier Längenänderungen bei steigender Belastung auf, anschließend vier Längenänderungen bei sinkender Belastung. Tragen Sie die Längenänderung über der einwirkenden Kraft F a auf. Vergleichen Sie die Kurven für steigende und sinkende Belastung. Bestimmen Sie aus dem Anstieg des lt. Gleichung (1) erwarteten linearen Zusammenhangs die Federkonstante - es genügt, den Anstieg mittels Anstiegsdreieck abzulesen. Dokumentieren Sie Ihr Vorgehen. 2.2 Dynamische Methode Die Dauer von mehreren Schwingungen (z.b. 20) der an der Schraubenfeder angehängten Gewichtsstücke ist zehn Mal zu messen. Die Belastung ist so zu wählen, dass die Feder nicht überdehnt wird, aber auch auswertbare Schwingungsdauern auftreten (Gleichung (5) beachten: T m). Der relative Gesamtfehler der Masse der Gewichtsstücke beträgt " = 0,5 %. Führen Sie eine Größtfehlerberechnung für die Federkonstante aus. 2.3 Dichte des Probekörpers Wählen Sie zwei der bereitliegenden Probekörper aus- dokumentieren Sie Ihre Auswahl. Die Dichte wird zunächst aus seinen Abmessungen (Messgeräte: Messschieber, Bügelmessschraube) und der mittels Digitalwaage ermittelter Masse bestimmt. 17/04/2015 5/6

6 Anschließend ist die Federwaage zur Dichtebestimmung zu nutzen. Jede Auslenkung ist dreimal zu messen und für die weitere Rechnung ist der Mittelwert zu verwenden. Als Flüssigkeit ist Wasser zu verwenden - achten Sie beim Eintauchen des Probekörpers darauf, dass alle Luftblasen entfernt werden. Die Dichte des Wassers ist Temperaturabhängig und kann im Temperaturbereich zwischen 18 C und 30 C in guter Näherung durch folgendes Polynom angegeben werden: W kg m - 3 = 1, ,74738 C 5, C. (11) Für die Luftdichte gilt in Abhängigkeit vom Luftdruck p und der absoluten Temperatur T L = 1,293 ", kpa kg m - 3 "# K. (12) Vergleichen Sie die mit den verschiedenen Verfahren gewonnenen Ergebnisse, und ziehen Sie für Tabellenwerte hinzu. Diskutieren Sie mögliche Ursachen für Abweichungen. 17/04/2015 6/6