Feder-, Faden- und Drillpendel

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1 Dr Angela Fösel & Dipl Phys Tom Michler Revision: Eine Schwingung (auch Oszillation) bezeichnet den Verlauf einer Zustandsänderung, wenn ein System auf Grund einer Störung aus dem Gleichgewicht gebracht und durch eine rücktreibende Kraft wieder in Richtung des Ausgangszustandes gezwungen wird Grundsätzlich basiert das Schwingen eines Systems auf der periodischen Energieumwandlung zwischen zwei Energieformen Dabei durchläuft das System wiederholt nach einem festen Zeitintervall den Ausgangszustand In diesem Versuch sollen Sie verschiedene Schwingungsarten (Feder-, Faden und Torsionsschwingung) untersuchen 1

2 1 Vorbereitungen Zur Einarbeitung in diesen Versuch sollten Sie neben den allgemeinen Kenntnissen der klassischen Mechanik vor allem folgende Punkte vertiefen: ˆ Begrifflichkeiten mechanische (harmonische) Schwingungen ˆ Erklärung und Erläuterung des linearen Kraftgesetz (Gesetz von Hook) ˆ Herleitung der Bewegungsgleichungen (DGL) für mechanische harmonische Schwingungen (Federpendel und mathematisches Pendel) ˆ Erklärung der Begriffe Drehmoment, Trägheitsmoment, Steiner scher Satz im physikalischen Zusammenhang ˆ Erläuterung und Darstellung physikalischer Pendel und Herleitungen der Bewegungsgleichungen (DGL) ˆ Kenntnisse und Erläuterungen der Gesetzmäßigkeiten des Feder, Faden- und Drillpendels In der schriftlichen Vorbereitung gehen Sie neben der allg Beschreibung des Versuchs auf die Bewegungsgleichungen und Lösungen von n ein Achten Sie darauf, dass bestimmte Teilaufgaben in der Vorbereitung, also vor dem Versuchstag durchzuführen sind 2 Theorie 21 Federpendel Eine Schraubfeder der Federkonstanten D erfährt im Schwerefeld der Erde (g Fallschbeschleunigung) durch Anähngen einer Masse m eine Verlängerung l, die durch das Hook sche Gesetz bestimmt ist Es gilt: m g = D l (1) Versetzt man die Masse in Schwingungen parallel zur Achse der Schraubenfeder, so erhält man für nicht allzu große Schwingungsamplituden (Gültigkeitsbereich des Hook schen Gesetzes!) eine harmonische Schwingung mit der Schwingungsdauer m D (2) Die Schwingungsdauer ist also unabhängig von der Amplitude Nach Gl (2) wäre für m = 0 kg auch T = 0 s Dies ist nicht der Fall, da auch die Feder eine Masse m F besitzt Zur Berücksichtigung der Federmasse muss in Gleichung (2) statt m eine effektive Masse 2

3 m eingesetzt werden Sie ergibt sich aus der Pendelmasse m und der Federmasse m F zu m = m + m F (3) 3 Für ein reales Federpendel gilt somit: 211 Aufgaben zum Federpendel m + m f 3 D 1 Leiten Sie durch Aufstellen der Bewegungsgleichung und mit einem geeigneten Lösungsansatz den Audruck (2) her! (In der Vorbereitung!) 2 Bauen Sie aus den Einzelteilen (Stativmaterial, Schraubenfeder, Massestücke und Messlatte) eine Anordnung zur Untersuchung des Federpendels auf und fertigen Sie eine Skizze der Anordnung 3 Messen Sie für 5 verschiedene Massen m zwischen 20 g und 100 g die Dehnung l der Feder und bestimmen Sie jeweils die dazugehörige Schwingungsdauer T Mitteln Sie hierzu T über mindesten n = 20 Schwingungen Berechnen Sie aus den Messwerten die Mittelwerte für D/g und D Berechnen Sie aus diesen beiden Mittelwerten die Fallbeschleunigung g, führen dazu eine Fehlerbetrachtung durch und vergleichen Sie Ihr Ergebnis mit dem Literaturwert für g Ein Muster für die Darstellung der Ergebnisse gibt folgende Tabelle 1 m l D/g = m/ l n nt T T 2 D = 4π 2 m /T 2 in g in cm in kg/m in s in s in s 2 in N/m (4) Tabelle 1: Mustertabelle zur Erfassung der Messergebnisse zur Dehnung l und der Schwingungsdauer T eines Federpendels sowie daraus zu berechnende Werte für die Federkonstante D bzw D/g (g: Fallbeschleunigung, n: Anzahl der Schwingungen, m : effektive Masse) 4 Tragen Sie die Messwerte aus Tabelle 1 grafisch als m = f( l) und m = f(t 2 ) auf Welche Kurven müssen sich aufgrund der theoretischen Beziehungen Gl (1) und Gl (4) ergeben? Überzeugen Sie sich, dass der m-achsenabschnitt bei T 2 = 0 s 2 durch Gl (3) und Gl (4) gut wiedergegeben wird Bestimmen Sie aus der Steigung der Kurven die Federkonstante D bzw das Verhältnis D/g und vergleichen Sie diese Werte mit den in Tabelle 1 errechneten Mittelwerten 3

4 22 Fadenpendel Als Fadenpendel oder mathematisches Pendel bezeichnet man eine Anordnung, bei der eine möglichst punktförmige Masse m an einem (im Vergleich zur Masse m) masselosen Faden der Länge l aufgehängt ist Schwingungen nicht zu großer Amplitude senkrecht zum Faden sind ebenfalls harmonische Schwingungen Für ihre Schwingungsdauer eines Fadenpendels (Aplitude ϕ 0 1)gilt: l g (5) Die Schwingungsdauer beim Fadenpendel ist also unabhängig von der Amplitude und von der Masse 221 Aufgaben zum Fadenpendel 1 Leiten Sie durch Aufstellen der Bewegungsgleichung und mit einem geeigneten Lösungsansatz den Ausdruck (5) her! Begründen Sie, warum beim Fadenpendel eine harmonische Schwingung nur für kleine ϕ gilt (Tipp: Taylorreihe für sin x) (In der Vorbereitung!) 2 Messen Sie mit der Stahlkugel als Pendelmasse für 5 verschiedene Längen l des Pendelfadens die jeweilige Schwingungsdauer T (siehe Tabelle 2) Stellen Sie l = f(t 2 ) grafisch dar und bestimmen Sie aus der Steigung der Kurve einen Wert für die Fallbeschleunigung g l in cm n T ges (n) in s T = T ges (n)/n in s T 2 in s 2 Tabelle 2: Mustertabelle zur Erfassung der Messergebnisse eines Fadenpendels der Länge l (T : Schwingungsdauer, n: Anzahl der Perioden, messen Sie mindestens 10 pro Länge) 3 Überzeugen Sie sich, dass die Schwingungsdauer T beim Fadenpendel nicht von der Pendelmasse m abhängt Messen Sie dazu mit einer bestimmten Pendellänge die Schwingungsdauer T sowohl für die Stahlkugel als auch für eine gleich große Holzkugel 4

5 23 Drillpendel Ein drehbar gelagerter Körper, der durch eine Schneckenfeder in seiner Ruhelage gehalten wird, kann Drehschwingungen ausführen Für die Schwingungsdauer eines Drillpendels gilt: J D (6) Dabei ist J das Trägheitsmoment des Körpers in Bezug auf die gegebene Drehachse und D die Winkelrichtgröße der Schneckenfeder D kann unter Verwendung des linearen Zusammenhangs zwischen Auslenkwinkel ϕ und rücktreibendem Drehmoment M der Schneckenfeder bestimmt werden: 231 Satz von Steiner M = D ϕ (7) Wir betrachten nun das Trägheitsmoment J eines Körpers der Masse m, bei dem die Drehachse nicht durch den Schwerpunkt geht, sondern um eine Drehachse, die parallel zum Schwerpunkt im Abstand a verläuft Ist J 0 das Trägheitsmoment für eine Achse durch den Schwerpunkt, dann beträgt J für eine dazu parallel Achse im Abstand a vom Schwerpunkt: J = J 0 + m a 2 (8) Abbildung 1: Ein Körper rotiert im Abstand h um eine zum Schwerpunkt parallelen Achse 5

6 232 Aufgaben zum Drillpendel 1 Leiten Sie durch Aufstellen der Bewegungsgleichung und mit einem geeigneten Lösungsansatz den Audruck (6) her! (In der Vorbereitung!) 2 Stellen Sie die jeweiligen korrespondierenden Größen zwischen Feder- und Drillpendel gegenüber (F, m, etc) (In der Vorbereitung!) 3 Bestimmen Sie die Winkelrichtgröße D der Schneckenfeder: In einer direkten Messung wird dazu die Feder durch geeignete Drehmomente um +180 und um 180 verdrillt Wählen Sie zur Erzeugung der Drehmomente jeweils 2 verschiedene Hebelarme für den Angriffspunkt der Kraft, so dass Sie insgesamt 4 Messwerte erhalten, aus denen Sie schließlich einen Mittelwert für D berechnen können (Zubehör: Dynamometer und aufgesteckter Stab) 4 Bestimmen Sie aus der Schwingungsdauer T und der Winkelrichtgröße D das Trägheitsmoment J des Stabs, der Scheibe, der Kugel und des Hohlzylinders Für den Vollzylinder soll das Trägheitsmoment für 2 Drehachsen bestimmt werden Messen Sie T gemittelt über fünf Einzelmessungen 5 Vergleichen Sie Ihre Messdaten mit den theoretischen Werten (siehe Formelsammlung!) 6 Überprüfen Sie den Satz von Steiner an der Scheibe, die auch außerhalb des Mittelpunkts (Schwerpunkt) aufgesteckt werden kann Wählen Sie 2 verschiedene Abstände a und messen Sie analog zur Aufgabe 4 6