Praktikumsprotokoll: Gekoppelte Pendel

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1 Praktikumsprotokoll: Gekoppelte Pendel Robin Marzucca, Andreas Liehl 19. Januar 011 Protokoll zum Versuch Gekoppelte Pendel, durchgeführt am an der Universität Konstanz im Rahmen des physikalischen Anfängerpraktikums I von Robin Marzucca und Andreas Liehl unter Tutor Amir Dastgheib-Shirazi. Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung Grundlagen.1 Pendelschwingung Phasenverschiebung Kopplungsschwingung Gleichsinnige Schwingung Gegensinnige Schwingung Schwebungsschwingung Herleitung der Bewegungsgleichung Kopplungsgrad Der Versuch Versuchsaufbau Versuchsdurchführung Auswertung Mittlere Schwingungsdauer und Schwebungsdauer Dynamische Bestimmung der Kopplungsgrade Statische Bestimmung der Kopplungsgrade Fehlerdiskussion Fragen und Antworten 14 1

2 1 Einleitung Regt man in einem Becken voller Wasser ein Teilchen zum Schwingen an, so werden sich die benachbarten Teilchen ebenso in Schwingung versetzen und es entsteht letztlich eine Welle. Dieses Phänomen beruht auf der Kopplung der einzelnen Teilchen und der damit resultierenden Energieübertragung zwischen den einzelnen schwingfähigen Systemen. Ziel dieses Versuches ist es, die Auswirkungen der Kopplung, insbesondere auf Periodendauer und Amplituden, genauer zu analysieren und zu verstehen. Grundlagen Bevor wir uns mit der Versuchsdurchführung befassen, klären wir zunächst einige Grundbegriffe, wie Pendelschwingung und in diesem Zusammenhang die harmonische Schwingung. Die Kopplung von Schwingungen und die resultierende gleichsinnige, gegensinnige oder Schwebungsschwingung, sowie die Phasenverschiebung..1 Pendelschwingung Wird eine Masse an einem Faden, einem Seil oder Ähnlichem aufgehängt, so wird dieser, wenn man ihn anstößt oder auslenkt eine Schwingung durchführen. Unter Vernachlässigung der Reibung ist diese Schwingung harmonisch, d.h. der Auslenkungswinkel ist proportional zum rücktreibenden Drehmoment D = l F (1) wobei l die Länge des Pendels und F die Kraft, die nötig ist, um das Pendel um den Winkel ϕ auszulenken. Für die Differentialgleichung der Schwingung ergibt sich: ϕ + ω0ϕ = 0 () D mit ω 0 = m. Die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichung ist ϕ(t) = A 0 sin(ωt + ϕ 0 ), wobei A 0 die Amplitude, ω 0 die Eigenfrequenz und ϕ 0 die Phasenverschiebung zum Zeitpunkt t = 0 ist.

3 . Phasenverschiebung Verlaufen zwei Schwingungen gleicher Periodendauer nicht parallel, treten ihre Maxima also nicht zur selben Zeit auf, so sind sie zueinander Phasenverschoben. Die Phasenverschiebung ϕ bezeichnet dabei die zeitliche Differenz zwischen zwei Maxima der beiden Schwingungen..3 Kopplungsschwingung Als Kopplungsschwingung bezeichnet man eine Schwingung, die entsteht, wenn zwei schwingfähige Systeme gekoppelt werden Bei unserem Versuch werden der Einfachheit halber zwei möglichst identische Pendel mit einer Spiralfeder gekoppelt. Die Eigenfrequenzen und die Amplituden bei einem Winkel ϕ der beiden Pendel sind also gleich. Je nach Stellung der Pendel wird durch die Feder ein zusätzliches Drehmoment auf die jeweils andere Feder ausgewirkt. Wir können nun drei verschiedene Fälle von Kopplungsschwingungen unterscheiden:.3.1 Gleichsinnige Schwingung Eine gleichsinnige Schwingung entsteht, wenn die beiden Pendel um den gleichen Winkel ϕ 0 ausgelenkt und zeitgleich losgelassen werden. Die beiden Pendel schwingen nun phasengleich und mit gleicher Amplitude, weshalb durch die Feder kein zusätzliches Drehmoment ausgeübt wird. Ist die Masse der Feder zu vernachlässigen, so wird durch die Feder auch kein zusätzliches Trägheitsmoment ausgeübt und das System schwingt mit der Eigenfrequenz ω gl = ω 0 der beiden Pendel. Abbildung 1: Gleichsinnige Schwingung zweier Pendel mit Schwingungsbild.3. Gegensinnige Schwingung Eine gegensinnige Schwingung entsteht genau dann, wenn beide Pendel um einen Winkel ϕ 0 von der Ruhelage in verschiedene Richtungen ausgelenkt werden und ebenfalls gleichzeitig losgelassen werden. Dabei wird die Kopplungsfeder periodisch gestaucht und gedehnt, wodurch die ganze Zeit über ein zusätzliches Drehmoment in Richtung des rücktreibenden Drehmomentes auf die beiden Federn ausgewirkt wird. 3

4 Es resultiert eine symmetrische Schwingung, die jedoch durch die zusätzlichen Drehmomente eine höhere Frequenz ω geg > ω 0 hat. Abbildung : Gegensinnige Schwingung zweier Pendel mit Schwingungsbild.3.3 Schwebungsschwingung Werden die beiden Pendel zu Beginn ungleich ausgelenkt, z.b. mit ψ 1 (0) = 0 und ψ (0) 0, so wird das erste Pendel seine Energie über die Feder auf das zweite übertragen. Dadurch verringert sich die Amplitude des ersten Pendels zunehmend, während sich die des zweiten Pendels vergrößert. Das geschieht so lange, bis das erste Pendel schließlich zum Stillstand kommt, also seine komplette Energie übertragen hat, und das zweite Pendel mit der vollen Amplitude schwingt. Danach wird der Vorgang umgekehrt. In diesem Fall können wir zwei Kreisfrequenzen unterscheiden: 1. Die Frequenz ω +, mit der die beiden Pendel schwingen, wobei sich deren Amplitude ständig ändert.. Die Frequenz ω, mit der sich die Amplituden der beiden Pendel ändern, wobei die Zeit zwischen zwei Stillständen eines Pendels einer halben Periode entspricht. Es gilt: ω + ω geg ω gl. Abbildung 3: Schwebungsschwingung zweier Pendel mit Schwingungsbild.3.4 Herleitung der Bewegungsgleichung Wir gehen dabei von einem komplett symmetrischen System aus. Die beiden Pendel haben also die gleichen Winkelrichtgrößen D, die gleichen Trägheitsmomente Θ. Zusätzlich soll die Feder streng dem Hookeschen Gesetz gehorchen. Zunächst wollen wir zum einfacheren Verständnis die Bezeichnungen in einer Graphik darstellen: Im Diagramm stehen die Bezeichnungen für: M 1 = Drehmoment auf Pendel 1, M = Drehmoment auf Pendel, ϕ 1 = Winkelauslenkung des Pendels 1, ϕ = Winkelauslenkung des Pendels, 4

5 Abbildung 4: Zwei durch eine Feder gekoppelte Pendel mit den entsprechenden Winkelbezeichnungen aus [1] D = Winkelrichtgröße der Pendel, D = Federkonstante der Kopplungsfeder, r = Abstand des Drehpunktes vom Angriffspunkt der Feder. Aus den Voraussetzungen ergibt sich eine lineare Kopplung und für das Drehmoment M 1 von Pendel 1 gilt mit den obigen Bezeichnungen 1 : M 1 = }{{ Dϕ } 1 + D (rϕ rϕ 1 ) }{{} r rücktreibendesdrehmoment } DehnungderF eder {{} F ederkraft }{{} ZusatzdrehmomentdurchKopplung + M 0 }{{} ausv orspannungderf eder = Dϕ 1 + Dr (ϕ ϕ 1 ) + M 0 (3) und analog für das Drehmoment M von Pendel : M = Dϕ Dr (ϕ ϕ 1 ) M 0 (4) 1 Herleitung stammt aus [1] 5

6 Die Pendel erhalten durch die Kopplung evtl. eine neue Ruhelage. Bei der gekoppelten Schwingung betrachten wir jeweils die Winkeländerung zu dieser neuen Ruhelage und es ist Abb. (??): ψ 1 := ϕ 1 ϕ 01 ψ := ϕ ϕ 0 sowie für eine symmetrische Anordnung ϕ 01 = ϕ 0 =: ϕ 0 woraus folgt: ψ 1 = ϕ 1 ϕ 0 ψ = ϕ + ϕ 0 In der Ruhelage heben sich die beiden Drehmomente additiv auf und wie erhalten aus den Gleichungen (3) und (4): 0 = Dϕ 01 + Dr (ϕ 0 ϕ 01 ) + M 0 0 = Dϕ 0 Dr (ϕ 0 ϕ 01 ) M 0 Durch Subtraktion dieser beiden Gleichungen erhalten wir: ( M 0 = Dr + D ) ϕ 0 Einsetzen von M 0 in Gleichungen (3) und (4) liefert: M 1 = Dψ 1 + Dr (ψ ψ 1 ) M = Dψ Dr (ψ ψ 1 ) Außerdem wissen wir, dass M i = Θ ω = Θ ϕ i, woraus sich für die Pendel die Differentialgleichungen ergeben: ψ 1 (t) = D Θ ψ 1 + Dr Θ (ψ (t) ψ 1 (t)) (5) ψ (t) = D Θ ψ + Dr Θ (ψ (t) ψ 1 (t)) (6) Um die Terme übersichtlicher zu gestalten setzen wir ωgl = D Θ und k = Dr Θ. Daraus erhalten wir zwei Differentialgleichungen, deren Lösung die Bewegung der Pendel beschreibt: ψ 1 + ω gl ψ 1 = +k (ψ ψ 1 ) (7) ψ + ω gl ψ = k (ψ ψ 1 ) (8) 6

7 Nun addieren bzw. subtrahieren wir Gleichungen (8) und (??) und erhalten die Gleichungen für die Summe bzw. Differenz der Winkel: d dt (ψ + ψ 1 ) + ωgl (ψ + ψ 1 ) = 0 d dt (ψ ψ 1 ) + ωgl (ψ ψ 1 ) = k (ψ ψ 1 ) Wir setzen X := ψ 1 + ψ und Y := ψ 1 ψ und erhalten: Ẍ + ω gl X = 0 (9) Ÿ + ( ωgl } + {{ k) Y } = 0 (10) =:ωgeg Die Lösung dieser Differentialgleichungen sind harmonische Schwingungsgleichungen mit den Kreisfrequenzen ω gl und ω geg, wobei die Koeffizienten A 1, A, A 3 und A 4 durch die Anfangsbedingungen definiert sind: X(t) = A 1 sin (ω gl t) + A cos (ω gl t) Y (t) = A 3 sin (ω geg t) + A 4 cos (ω geg t) Daraus erhalten wir durch Resubstitution schließlich die Schwingungsgleichungen für ψ 1 und ψ bzw. ϕ 1 und ϕ : ψ 1 (t) = X + Y = (A 1 sin (ω gl t) + A cos (ω gl t)) + (A 3 sin (ω geg t) + A 4 cos (ω geg t)) ψ (t) = X Y = (A 1 sin (ω gl t) + A cos (ω gl t)) (A 3 sin (ω geg t) + A 4 cos (ω geg t)) bzw. ϕ 1 (t) = ϕ 1 (t) + ϕ 0 = (A 1 sin (ω gl t) + A cos (ω gl t)) + (A 3 sin (ω geg t) + A 4 cos (ω geg t)) ϕ (t) = ϕ (t) ϕ 0 = (A 1 sin (ω gl t) + A cos (ω gl t)) (A 3 sin (ω geg t) + A 4 cos (ω geg t)) Bei genauerem Betrachten der beiden Lösungen entdecken wir eine Überlagerung von zwei sog. Fundamentalschwingungen mit unterschiedlichen Eigenfrequenzen ω gl und ω geg, 7

8 was den Eigenfrequenzen der gleichsinnigen (Kap..3.1) und gegensinnigen Schwingung (Kap..3.) entspricht. Wir erhalten die Schwebungsschwingung (Kap..3.3, siehe auch Abb. (??))..3.5 Kopplungsgrad Zwei Pendel können unterschiedlich stark gekoppelt sein. Das kann z.b. von der Art der Kopplung oder von der Anbringung der Kopplung 3. Um ein Maß für die Stärke angeben zu können, definiert man den Kopplungsgrad: K := ω geg ω gl ω geg + ω gl = T gl T geg T gl + T geg (11) = Dr D + Dr (1) 3 Der Versuch 3.1 Versuchsaufbau Der Versuchsaufbau besteht aus einem Stahlgestell an dem zwei lange Metallstäbe gelagert sind (siehe Abb.(5)). An dessen Spitze befindet sich ein Gewicht, sodass diese als Pendel fungieren. Weiter steht eine Feder zur Verfügung, die zwischen den Pendeln als Kopplung angebracht werden kann. Unten liegt ein Maßband, an dem die Auslenkung der Pendel abgelesen werden kann. 3. Versuchsdurchführung Zunächst werden die Periodendauern für die Eigenschwingungen der Pendel gemessen. Sie sollte ja später mit der Periodendauer der gleichphasigen Schwingung übereinstimmen. Anschließend wird die Länge der Pendel gemessen. Sie wird später wichtig, da bei der Auslenkung des Pendels nur die Strecke gemessen wird, wobei jedoch der Auslenkwinkel relevant ist. Nun werden die Pendel mit der Feder gekoppelt. Für insgesamt drei Kopplungsgrade werden die Periodendauer der gleichphasigen und der gegenphasigen Schwingung gemessen. Schließlich werden wir uns noch mit dem Phänomen Schwebung befassen und mit In unserem Versuch ist die Kopplung durch eine Feder gegeben. 3 In unserem Versuch werden wir die Feder in unterschiedlichen Höhen anbringen 8

9 Abbildung 5: Versuchsaufbau: Stahlgestell mit Pendel aus [1] diesem Hintergrund die Periodendauer einer Schwebung messen. Weiter wird zur statistischen Bestimmung des Kopplungsgrades jeweils immer ein Pendel aus der Ruhelage ausgelenkt, wodurch das andere Pendel aufgrund der Kopplung ebenfalls eine Auslenkung erfährt. Durch Ablesen der Auslenkungen erhalten wir später den Kopplungsgrad. 4 Auswertung 4.1 Mittlere Schwingungsdauer und Schwebungsdauer Wir berechnen zunächst aus den gemessenen Schwingungsdauern die Kreisfrequenzen ω gl und ω geg mit den Beziehungen ω = π T, wobei für T T gl bzw. T geg einzusetzen ist. Damit lässt sich nun die Schwebungsdauer berechnen mit: T S = 4π ω geg + ω gl (13) und der Fehler für diese ist 4 : δt S = = ( T S ( ) ω geg geg) δω T S + ω gl δω gl ( ) 4π ( ) 4π δω geg + δω gl (14) ω geg + ω gl ω geg + ω gl 4 Diese und alle weiteren Formeln zur Fehlerrechnung stammen aus []. 9

10 Die mittlere Schwingungsdauer berechnet sich aus: T m = 4π ω geg ω gl (15) und der Fehler für diese Schwingungsdauer ist: ( T m ( ) δt S = ω geg geg) δω T m + ω gl δω gl ( ) 4π ( ) 4π = δω geg + δω gl (16) ω geg ω gl ω geg ω gl Wir wollen nun die errechneten Werte mit den Messungen in der Versuchsdurchführung vergleichen: Kopplung 1 Kopplung Kopplung 3 T S berechnet 44, 4 ± 1, 49s 0, 43 ± 0, 34s 6, 88 ± 0, 07s T S gemessen 47, 75 ± 0, 0 s 19, 85 ± 0, 0s 6, 575 ± 0, 10s rel. Fehler T S 0,074 0,09 0,044 T m berechnet 1, 573 ± 0, 00s 1, 505 ± 0, 00 1, 318 ± 0, 003 T m gemessen 1, 59 ± 0, 013s 1, 654 ± 0, 014s 1, 315 ± 0, 00s rel. Fehler T m 0,01 0,090 0,00 Tabelle 1: Es sind jeweils die berechneten und gemessenen Schwebungsdauern und die dazugehörigen mittleren Schwingungsdauern angegeben. Der relative Fehler berechnet sich durch das Verhältnis zwischen dem berechneten und dem gemessenen Wert. 4. Dynamische Bestimmung der Kopplungsgrade Mit den in Kap 4.1 errechneten Werten können wir schließlich den Kopplungsgrad anhand Gleichung (11): K = T gl T geg T gl + T geg errechnen. Weiter berechnet sich der Fehler des Kopplungsgrades mit: ( K ( ) δk = T geg geg) δt K + T gl δt gl ( ) ( ) = 1 + K 1 K T geg Tgl + T geg δt geg + T gl Tgl + T geg δt gl (17) 10

11 Es ergeben sich für die einzelnen Versuchsdurchführungen folgende Werte: Kopplung K dyn , 10 ± 1, 5 14, 65 ± 1, 3 36, 95 ± 1, 33 Tabelle : Kopplungsgrade dynamisch bestimmt 4.3 Statische Bestimmung der Kopplungsgrade Wir lenken zunächst eines der gekoppelten Pendel um eine Strecke x aus und messen die resultierende Auslenkung am zweiten Pendel. Der Kopplungsgrad ergibt sich nun aus den Auslenkung x 1 [cm] Auslenkung x [cm] 6,0 0,3 Kopplung 1 14,0 0,9 18,0 1, 8,0 1,3 Kopplung 1,0 1,9 19,0 4,1 8,0 3,1 Kopplung 3 1,0 4, 19,0 6,9 Tabelle 3: Es sind die gemessenen Auslenkungen der Pendel aufgelistet. In allen Messungen gilt δx = 0, 1cm. Verhältnissen der beiden Winkelauslenkungen. Wir rechnen also zunächst die gemessenen Auslenkungen in Winkel um mit Ψ i = l arcsin(x i ) (18) Der Kopplungsgrad ergibt sich jeweils als Proportionalitätsfaktor zwischen den jeweiligen Auslenkwinkeln, also ist: K = Ψ 1 = arcsin(x 1) Ψ arcsin(x ) (19) Dieser wird also bei jeder Auslenkung einzeln bestimmt und hinterher die drei Werte arithmetisch gemittelt. Für den Fehler des Kopplungsgrades rechnen wir dann mit der 11

12 Standardabweichung und es ist: δk = σ K = 1 N ( Ki K ) N(N 1) i (0) wobei die K i die einzelnen berechneten Kopplungsgrade sind und K der arithmetische Mittelwert ist. Für die Kopplungsgrade ergeben sich in den einzelnen Versuchsdurchführungen: K 1 = (5, 93 ± 0, 47) 10 K = (16, 07 ± 0, 14) 10 K 3 = (36, 56 ± 1, 1) 10 Wir vergleichen diese nun mit den dynamisch bestimmten Kopplungsgraden: Kopplungsgrad K dyn 10 K stat , 10 ± 1, 5 5, 93 ± 0, 47 14, 65 ± 1, 16, 07 ± 0, , 95 ± 1, 33 36, 56 ± 1, 1 Tabelle 4: Vergleich der dynamisch und statisch bestimmten Kopplungsgrad 4.4 Fehlerdiskussion Wie in den Kapiteln 4.1, 4. und 4.3 deutlich wurde, konnten wir die berechneten Werte weitestgehend durch die Messung bestätigen. Dennoch sind Abweichungen vorhanden. Diese lassen sich jedoch durch äußere Einflüsse und den Versuchsaufbau erklären. Vor allem im Versuchsaufbau gibt es einige Faktoren, die zur Abweichung beitragen: Die Masse der Feder wurde bei den Rechnungen vernachlässigt. Die Lagerung der Pendel ist nicht komplett reibungsfrei. Damit lassen sich vor allem die Abweichungen bei der Messung der Schwebungsdauer und der mittleren Schwingungsdauer bei der Schwebung erklären, da die Pendel durch die Reibung früher zum Stillstand kommen. Eine weitere Erklärung für Abweichungen der mittleren Schwingungsdauer ist das falsche Abzählen der Perioden. Dies ist bei der Schwebung relativ schwer, da die Amplituden kurz vor dem Stillstand so klein sind, dass sie kaum noch zu erkennen sind. 1

13 Es wurde vernachlässigt, dass die Feder im Falle der gegensinnigen Schwingung teilweise leicht durchhängt wenn die Pendel aufeinander zu schwingen. Dadurch wirkt ein geringeres Drehmoment, was die Periodendauer der gegensinnigen Schwingung verlängert. Zwar wird versucht, diesen Effekt durch Stabilisierung der Feder mittels Aufhängung zu minimieren, jedoch fällt er keinesfalls komplett weg. Weiter könnten die Messwerte für die Periodendauern der gleichsinnigen und gegensinnigen Schwingung dadurch leicht verfälscht werden, dass die gemessenen Schwingungen nicht perfekt gleich- bzw. gegensinnig waren. Dies ist in der Praxis per Hand nur sehr schwer realisierbar. Andere Fehler wie z.b. die Näherung sin ϕ ϕ oder zufällige Fehler wie z.b. Vibrationen an der Versuchsapparatur oder ungünstige Thermik im Raum, kommen zwar ebenfalls vor, wirken sich jedoch bei weitem nicht so stark aus, wie die oben genannten. 13

14 5 Fragen und Antworten Wir wollen noch kurz auf die gestellten Fragen eingehen. Aufgabe 1 Welche Bedeutung haben gekoppelte Schwingungen in der Molekülphysik? Moleküle bestehen aus Atomen, die durch verschiedene Bindungsarten miteinander verbunden sind. Die Atome wiederum können Schwingungen ausführen. Da die Atome eines Moleküls jedoch mit den Nachbaratomen des Moleküls verbunden sind (z.b. durch Elektronenbindung), entsteht so eine gekoppelte Schwingung. Allerdings ist diese gekoppelte Schwingung deutlich komplizierter, als bei unserem Experiment, da ein Atom in einem Molekül i.d.r. mehrere Nachbaratome hat. Der Kopplungsgrad ist dabei abhängig von der Bindungsart im Molekül, so haben z.b. Kristallstrukturen einen sehr hohen Kopplungsgrad. Regt man ein Molekül an (z.b. durch Erhitzen), so wird die Eigenschwingung der Atome größer. Führt man dies weiter, kann es vorkommen, dass die Kopplung nicht mehr standhält und die Verbindung zwischen den Atomen zerbricht, was zur Folge hat, dass der Agregatzustand des Mediums sich ändert. Aufgabe Wie kann man das Phänomen der Schwebung für die Messung sehr hoher Frequenzen nutzen? Will man die die Frequenz einer hochfrequenten Schwingung messen, so erfordert dies sehr sensible und sehr genaue Messgeräte. Stehen diese nicht zur Verfügung, lässt sich die Frequenz dennoch bestimmen, indem man die Schwingung mit einer Referenzschwingung ähnlicher Frequenz überlagert, wobei die Frequenz der Referenzschwingung bekannt ist. Dadurch entsteht eine Schwebung, deren Periodendauer deutlich einfacher ist zu messen. Über die Periodendauer der Schwebung und die der Referenzschwingung, kann man schließlich die Frequenz der hochfrequenten Schwingung messen. 14

15 Literatur Im Literaturverzeichnis befinden sich die verwendeten Quellen. [1] Runge, Bernd-Uwe: Gekoppelte Pendel, Versuchsanleitung und Grundlagen, 011 [] Runge, Bernd-Uwe: C. Fehlerrechnung, Skript zur Fehlerrechnung für das physikalische Praktikum an der Universität Konstanz, 010 [3] Demtröder, Wolfgang: Experimentalphysik 1: Mechanik und Wärme, 5. Auflage, Springer-Verlag, 008 [4] Nolting, Wolfgang: Grundlagen der theoretischen Physik 1: Klassische Mechanik, 8. Auflage, Springer-Verlag, 006 Abbildungsverzeichnis 1 Gleichsinnige Schwingung Gegensinnige Schwingung Schwebung Gekoppelte Pendel - Skizze Versuchsaufbau Tabellenverzeichnis 1 Schwebungs- und mittlere Schwingungsperioden Kopplungsgrade dynamisch Auslenkungen Vergleich Kopplungsgrade