A5 Trägheitsmoment. Inhaltsverzeichnis. Physikpraktikum Version: 1.0

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1 Tobias Krähling Homepage: < Version: 1. Stichworte: Literatur: rehmoment, rehimpuls, Trägheitsmoment, Berechnung von Trägheitsmomenten, ifferentialgleichung für ungedämpfte Schwingung, rehpendel, Steiner scher Satz, efinition des Schwerpunktes, Trägheitstensor, Trägheitsellipsoid [em6], [Kuc94], [Mey6], [Tip98], [Wal94] Inhaltsverzeichnis 1. Aufgabenstellung Grundlagen zu den Versuchen Herleitung der Gleichungen Versuchsaufbauten und -durchführung Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Meßwerte Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Auswertung und Fehlerrechnung Aufgabe Aufgabe Aufgabe Kugel Metallscheibe Aufgabe Bewertung und Vergleich der aten verwendete Geräte Literatur

2 1. Aufgabenstellung 1. Bestimmung des Richtmomentes der Feder 2. Bestimmung des Trägheitsmomentes eines Kunststoff-Vollzylinders. 3. Bestimmung des Trägheitsmomentes einer Holzkugel und einer Metallplatte. 4. Bestimmung der Metallplattenträgheitsmomente, wenn die rehachse nicht durch den Schwerpunkt verläuft und Überprüfung des Steiner schen Satzes. 2. Grundlagen zu den Versuchen Ist ein Körper um eine feste Achse drehbar, so übt eine Kraft, deren Wirklinie nicht durch den Schwerpunkt verläuft, ein rehmoment auf diesen Körper aus und versetzt diesen in eine Rotationsbewegung. as rehmoment M läßt sich bestimmen durch M = r F (1) mit r als Abstand von Angriffspunkt und Schwerpunkt. er rehimpuls L ist analog zur Translation definiert: L = t M = r p = m ( r v ) bzw. d L t = M (2) er rehimpuls zeigt immer in die Normalenrichtung senkrecht zur Ebene und bildet eine Rechtsschraube. Bei Rotationsbewegungen spielt die Massenverteilung im Bezug auf eine Rotationsachse eine Rolle und wird als Trägheitsmoment J bezeichnet. ieses kann über die Beziehung J = r 2 dm bzw. J = r 2 ϱ dv (3) V bestimmt werden. V Verläuft die rehachse nicht durch den Schwerpunkt des Körpers, so kann das zugehörige Trägheitsmoment über den Satz von Steiner bestimmt werden: J = J S + a 2 M (4) (a kennzeichnet den senkrechten Abstand zwischen rehachse und Schwerpunkt, J S das Trägheitsmoment bei paralleler Achse durch den Mittelpunkt). Bei rehschwingungen einer Feder wirkt dessen Richtmoment (analog zur Federkonstanten bei transversalen Schwingung einer Feder), das rücktreibende rehmoment einer Feder beträgt dann M = ϕ (5) ie Bewegungsgleichung M = J dω dt = J d2 ϕ dt 2 (6) lautet dann für eine rehschwingung mit einer Feder: J ϕ = ϕ. (7) 2

3 Mit der Anfangsbedingung ϕ() = erhält man als Lösung ( ) ϕ = a sin J t (8) und für die Schwingungsdauer T = 2π J (9) 2.1 Herleitung der Gleichungen Für den rehtisch mit aufgesetzter Tragplatte gilt für die Schwingungsdauer T 1 die Beziehung: T 1 = 2π J Mit dem Metall-Hohlzylinder erhöht sich das Trägheitsmoment des gesamten Aufbaus um den des Zylinder, d. h. J = J + J M. J + J M T 2 = 2π (11) Bildet man die ifferenz aus den Quadraten der Zeiten, so kann das Richtmoment der Feder bestimmt werden: J + J M T 2 T 1 = 2π 2π J T 2 2 T2 1 = 4π 2 J + J M J = 4π 2 J M T 2 2 (12) T2 1 a das Richtmoment der Feder konstant bleibt, kann für die Bestimmung des Trägheitsmomentes des Kunststoff-Vollzylinders J VZ Gl. 12 verwendet werden. (1) = 4πJ M T 2 2 T2 1 = 4πJ VZ T 2 3 T2 1 J VZ = J M T 2 3 T2 1 T 2 2 T2 1 (13) as Trägheitsmoment eines Vollzylinders läßt sich aus Gl. 3 mit dv = r dϕ dr dz, r = [, R], ϕ = [, 2π], z = [, L] bestimmen über: J = ϱ = ϱ = ϱ L 2π R L 2π L und mit ϱ = m V = r 2 dr dϕ dz 1 4 R4 dϕ dz 1 2 πr4 dz = 1 2 ϱπr4 L m πlr 2 I = 1 2 mr2 (14) 3

4 Für einen Hohlzylinder paßt man die Parametrisierung an: r = [R i, R A ];ϱ = erhält: I = 1 2 m ( R 2 A + ) R2 i m πl(r 2 A R2 i ) und (15) as Trägheitsmoment einer Kugel kann einfach über Kugelkoordinaten mit der Parametrisierung r = [, R], ϕ = [, 2π], ϑ = [, π], dv = r 2 sin 3 ϑ dr dϑ dϕ berechnet werden: I = ϱ = ϱ 2π π R 2π π r 4 sin 3 ϑ dr dϑ dϕ 1 5 R5 sin 3 ϑ dϑ dϕ = 2 2π 5 πϱr5 sin 3 ϑ dϑ = 8 15 πϱr5 und mit ϱ = m V = 3 4 m πr 3 I = 2 5 mr2 (16) 3. Versuchsaufbauten und -durchführung ie Schwingzeit der einzelnen Aufbauten wird jeweils für n Schwingungen (5-1) gemessen und anschließend auf eine Schwingung mittels T = t n umgerechnet. ie Bestimmung der Schwingzeiten für n Schwingungen wird mehrfach durchgeführt (ca. 5-1). Objekt rehteller Spiralfeder 3.1 Aufgabe 1 Abmessungen des Metall-Hohlzylinders (Höhe, Innen- und Außendurchmesser) bestimmen, Masse wägen; Justage des rehtisches und Tragplatte; Bestimmung der Schwingzeit des rehtisches mit aufgesetzter Tragplatte; Bestimmung der Schwingzeit rehtisch, Tragplatte und Metall-Hohlzylinder; Berechnung Trägheitsmoment Metall-Hohlzylinder (Gl. 15 und Bestimmung des Mittelwertes und der Meßunsicherheit; Berechnung Richtmoment (Gl. 12) und Bestimmung der Meßunsicherheit. 3.2 Aufgabe 2 Abmessungen (Höhe, urchmesser) und Masse des Vollzylinders bestimmen; Messung der Schwingzeit des Objekts auf dem rehtisch; 4

5 Berechnung des Trägheitsmomentes aus den Schwingzeiten nach Gl. 13 (J M aus Aufgabe 1); Vergleich des berechneten Trägheitsmomentes mit dem aus den geometrischen Abmessungen (Gl. 14); Berechnung der Meßunsicherheit (Mittelwert und Vertrauensintervall). 3.3 Aufgabe 3 Abmessungen (Radius bzw. urchmesser und icke) und Masse der beiden Objekte bestimmen 1 ; Messung der Schwingzeiten von den beiden Objekten auf dem rehtisch; Bestimmung der Trägheitsmomente nach Gl. 9, hierfür kann das Richtmoment aus Aufgabe 1 verwendet werden. Vergleich der bestimmten Trägheitsmomente mit denen aus den geometrischen Abmessungen (Gl. 16 für Holzkugel bzw. Gl. 14 für Metallscheibe); Abschätzung der Meßunsicherheit 3.4 Aufgabe 4 Messung der Abstände der exzentrischen rehachsen zur Schwerpunktsachse bei der Metallscheibe; Messung der Schwingzeiten bei Befestigung der Metallscheibe an den einzelnen exzentrischen rehachsen; Berechnung der Trägheitsmomente nach Gl. 9, hierfür kann das Richtmoment aus Aufgabe 1 verwendet werden. Erstelle J A (a 2 )-iagramm mit gemessenen und berechneten Trägheitsmomenten (nach Gl. 4) Abschätzung der Meßunsicherheit 4. Meßwerte 4.1 Aufgabe 1 h/ mm d i / mm d A / mm r i / mm r A / mm m/ kg J/ kgm 2 99, 9 1, 7 11, 5, 35 55, 1, 194 3, Tabelle 1: aten des Hohlzylinders i n t 1 / s t 2 / s T 1 / s T 2 / s /kgm 2 s , 19, 4, 8 1, 94 4, , 19, 2, 8 1, 92 4, , 1 19, 2, 81 1, 92 4, , 1 19, 2, 81 1, 92 4, , 9 19, 3, 79 1, 93 4, Bei der Metallplatte wird für die Bestimmung der Masse das Befestigungselement abgenommen; bei der Holzkugel wird der Fehler durch das Befestigungselement vernachlässigt, da dieser sehr gering ist. 5

6 Tabelle 2: Meßwerte Hohlzylinder h... Höhe d i... Innendurchmesser d A... Außendurchmesser r i... Innenradius r A... Außenradius m... Masse J... Trägheitsmoment aus gemometrischen Abmessungen i... laufende Nummer n... Anzahl der Schwingungen t 1... Schwingzeit rehtisch für n Schwingungen t 2... Schwingzeit rehtisch und Objekt für n Schwingungen T 1... Schwingzeit rehtisch für eine Schwingung T 2... Schwingzeit rehtisch und Objekt für eine Schwingung... Richtmoment 4.2 Aufgabe 2 Vollzylinder h/ mm 1, d/ mm 11, 5 r/ mm 55, 25 m/ kg 1, 376 J/ kgm 2 1, h... Höhe d... urchmesser r... Radius m... Masse J... Trägheitsmoment aus geometrischen Abmessungen Tabelle 3: aten Vollzylinder i n t 3 / s T 3 / s J VZ / kgm , 6 1, 56 1, , 8 1, 58 2, , 7 1, 57 1, , 7 1, 57 1, , 7 1, 57 1, i... laufende Nummer n... Anzahl Schwingungen t 3... Schwingzeit für n Schwingungen T 3... Schwingzeit für eine Schwingung J VZ... Trägheitsmoment Tabelle 4: Meßwerte Vollzylinder 4.3 Aufgabe 3 Kugel d/ mm 138, 8 r/ mm 69, 4 m/ kg 1, 4 J/ kgm 2 1, Tabelle 5: aten der Kugel i n t/ s T/ s J/ kgm , 9 1, 29 1, , 9 1, 29 1, , 1 1, 31 1, , 1, 3 1, , 1, 3 1, Tabelle 6: Meßwerte Kugel Metallscheibe d/ mm 399, 5 h/ mm 2, 3 r/ mm 199, 75 m/ kg, 729 J/ kgm 2 1, Tabelle 7: aten der Metallscheibe i n t/ s T/ s J/ kgm , 8 3, 88 1, , 7 3, 87 1, , 8 3, 88 1, , 8 3, 88 1, , 8 3, 88 1, Tabelle 8: Meßwerte Metallscheibe 6

7 d... urchmesser i... laufende Nummer r... Radius n... Anzahl der Schwingungen h... Höhe t... Schwingzeit für n Schwingungen m... Masse T... Schwingzeit für eine Schwingung J... Trägheitsmoment 4.4 Aufgabe 4 i a/ mm n t/ s T/ s J/ kgm 2 J B / kgm ,7 1 4,5 4,5 1, , , , 4,5 2, , ,4 1 51,5 5,15 2, , , ,1 5,91 3, , ,2 1 39,1 3,91 1, , , ,5 4,25 1, , , 1 48,4 4,84 2, , , ,7 5,77 3, , ,7 1 4,6 4,6 1, , , ,1 4,51 2, , ,4 1 51,8 5,18 2, , , ,2 5,92 3, , ,2 1 39, 3,9 1, , , ,4 4,24 1, , , 1 48,4 4,84 2, , , ,7 5,77 3, , Tabelle 9: Meßwerte Metallscheibe i... laufende Nummer a... Schwingachsenabstand vom Mittelpunkt n... Anzahl der Schwingungen t... Schwingzeit für n Schwingungen T... Schwingzeit für eine Schwingung J... Trägheitsmoment aus Schwingzeit J B... Trägheitsmoment nach Gl Auswertung und Fehlerrechnung 5.1 Aufgabe 1 Trägheitsmoment des Hohlzylinders Aus Gl. 15 folgt für das Trägheitsmoment des Hohlzylinders: J HZ = 3, kg m 2. er Maximalfehler des Funktionswertes (da die einzelnen Meßgrößen nicht über Meßreihen bestimmt wurden) ( J HZ J HZ = ± m m + J HZ ) R A R A + J HZ R i R i ( 1 ( = ± R 2 2 A + ) 1 R2 i m + 2 m (2R A) R A m (2R ) i) R i = ±9, kg m 2 mit m = 1 3 kg, R A = R i = m. 7

8 Richtmoment as Richtmoment kann nach Gl. 12 berechnet werden und ist bereits in die Meßwerttabelle (Abschnitt 2) eingetragen, der Mittelwert folgt aus = i=1 i = 4, kg m 2 s 2 a keine größeren Meßreihen durchgeführt wurden, wird hier ebenfalls der Maximalfehler des Funktionswertes bestimmt: ( = ± J J + ) T 2 T 2 + T 1 T 1 4π = ± 2 2 J T 2 T1 + 8πJT (T ) 2 T 2 + 8πJT 1 2 T1 2 2 (T ) 2 T 1 2 T 1 = ±5, kg m 2 s 2 mit J = ±9, kg m 2, T 1 = i=1 T 1 i =, 82 s, T 2 = i=1 T 2 i = 1, 926 s, T 1,2 = ±, 2 s Aufgabe 2 Trägheitsmoment des Vollzylinders aus geometrischen Abmessungen Nach Gl. 14 folgt für das Trägheitsmoment: J VZ = 1, kg m 2 Maximalfehler des Funktionswertes: ( J HZ J VZ = ± m m ) + J HZ R R ( 1 ) = ± 2 R2 m + mr R = ±5, kg m 2 Trägheitsmoment des Vollzylinders aus der Schwingzeitmessung ie berechneten Trägheitsmomente des Vollzylinders aus der Schwingzeit nach Gl. 13 sind bereits in die Tabelle 4 eingetragen. Als Mittelwert ergibt sich J VZ = J VZi = 1, kg m 2 i=1 2 Annahme; Zeitgenauigkeit (Ablesung) ± 1 s, da für 1 Schwingungen gemessen wurde, ist der Fehler kleiner, 1 1 hier wurde angenommen, der max. Fehler ist 2 durch die Anzahl der Schwingungen. 1 8

9 Maximalfehler des Funktionswertes: ( J VZ J VZ = ± J HZ J HZ + J VZ T 3 T 3 + J VZ ) T 2 T 2 + J VZ T 1 T T = ± 3 T1 2 2 J HZ T 2 T1 + 2J T 3 HZ 2 2 T T 2 T1 + T 3 T1 2J HZ 2 2 (T ) 2 T 2 T 2 2 T J T 1 HZ J T 3 T1 HZ 2 2 T 2 T1 (T )T 1 2 T1 T 1 = ±1, kg m 2 mit T 3 = i=1 T 3 i = 1, 57 s, T 3 = ±, 2 s. 5.3 Aufgabe Kugel Trägheitsmoment aus den geometrischen Abmessungen Nach Gl. 16 folgt: J K = 1, kg m 2 Maximalfehler des Funktionswertes: ( J K J K = ± m m ) + J R ( 2 R = ± 5 R2 m mr R ) = ±4, kg m 2 Trägheitsmoment der Kugel aus der Schwingzeitmessung ie berechneten Trägheitsmomente der Kugel aus der Schwingzeit nach Gl. 9 sind bereits in die Meßwerttabelle 6 eingetragen. Als Mittelwert ergibt sich J K = J Ki = 1, kg m 2 i=1 Maximalfehler des Funktionswertes: ( J K J K = ± ) + J K T T 1 T 2 = ± 4 π T π 2 T = ±7, kg m 2 mit T = i=1 T i = 1, 298 s Metallscheibe Trägheitsmoment aus den geometrischen Abmessungen Nach Gl. 14 folgt: J S = 1, kg m 2 Maximalfehler des Funktionswertes: ( J HZ J VZ = ± m m ) + J HZ R R ( 1 = ± ) 2 R2 m + mr R = ±2, kg m 2 9

10 A5 Trägheitsmoment Trägheitsmoment aus der Schwingzeitmessung ie berechneten Trägheitsmomente der Metallscheibe aus der Schwingzeit nach Gl. 9 sind bereits in die Meßwerttabelle 8 eingetragen. Als Mittelwert ergibt sich J S = J Si = 1, kg m 2 i=1 Maximalfehler des Funktionswertes: ( J K J S = ± ) + J K T T 1 T 2 = ± 4 π T π 2 T = ±7, kg m 2 mit T = i=1 T i = 1, 3, 878 s. 5.4 Aufgabe 4 1 3,8 2 J kg m 2 3,6 gemessen über Schwingzeit aus geometrischen Abmessungen 3,4 3,2 3, 2,8 2,6 2,4 2,2 2, 1,8 1,6 1,4,,25,5,75 1, 1,25 1,5 1,75 2, 2,25 2,5 2, a 2 m 2 Abbildung 1: J ( a 2) -iagramm Werte aus der linearen Gradenregression J = Cx + B für gemessene Werte über Schwingzeit: B = 1, kg m 2 C = 9, kg für berechnete Werte aus geometrischen Abmessungen: B = 1, kg m 2 C = 72, kg 1

11 6. Bewertung und Vergleich der aten Für das Trägheitsmoment des Hohlzylinders wurde aus den geometrischen Abmessungen ein Wert von J HZ = 3, kg m 2 ± kg m 2 oder J HZ = 3, (1 ±, 27%) kg m 2 bestimmt. as Richtmoment der Feder beträgt = (4, 27 ±, 52) 1 2 kg m 2 s 2 bzw. = 4, (1 ± 1, 2%) kg m 2 s 2. Beide Werte sind relativ genau, so dßa sie in den weiteren Versuchen verwendet werden können. as aus den geometrischen Abmessungen bestimmte Trägheitsmoment für den Vollzylinder beträgt J VZ = (1, 995 ±, 5) 1 3 kg m 2 (J VZ = 1, (1 ±, 25%) kg m 2 ) und aus der Schwingzeit J VZ = (1, 97 ±, 14) 1 3 kg m 2 (J VZ = 1, (1 ± 7, 1%) kg m 2 ). er aus der Schwingzeit bestimmte Wert ligt mit seiner Meßunsicherheit im Bereich des theoretischen. Für die Kugel wurde ein theoretisches Trägheitsmoment zu J K = (1, 934 ±, 5) 1 3 kg m 2 (J K = 1, (1 ±, 26%) kg m 2 ) und aus der Schwingzeit J K = (1, 82 ±, 5) 1 3 kg m 2 (J K = 1, (1 ± 4, 4%) kg m 2 ) bestimmt. ie größere Abweichung könnte u. a. durch die Vernachlässigung der Masse des Befestigungselementes hervorgerufen werden. Ebenfalls konnte der Kugeldurchmesser nicht selbst bestimmt werden hier wurde der aufgedruckte Wert verwendet. Bei der Metallplatte gibt es die größte iskreptanz zwischen gemessenen und theoretischen Werten: theoretisch: V S = (1, 45 ±, 3) 1 3 kg m 2 (V S = 1, (1 ± 2, 1%) kg m 2 ) aus der Schwingzeit: V S = (1, 6 ±, 4) 1 3 kg m 2 (V S = 1, (1 ± 23%) kg m 2 ) Ursachen hierfür könnten u. a. an der Befestigung liegen (diese wurde nicht mit berücksichtigt) als auch an Querschwingungen der Metallplatte, die die Messung stören. a diese Messung bereits größere Fehler verursachte, ist nicht verweunderlich, daß auch bei Aufgabe 4 größere Abweichungen zwischen theoretisch und experimentell auftreten. abei ist jedoch das Trägheitsmoment im Schwerpunkt, ermittelt über die lineare Regression, identisch mit dem aus Aufgabe 3. Ursachen für die größere iskreptanz zwischen theoretischen und gemessenen Werten liegen sicherlich in der Zeitmessung, da hier bereits kleine ifferenzen größere Änderungen hervorrufen. Vor allem bei großem a war die Zeitbestimmung nicht ganz einfach den Fixpunkt für die Zeitmessung war weniger deutlich erkennbar. a die Waage nicht mehr ganz auf den Nullpunkt einstellbar war und durch mangelnde Skaleneinteilung in dem Bereich eine entsprechende Umrechnung nicht möglich war, wurde (nach Anmerkung des Betreuers) die Meßunsicherheit auf m = ±1 g gesetzt (und nicht auf m = ±, 1 g). Generell wurden bei allen Fehlerberechnungen der Maximalwert des Funktionswertes nach dem Gauß schen Fehlerfortpflanzungsverfahren ermittelt, da die Messungen nicht häufig durchgeführt wurden, so daß das allg. Gauß sche Verfahren nicht gerechtfertigt wäre. ie Abweichungsbestimmung vom Mittelwert für n = 5 ist nicht sehr vertrauenswürdig. Im Allgemeinen könnten die Werte sicherer werden, wenn die Messungen häufiger wiederholt werden würden, so daß Mittelwert und Standardabweichung ermittelt werden könnten. 7. verwendete Geräte rehtisch Libelle Waage m = ±1 g (siehe Bemerkung oben) 11

12 Schieblehre mit Nonius, x = ±, 1 mm Maßstab, x = ±1 mm Analoguhr Junghans, t = 1 1 s Probekörper und Befestigungsmaterial Literatur [em6] EMTRÖER, Wolfgang: Experimentalphysik 1. Bd. 1: Mechanik und Wärme. 4. Auflage. Springer, Berlin Heidelberg New York, 26. ISBN x [Kuc94] KUCHLING, Horst: Taschenbuch der Physik. 14. Auflage. Fachbuchverlag Leipzig-Köln, ISBN [Mey6] MEYER, irk: Physikalisches Praktikum für Studierende der Physik Versuchsanleitungen. 4. Auflage. 26 [Tip98] TIPLER, Paul A. ; GERLICH, ieter (Hrsg.) ; JERKE, Götz (Hrsg.): Physik. 2. korrigierter Nachdruck der 1. deutschen Auflage von Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg - Berlin, ISBN [Wal94] WALCHER, Wilhelm: Praktikum der Physik. 7. Auflage. B.G. Teubner Stuttgart, 1994 Liste der Versionen Version atum Bearbeiter Bemerkung Krä Versuchsvorbereitung Krä Versuchsdurchführung Krä Versuchsauswertung 12