Physikalisches Grundlagenpraktikum Versuch Massenträgheitsmoment

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1 Physikalisches Grundlagenpraktikum Versuch Name:... Matrikelnummer:... Gruppe:... Antestat Datum bestanden nicht Unterschrift Prüfer bestanden Termin Nachholtermin 1. Protokollabgabe Datum Unterschrift Studierender Testat bestanden Datum Unterschrift Prüfer ja nein beanstandet 2. Protokollabgabe Datum Unterschrift Studierender Testat bestanden Datum Unterschrift Prüfer ja nein beanstandet Testat eingetragen 1 Version: 13. November 2014

2 1 Ziel Mit Hilfe einer Torsionsfeder werden die e verschiedener Körper bestimmt. 2 Grundlagen Das Verhalten eines Körpers bei einer Translationsbewegungen ist durch die Masse m bestimmt und es gilt das Newtonsche Trägheitsgesetz (2. Newtonsche Axiom): mit: #» F : beschleunigende Kraft #» F = m #» a (1) #» a : Translationsbeschleunigung Die kinetische Energie eines Körpers in Translationsbewegung kann dann berechnet werden: s 2 #» #» W = F ds (2) s 1 Sind die auf den Körper wirkende Kraft und der Weg parallel zueinander, so erhält man durch Einsetzen der Gl. 1 in Gl. 2: Mit #» a = #» dv dt und #» d s = #» v dt erhält man für Gl. 3: W = s 2 s 1 m #» dv dt #» v dt = s 2 W = m #» a ds #» (3) s 1 v 2(s2 ) v 1(s1 ) m #» v #» dv = 1 2 m (v 2 2 v 1 2 ) (4) Bei der Rotation eines Körpers mit der Winkelgeschwindigkeit ω um die Achse A ist wegen #» v i #» r i (siehe Abb. 1) die kinetische Energie eines Massenelementes m i : W mi = 1 2 m i v i 2 = 1 2 m i r i2 ω 2 (5) Die Summation über alle Massenelemente m i eines Körpers ergibt dann die gesamte Rotationsenergie des Körpers: ( ) 1 N W rot = lim m i r i2 ω 2 (6) N 2 i=1 = 1 2 ω2 r 2 dm (7) m 2 Version: 13. November 2014

3 Abbildung 1: Zur Definition des es Quelle :(1) Man nennt den Ausdruck J A Def = m r 2 dm (8) das J A des Körpers bezüglich der Drehachse A, wobei r der Abstand des Massenelmentes dm von der Drehachse A ist. Das eines Körpers hängt also von der Drehachse ab. Drehachsen durch den Schwerpunkt des Körpers spielen eine besondere Rolle. Ist das J S eines Körpers bezüglich einer Achse S durch den Schwerpunkt bekannt, so lässt sich das J A durch eine beliebige, zu der Schwerpunktachse im Abstand r parallele Achse A (siehe Abb. 2), mit Hilfe des Steinerschen Satzes bestimmen: J A = J S + m r 2 (9) Abbildung 2: Drehachse A parallel zur Achse S des Schwerpunktes Im Versuch wird eine Torsionsfeder-Masse System verwendet.nach Auslenkung aus seiner Ruhelage schwingt ein solches System sinusförmig (=harmonischer Oszillator). Die Gleichung für den Drehwinkel des Systems lässt sich aus der dynamischen Grundgleichung für die Rotation (2. Newtonsches Axiom) ableiten: M = J α = J ϕ (10) mit: M: Drehmoment α: Winkelbeschleunigung ϕ: Drehwinkel 3 Version: 13. November 2014

4 Wird das System aus der Ruhelage um den Winkel ϕ ausgelenkt, wirkt ein rücktreibendes Drehmoment M Rück, das von der elastischen Deformation der Torsionsfeder hervorgerufen wird. Für kleine Winkelauslenkungen ϕ (elastischer Bereich der Feder) gilt dann das Hookesche Gesetz: M Rück = D ϕ (11) mit: D : Winkelrichtgröße [ D ] = Nm rad Für ein reibungsfrei gelagertes Drehpendel ohne äußere Krafteinwirkung erhält man dann die Bewegungsgleichung einer harmonischen Schwingung: J ϕ = D ϕ (12) Gl. 12 ist eine lineare homogene Differentialgleichung (DGL) zweiter Ordnung: ϕ + D J ϕ = 0 (13) Die Lösung diese DGL ist: ϕ (t) = ˆϕ 0 cos ( ω 0 t φ 0 ) (14) Die Amplitude ˆϕ 0 und der Nullphasenwinkel φ 0 ergeben sich aus den Anfangsbedingungen ϕ (t=0) und d dt ϕ (t=0). Die Eigenkreisfrequenz ω 0 des ungedämpften harmonischen Oszillators lautet: ω 0 = D J = 2 π T 0 (15) Die Periodendauer T 0 des ungedämpften Oszillator ergibt sich zu: T 0 = 2 π J D (16) 4 Version: 13. November 2014

5 3 Vorbereitende Aufgaben 1. Weshalb ist das Trägheitsmoment eines Körpers von seiner Drehachse abhängig? 2. An eine Torsionsfeder greift eine äußere Kraft an. Sie lenkt die Feder um den Winkel α aus. Für welche physikalische Größe stellt sich ein Gleichgewicht ein? Wie lautet der Zusammenhang (Formel)? 3. Wie kann aus der gemessenen Rückstellkraft und dem bekannten Radius die Winkelrichtgröße D einer Torsionsfeder bestimmt werden? 4. Wie lautet der Zusammenhang zwischen Drehimpuls und Drehmoment eines starren Körpers? 5. Leiten Sie die Bewegungsgleichung der Schwingung her, die aus der Auslenkung der Torsionsfeder resultiert. 6. Als Lösung der Bewegungsgleichung aus Aufgabe 5 nehmen sie an: ϕ (t) = ˆϕ 0 cos ( ω 0 t φ 0 ) Bestimmen sie die Eigenkreisfrequenz ω 0 und die daraus resultierende Periodendauer T 0 der Schwingung. 7. Wie lässt sich nun aus der gemessenen Periodendauer und der Winkelrichtgröße D das Trägheitsmoment J eines Körpers bestimmen, wenn die Drehachse im Schwerpunkt des Körpers liegt? 8. Beweisen Sie mit Hilfe des Energieerhaltungssatzes, dass sich das Trägheitsmoment J A durch eine beliebige, zur Achse des Schwerpunktes parallele Achse A, mit Hilfe des Steinerschen Satzes bestimmen lässt. 5 Version: 13. November 2014

6 Labor Technische Physik 4 Versuchsteil 1: Bestimmung der Winkelrichtgröße 4.1 Versuchsbeschreibung Die Winkelrichtgröße D der Torsionsfeder soll bestimmt werden. Dazu wird die Feder um eine konstanten Drehwinkel ausgelenkt und die Rückstellkraft der Feder bei verschiedenen Abständen vom Drehpunkt gemessen. 4.2 Versuchsaufbau Die Messwertaufnahme erfolgt mit dem Cobra4 System der Firma Phywe. Als Messsensor wird ein Kraftsensor verwendet, der auf das Wireless-Link Modul aufgesteckt wird. Das Wireless-Link Modul überträgt die Daten dann an den Computer. Nach dem Starten des Programmes Measure und dem Einschalten des Wireless-Link wird der Messwert des Kraftsensors auf dem Bildschirm angezeigt. Abbildung 3: links: Wireless-Link mit Kraftsensor rechts: Software Measure mit eingeschaltetem WirelessLink und Kraftsensor Der Versuch ist wie auf Abb. 4 zu sehen aufzubauen. Dabei ist darauf zu achten, dass der Stab möglichst horizontal ausgerichtet ist. Abbildung 4: (a) Messanordnung zur Bestimmung der Winkelrichtgröße D (b) Lage des Kraftmessers zum Stab 4.3 Versuchsdurchführung Nun soll die Rückstellkraft der Feder in sechs verschieden Abständen vom Drehpunkt gemessen werden. Dazu muss der Stab um einen Winkel von ϕ = 180 aus der Ruhelage ausgelenkt werden. Der Stab ist dabei so zu drehen, dass die Feder zusammengedrückt 6 Version: 13. November 2014

7 und nicht aufgebogen wird. Dies gilt auch für alle weiteren Versuchsteile! Mit dem Kraftmesser kann nun die Kraft im Abstand von 5cm, 10cm, 15cm, 20cm, 25cm und 30cm gemessen (Kerben im Stab!) und der jeweilige Wert im Messprogramm (Phywe Measure) entnommen werden. Die Werte sind in die Tabelle 1 einzutragen. Da die Kraft senkrecht zum Radius gemessen werden soll, ist darauf zu achten, dass die Schnur, die Kraftmesser und Stab verbindet, auch tatsächlich senkrecht zum Stab und damit tangential zur Drehrichtung gehalten wird. Abstand a in cm Kraft F in N Drehmoment M in 10 3 Nm Summe der Drehmomente M in 10 3 Nm Mittelwert von M in 10 3 Nm Tabelle 1: gemessene Kraft und berechnetes Drehmoment für unterschiedliche Abstände A des Kraftsensors zu Drehachse 4.4 Versuchsauswertung 1. Berechnen Sie den Mittelwert für das Drehmoment und die Standardabweichung des Mittelwertes (siehe Skript Fehlerrechnung). 7 Version: 13. November 2014

8 2. Berechnen Sie mit dem Mittelwert des Drehmomentes die Winkelrichtgröße D. Dieser Werte für D ist dann in allen nachfolgenden Versuchsteilen zu verwenden. 3. Nehmen Sie als Größtfehler des Drehmomentes M den doppelten Wert der Standardabweichung des Mittelwertes an. Für den Größtfehler des Drehwinkels nehmen Sie 2 an. Bestimmen Sie daraus den Größtfehler der Winkelrichtgröße D (siehe Skript Fehlerrechnung). 8 Version: 13. November 2014

9 4. Erklären Sie, ob die ermittelte Winkelrichtgröße D* für alle Drehwinkel konstant ist. Begründen Sie ihre Antwort. 5. Welche Eigenschaft muss die Winkelrichtgröße bei einem harmonischen Oszillator haben? 6. Welche Kraft wird durch die Winkelrichtgröße hervorgerufen? 7. Wie wird das Messergebnis beeinflusst, wenn die Achse der Kraftmessung nicht in der Ebene liegt, in welcher der Stab schwingt? 8. Wie wird das Messergebnis beeinflusst, wenn die Achse der Kraftmessung zwar in der Schwingungsebene des Stabes, aber nicht orthogonal zum Stab liegt? 9 Version: 13. November 2014

10 Labor Technische Physik 5 Versuchsteil 2: Bestimmung der Trägheitsmomente von Körpern unterschiedlicher Masse 5.1 Versuchsbeschreibung Im Rahmen dieses Versuchsteils wird die Periodendauer harmonisch schwingender Körper mit unterschiedlicher Masse gemessen und damit ihr Trägheitsmoment ermittelt. 5.2 Versuchsaufbau An dem Aufbau aus Versuchsteil 1 soll die Periodendauer der Schwingung gemessen werden. Als Messsensor wird ein Timer benutzt, der durch eine Lichtschranke gesteu- Abbildung 5: (a) Messaufbau zur Bestimmung der Schwingungsdauer (b)lichtschranke mit Anbindung an Wireless-Link ert wird. Dazu wird der Timer/Counter Baustein auf das Wireless Modul aufgesteckt und mit der Lichtschranke verbunden (siehe Abb. 5(b)). Beim Durchlauf des Stabes durch die Lichtschranke ändert sich deren Ausgangssignal. Dadurch beginnt im Timerbaustein eine Stoppuhr zu laufen. Um die gesamte Periodendauer zu erfassen muss die Stoppuhr erst beim übernächsten Durchgang des Stabes gestoppt werden. Zur Messung sind folgende Schritte notwendig: Software Measure starten und Wirelesslink einschalten. Nach dem Erkennen des Timers in Measure den Timer-Messbereich mit OK bestätigen. Abbildung 6: Software nach dem erkennen der Lichtschranke Öffnen des Konfigurationsmenüs für Timer T1 durch Klicken der rechten Maustaste, wenn der Mauszeiger über Timer T1 steht (siehe Abb. 7). Messeinstellungen wählen (siehe Abb. 7) 10 Version: 13. November 2014

11 Abbildung 7: Softwarekonfiguration Einstellung der Start- und Stoppbedingungen: Jeweils die positive Flanke auswählen und 9 Flanken ignorieren einstellen.(siehe Abb. 7) 5.3 Versuchsdurchführung Zunächst ist die Zeitdauerdauer von fünf Schwingungen des leeren Stabes aufzunehmen. Der Stab wird dazu um ϕ = 180 ausgelenkt und erst dann die Zeitmessung aktiviert. (Es ist darauf zu achten, dass tatsächlich nur die gewünschte Seite des Stabes die Lichtschranke durchläuft und sie nicht bereits beim Auslenken des Stabes durchschritten wird). Abbildung 8: Bildschirmanzeigen Gelegentlich nimmt die Gabellichtschranke das Signal nicht auf. Dies kann durch kurzes Drücken des Set-Knopfes behoben werden. Der Messvorgang ist drei Mal zu wiederholen und die ermittelten Werte sind in Tabelle 2 einzutragen. 11 Version: 13. November 2014

12 Labor Technische Physik 5 TStab in s Messung P Mittelwert von 5 TStab in s TStab einer Schwingung in s Tabelle 2: gemessene Zeitdauer für fünf Schwingungsperioden des Stabes und daraus berechneten Größen Nun wird die Zeitdauer für fünf Schwingungen des Stabes mit Gewichten bestimmt. Dazu werden die Gewichte im Abstand von je 5cm, 10cm, 15cm, 20cm und 25cm von der Drehachse am Stab befestigt (siehe Abb. 9) und die Messung wie zuvor wiederholt. Abbildung 9: Versuchsaufbau Stab mit Gewichten Messung 5 T5cm in s 5 T10cm in s 5 T15cm in s 5 T20cm in s 5 T25cm in s P Mittelwert von 5 T in s T einer Schwingung in s Tabelle 3: gemessene Zeitdauer für fünf Schwingungsperioden des Stabes mit Gewichten in verschiedenen Abständen zur Drehachse und die daraus berechneten Größen 12 Version: 13. November 2014

13 5.4 Versuchsauswertung 1. Warum ist es sinnvoller, 5 T zu messen, als nur 1 T? Warum ist es sinnvoll, die Zeiten 5 T dreimal (und nicht nur einmal oder 10- oder 100-mal) zu messen? 2. Berechnen Sie aus den jeweiligen drei Messungen den Mittelwert jeder Messreihe und tragen Sie diese Mittelwerte in die entsprechenden Felder der Tab. 2 und Tab. 3 ein. 3. Berechnen Sie aus den obigen Mittelwerten die jeweilige Periodendauer einer Schwingung und tragen Sie diese Werte in die entsprechenden Felder der Tab. 2 und Tab. 3 ein. Für die weiteren Berechnungen sind diese Werte zu verwenden. 13 Version: 13. November 2014

14 4. Berechnen Sie das theoretische Trägheitsmoment des leeren Stabes mit Hilfe folgender Angaben: m Stab = 134 g und l Stab = 61 cm 5. Berechnen Sie mit Hilfe der mittleren Periodendauer des leeren Stabes dessen Trägheitsmoment. Für die Winkelrichtgröße D ist der errechnete Wert aus Versuchsteil 1 zu verwenden. 6. Berechnen Sie mit Hilfe der mittleren Periodendauern nun die Trägheitsmomente des Stabes mit Gewichten. 14 Version: 13. November 2014

15 7. Berechnen Sie aus den Trägheitsmomenten des Stabes mit Gewichten und dem Trägheitsmoment des leeren Stabes die Trägheitsmomente der Gewichte und tragen Sie das Ergebnis in Tabelle 4 ein. Abstand in cm J Stab+Gewichte in 10 3 kgm 2 J Stab in 10 3 kgm 2 J Gewichte in 10 3 kgm Tabelle 4: berechnete e 8. Tragen sie die ermittelten Trägheitsmomente der Gewichte gegen das Quadrat des Abstandes a auf. (Millimeterpapier verwenden, geeigneten Maßstab wählen, Achsen korrekt beschriften). 9. Zeichnen Sie eine Ausgleichsgerade in das Diagramm ein. Berechnen Sie mit Hilfe dieser Geraden die Masse der Gewichte (zeichnerische Lösung in Diagramm eintragen, Rechnung hier unterhalb hinschreiben). 15 Version: 13. November 2014

16 10. Berechnen Sie mit den Trägheitsmomenten der Gewichte aus obiger Tabelle die Geradengleichung einer Ausgleichsgeraden, die durch den Ursprung geht (siehe Skript Fehlerrechnung). 16 Version: 13. November 2014

17 Labor Technische Physik 6 Versuchsteil 3: Trägheitsmoment von Körpern, deren Drehachse nicht in der Schwerpunktachse liegt 6.1 Versuchsbeschreibung Hier wird genau wie in Versuchsteil 2 die Periodendauer des schwingenden Stabes mit Hilfe der Lichtschranke gemessen. Im Unterschied zu der vorherigen Messung liegt die Drehachse des Stabes nun nicht mehr im Schwerpunkt des Stabes. 6.2 Versuchsaufbau Abbildung 10: Versuchsaufbau, wenn die Drehachse nicht durch den Schwerpunkt verläuft Die Drehachse des Stabes ist um 5cm gegenüber seiner Schwerpunktachse zu verschieben. Als Messsystem wird wie in Versuchsteil 1 die Lichtschranke mit dem Timer verwendet.es ist darauf zu achten, dass die Lichtschranke nun am längeren Teilstück des Stabes zur Messung eingesetzt wird. Die Bedienung des Messsystems erfolgt analog zu Versuchsteil Versuchsdurchführung Es ist wieder die Zeitdauer für fünf Perioden des Stabes zu messen. Der Stab wird um ϕ = 180 ausgelenkt und erst dann die Zeitmessung aktiviert. Der Messvorgang ist drei mal zu wiederholen. Zur weiteren Rechnung soll der Mittelwert verwendet werden. 17 Version: 13. November 2014

18 Messung 5 T Stab in s Mittelwert von 5 T Stab in s T Stab einer Schwingung in s Trägheitsmoment in 10 3 kgm 2 Tabelle 5: gemessene Zeitdauer für fünf Schwingungsperioden des Stabes und daraus berechneten Größen 6.4 Versuchsauswertung 1. Berechnen Sie den Mittelwert aus den drei Messungen und tragen Sie diesen in Tabelle 5 ein. 2. Berechnen Sie aus dem Mittelwert die Periodendauer einer Schwingung und tragen Sie diese in Tabelle 5 ein. 18 Version: 13. November 2014

19 3. Berechnen Sie mit der ermittelten Periodendauer das Trägheitsmoment der Anordnung. Für die Winkelrichtgröße D ist der errechnete Wert aus Versuchsteil 1 zu verwenden. Tragen Sie das Ergebnis in Tabelle 5 ein. 4. Mit Hilfe des soeben errechnete Trägheitsmomentes und dem ermittelten Wert des Trägheitsmonentes J Stab aus Versuchsteil 2, ist nun unter Anwendung des Steinerschen Satzes der Abstand r zwischen der Drehachse und der Schwerpunktachse zu bestimmen. 19 Version: 13. November 2014

20 Labor Technische Physik 7 Versuchsteil 4: Trägheitsmoment und Körperform 7.1 Versuchsbeschreibung In diesem Versuchsteil werden die Trägheitsmomente von Körpern bestimmt, die annähernd gleiche Masse, jedoch unterschiedliche Massenverteilungen haben. Die Körper bilden mit der Torsionsfeder einen gedämpften harmonischen Oszillator. Aus der Schwingungsdauer des Oszillators kann dann das berechnet werden. 7.2 Versuchsaufbau Auf die Achse aus Versuchsteil 1 werden nun Körper gleicher Masse, jedoch mit unterschiedlicher Massenverteilung gesteckt. Dazu sind der Vollzylinder aus Holz und der Hohlzylinder aus Metall zu verwenden. Die Zylinder sind mit Hilfe der Schraube auf dem kleinen Metallteller zu fixieren. Die Schraube darf nur sehr zart angezogen werden, da das Gewinde sonst beschädigt werden kann! Abbildung 11: (a)versuchsaufbau (b) unterschiedlichen Körperformen Genau wie in Versuchsteil 2 und 3 wird die Periodendauer des schwingenden Oszillators mit Hilfe der Lichtschranke gemessen. Als Messsystem wird wie in Versuchsteil 1 die Lichtschranke mit dem Timer verwendet. 7.3 Versuchsdurchführung Es ist zuerst die Zeitdauer für fünf Schwingungen des Metalltellers ohne Objekt zu messen. Der Stab wird um ϕ = 180 ausgelenkt und erst dann die Zeitmessung aktiviert. Der Messvorgang ist drei mal zu wiederholen. Zur weiteren Rechnung soll der Mittelwert verwendet werden. 20 Version: 13. November 2014

21 Messung 5 T in s Mittelwert von 5 T Stab in s T einer Schwingung in s Tabelle 6: gemessene Zeitdauer für fünf Schwingungsperioden des Metalltellers und daraus berechneten Größen Führen sie die gleiche Messung für Metallteller und Hohlzylinder durch. Messung 5 T in s Mittelwert von 5 T Stab in s T einer Schwingung in s Tabelle 7: gemessene Zeitdauer für fünf Schwingungsperioden des Metalltellers mit Hohlzylinder und daraus berechneten Größen Führen sie die gleiche Messung für Metallteller und Vollzylinder durch. Messung 5 T in s Mittelwert von 5 T Stab in s T einer Schwingung in s Tabelle 8: gemessene Zeitdauer für fünf Schwingungsperioden des Metalltellers mit Vollzylinder und daraus berechneten Größen 21 Version: 13. November 2014

22 7.4 Versuchsauswertung 1. Berechnen Sie aus den jeweiligen drei Messungen den Mittelwert jeder Messreihe. Tragen Sie die Ergebnisse in die entsprechenden Felder der Tabellen 6 bis 8 ein. 2. Berechnen Sie aus den jeweiligen Mittelwerten die Periodendauer einer Schwingung. Tragen Sie die Ergebnisse in die entsprechenden Felder der Tabellen 6 bis 8 ein. 3. Berechnen Sie das jeweilige Trägheitsmoment der Körper. Für die Winkelrichtgröße D ist der errechnete Wert aus Versuchsteil 1 zu verwenden. Tragen Sie das Ergebnis in Tabelle 9 ein. 22 Version: 13. November 2014

23 J T eller in 10 4 kgm 2 J T eller+hohlzyl. in 10 4 kgm 2 J T eller+v ollzyl. in 10 4 kgm 2 Tabelle 9: Berechneten e 4. Vergleichen Sie die e der Körper miteinander (unter Berücksichtigung ihrer äußeren Form). Erläutern Sie das Ergebnis kurz. Bildquellen: (1) W. Demtröder Experimentalphysyik 1 Mechanik und Wärme Kapitel 5, fünfte Auflage, Springer Verlag 23 Version: 13. November 2014