Labor zur Vorlesung Physik

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1 Labor zur Vorlesung Physik Versuch 1: Massenträgheitsmoment 1. Zur Vorbereitung Die folgenden Begriffe sollten Sie kennen und erklären können: Schwingungsdauer, Winkelrichtgröße, Massenträgheitsmoment, Hooksches Gesetz, Steinerscher Satz. MTM.doc Seite 1 von 9 Stand:

2 Versuch 1:Massenträgheitsmoment Inhaltsverzeichnis 1. Zur Vorbereitung...1. Gerätebeschreibung....1 Reflexions-Lichttaster LTK Hameg Triple Power Supply Hameg Universal Counter: Theoretische Grundlagen Einführung Herleitungen Versuchsdurchführung Verdrahtung Messtechnik: Hinweise zur Bestimmung der Schwingungsdauer: Bestimmung der statischen Winkelrichtgröße c* Dynamische Bestimmung der Winkelrichtgröße Bestimmung Trägheitsmoment Bestimmung Trägheitsmoment Scheibe Bestimmung Trägheitsmoment Vollzylinder Bestimmung Trägheitsmoment Kugel Versuch zum Satz von Steiner Arbeitsprogramm Literatur Gerätebeschreibung 1.1 Reflexions-Lichttaster LTK Schaltabstand (auf mattweisses Papier): 3mm - Spannungsbereich U B : 1-36VDC - Ausgangsstrom I A : ma max - hellschaltend - Gelbe LED = Schaltzustand - Grüne LED = Funktionsreserve - Eingebautes Potentiometer für Einstellung des Schaltabstands MTM.doc Seite von 9 Stand:

3 Versuch 1:Massenträgheitsmoment MTM.doc Seite 3 von 9 Stand:

4 Versuch 1:Massenträgheitsmoment. Hameg Triple Power Supply (1) Output: Ein/Ausschalten aller Stromausgänge () Voltage: Einstellung der Spannung V (3) V: Sicherheitsbuchsen, V-Ausgang (4) Current: Strombegrenzung I max,5a (5) 5V / 1A: Sicherheitsbuchsen, 5V-Ausgang.3 Hameg Universal Counter: (6) Gate Time: Die Torzeit ist in Schritten von,1s bis 1s einstellbar. Bitte auf 1s einstellen! (7) Funktionsanzeigen: LED s (8) Reset: Durch drücken dieser Taste wird eine laufende Messanzeige unterbrochen und auf Null gestellt. (9) Auto Trigger: Es wird in der Mitte des Messwertes getriggert (1) Input A: BNC-Buchse (11) Trigger Level: Einstellung des DC-Triggerpegels (1) 8-stellige Digitalanzeige: (13) Hz: bei Frequenzmessungen Sec.: bei Zeitmessungen MTM.doc Seite 4 von 9 Stand:

5 Versuch 1:Massenträgheitsmoment 3 Theoretische Grundlagen 3.1 Einführung Sollen zwei gleich schwere, formgleiche Körper zum Drehen gebracht werden, der eine aus Stahl, der andere aus Holz, so könnte man annehmen, dass man wegen derselben Masse auch dasselbe Drehmoment (=Kraft mal Hebelarm) aufbringen muss. Dies ist jedoch nicht der Fall: Denn je weiter außen (Entfernung des Schwerpunkts vom Zentrum der Drehachse) die Masse sitzt, desto größer ist das benötigte Drehmoment, um die beiden Körper in gleichschnelle Drehung zu versetzen. Da der Holzkörper bei gleicher Masse viel größer ist, benötigen wir hier ein größeres Drehmoment. Diese Eigenschaft der beiden Körper, wie schwer sie in Drehung zu versetzen sind, nennt man Trägheitsmoment. Sie können die Änderung des Trägheitsmoments bei konstanter Masse selbst ausprobieren: Setzen Sie sich auf einen drehbaren Schreibtischstuhl, strecken Sie Arme und Beine nach außen und versetzen Sie sich anschließend in Drehung. Durch das Anziehen Ihrer Arme und Beine nimmt Ihr Trägheitsmoment ab, was zur Folge hat, dass die Drehbewegung schneller wird. Wenn Sie nun Ihre Arme und Beine ausstrecken, werden Sie wieder langsamer. Ein weiteres gutes Beispiel hierfür ist ein Schlittschuhläufer beim Pirouettendrehen. Sobald er bei den Drehungen um seine eigene Achse die Arme einzieht, dreht er sich schneller; das Prinzip ist immer das Gleiche: dem System "Körper" wird hier keinerlei Energie zugeführt, dennoch verändert sich seine Drehgeschwindigkeit durch die Änderung seines Massenträgheitsmoments. 3. Herleitungen Massenträgheitsmomente können experimentell mit Hilfe von Drehschwingungen bestimmt werden. Allgemeine Differentialgleichung eines reibfreien Schwingungssystems ɺɺ β = c * β Wenn man die Gleichung durch dividiert, erhält man für den Faktor vor β * c ω = Daraus folgt: T = π (1) c * und nach aufgelöst: c * T = Summe der Massenträgheitsmomente aller beteiligten Körper c * Winkelrichtgröße der Spiralfeder MTM.doc Seite 5 von 9 Stand:

6 Versuch 1:Massenträgheitsmoment In den folgenden Versuchen ist das Massenträgheitsmoment des Systems zusammengesetzt aus den einzelnen Trägheitsmomenten des s ( ), den beiden Hohlzylindern ( Zyl ) und der Drillachse ( Drill ). Für die zwei Zylinder gilt nach Steiner: Zyl = Zyl ( S) + mzylr () 1 1 Zyl ( S) = mzyl ( ra + ri + l ) (3) 4 3 Zyl (S) Massenträgheitsmoment des Zylinders mit Schwerpunkt auf der Drillachse r.. Abstand des Zylinderschwerpunkts von der Drillachse r i.. Innenradius des Hohlzylinders r a.. Aussenradius des Hohlzylinders l.. Länge des Hohlzylinders Und somit für das Gesamtsystem: = + + = + + ( S) + m r = + m r Ges Zyl Drill Drill Zyl Zyl const Zyl Nach Gleichung (1) erhält man für unterschiedliche Abstände der Zylinder zur Mitte der Achse r 1 und r T = und: c * 1 Ges 1 T = (4) c * Ges Durch eliminieren von const ist es nun möglich, eine Gleichung für die Winkelrichtgröße c* herzuleiten, die nur noch von den direkt gemessenen Größen abhängt. c* r1 r = 8π mzyl (5) T1 T MTM.doc Seite 6 von 9 Stand:

7 Versuch 1:Massenträgheitsmoment 4. Versuchsdurchführung 4.1 Verdrahtung Verbinden Sie als erstes den +5V Ausgang der Lichtschranke mit der roten Sicherheitsbuchse des 5V Ausgangs des Power Supplys. Dann verbinden Sie entsprechend die beiden V Buchsen. Legen Sie eine Brücke von V zum Stecker der BNC-Buchse des Universal Counters und verbinden Sie zum Schluss noch den Signalausgang der Lichtschranke mit dem Signaleingang des Stecker an der BNC- Buchse. Der Reflexionslichttaster wird für die folgenden Messungen nach dem gleichen Prinzip wie die Lichtschranke angeschlossen. 4. Messtechnik: Bitte messen Sie alle Massen mit der Digitalwaage und tragen Sie die Werte in die dazugehörige Tabelle ein. Sie werden diese im weiteren Verlauf des Versuchs für Berechnungs- und Vergleichszwecke benötigen. 4.3 Hinweise zur Bestimmung der Schwingungsdauer: Eine Unterbrechung der Lichtschranke bzw. ein Signal am Lichttaster schaltet das Gate des Zählers ein oder aus. Da das Signal in der Ruhelage übergeben wird, wird immer die doppelte Frequenz gemessen. Diese sollte anschließend in die Schwingungsdauer T umgerechnet werden. Deshalb muss man beachten, dass: die gemessene Frequenz zu halbieren ist, um den eigentlichen Wert zu erhalten. Umrechnung in Schwingungsdauer T die Lichtschranke bzw. Lichttaster möglichst genau in die Gleichgewichtslage des Drehschwingers positioniert wird. der Lichtstrahl nur von einem dünnen Stäbchen oder im Falle des Sensors von einem kleinen Reflexionsblättchen durchbrochen werden sollte. Sie sollten die Schwingungsdauer mehrmals messen, d.h. den Körper mehrmals um die gleiche Amplitude auslenken und durch die Lichtschranke schwingen lassen ( Amplitude: ca. 9 nach links, RESET-Knopf drücken, erster Wert aufnehmen, wiederholen mit ca. 9 rechts und danach den Mittelwert zur Berechnung nehmen.) 4.4 Bestimmung der statischen Winkelrichtgröße c* Um die statische Winkelrichtgröße zu messen, wird der vorerst ohne die zwei Gewichte in die Halterung an der Drillachse eingesetzt. Dann lenkt man den um die Winkel φ = π/, π, 3π/, π aus der Gleichgewichtslage aus und misst mit Hilfe des Federkraftmessers die Tangentialkraft für die Verdrillung der Achse an jeweils zwei verschiedenen Radien r 1 und r. MTM.doc Seite 7 von 9 Stand:

8 Versuch 1:Massenträgheitsmoment 4.5 Dynamische Bestimmung der Winkelrichtgröße aus Drehschwingungen Man bestimmt zunächst die Schwingungsdauern des es mit den beiden Massen m z, die in symmetrischer Lage im Abstand r von der mitte befestigt sind. Danach misst man die Schwingungsdauern T 1 und T. Nun kann das c* der Feder zur Überprüfung von Versuch 4.4 mit Hilfe der Gleichung (4) ermittelt werden. c* r1 r = 8π mz (6) T1 T 4.6 Bestimmung Trägheitsmoment Zuerst bestimmt man das Trägheitsmoment des es indem man den Versuch ohne die zwei am befestigten Massen aufbaut. Man misst die Schwingungsdauer T und berechnet dann nach Gleichung (1) das Massenträgheitsmoment. T c * T = π = (7) c * Nun kann man mit Hilfe der Ergebnisse aus Versuch 4.5 das Massenträgheitsmoment des Federdrehschwingers ( + Gewichte) bestimmen (entweder mit T 1 oder T ). T = π c * Beachten Sie: c * T = = + * Zyl (S) [ + Drill ] Drill ist das Massenträgheitsmoment vom Achsbolzen bzw. Drehachse. Dieses wird hier bei der theoretischen Berechnung jedoch nicht extra berücksichtigt, da er mit einer Masse von 48g ein Trägheitsmoment von 4,3*1-6 kgm² =,5 % besitzt! In unserem Versuch wurde das Moment durch das gemessene T beim mit hineingerechnet. 4.7 Bestimmung Trägheitsmoment Scheibe Nach Bestimmung der Masse m und des Radius R der Schreibe wird nun das Trägheitsmoment einer Scheibe gemessen, indem man die Scheibe direkt auf der Drillachse befestigt und die Schwingungsdauer T misst. Da die Scheibe als sehr flacher Vollzylinder betrachtet werden kann nehmen wir hier die Gleichung: R Radius der Zylinders m Masse des Zylinders 1 mr = (8) MTM.doc Seite 8 von 9 Stand:

9 Versuch 1:Massenträgheitsmoment 4.8 Bestimmung Trägheitsmoment Vollzylinder Die Bestimmung des Massenträgheitsmoments des Zylinders erfolgt nach dem gleichen Prinzip wie in Versuch 4.7. Zur theoretischen Ermittlung des Trägheitsmoments nimmt man hier wiederum die Gleichung: R Radius der Zylinders m Masse des Zylinders 1 mr = (9) 4.9 Bestimmung Trägheitsmoment Kugel Bestimmung des Massenträgheitsmoments einer Kugel aus der Schwingungsdauer T und Vergleich mit dem theoretischen Wert: mr 5 Kugel = (1) 4.1 Versuch zum Satz von Steiner Nun werden die Schwingungsdauern der dünnen metallischen Lochscheibe für 5 verschiedene Drehachsen von der Mitte ab beginnend (d.h. 5 verschiedene Einspannstellen) gemessen. Man fängt mit der zentrischen Befestigung an und bestimmt damit das Trägheitsmoment für die Scheibe. Dann werden die Schwingungsdauern für die verschiedenen Abstände (a) des Schwerpunkts von der Drillachse gemessen und das Ergebnis mit dem Satz von Steiner verglichen: + ma = (11) Trägheitsmoment des Körpers bei Drehung um den Schwerpunkt a.abstand Drehpunkt zum Schwerpunkt 5. Arbeitsprogramm Finden Sie in der Excel-Datei MTM.xls 6. Literatur 1. Physik für Ingenieure Hering, Martin, Stohrer Springer Verlag. Technische Mechanik Mayr 3. Phywe Versuchsbeschreibung MTM.doc Seite 9 von 9 Stand: